Tài liệu học tập môn toán lớp 11 các dạng bài tập cơ bản (học kỳ 1)

TÀI LIỆU HỌC TẬP

MÔN TOÁN 11
HK1

Họ và tên HS:…………………………..……….Lớp:….....

Năm học 2014-2015
-Lƣu hành nội bộ-


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

MỤC LỤC
Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC .............................. 6
CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. ............................................... 8
Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lƣợng giác: ............................... 8
Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm số lƣợng giác: ............... 10
CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ................................. 10
Vấn đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: .................................... 12
 Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc hai hoặc phƣơng trình đƣa về đƣợc bậc hai
theo một hàm số lƣợng giác: ............................................................ 19
 Vấn đề 3: Phƣơng trình cổ điển (bậc nhất theo sin, cos): ................. 20
 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai ...................... 22
 Vấn đề 5: Phƣơng trình đƣa về dạng tích:...................................... 23
 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phƣơng trình đối xứng: ................................ 24

Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT ................................................ 25
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.

....................................................................................................... 25
 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm: .......................................................... 25
 Vấn đề 2: Hoán vị- tổ hợp- chỉnh hợp: .......................................... 28
 Vấn đề 3: Vận dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán
vị- Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình tổ hợp đơn giản: .................... 35
CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON .................................................. 37
 Vấn đề 1: Khai triển nhị thức Newton:.......................................... 38
 Vấn đề 2: Tìm hệ số, số hạng của nhị thức Newton: ....................... 39
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 2


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

 Vấn đề 3: [Nâng cao] Một số bài toán nâng cao liên quan nhị thức
Newton: ........................................................................................ 41
CHỦ ĐỀ 3: XÁC SUẤT ................................................................. 42

Chƣơng 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ............ 49
CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC....................... 49
CHỦ ĐỀ 2. DÃY SỐ ...................................................................... 52
 Vấn đề 1: Số hạng, số hạng tổng quát của dãy số: .......................... 52
 Vấn đề 2: Dãy số tăng, dãy số giảm: ............................................. 53
 Vấn đề 3: Dãy số bị chặn: ........................................................... 53

Chƣơng 4: PHÉP DỜI HÌNH- PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG ............................................................................... 54
CHỦ ĐỀ 1: PHÉP TỊNH TIẾN: ....................................................... 55
CHỦ ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: ............................................. 57
CHỦ ĐỀ 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:............................................... 59
CHỦ ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ: ............................................................... 60
CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY. ............................................................... 62
BÀI TỔNG HỢP: ........................................................................... 62

Chƣơng 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN . 64
CHỦ ĐỀ 1: GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM ......................................... 67
 Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt phẳng: ...................................... 67
 Vấn đề 2: Các bài tập tìm giao tuyến bằng cách tìm phƣơng giao tuyến:
.................................................................................................... 69
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 3


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

 Vấn đề 3: Giao điểm của đƣờng thẳng với mặt phẳng: .................... 69
CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG .............................................. 72
 Vấn đề 1: Đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng:....................... 72
 Vấn đề 2: Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng:.......................... 73
 Vấn đề 3: Mặt phẳng song song với mặt phẳng: ............................. 74

CHỦ ĐỀ 3: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MỘT MẶT PHẲNG
....................................................................................................... 76
 BÀI TỔNG HỢP ........................................................................... 77

PHỤ LỤC ..................................................................................... 81
Phụ lục 1:ĐỀ ÔN THI GIỮA HK1 ................................................... 81
Đề số 1 ...................................................................................... 82
Đề số 2 ...................................................................................... 83
Đề số 3 ...................................................................................... 83
Đề số 4 ...................................................................................... 84
Đề số 5 ...................................................................................... 85
Đề số 6 ...................................................................................... 85
Phụ lục 2: ĐỀ THI GIỮA HK1 các năm trƣớc.................................... 86
Đề giữa Hk1 năm 2008- 2009 (đề A) ............................................. 86
Đề giữa Hk1 2009- 2010 (đề A).................................................... 86
Đề giữa Hk1 2011- 2012 (đề A).................................................... 87
Phụ lục 3: BỘ ĐỀ ÔN THI HK1 ....................................................... 87
Đề số 1 ...................................................................................... 87
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 4


