Tải Phân dạng phương trình lượng giác - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (406.56 KB, 29 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

I. HỆ THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OP
OQ
AT
BT

cos
sin
tan
' cot

a
a
a
a

=
=
=
=

Nhận xét:

· "a, 1 cos- £ a£1; 1 sin- £ a £1

· tana xác định khi k k Z,
2

p

a ạ + p ẻ

Ã cota xỏc nh khi a ạk k Zp, ẻ

2. Du của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư
Giá trị lượng giác

I II II IV

sina + + – –

cosa + – – +

tana + – + –

cota + – + –

3. Hệ thức cơ bản:

sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1

2 2

1 1

1 tan ; 1 cot

cos sin

a a

+ = + =

4. Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau 
cos( ) cos-a = a sin(p a- ) sin= a sin cos

2
p

a a

ổ ử

- =

ỗ ữ

ố ứ

sin( )-a = -sina cos(p a- )= -cosa cos sin
2

p

a a

ổ ử

- =

ỗ ữ

ố ø

tan( )-a = -tana tan(p a- )= -tana tan cot
2

p a a

ổ ử

- =

ỗ ữ

ố ứ

cot(-a)= -cota cot(p a- ) = -cota cot tan
2

p a a

ổ ử

- =

ỗ ữ

ố ứ

CH

NG 0

ÔN T

Ậ

P CÔNG TH

Ứ

C L

ƯỢ

NG GIÁC –

HÀM S

Ố

L

ƯỢ

NG GIÁC

cosin
O

cotang

tang

p A 
M

Q 
B T'

a

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CƠNG THỨC CỘNG 
Cơng thức cộng:

Cung hơn kém p Cung hơn kém 
2
p
sin(p a+ ) = -sina sin cos

p a a

ổ ử

+ =

ỗ ữ

ố ứ

cos(p a+ )= -cosa cos sin
2

p a a

ổ ử

+ =

-ỗ ữ

ố ứ

tan(p a+ ) tan= a tan cot
2

p

a a

ổ ử

+ =

-ỗ ữ

ố ø

cot(p a+ ) cot= a cot tan
2

p

a a

ỉ ư

+ =

-ỗ ữ

ố ứ

6
p

p

p 2
3

p 3
4

p p 3

p 2p

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 1

2
2

2 1

3
2

2 0 –1 0

cos 1 3

2
2

2 0

1
2

- 2

- –1 0 1

tan 0 3

3 1 3 - 3 –1 0 0

cot 3 1 3

3 0

3
3

- –1 0

sin(a b+ ) sin .cos= a b+ sin .cosb a
sin(a b- ) sin .cos= a b-sin .cosb a
cos(a b+ ) cos .cos= a b -sin .sina b
cos(a b- ) cos .cos= a b+sin .sina b

tan tan
tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b

+ =

-tan tan
tan( )

1 tan .tan

a b

a b

a b

-- =

Hệ quả: tan 1 tan , tan 1 tan

4 1 tan 4 1 tan

p a p a

a a

æ + ử = + ổ - ử =

-ỗ ữ - ỗ ữ +

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

III. CễNG THC NHN 
1. Công thức nhân đôi:

sin 2a =2sin .cosa a

cos2a =cos2a -sin2a =2 cos2a- = -1 1 2sin2a

tan 2 2 tan2 ; cot 2 cot2 1
2 cot
1 tan
a a
a a
a
a

-= =

-2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a

: (*) 
Đặt: t tan ( 2 )k

2
a

a p p

= ¹ + thì: t

t2
2
sin
1
a =
+ ;
t
t
2
2
1
cos
1
a =

-+ ;
t
t2
2
tan

1
a =

-IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 
1. Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 
1

cos .cos cos( ) cos( )
2

sin .sin cos( ) cos( )
2

sin .cos sin( ) sin( )
2

a b a b a b

é ù

= ë - + + û
é ù
= ë - - + û
é ù
= ë - + + û

cos cos 2 cos .cos

2 2

a b a b

a+ b = +

-cos cos 2sin .sin

2 2

a b a b

a- b = - +

-sin sin 2sin .cos

2 2

a b a b

a+ b = +

-sin sin 2 cos .sin

2 2

a b a b

a- b = +

-sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

-- =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b

+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin

-- =

sin cos 2.sin 2.cos

4 4

p p

a+ a = ổỗa+ ửữ= ổỗa- ửữ

ố ứ ố ứ

sin cos 2 sin 2 cos

4 4

p p

a- a= ổỗa- ửữ= - ổỗa+ ửữ

ố ứ ố ø

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)

2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a

-=
+
=

-=
+
3

3
3
2

sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos

3tan tan
tan 3

1 3tan

a a a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

-TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
y =sinx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm lẻ, chu kỳ T0 =2p .
* y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

= p

* y = sin(f(x)) xác định Û f x( ) xác định.

y =cosx: Tập xác định D = R; tập giá trị T = -éë 1, 1ùû; hàm chẵn, chu kỳ T0 =2p.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 2

a

= p

* y = cos(f(x)) xác định Û f x( ) xác định.

y =tanx: Tập xác định \ ,
2

D = R ìí +k k Zẻ ỹý

ợ ỵ

p

p ; tp giỏ tr T = R, hàm lẻ, chu kỳT0 =p .

* y = tan(ax + b) có chu kỳ T0
a

= p

* y = tan(f(x)) xác định Û f x( ) ( )
2 k k Z

ạ p + p ẻ

y =cotx: Tập xác định D = R k k Z\

{

p, Î

}

; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳT0 =p .
* y = cot(ax + b) có chu kỳ T0

a

= p

* y = cot(f(x)) xác định Û f x( ) ¹ kp (k ZỴ ).

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số y = f x1( ) ± f x2( ) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1. Phương trình sinx = sina

a) sinx =sin Û é =ê = - +xx +k2 k2 (k ZỴ )
ë

a p

a

p a p

b) sinx = a Điều kiện. : 1- £ £a 1

x a k

x a x arcsin a k2 k Z
sin = Û é =ê = -p arcsin+ p 2p ( Ỵ )

+
ë

c) sinu = -sinv Û sinu =sin( )-v
d) sin cos sin sin

2
u = v Û u = ổỗ -vửữ

ố ứ

p
e) sin cos sin sin

2
u = - v u = ổỗv- ửữ

ố ứ

p
Cỏc trng hp đặc biệt:

sinx = 0 Û x k= p (k ZỴ )

sin 1 2 ( )

x = Û x = p +k p k ZỴ sin 1 2 ( )
2

x = - Û x = - +p k p k ZỴ

2 2

sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )

x = ± Û x= Û x = Û x = Û x= +p kp k ZỴ

2. Phương trình cosx = cosa

a) cosx = cosa Û = ± +x a k2 (p k ZỴ )

b) cosx = a Điều kiện. : 1- £ £a 1

x a x a k k Z

cos = Û = ±arccos + 2 (p Ỵ )
c) cosu = -cosv Û cosu =cos(p-v)

d) cos sin cos cos
2
u = v u = ổỗ -vửữ

ố ứ

p
e) cos sin cos cos

2
u= - v u= ổỗ +vửữ

ố ứ

p
Cỏc trng hp đặc biệt:

cos 0 ( )

x = Û x = p +kp k ZỴ

cosx =1 Û x k= 2 (p k ZỴ ) cosx = - Û1 x = +p k2 (p k ZỴ )

x 2x 2 x x x k k Z

cos = ± Û1 cos = Û1 sin = Û0 sin =0 Û = p ( Ỵ )
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

CH

ƯƠ

NG I

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3. Phương trình tanx = tana

a) tanx =tana Û = +x a kp (k ZỴ )

b) tanx = a Û x =arctana k k Z+ p( Ỵ )

c) tanu = -tanv Û tanu =tan( )-v

d) tan cot tan tan

2
u = v u = ổỗ -vửữ

ố ứ

p

e) tan cot tan tan

2
u= - v Û u = ổỗ +vửữ

ố ứ

p
Cỏc trng hp c bit:

tanx =0 Û x k= p (k ZỴ ) tan 1 ( )
4

x = ± Û x = ± +p kp k ZỴ

4. Phương trình cotx = cota

cotx =cota Û = +x a kp (k ZỴ )

cotx = aÛ x = arccota k+ p (k ZỴ )
Các trường hợp đặc biệt:

cot 0 ( )

x = Û =x p +kp k ZỴ cot 1 ( )

x = ± Û x= ± +p kp k ZỴ

5. Một sốđiều cần chú ý:

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc
chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì iu kin: ( ).
2

xạ +p kp k Zẻ

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x kạ p (k Zẻ )

* Phng trỡnh cha c tanx và cotx thì điều kiện ( )
2

x k¹ p k ZỴ

* Phương trình có mẫu số:

· sinx ạ0 x kạ p (k Zẻ )

Ã cos 0 ( )

x ạ xạ +p kp k Zẻ

Ã tan 0 ( )

x ¹ Û x k¹ p k Zẻ

Ã cot 0 ( )

x ạ ạx kp k ZỴ

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau
để kiểm tra điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 1. Giải các phương trình:
1) cos 2 0

6
x

ổ ử
+ =
ỗ ữ
ố ứ
p

2) cos 4 1
3
x
ổ ử
- =
ỗ ữ
ố ứ
p

3) cos 1

5 x
ổ ử
- =
-ỗ ữ
ố ứ
p
4) sin 3 0

3
x
ổ ử
+ =
ỗ ữ

ố ứ
p

5) sin 1

2 4
x
ổ ử
- =
ỗ ữ
ố ứ
p

6) sin 2 1

6 x
ổ ử
+ =
-ỗ ữ
ố ø
p
7) sin 3

(

)

x+ = 8) cos

(

150

)

2
2

x- = 9) sin 3

2 3 2

x
ỉ ư
- =
-ỗ ữ
ố ứ
p

10) cos 2 1

6 x 2

ổ ử

- =

-ỗ ữ

ố ứ

p

11) tan 2

(

x- =1

)

3 12) cot 3

(

100

)

3
3
x+ =

13) tan 3 1
6
x

ổ ử
+ =
-ỗ ữ
ố ứ
p

14) cot 2 1
3
x
ổ ử
- =
ỗ ữ
ố ứ
p

15) cos(2x + 250) = 2
2

-Baøi 2. Giải các phương trình:

1) sin(3x+ =1) sin(x-2) 2) cos cos 2

3 6
x x
ổ ử ổ ử
- = +
ỗ ữ ỗ ÷
è ø è ø
p p

3) cos3x=sin 2x 4) sin(x-120 ) cos20 + x=0

5) cos 2 cos 0

3 3
x x
ỉ ư ổ ử
+ + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
p p

6) sin3 sin 0

4 2
x
x+ ổỗ - ửữ=

ố ứ

p
7) tan 3 tan

4 6
x x
ổ ử ổ ử
- = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ

p p

8) cot 2 cot

4 3
x x
ỉ ư ỉ ư
- = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
p p

9) tan(2x+ +1) cotx=0 10) cos(x2+x) 0=

11) sin(x2-2 ) 0x = 12) tan(x2+2x+ =3) tan 2

13) cot2x=1 14) sin2 1

2
x=

15) cos 1
2

x = 16) sin2 cos2

4
x x
ỉ ư
- =

ỗ ữ
ố ứ
p

Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh:

1) cos3 .tan 5x x=sin 7x 2) tan 5 .tan 2x x=1

3) 4 cosx-2 cos2x-cos 4x=1 4) 3sin3x- 3 cos9x= +1 4sin 33 x
5) cos .cos33x x sin .sin 33x x 2

+ = 6) x

x x

1 3 8cos
cos +sin =

Baøi 4. Giải các phương trình:

1) 2 cosx-sinx =1 2) sinx +cos3x=0

3) x x

x

2 1 cos

tan

1 sin

- 4) x x x

1
cot tan

sin

= +

Baøi 5. Giải và biện luận các phương trình:

1) (m-1)sinx+ - =2 m 0 2) sin .cosm x=1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cách 1:

· Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta được:
(1) Û

2 2 sin 2 2 cos 2 2

a x b x c

a +b + a +b = a +b

· Đặt:

(

)

2 2 2 2

sin a , cos b 0, 2

a b a b é ù

= = Ỵ ë û

+ +

a a a p

(1) trở thành:

2 2

sin .sinx cos .cosx c
a b

+ =

a a

2 2

cos(x ) c cos (2)
a b

Û - = =

a b

· Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là:

2 2 2

2 2 1 .

c a b c

a +b £ Û + ³

· (2) Û = ± +x a b k2p (k ZỴ )

Cách 2:

a) Xét 2

2 2
x

x = +p k p Û = +p kp có là nghiệm hay khơng?

b) Xét 2 cos 0.

2
x
x¹ +p k p Û ¹

Đặt:

2 2

2 1

tan , sin , cos ,

2 1 1

x t t

t thay x x

t t

-= = =

+ + ta được phương trình bậc hai theo t:
2

(b c t+ ) -2at c b+ - = 0 (3)
Vì x¹ +p k2p Û + ¹b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2

'= a -(c -b ) 0³ Û a +b ³ c .
D

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0.
2
x t

Ghi chú:

1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2+b2 ³c2.

3) Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2

.sin .cos . sin cos

y = a x b+ x £ a +b x+ x = a +b

2 2 2 2 sin cos

miny a b vaø maxy a b x x tanx a

a b b

Û = - + = + Û = Û =

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) cosx+ 3 sinx= 2 2) sin cos 6
2
x+ x=

3) 3 cos3x+sin3x= 2 4) sinx+cosx= 2 sin 5x
5) 3 sin 2 sin 2 1

x+ ổỗ + xư÷=

è ø

p

(

3 1 sin-

)

x-

(

3 1 cos+

)

x+ 3 1 0- =
Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x+ 3 sin 2x=3 2) sin8x-cos6x= 3 sin 6

(

x+cos8x

)

3) 8cos 3 1

sin cos
x

x x

= + 4) cosx 3 sinx 2 cos x
3
p

ỉ ư

- = ỗ - ữ

ố ứ

5) sin 5x+cos5x= 2 cos13x 6) cos7x-sin 5x= 3(cos5x-sin 7 )x

7) sin8x-cos6x= 3(sin 6x+cos8 )x
Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) (3cosx-4sinx-6)2+ +2 3(3cosx-4sinx- =6) 0

2) (4sinx-5cosx)2 -13(4sinx-5cosx)+42=0

3) 8 0

14
sin
5
cos
12

5
sin

5
cos

12 + =

+
+

x
x

4) x x

x x

3cos 4sin 6

3cos 4sin 1

+ + =

+ +

Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) 3sinx-2 cosx=2 2) 3 cosx+4sinx- 3 0=