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Đề số 2 ...................................................................................... 88

Đề số 3 ...................................................................................... 89
Đề số 4 ...................................................................................... 89
Đề số 5 ...................................................................................... 90
Đề số 6 ...................................................................................... 91
Đề số 7 ...................................................................................... 91
Đề số 8 ...................................................................................... 92
Đề số 9 ...................................................................................... 92
Đề số 10 .................................................................................... 93
Đề số 11 .................................................................................... 94
Phụ lục 4: ĐỀ THI HK1 các năm trƣớc.............................................. 94
Đề thi HK 1 năm 2008- 2009 ....................................................... 94
Đề thi HK 1 năm 2009- 2010 (đề A) ............................................. 95
Đề thi HK 1 năm 2010- 2011 (đề A) ............................................. 95
Đề thi HK 1 năm 2011- 2012 (đề A) ............................................. 96

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 5


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG

GIÁC
HỆ THỨC CƠ BẢN

1
sin( x  k 2 )  sin x
sin 2 x  cos2 x  1 ; 1  tan 2 x 
2
cos x cos( x  k 2 )  cosx
,k Z

1
tan( x  k 2 )  tan x
;
1  cot 2 x 

sin 2 x
cot( x  k 2 )  cot x
1
.
;
tan x.cot x  1 hay tan x 
cot x
DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC

sin
GHI NHỚ:
II

I

III

IV

cos

NHẤT CẢ- NHÌ SIN
TAM TAN COT- TỨ COS

cos( x)  cos x;

CUNG ĐỐI
tan( x)   tan x;

sin( x)   sin x;

cot( x)   cot x.

CUNG BÙ

tan(  x)   tan x;

cos(  x)   cos x;
sin(  x)  sin x;

cot(  x)   cot x.

CUNG HƠN KÉM 
tan(  x)  tan x;
cos(  x)   cos x;
cot(  x)  cot x
sin(  x)   sin x;
CUNG PHỤ

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 6


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY





sin(  x)  cos x;
2

tan(  x)  cot x;
2





cos(  x)  sin x;
2

cot(  x)  tan x.
2

GHI NHỚ: cos ĐỐI, sin BÙ, tan cot  , phụ CHÉO.
CÔNG THỨC CỘNG
sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b ;
tan a  tan b
.
tan(a  b) 
1 tan a tan b
cos(a  b)  cos a cos b sin a sin b ;

GHI NHỚ:
Sin thì sincos cossin
Cos thì coscos sinsin dấu trừ
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
sin 2a  2sin a.cos a ;
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a
2 tan a
 2 cos 2 a  1
;
tan 2a 
2
1  tan a
 1  2sin 2 a.
CÔNG THỨC HẠ BẬC
1  cos2a
1  cos2a
;
;
sin 2 a 
tan 2 a 
2

1  cos2a
1  cos2a
1  cos 2a
.
.
cos 2 a 
cot 2 a 
2
1  cos 2a
CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH
ab
a b
;
cos
2
2
ab
a b ;
cosa  cosb  2sin
sin
2
2
cosa  cosb  2cos

ab
a b ;
cos
2
2
ab

a b .
sin a  sin b  2cos
sin
2
2

sin a  sin b  2sin

GHI NHỚ:
Cos cộng cos bằng 2coscos; cos trừ cos ngược dấu 2sinsin;
sin cộng sin bằng 2sincos, sin trừ sin bằng 2cossin
CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG

cos a.cos b 

1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 7


THPT ERNST THÄLMANN

sin a.sin b 

GV. LÊ QUỐC HUY

1
cos(a  b)  cos(a  b)
2

sin a.cos b 

1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
ĐẶC BIỆT:



sin u  cos u  2 sin  u  
4



sin u  cos u  2 sin  u  
4


CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC.
Hàm số sin: Hàm số y  sin x

Hàm số cosin: Hàm số y  cos x

Tập xác định: D= ;

Tập giá trị : [  1;1] ;