3) cosx+4sinx= -1 4) 2sinx-5cosx=5
5) 4sinx-3cosx=5 6) 3sin2x+2cos2x=3
7) 2sin2x+3cos2x= 13sin14x 8)

2
9
sin
3
2
cos

3 x+ x=

Bài 5. Giải các phương trình sau:

1) 2sin x sin x 3 2

4 4 2

p p

ỉ ư ỉ ư

+ + - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ 2) 3 cos2x sin 2x 2sin 2x 6 2 2

æ ử

+ + ỗ - ữ=

ố ứ

p

Baứi 6. Tỡm m các phương trình sau có nghiệm:

1) (m+2)sinx m+ cosx=2 2) (m+1) cosx m+( -1)sinx=2m+3

3) (m-1)sinx+2 mcosx m= 2 4) 3 sin2x 1sin 2x m
2

+ =

Baøi 7. Tìm m để các phương trình sau vơ nghiệm:

1) (2 –1)sinm x m+( –1)cosx m= – 3 2) sinx m+ cosx=1

Bài 8. Tìm x sao cho y x
x
1 sin
2 cos

+
=

+ là số ngun.

Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

1) y =(2- 3)sin2x+cos2x 2) y =(sinx-cosx)2 +2cos2x+3sinxcosx
3)

4
sin
cos
2

3
sin
2
cos

-+
+

x
x

y 4) y x x

x x

sin 2 cos 1
sin cos 2

+ +

Bài 10.Tìm các giá trị của a để phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:

1) (cosa +3sina - 3)x2 +( 3cosa -3sina -2)x+sina -cosa + 3=0; x

0 =1.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Nếu đặt: t=sin2x hoặc t= sinx thì điều kiện: 0£ £t 1. (tương tự đối với cosx)

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 
3) 3sin22x+7cos2x-3=0 4) 6cos2 x+5sinx-7=0

5) cos2x-5sinx-3=0 6) cos2x+cosx+1=0
7) 6sin23x+cos12x=14 8) 4sin4 x+12cos2 x=7

9) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 10) 4sin2x-2 3 1 sin

(

+

)

x+ 3 0=

Baøi 2. Giải các phương trình sau:

1) tan2x+ -

(

1 3 tan

)

x- 3 0= 2) cot2 x+( 3-1)cotx- 3=0
3) cot 22 x-4 cot 2x+ =3 0 4) 7tanx-4cotx=12

5) tan2x + cot2x = 2 6) 3

4
2

tan2 ữ=
ứ
ử
ỗ

ố
ổ -p

x

Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) 4sin 32 x+2 3 1 cos3

(

)

x- 3 4= 2) 4 cos3x+3 2 sin 2x=8cosx
3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 12

(

3 3 tan

)

3 3 0

cos x- + x- + =
5) 3

cosx + tan

2x = 9 6) 9 – 13cosx +

1 tan+ x = 0
7) 12

sin x = cotx + 3 8) 2

cos x + 3cot
2x = 5

9) cos2x – 3cosx = 4 cos2
2
x

10) 2cos2x + tanx = 4
5

Bài 4. Cho phương trình sin sin3 cos3 3 cos2
1 2sin 2 5

x x x

x

ổ + ử +

+ =

ỗ + ữ

ố ứ . Tìm các nghiệm của phương

trình thuộc

(

0; 2p

)

Bài 5. Cho phương trình: cos5 .cosx x=cos 4 .cos2x x+3cos2x+1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc

(

-p p;

)

Bài 6. Giải phương trình : sin4 sin4 sin4 5

4 4 4

x+ ổỗx+ ửữ+ ổỗx- ửữ=

ố ứ ố ứ

p p

Baứi 7. Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
 sin4 cos4 sin .cos 1

2
x+ x m+ x x=

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng Đặt Điều kiện

asin2x b+ sinx c+ = 0 t = sinx - £ £1 t 1

cos cos 0

a x b+ x c+ = t = cosx - £ £1 t 1
2

tan tan 0

a x b+ x c+ = t = tanx ( )

x¹ +p kp k ZỴ
2

cot cot 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Cách 1:

· Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1.
2

x k x x

Û = +p p Û = Û = ±

· Khi cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ¹0 ta được:
a.tan2 x b+ .tanx c d+ = (1 tan )+ 2x

· Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a d t- ) 2+b t c d. + - =0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2

(1) . . .

2 2 2

x x x

a - b c + d

Û + + =

.sin 2 ( ).cos2 2

b x c a x d a c

Û + - = - - (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

2x=0

Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) sin3x+2sin .cosx 2x– 3cos3x=0 2) 3 sin .cos sin2 2 1

2
x x- x=

-3) sin3x-5sin .cos2x x-3sin .cosx 2x+3cos3x=0

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1) (m+1)sin2x– sin2x+2cos2x=1

2) (3 – 2)sinm 2x– (5 – 2)sin 2m x+3(2m+1) cos2x=0

3) msin2x+sin 2x+3 cosm 2x=1

4) (m2+2) cos2x-2 sin 2m x+ =1 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

· Đặt: t sinx cosx 2.sin x ; t 2

p

ổ ử

= = ỗ ữ Ê

ố ứ

2 1 2sin .cos sin .cos 1( 2 1).

t x x x x t

Þ = ± Þ = ±

-· Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa t £ 2. Suy ra x.

Lưu ý: · sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

p p

ổ ử ổ ử

+ = ỗ + ữ= ỗ - ữ

ố ứ ố ứ

· sinx cosx 2 sin x 2 cos x

4 4

p p

ổ ử ổ ử

- = ỗ - ữ= - ỗ + ÷

è ø è ø

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

· Đặt: t sinx cosx 2. sin x ;Đk: 0 t 2.
4

p

ỉ ử

= = ỗ ữ Ê Ê

ố ứ

sin .cos ( 1).
2

x x t

Þ = ±

-· Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 3: Phương trình đối xứng theo tang và cotang.

Đặt t tanx cotx x k ; t 2
2

p

ổ ử

= + ỗ ạ ÷

è ø

Bài 1. Giải các phương trình:

1) 2sin 2x-3 3 sin

(

x+cosx

)

+ =8 0 2) 2 sin

(

x+cosx

)

+3sin 2x=2

3) 3 sin

(

)

(

+ x-cosx

)

=sin 2x 4) cos – sinx x+3sin 2 –1 0x =

5) sin 2x 2 sin x 1
4
p

ổ ử

+ ỗ - ữ=

ố ứ 6) x x

1 1 2 2

cos3 -sin3 =

Baøi 3. Giải các phương trình:

1) sin3x+cos3x= +1

(

2 2 sin .cos-

)

x x 2) 1 sin3x cos3x 3sin 2x
2

+ + =

3) 3tan2x+4 tanx+3cot2x+4 cotx+ =2 0 4) 2sin 2x-3 6 sinx+cosx + =8 0

5) sinx-cosx +4sin 2x=1 6) 1 sin 2- x= cosx+sinx

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) sin .cosx x=6(sinx+cosx m+ ) 2) sin 2x+2 2 (sinm x-cos ) 1 4x + - m=0

3) tan2x+cot2x m= (tanx-cot )x 4) x m x x
x

2
2

3 3tan (tan cot ) 1 0

sin + + + - =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
Dạng: A B. = Û ê =0 é =AB 00

Một trong các phương pháp thường được sử dụng để giải các phương trình lượng giác 
không mẫu mực là biến đổi đưa về dạng phương trình tích.

Các phép biến đổi thường sử dụng:

– Dùng công thức biến đổi từ tổng thành tích.

– Dùng cơng thức hạ bậc, rồi biến đổi từ tổng thành tích.

– Nếu phương trình có tổng của nhiều biểu thức dạng tích mà khơng có nhân tử chung 
thì nên biến đổi các tích thành tổng để ước lược, rồi biến đổi từ tổng thành tích.

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin .cos2x x sin 2 .cos3x x 1sin 5x
2

= - (*)

· (*) Û sin .cos2x x 1(sin 5x sin )x 1sin 5x

2 2

= - - Û sin (2 cos2x x+ =1) 0

Û x x k x k

x x k

sin 0
1

cos2 3

2 3

p p

é = é =

ê Ûê Û =

= - = ± +

ê ê

ë ë

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos2x+cos4x+cos6x=0 (*) 
· (*) Û 2 cos 4 .cos2x x+cos4x= Û0 cos4 (2 cos2x x+ =1) 0

Û x x k

x x k

cos 4 0

8 4
1

cos2

2 3

p p

p p

é = ê = +

ê Û ê

-ê ê = ± +

ë ë

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sin3x cos3x 1 1sin 2x

+ =

-Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) cos3x-2 cos2x+cosx=0
5) cos10x-cos8x-cos6x+ =1 0 6) 1 cos+ x+cos2x+cos3x=0

Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x

3) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 
5) 4sin 2 .sin 5 .sin 7x x x=sin 4x 6) cos3 .cos 4x x sin 2 .sin 5x x 1cos2x cos 4x

+ = +

Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3
2

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
5) sin7x + cos22x = sin22x + sinx

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 5. Giải các phương trình sau: (dùng cơng thức hạ bậc)
1) sin6x cos6x 1

+ = 2) sin8x cos8x 1

+ =

3) sin6x cos6x 5
8

+ = 4) cos4x+2sin6x=cos2x

5) x x x

x

4 4 2

sin cos cos 1 0

4sin 2

+ - + - =

Bài 6. Giải các phương trình sau:

1) sin3x cos3x 1 sin 2 .sinx x cosx sin3x
4

p

ổ ử

+ + ỗ + ữ= +

ố ứ

2) 1 sin2+ x+2cos3 (sinx x+cos ) 2sinx = x+2cos3x+cos2x
3) sinx+sin2x+sin3x= 2(cosx+cos2x+cos3 )x

4) 1 sin+ x+cosx+sin 2x+2 cos2x=0

5) sin2x 2sin2 x 2sin .sinx 2 x cotx 0

2 2

+ - + =

6) sin .cos2x x-cos2x+sinx-cos .sin2x x-cosx=0

7) (2sinx-1)(2 cos2x+2sinx+ = -1) 3 4 cos2x
8) sin .sin 4x x 2 cos x 3 cos .sin 4x x

6
p

ổ ử

= ỗ - ữ

-ố ứ

Baứi 7. Gii cỏc phương trình sau:

1) sin3 .sin 6x x=sin 9x 2) sin3x-cos3x=sinx+cosx

3) sin3x+cos3x=sinx-cosx 4) sin (1 cos ) 1 cosx + x = + x+cos2x

5) cotx-tanx=sinx+cosx 6) 2 cos2x-sin 2x=2(sinx+cos )x

7) x x

x

1 sin 2
1 tan 2

cos 2

-+ = 8) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan- x + x = + x
Baøi 8. Giải các phương trình sau:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM 
Dạng: íìAA B³0; B0³0ÛìíBA=00

+ = =

ỵ ỵ

Đặc biệt:

· A2+B2 = Û í =0 ì =BA 00

ỵ ·

A

A B A B

B
A B1, 2 1 (1 A1,) (1 1B) 0 11

ì £ £ Ûì £ £ Ûì =

í + = í - + - = í =

ỵ

ỵ ỵ

Ví dụ: Giải phương trình: cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+ =1) 0 (*)

(*) Û x x xx x k x l

x k

2 2 cos 0 2

cos (sin 3 1) 0 sin3 1 2 2

6 3

p p

p p

= +
ï

ì =

+ + = Ûí Ûí Û = +

-ỵ ï = - +

ỵ
Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) sin2x 1sin 32 x sin .sin 3x x
4

+ = 2) sin2x 1sin 32 x sin .sin 3x 2 x
4

+ =

3) 4 cos2x+3tan2x-4 3 cosx+2 3 tanx+ =4 0

4) cos2x-cos6x+4(3sinx-4sin3x+ =1) 0

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin 2x sin2x 2 0

+ - = 2) sin5x-cos2x=1

3) sin (cos2x x+cos 4x+cos6 ) 1x = 4) sin 2 .cos8x x=1

5) sin 7x+cos2x= -2 6) sin3x+cos3x=1

7) sinx+2sin 2x+3sin3x+4sin 4x=10

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP 
Dạng:

A M A M

B M

B M
A B

ì ³

ï ì =

£ Û

í í =

ỵ
ï =

ỵ

Để sử dụng phương pháp này ta cần chứng minh 2 bất đẳng thức: A ³ M và B £ M. 
Chú ý: Các bất đẳng thức thường dùng:

· Bất đẳng thức lượng giác cơ bản: - £1 sin , cosx x£1; 0 sin , cos£ 2x 2x£1
· Bất đẳng thức Cô–si: Với mọi a, b ³ 0, ta có: a b+ ³2 ab.

· Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với 2 cặp số (a, b) và (x, y) ta có: 
 (ax by+ )2 £(a2+b x2)( 2+y2)

Đặc biệt: (a b+ )2 £2(a2+b2)

Ví dụ: Giải phương trình: sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x (*) 
· Ta có: sinx cosx 2 sin x 2

4
p

ổ ử

+ = ỗ + ữÊ

ố ø

2(2 sin 3 )- x = 2 1 (1 sin3 )

[

+ - x

]

³ 2

Do đó: (*) Û x x k

x l

x

sin 1 4

4 2

sin3 1

6 3
p

p p

ì ỉ ư ï = +

ù ỗ + ữ=

ớ ố ứ ớ

ù = ù = +

ỵ ỵ

(vơ nghiệm)

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) sinx+cosx= 2(2 sin3 )- x 2) (cos 4x-cos2 )x 2= +5 sin 3x

3) 5 sin 3+ 2 x =sinx+2 cosx 4) 2 cos 2+ 2 x =sin 3x-cos3x

Bài 2. Giải các phương trình sau:

1) sinx+ 2 sin- 2x = +2 1 cos 4+ x 2) cos3x+ 2 cos 3- 2 x =2(1 sin 2 )+ 2 x
3) psin x = cosx 4) 3sin x = cosx

5) 2x =sinx2 6) 2 cosx 2x 2 x
3= +

-7) x x x x

2
2

2 cos 2 2

-+ = +

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG 
Dạng: ìíA M B NA B M N£ , £ ÛìíB NA M=

+ = + =

ỵ ỵ

Ví dụ: Giải phương trình: cos7x+sin4x=1 (*) 
· Ta có: x x

x x

7 2

4 2

cos cos
sin sin

ìï £

ïỵ . Suy ra: (*) Û

x x

7 2

4 2

cos cos (1)
sin sin (2)

ìï =

=
ïỵ

Phương trình (1) cho ta éêcoscosxx==10

ë .