Tập xác định: D= ;
Tập giá trị : [  1;1] ;

Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 2
Hàm số tan: Hàm số y  tan x

 Tính chẵn lẻ: Chẵn;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 2
Hàm số cot: Hàm số y  cot x

Tập xác định:

Tập xác định:



D  R \   k , k  Z  ;
2


D  R \ k , k  Z  ;

Tập giá trị: ;
 Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 

Tập giá trị: ;

 Tính chẵn lẻ: Lẻ;
Tuần hoàn với chu kỳ T= 

Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lượng
giác:
 Với A, B là các biểu thức :

y

A
xác định  B  0 ;
B

y  B xác định  B  0 ;

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 8


THPT ERNST THLMANN

GV. Lấ QUC HUY

A 0
A
xỏc nh
;

B
B
B 0
i vi cỏc hm s lng giỏc cn chỳ ý thờm min xỏc nh ca
tan, cot.
y

A

xỏc nh B 0 ;

y

Vớ d 1: Tỡm min xỏc nh ca hm s: y
Gii:

3sin x 2
2sin 5x 1

Hm s cú ngha



5 x 6 k
1
2sin 5 x 1 sin 5 x

2

5 x k

6
sin x
Vớ d 2: y
sin 3 x 2
Gii: Hm s cú ngha sin3x 2 x
Vớ d 3: Phng trỡnh sau cú ngha khi no?

sin 2 x 2cos x sin x 1
0 (1)
tan x 3
Gii:

(I HC KHI D NM 2011)


cos x 0 (ủieu kieọn cuỷa tan)

Phng trỡnh (1) cú ngha


tan x 3 (ủieu kieọn cuỷa maóu)

x k


(k , m ) .

x m
3

Bi 1: Tỡm min xỏc nh ca cỏc hm s:
a. y

1 sin x
;
cos x

d. y = cot ( 3x


);
4

1 sin x
;
1 sin x
2x
);
e.y = sin (
x 1
b. y

Ti liu hc tp Toỏn 11-HK1/2014/2015

c. y tan(2 x
f.y = cot (

Lu hnh ni b lp

6

);

x
);
3 4

Trang 9


THPT ERNST THÄLMANN

g.y =

sin x  1 ;

k.y = cos
n.y =

1 x
;
1 x

3  sin x ;

q.y = tan (2x +



);
3

GV. LÊ QUỐC HUY

tan x
;
sin x  1
cot x
l.y =
;
cos x  1

3
;
sin 3x  sin x
sin x  2
m.y =
;
cos x  1

h. y 

j.y =

1 cos x
;
p.y = sin
sin 2 x
2

r. y 
;
2
cos x  sin2 x
o.y =

1 x
;
1 x

Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm
số lượng giác:
Chú ý: 1  sin u,cos u  1, u 

.

Bài 2:
a.y= 2 sin x  1 ;

b.y = 2 – 3cosx;

c.y = 3 + 2 sinx;

1  4 sin x
;
2
2

d.y = 5 – 4 sin2x cos2x; e.y =

f.y = 2 cos2x – 3 cos2x;


);
3

g.y = 3 – 2 sin x ;

h.y = cosx + cos ( x -

i.y = sinx – cosx;

j.y = 2 sin2x – cos2x;

k. y  5  2cos 2 x sin 2 x ;

l.y = 3 – 4sinx;

m.y = 2 –

n.y = 2 cos ( x +

o.y = 4 sin

x;

cos x ;


3

)  3;

p. y  1  sin( x 2 )  1

CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 10


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Công thức nghiệm thông thƣờng.
u  v  k 2
u  v  k 2
 sin u  sin v  
 cos u  cos v  
u    v  k 2
u  v  k 2
 tan u  tan v  u  v  k
 cot u  cot v  u  v  k
Công thức nghiệm đặc biệt.
 sin u  0  u  k