– Khi cosx=0 thì sinx= ±1: nghiệm đúng phương trình (2) 
– Khi cosx=1 thì sinx=0: nghiệm đúng phương trình (2)

Vậy (*) Û x x k

x x k

cos 0

cos 1 2

p
p
p

é = Ûê = +

ê = ê

ë ë =

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) sin4x+cos15x=1 2) sin3x+cos3x= -2 sin4x
3) cos13x+sin14x=1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

· Dự đốn nghiệm và sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có 
nghiệm duy nhất.

· Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi 
 a, b Ỵ (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b.

Chú ý: Trong một số trường hợp, ta cần phải dựa vào bảng biến thiên để nhận xét.

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) cosx= +1 x 2) sinx x=

3) cosx 1 x2
2

= - 4) 2sinx cos ,x x 0;
2
p

é ù

= Ỵ ê ú

ë û

5) sinx tanx 2x 0, 0 x
2
p

+ - = £ <

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) cos2x+ -(1 m)cosx m+ -1, xỴ(0; )p

2) x x x x m x

x x

1 1 1

sin cos 1 tan cot , 0;

2 sin cos 2

p

ổ ử ổ ử

+ + + ỗố + + + ữứ= ẻỗố ữứ

3) sin 2x+4(cosx-sin )x =m

4) sin6x+cos6x m= (sin4x+cos )4x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) 1 tan+ x = tan 3 (1 tan )x - x 2) x x x x
x
sin 6
8.cos .cos2 .cos 4

sin

3) 4 cos .cos2 .cos 4x x x + =1 0 4) sinx-2sinx-sin3x =2 2

5) cos4x-cos2x+2sin6x =0 6) cos2x-4 cosx-2 .sinx x x+ 2+ =3 0.

ĐS: 1) x k
8 2

p p

= + 2) x k

14 7

p p

= + 3) x k2 ; x k

2
p

p p p

= + = +

4) vô nghiệm 5) x kp= 6) x = 0

Baøi 2. Giải các phương trình sau:

1) tan 2 .tan 7x x =1 2) sin3x cos3x 2
2

+ =

3) cos .cos .cosx x 3x sin .sin .sinx x 3x 1

2 2 - 2 2 = 2 4)

x x x

x x

3 cos sin 1 1tan
3cos 1 sin 2 2

=
+

-5)

x

x x

x

5cos
2
3 sin tan

cos

- + = 6) log 2 sinx(1 cos ) 2+ x =

ĐS: 1) x k
18 9

p p

= + 2) x k2 ; x k2 , cos 3 1

4 4 4

p p

p a p a

-= + = + + =

3) x k ; x k2 ; x k2 ; x 5 k2

4 2 6 6

p p p p p p p p

= - + = - + = + = +

4) x k= 2 ;p x=2a +k2 (tanp a = 5 1);- x= -2b+k2 (p tgb = 5 1)+

5) vô nghiệm 6) x k2
3

p p

= +
Bài 3. Giải các phương trình sau:

1) tanx+tan 4x =2 tan3x 2) 9cos3 .cos5x x+ =7 9cos3 .cosx x+12 cos 4x
3) sin3x+cos3x = -2 sin .4x 4) sinx cosx 1 sinx thoûa x 3 .

2 2 2 2 4

p p

- = - - £

5) 3 x 9 x

1 log cos 1 log sin

2 2

3 + + 6 9= + 6) sin1994x+cos1994x =1

ĐS: 1) x k ; x k
12 2

p p

p

= = ± + 2) x k2 ; x l2 , cos 2 2 1
3

p p a p a

= + = ± + =

3) x k2
2
p

p

= + 4) x , , 2 , 5

2 2

p p

p p

= 5) x 5 k2

12
p

p

= - + 6) x k

2
p

=
Bài 4. Giải các phương trình sau:

1) 3 sin 3x-2sin2x = 2 3 sin .cos2x x

2) 2 cos13x+3(cos5x+cos3 ) 8cos .cos 4x = x 3 x

3) x x x x

x x

1 cos2 cos5 cos3 2 2 sin
3
2 cos 2 cos 1

+ + + =

-4) x x x x thoûa 1 x

sin .tan 2 + 3(sin - 3.tan 2 ) 3 3= 2 log+ £ 0

5) 3cot2x+4 cos2x-2 3 cotx-4 cosx+ =2 0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

ĐS: 1) x k ; x k2 ; x 2 k2

3 3

p p

p p p

= = + = + 2) x k

12
p

= 3) x k2p=

4) x k ,k 3
6 2

p p

= - + ³ 5) x k2

3
p

p

= +
Bài 5. Tìm m để phương trình:

1) sin 5x m= .sinx có ít nhất một nghiệm x kạ p (k Zẻ ).

2) x x x x m

x x

1 1 1

sin cos 1 tan cot

2 sin cos

ổ ử

+ + + ỗ + + + ữ =

ố ứ cú nghim x 0; 2

p

ổ ử

ẻ ỗ ữ

ố ø.

3) 2sinx-1)(2 cos2x+2sinx m+ ) 3 4 cos= - 2x có đúng 2 nghiệm thuộc

[ ]

0;p .
4) cos4x+ -(1 cos )x 4 = m vô nghiệm.

5) cos3x+sin3x m= .sin .cosx x có nghiệm.
6) sin2x+sin 32 x m- .cos 22 x = 0 có nghiệm.
ĐS: 1) 5 m 5

- £ < 2) m ³2( 2 1)+ 3) m < -1 hay m > 3 hay m =0.

4) m 1 m 17
18

< Ú > 5) " Ỵm R 6) m ³ 0.
Bài 6. Tìm m để phương trình:

1) 3cos2x+2 sinx = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ;
4 4
p p

é ù

-ê ú

ë û.

2) sinx-cosx + 4sin 2x m= có nghiệm.
3) 1 2 cos+ x+ 1 2sin+ x = m có nghiệm.
ĐS: 1) 2) 2 4 m 65.

- £ £ 3) 1+ 3 £ m£ 2 1+ 2 .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

ĐỀ

THI

ĐẠ

I H

Ọ

C

Bài 1. (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2p ) của phương trình:

x x x x

x
cos3 sin 3

5 sin cos2 3

1 2sin 2

ổ + ử

+ = +

ỗ + ữ

ố ứ

HD: iu kin: x m

x n

12
7
12

p p

ỡ

ạ - +

ù
ớ

ù ạ +

ợ

. PT Û 5cosx=2 cos2x+3 Û cosx 1
2

= Û x

x
3
5
3
p

p

é
=
ê
ê
ê =
ë

.

Bài 2. (ĐH 2002B) Giải phương trình: sin 32 x-cos 42 x=sin 52 x-cos 62 x

HD: PT Û cos .sin 9 .sin 2x x x=0 Û sin 2 .sin 9x x=0 Û x k
x k

9
2
p
p

é
=
ê
ê
ê =
êë

.

Bài 3. (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos3x-4 cos2x+3cosx- =4 0

HD: PT Û 4 cos (cos2x x- =2) 0 Û cosx=0 Û x ;x 3 ;x 5 ;x 7

2 2 2 2

p p p p

= = = = .

Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Cho phương trình: x x a

x x

2sin cos 1
sin 2 cos 3

+ +

- + (a là tham số).

1. Giải phương trình khi a 1
3

= .
2. Tìm a để phương trình có nghiệm.
HD: 1) x k

p p

= - + 2) 1 a 2

- £ £ (Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)

Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Giải phương trình: tanx cosx cos2x sin 1 tan .tanx x x
2

ổ ử

+ - = ỗ + ữ

ố ứ.

HD: x k= 2p . Chú ý: Điều kin: ỡớcoscosxxạ01

ạ

-ợ v

x
x

x
1
1 tan .tan

2 cos

+ = .

Bài 6. (ĐH 2002B–db1) Giải phương trình: x

(

x

)

x
x

2
4

2 sin 2 sin3
tan 1

cos

-+ = .

HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û sin3x 1 x k2 ; x 5 k2

2 18 3 18 3

p p p p

= Û = + = + .

Bài 7. (ĐH 2002B–db2) Giải phương trình: x x x

x x

4 4

sin cos 1cot 2 1
5sin 2 2 8sin 2

= - .

HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û cos 22 x 5cos2x 9 0 x k

4 6

p
p

- + = Û = ± + .

Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Giải phương trình: x
x

1 sin
8cos = .
HD: Điều kiện: x

x
cos 0
sin 0

ì ¹

í >
ỵ

PT Û x k2 ; x 3 k2 ; x 5 k2 ; x 7 k2

8 8 8 8

p p p p

= + = + = + = +

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

2 sin

(

4x+cos4x

)

+cos 4x+2sin 2x m- =0 (*)
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2
p

é ù

ê ú

ë û.

HD: 10 m 2
3

- £ £ - .

Đặt t = sin2x. (*) có nghiệm thuộc 0;
2
p

é ù

ê ú

ë û Û f t t t m

( ) 3= - = +2 3 có nghiệm tỴ[0;1]

Bài 10.(ĐH 2003A) Giải phương trình: x x x x

x

cos2 1

cot 1 sin sin 2

1 tan 2

- = +

-+ .

HD: Điều kiện: sinx¹0, cosx¹0, tanx¹ -1.

PT Û (cosx-sin )(1 sin .cosx - x x+sin ) 02x = Û x k
4
p

p

= + .

Baøi 11.(ĐH 2003B) Giải phương trình: x x x

x
2
cot tan 4sin 2

sin 2

- + = .

HD: iu kin: ỡớsincosxxạ00

ạ

ợ . PT Û x x

2 cos 2 -cos2 - =1 0 Û x k
3
p

p

= ± + .

Baøi 12.(ĐH 2003D) Giải phương trình: sin2 x tan2x cos2 x 0

2 4 2

p

ổ ử

- - =

ỗ ữ

ố ứ .

HD: Điều kiện: cosx¹0.

PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0x = Û x k

x k

2
4

p p

p p

é = +
ê

= - +
ê

.

Bài 13.(ĐH 2003A–db1) Giải phương trình: cos2x+cos 2 tanx

(

2 x- =1

)

2.
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0.

PT Û (1 cos )(2 cos+ x 2x-5cosx+2) 0= Û x (2k 1) , x k2
3
p

p p

= + = ± +

Baøi 14.(ĐH 2003A–db2) Giải phương trình: 3 tan tan- x

(

x+2sinx

)

+6 cosx=0.
HD: Điều kiện: cosx ¹ 0. PT Û (1 cos2 )(3cosx 2x sin ) 02x x k

3
p

p

+ - = Û = ± +

Baøi 15.(ĐH 2003B–db1) Giải phương trình: 3cos 4x-8cos6x+2 cos2x+ =3 0.
HD: PT Û cos2 ( 2 cosx 4x 5cos2x 3) 0 x k ,x k

4 2

p p

p

- + - = Û = + =

Bài 16.(ĐH 2003B–db2) Giải phương trình:

(

)

x x

x

2 3 cos 2sin

2 4 1
2 cos 1

p

ổ ử

- - ỗ - ữ

ố ứ =

- .

HD: Điều kiện: cosx 1
2

¹ . PT Û 3 cosx sinx 0 x (2k 1)

p

- + = Û = + +

Bài 17.(ĐH 2003D–db1) Giải phương trình: x

(

x

)

x

x x

cos cos 1 2(1 sin )
sin cos

- = +

+ .

HD: Điều kiện: sin x 0
4
p

ổ ử

+ ạ

ỗ ữ

ố ứ .

PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0x 2 x x k ,x k2
2

p

p p p

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 18.(ĐH 2003D–db2) Giải phương trình: x x x
x
2 cos 4
cot tan

sin 2

= + .

HD: Điều kiện: sin2x ¹ 0. PT Û 2 cos 22 x cos2x 1 0 x k
3
p

p

- - = Û = ± + .

Bài 19.(ĐH 2004B) Giải phương trình: 5sinx- =2 3(1 sin ) tan- x 2x.

HD: Điều kiện: cosx¹0. PT Û 2sin2x+3sinx- =2 0 Û x k

x k

2
6
5 2

6
p

p
p

p

= +
ê

ê = +

.

Baøi 20.(ĐH 2004D) Giải phương trình: (2 cosx-1)(2sinx+cos ) sin 2x = x-sinx.

HD: PT Û (2 cosx-1)(sinx+cos ) 0x = Û x k

x k

2
3
4

p p

p
p

= ± +
ê

ê = - +
ë

.

Bài 21.(ĐH 2004A–db1) Giải phương trình: 4 sin

(

3x+cos3x

)

=cosx+3sinx.
HD: PT Û tan3x-tan2 x-3tanx+ =3 0 Û x k ; x k

4 3

p p p p

= + = ± + .

Baøi 22.(ĐH 2004A–db2) Giải phương trình: 1 sin- x+ 1 cos- x =1.
HD: Đặt u x

v x

1 sin
1 cos

ìï =
-í

-ïỵ . PT Û

u v

u2 2 v2 2
1

(1 ) (1 ) 1

ì + =
í

- + - =

ỵ Û

u
v 10

ì =
í =

ỵ hoặc

u
v 10

ì =
í =
ỵ

Û x k2 ; x k2
2

p

p p

= + = .

Bài 23.(ĐH 2004B–db1) Giải phương trình: x

x x

1 1

2 2 cos

4 sin cos
p

ỉ ư

+ + =

ỗ ữ

ố ứ .

HD: iu kin: ỡớsincosxxạạ00

ợ . PT (cosx-sin )(1 sin 2 ) 0x + x = Û x 4 k

p p

= ± + .

Bài 24.(ĐH 2004B–db2) Giải phương trình: sin 4 .sin 7x x=cos3 .cos6x x.
HD: x k ; x k

20 10 2

p p p

p

= + = + .

Bài 25.(ĐH 2004D–db1) Giải phương trình: 2sin .cos2x x+sin 2 .cosx x=sin 4 .cosx x.
HD: PT Û sin3 (cos2x x- =1) 0 Û x k

3
p

= .

Bài 26.(ĐH 2004D–db2) Giải phương trình: sinx+sin 2x= 3(cosx+cos2 )x .
HD: PT Û x k2 ; x 2 k2

9 3

p p

= + = +

Bài 27.(ĐH 2005A) Giải phương trình: cos 3 .cos22 x x-cos2x=0.
HD: PT Û 2 cos 42 x+cos4x- =3 0 Û x k

2
p

= .

Baøi 28.(ĐH 2005B) Giải phương trình: 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos2x=0.
HD: PT Û (sinx+cos )(2 cosx x+ =1) 0 Û x k ; x 2 k2

4 3

p p

= - + = ± + .