 tan u  0  u  k
 sin u  1  u 



2

 k 2

 sin u  1  u  
 cos u  0  u 




2

 k 2

 k

2
 cos u  1  u  k 2

 cos u  1  u    k 2

 tan u  1  u 



4

 k

 tan u  1  u  
 cot u  0  u 
 cot u  1  u 


2



4


4

 k

 k
 k

 cot u  1  u  


4

 k

Chú ý:
Giải cot u  a (vôùi a  0) ta biến đổi thành tan u  1/ a rồi dùng máy
tính bấm shift tan ( 1/ a ) suy ra góc  ,chuyển thành tan u  tan v . Còn
cot u  0  cos u  0  u   / 2  k
Nếu bấm shift sin, shift cos, shift tan, mà ra giá trị “xấu” thì dùng
arcsin, arcos, arctan.
Chuyển từ sin sang cos, cos sang sin, tan sang cot hay cot sang tan thì
ta sử dụng công thức “PHỤ CHÉO”.
Làm mất dấu trừ:
 sin(...)  sin[  (...)]
 cos(...)  cos[  (...)]
 tan(...)  tan[  (...)]
 cot(...)  cot[  (...)]
Điều kiện của tan, cot:
tan u
cot u
cos u  0  u   / 2  k

sin u  0  u  k

Nhớ: Cô tang thì khác k /Còn tan chẳng phải nghĩ gì mất công/90
cộng với nửa vòng…là xong!
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 11


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ
bản:
Phƣơng trình sin u  sin v .
Cách
giải
Chú ý

u  v  k 2
sin u  sin v  
,k  Z 
u    v  k 2
 Nếu gặp sin u  a thì tìm v để sin u  a  sin v rồi giải nhƣ
trên
 Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arcsin a

Các
trƣờng
hợp đặc
biệt

Làm mất
dấu trừ


sin u  0  u  k

sin u  1  u     k 2 (k  Z )


2


sin u  1  u   k 2

2
sin u   sin v  sin u  sin(v)
Phƣơng trình cos u  cos v .

Cách
giải
Chú ý

u  v  k 2
cos u  cos v  
k  Z 
u  v  k 2
Nếu gặp cos u  a thì tìm v để cos u  a  cos v rồi giải nhƣ
trên
 Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arccos a

Đặc biệt

Làm mất
dấu trừ



cos u  0  u  2  k


cos u  1  u    k 2 (k  Z )
cos u  1  u  k 2


cos u   cos v  cos u  cos(  v)
Phƣơng trình tan u  tan v .

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 12


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

tan u  tan v  u  v  k  k  Z 

Cách
giải

(Điều kiện: u, v 

Chú ý



 k )
2
Nếu gặp tan u  a thì tìm v để tan u  a  tan v rồi giải nhƣ
trên
Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arctan a

Đặc biệt


 tan u  0  sin u  0  u  k

 tan u  1  u     k
(k  Z )

4


 tan u  1  u   k

4

Làm mất
dấu trừ

tan u   tan v  tan u  tan(v)
Phƣơng trình cot u  cot v .

cot u  cot v  u  v  k  k  Z 

Cách

giải
Chú ý

(Điều kiện: u, v  k )
Nếu gặp cot u  a thì tìm v để cot u  a  cot v rồi giải nhƣ
trên
Nếu góc v không “đẹp”, thì lấy v  arccot a

Đặc biệt



cot u  0  cos u  0  u  2  k

cot u  1  u     k
(k  Z )

4

cot u  1  u    k

4

Làm mất
dấu trừ

cot u   cot v  cot u  cot(v)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 2sin  2 x  300   1  0

Giải:
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 13


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY





2sin  2 x  300   1  0  sin 2 x  300  

sin  2 x  300   sin(300 )

1

2

 2 x  300  300  k 3600
 2 x  300  300  k 3600



0

0
0
0
0
0
0
0
 2 x  30  180  (30 )  k 360
 2 x  180  (30 )  30  k 360

 x  k1800
 2 x  k 3600
.


0
0
0
0
 x  120  k180
 2 x  240  k 360
2

b. cos  2 x 
3


Giải: cos  2 x 



  cos 2 x  0

2 

2 

  cos 2 x  0  cos  2 x    cos 2 x  0
3 
3 



2

2

 2 x  3  2 x  k 2
 k
0 x   3  k 2 (vô lý)

.
 x 

6
2
2

2

2 x 

4 x  
 2 x  k 2
 k 2


3
3

c. tan(450  x)  tan3x  0 (1)
0
0
0
0
0


45  x  90  k180
 x  45  k180
Giải: ĐK: 

0
0
0
0
3x  90  k180


 x  30  k 60

(1)  tan(450  x)   tan3x  tan(450  x)  tan(3x)

 450  x  3x  k1800
0

45
 2 x  45  k180  x  
 k 900
2
0

0

d. cot 2 2 x  3 (2)
Giải: (2)  cot 2 x   3
TH1:

cot 2 x  3  tan 2 x 

1
3

 tan 2 x  tan300

 2 x  300  k1800  x  150  k 900
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 14

THPT ERNST THÄLMANN

TH2:

GV. LÊ QUỐC HUY

cot 2 x   3  tan 2 x  

1
3

 tan 2 x  tan(300 )

 2 x  30  k1800  x  150  k 900
0

e. sin(2 x  300 )  sin(450  2 x)  0
Giải:
sin(2 x  300 )  sin(450  2 x)  0  sin(2 x  300 )   sin(450  2 x)

........
 sin(2 x  300 )  sin(450  2 x)  
........
f. cos(2 x  300 )  cos(450  2 x)  0
Giải: cos(2 x  300 )   cos(450  2 x)  cos(2 x  300 )  cos 1800  (450  2 x)

........
 cos(2 x  300 )  cos(1350  2 x)  
........



g. sin 2 x  cos   x   0
3





Giải: sin 2 x  cos   x   cos   x   sin 2 x
3

3


 cos    x   cos    2 x   ........
3

2

........


h. (1  2sin 2 x)(3  2 cos x)  0
Giải:

1  2sin 2 x  0
1  2sin 2 x  0

(1  2sin 2 x)(3  2 cos x)  0  

3  2 cos sx  0
3  2 cos sx  0

1
sin 2 x   2
1
.....
 sin 2 x    sin 2 x  sin(300 )  

2
.....
 cos x  3 (voâ nghieäm )

2

Bài 3: (sinu=a, cosu=a, tanu=a, cotu=a)
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 15


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

a. 2sin( x  300 )  2  0 ;
c.



b. 1  2 cos(  2 x )  2 ;
4



3  3tan(3x  600 )  0 ; d. 3  3 cot(4 x  )  4 ;
4


2
e. sin  2 x    
;
6
2

f. cos  x  450  

g. cot  3x  450   3  0 ;

h. tan  3x     1 ;
2

i. 3cot  x  1350    3 ;

j. 2sin  3x     3  0 ;

2


k. 3tan  4 x 
5



 3  0;

1
m. cot  2 x  100   
;
3

l. 2 cos( 2 x   )  1  0 ;



p. tan  2 x  70o   3 ;











q. 3 tan( x  )  1  0 ;
4

3

4



o. 2sin(2 x  )  1  0 ;
4

3
;
2

3

4

n. 2cos  3x  1  3  0 ;

r. 2cos (3x – 20o ) +

3 0

x
t. 3cot(  20o )  3  0
3
Bài 4:(sinu=sinv, cosu=cosv, tanu=tanv, cotu=cotv)





s. 2sin 2 x  300  3  0 ;



a. sin(2 x  )  sin x  0 ;
6





c. tan(  x )  tan(3x  )  0 ;
4
3
Bài 5: (Làm mất dấu trừ)
a. sin(2 x  600 )  sin x  0 ;

b. cos3x  cos(600  2 x)  0 ;
d. cot(4 x  1200 )  cot( x  300 )  0



b. cos2 x  cos(  3x )  0 ;
4




c. tan(450  x)  tan(3x  450 )  0 ; d. cot( x  )  cot(3x  )  0
3
6
Bài 6: (Phụ chéo)
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 16