Baøi 29.(ĐH 2005D) Giải phương trình: cos4x sin4x cos x sin 3x 3 0

4 4 2

p p

ổ ử ổ ử

+ + ỗ - ữ ç - ÷- =

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

HD: PT Û sin 22 x+sin 2x- =2 0 Û x k
4

p p

= + .

Bài 30.(ĐH 2005A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p) của phương trình:
4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos2 x 3

2 4

p

æ ử

- = + ỗ - ữ

ố ứ.

HD: PT cos 2x cos( x)
6
p
p
ổ ử
+ =
-ỗ ữ

ố ø Û x x x

5 ; 17 ; 5

18 18 6

p p p

= = = .

Baøi 31.(ĐH 2005A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4
p
ổ ử
- - - =
ỗ ữ
ố ứ .

HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos .sin2x x+3cos .sinx 2x-3cosx-sinx=0
 Xét 2 trường hợp:

a) Nếu cosx=0 thì PT Û x

x x

cos 0

sin sin 0

ì =

í - =

ỵ Û x 2 k

p p

= + .

b) Nếu cosx¹0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x. 
 Khi đó: PT Û x

x
cos 0
tan 1

ì ¹

í =

ỵ Û x 4 k

p p

= + .

Vậy: PT có nghiệm: x k
2
p

p

= + hoặc x k
4
p

p

= + .

Bài 32.(ĐH 2005B–db1) Giải phương trình :sin .cos2x x+cos2x

(

tan2x- +1 2sin

)

3x=0.
HD: Điều kiện: cosx¹0. PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k

x k
2
6
5 2
6
p p
p p
é
= +
ê
ê
ê = +
ë
.

Baøi 33.(ĐH 2005B–db2) Giải phương trình : x x x
x
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
p
ổ + ử- =

-ỗ ữ
ố ứ

HD: Điều kiện: cosx¹0. PT Û tan3x= -1 Û x k
4

p p

= - + .

Baøi 34.(ĐH 2005D–db1) Giải phương trình: x x
x

3 sin

tan 2

2 1 cos
p

ổ ử

- + =

ỗ ữ

ố ứ + .

HD: Điều kiện: sinx¹0. PT Û 2sinx=1 Û x k

x k
2
6
5 2
6
p p
p
p
é
= +
ê
ê
ê = +
ë
.

Baøi 35.(ĐH 2005D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2 0 .

HD: PT Û (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 x
x
1
sin
2
2
sin
4 2
p
ộ
=
ờ

ờ
ổ ử
ờ ỗ - ữ=
ờ ố ø
ë
 Û 
x k
x k
x k
x k
2
6
5 2
6
2
2
2
p
p
p
p
p
p
p p
é
= +
ê
ê
ê = +
ê

ê
= +
ê
ê = +
ë
.

Baøi 36.(ĐH 2006A) Giải phương trình:

(

x x

)

x x
x

6 6

2 cos sin sin .cos 0
2 2sin

+ - =

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

HD: Điều kiện: sinx 2
2

¹ . PT Û 3sin 22 x+sin 2x- =4 0 Û x k
4

p p

= + .

Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x 5 2m
4

p

= + .

Bài 37.(ĐH 2006B) Giải phương trình: cotx sin 1 tan .tanx x x 4
2

ổ ử

+ ỗ + ữ=

ố ứ .

HD: Điều kiện: sinx 0, cosx 0, cosx 0
2

¹ ¹ ¹ .

PT Û x x

x x

cos sin 4

sin +cos = Û x
1
sin 2

= Û x k

x k
12
5
12
p
p
p
p
é
= +
ê
ê
ê = +
ë
.

Bài 38.(ĐH 2006D) Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx- =1 0.
HD: PT Û sin (2 cos2x x+ =1) 0 Û x k

x 2 k2
3
p
p
p
é =
ê

= ± +
ê
ë
.

Bài 39.(ĐH 2006A–db1) Giải phương trình: cos3 .cosx 3x sin3 .sinx 3x 2 3 2
8

- = .

HD: PT Û cos 4x 2
2

= Û x k

16 2

p p

2 x-3

)

=0 Û x k

6 2

p p

= ± + .

Baøi 42.(ĐH 2006B–db2) Giải phương trình: cos2x+ +(1 2 cos )(sinx x-cos ) 0x = .

HD: PT Û (sinx-cos )(cosx x-sinx+ =1) 0 Û

x k
x k
x k

4
2
2
2
p p
p p
p p
é = +
ê
ê
ê = +
ê
ê = +
ë
.

Bài 43.(ĐH 2006D–db1) Giải phương trình: cos3x+sin3x+2sin2x=1.

HD: PT Û (cosx+sin )(1 cos )(sinx - x x+ =1) 0 Û

x k
x k
x k
4
2
2
2
p p
p
p

p
é
= - +
ê
ê =
ê
ê = - +
êë
.

Baøi 44.(ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: 4sin3x+4sin2x+3sin 2x+6 cosx=0.

HD: PT Û (sinx+ -1)( 2 cos2x+3cosx+2) 0= Û x k

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Baøi 45.(ĐH 2007A) Giải phương trình:

(

1 sin+ 2x

)

cosx+ +

(

1 cos2x

)

sinx= +1 sin 2x

HD: PT Û (sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x - x - x = Û

x k
x k
x k
4
2
2
2
p p
p p
p
é
= - +

ê
ê
ê = +
ê
ê =
ë
.

Bài 46.(ĐH 2007B) Giải phương trình: 2sin 22 x+sin 7x- =1 sinx.

HD: PT Û cos 4 2sin3x

(

x- =1) 0

)

Û

x k
x k
x k
8 4
2
18 3
5 2
18 3
p p
p p
p p
é
= +
ê
ê
ê = +
ê
ê

= +
êë
.

Bài 47.(ĐH 2007D) Giải phương trình: x x x

sin cos 3 cos 2

2 2

ổ ử

+ + =

ỗ ữ

ố ứ .

HD: PT Û 1 sin+ x+ 3 cosx=2 Û cos x 1
6 2
p
ổ ử
- =
ỗ ữ
ố ứ 
x k
x k
2

2
2
6
p p
p
p
é
= +
ê
ê
ê = - +
ë

Baøi 48.(ĐH 2007A–db1) Giải phương trình: x x x

x x

1 1

sin 2 sin 2 cot 2
2sin sin 2

+ - - = .

HD: Điều kiện sin 2x¹0. PT Û cos2 2 cosx

(

2x+cosx+ =1

)

0 Û x k
4 2

p p

= + .

Bài 49.(ĐH 2007A–db2) Giải phương trình:

2 cos2x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+ 3 cos )x .
HD: PT Û 2 cos2 x 3cos x 0

6 6

p p

ỉ ư ỉ ư

- - - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ x k

2
3

p
p

= + .

Bài 50.(ĐH 2007B–db1) Giải phương trình: sin 5 cos 2 cos3

2 4 2 4 2

x x x

ổ ử ổ ử

- - - =

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

p p

HD: PT Û cos3x 2 cos x 2 0

2 4
p
ổ ổ ử ử
+ + =
ỗ ç ÷ ÷
è ø
è ø Û 
x k
x k
x k
2
3 3
2
2
2
p p

p p
p p
é = +
ê
ê
ê = +
ê
ê = +
ë
.

Bài 51.(ĐH 2007B–db2) Giải phương trình: x x x x

x x

sin 2 cos2 tan cot
cos + sin = - .
HD: Điều kiện: sin 2x¹0. PT Û cosx= -cos2x Û x k2

3
p

p

= ± + .

Bài 52.(ĐH 2007D–db1) Giải phương trình: 2 2 sin x cosx 1
12
p
ổ ử

- =
ỗ ữ
ố ứ

HD: PT Û sin 2x cos sin5
12 12 12

p p p

æ ử

- = =

ỗ ữ

ố ứ x 4 k hay x 3 k

p p

= + = + .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

HD: Điều kiện: cosx¹0. PT Û (cosx+sin )(cos2x x- =1) 0 Û x k
x k 4

p p

p

= - +
ê

ê =
ë

.

Baøi 54.(ĐH 2008A) Giải phương trình: x

x x

1 1 4sin 7

sin sin 3 4

p
p

ổ ử

+ = ỗ - ữ

ố ứ

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứ

HD: iu kin: sinx 0, sin x 3 0
2

p

ổ ử

ạ ỗ - ữạ

ố ứ .

PT Û x x

x x
1

(sin cos ) 2 2 0
sin cos

ổ ử

+ ỗ + ữ=

ố ứ Û

x k

4
8
5

p p

é = - +
ê

ê = - +
ê

= +

êë

Bài 55.(ĐH 2008B) Giải phương trình: sin3x- 3 cos3x=sin cosx 2x- 3 sin2xcosx.
HD: PT cos2 sinx

(

x+ 3 cosx

)

=0 Û x k ; x k

4 2 3

p p p

p

= + = - + .

Bài 56.(ĐH 2008D) Giải phương trình: 2sin (1 cos2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx.
HD: PT Û (2 cosx+1)(sin 2x- =1) 0 Û x 2 k2 ; x k

3 4

p p p p

= ± + = + .

Bài 57.(ĐH 2008A–db1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; p) của phương trình:
4sin2 x 3 cos2x 1 2 cos2 x 3

2 4

p

ỉ ư

- = + ỗ - ữ

ố ứ.

HD: PT Û -2 cosx= 3 cos2x-sin 2x Û cos 2x cos

(

x

)

p

ổ ử

+ =

-ỗ ữ

ố ứ

x 5 k2 hay x 7 h2

18 3 6

p p p

p

= + = - +

Do xỴ(0; )p nên chỉ chọn x 5 ; x 17 ; x 5

18 18 6

p p p

= = = .

Baøi 58.(ĐH 2008A–db2) Giải phương trình: 2 2 cos3 x 3cosx sinx 0
4

p

ổ ử

- - - =

ỗ ữ

ố ø .

HD: PT Û cos3x+sin3x+3cos .sin2x x+3cos .sinx 2x-3cosx-sinx=0
 Xét 2 trường hợp:

a) Nếu cosx=0 thì PT Û x

x x

cos 0

sin sin 0

ì =

í - =

ỵ Û x 2 k

p p

= + .

b) Nếu cosx¹0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos3x. 
 Khi đó: PT Û x

x
cos 0
tan 1

ì ¹

í =

ỵ Û x 4 k

p p

= + .

Vậy: PT có nghiệm: x k
2
p

p

= + hoặc x k
4
p

p

= + .

Baøi 59.(ĐH 2008B–db1) Giải phương trình: sin cos2x x+cos2x

(

tan2x- +1 2sin

)

3x=0.
HD: Điều kiện: cos 0

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

PT Û 2sin2x+sinx- =1 0 Û x k2 ; x 5 k2

6 6

p p p p

= + = + .

Bài 60.(ĐH 2008B–db2) Giải phương trình: x x x
x
2
2
cos2 1
tan 3tan
2 cos
p
ỉ + ư- =
-ỗ ữ
ố ứ .

HD: iu kin: cosxạ0. PT Û tan3x= -1 Û x k
4

p p

= - + .

Bài 61.(ĐH 2008D–db1) Giải phương trình: x x
x

3 sin

tan 2

2 1 cos
p

ỉ ư

- + =

ỗ ữ

ố ứ + .

HD: iu kin: sinx¹0. PT Û (cosx+1)(2sinx- =1) 0 Û x k

x k
2
6
5 2
6
p
p
p
p
é
= +
ê
ê
ê = +
ë
.

Baøi 62.(ĐH 2008D–db2) Giải phương trình: sin 2x+cos2x+3sinx-cosx- =2 0

HD: PT (2sinx-1)(sinx-cosx- =1) 0 x
x
1
sin
2
2
sin
4 2
p
ộ
=
ờ
ờ
ổ ử
ờ ỗ - ÷=
ê è ø
ë

Û x k2 ; x 5 k2 ; x k2 ; x k2

6 6 2

p p p

p p p p p

= + = + = + = + .

Baøi 63.(ĐH 2009A) Giải phương trình: x x

x x

(1 2sin ) cos 3
(1 2sin )(1 sin )

+ - .

HD: Điều kiện: sinx 1, sinx 1
2

¹ ¹ - .

PT Û cosx- 3 sinx=sin 2x+ 3 cos2x Û cos x cos 2x

3 6

p p

ổ + ử= ổ - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø

Û x k2

18 3

p p

= - + .

Baøi 64.(ĐH 2009B) Giải phương trình: sinx+cos .sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4

(

x+sin3x

)

.
HD: PT Û sin3x+ 3 cos3x=2 cos4x cos 3x cos 4x

6
p
ổ ử
- =
ỗ ÷
è ø Û 
x k
x k
2
6
2
42 7
p p
p p
é
= - +
ê
ê
ê = +
ë
.

Bài 65.(ĐH 2009D) Giải phương trình: 3 cos5x-2sin 3 cos2x x-sinx=0.

HD: PT Û 3cos5x 1sin 5x sinx

2 -2 = sin 3 5x sinx
p
ổ ử
- =
ỗ ữ
ố ø Û 
x k
x k
18 3
6 2
p p
p p
é
= +
ê
ê
ê = - +
ë
.

Bài 66.(ĐH 2010A) Giải phương trình:

x x x

x

(1 sin cos2 )sin 1
4 cos

1 tan 2

p

ổ ử

+ + ỗ + ữ

ố ứ =

HD: Điều kiện: cosx¹0; 1 tan+ x¹0.

PT Û sinx+cos2x=0 Û x k2 ; x 7 k2

6 6

p p

= - + = + .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

HD: PT Û (sinx+cosx+2) cos2x=0 Û x k

4 2

p p

= + .

Baøi 68.(ĐH 2010D) Giải phương trình: sin 2x-cos2x+3sinx-cosx- =1 0.
HD: PT Û (2sinx-1)(cosx+sinx+2) 0= Û x k2 ; x 5 k2

6 6

p p

= + = + .

</div>

Tải Phân dạng phương trình lượng giác - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

<b>CH</b>

<b></b>

<b>NG 0</b>

<b>ÔN T</b>

<b>Ậ</b>

<b>P CÔNG TH</b>

<b>Ứ</b>

<b>C L</b>

<b>ƯỢ</b>

<b>NG GIÁC – </b>

<b>HÀM S</b>

<b>Ố</b>

<b> L</b>

<b>ƯỢ</b>

<b>NG GIÁC </b>

{

}

<b>CH</b>

<b>ƯƠ</b>

<b>NG I</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(