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY



b. cos2 x  sin(  x )  0 ;
4

a. sin( x  1200 )  cos3x  0 ;





c. tan(  2 x )  cot( x  )  0 ;
d. cot(2 x  1350 )  tan( x  1200 )  0
3
4

Bài 7: (Làm mất dấu trừ + Phụ chéo)



b. cos3x  sin(  2 x )  0 ;
4

a. sin(2 x  600 )  cos3x  0 ;





c. tan(  x )  cot(2 x  )  0 ;
d. cot( x  )  tan(3x  )  0
3
4
4
3
Bài 8: (Trƣờng hợp nghiệm đặc biệt)



a. sin(2 x  400 )  0 ;

b. cos(3x  )  0 ;
4


d. cot( x  )  0 ;

4

e. sin(3x 

g. tan(

2
 7x)  1;
3

j. cos(5x  300 )  1 ;



c. tan(  x )  0 ;
3

2
)  1;
3

h. cot(2 x  100 )  1 ;



f. cos(  5x )  1 ;
3



i. sin(4 x  )  1
3
l. cot(2 x 

k. tan(1350  3x )  1 ;

3
)  1 ;
4

Bài 9: (Vô nghiệm)
a. sin( x  700 )  2 ;

b. 2 cos3x  3  0 ;



c. 5  4sin( x  )  0 ;
3


d. cos( x  )  4  0 ; e. 2cos2 x  3  0 ;
f. 3sin( x  700 )  4 .
4
g/ sin x.cos x  1;
h/ cos2 x  sin 2 x  3
Bài 10: (Dùng arc)



a. 3sin(2 x  400 )  2 ;

b. 1  3cos( x  )  0 ;
4




d. 2 cot(2 x  )  4  0 ;
4

c. 4  tan(  3x )  0 ;
3
e. 5cos 2 x  4  0 ;
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

f. 3sin  2 x  450   2 ;
Lưu hành nội bộ lớp

Trang 17


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

g. 3tan 2 x  5  0 ;

h. 6  3cot( x  1350 )  12

Bài 11: (Lấy căn hoặc hạ bậc)
a. sin 2 2 x 

3
;
4

b. cos2 (3x  300 ) 

1
c. tan 2 4 x  ;
3

1
;
2

d. cot 2 (5x   )  3
4

Bài 12: (phƣơng trình tích)
a. cos 2 x.sin 3x  0 ;

b. cos3 4 x.tan x  0 ;

c. sin 3x.cot 6 x  0 ;

d. tan  x  300  .cos  2 x  1500   0 ;





e. 3tan x  3  2sin x  1  0 ;

f.  sin 3x  1 2  sin x   0 ;

g. sin 3x 1  cos 2 2 x   0 ;

h. sin5 2 x  cos x  7  0 ;





i. cos(2 x  300 ) 1  cos2 5x  0 ;

j. (tan2 4 x  1)cos x  0 ;

Bài 13: (Tổng hợp)
a. cos 2 x  cos(1200  2 x)  0 ;

b. cos 4 x  cos3x  0 ;

c. sin 2 x  sin(450  4 x)  0 ;

d. sin 2 x  sin 4 x  0 ;

e. tan 3x.cot 5x  1 ;

f. sin(3x  )  cos2 x  0 ;
4


h. tan  x    cot 2 x  0 ;
3




g. sin  3x    cos2 x  0 ;
4



i. tan  x    cot 2 x  0 ;
3

k.sin (x +
m.cos

2
) = cos3x;
3

x
= – cos (2x – 30o );
2

o. cos3x – sin5x = 0;

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015







j. cot  2 x   .tan  3 x    1 ;
3
4


l. sin(3x 

5

)  cos( 3x  )  0 ;
6
4

n.sin3x – cos2x = 0;
p.tan (


4

 x)  cot 2 x ;

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 18


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

 Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hoặc
phương trình đưa về được bậc hai theo một
hàm số lượng giác:
Dạng: at 2  bt  c  0(a  0) với t  sin u,cos u,tan u,cot u .
Giải nhƣ giải phƣơng trình bậc hai, chú ý điều kiện
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2 x  5sin x  3  0
Giải:

t  1(nhaän)
Đặt t  sin x(1  t  1) , ta có 2t  5t  3  0   3
t  (loaïi)
 2
2

 t  1  sin x  1  x 


2

 k 2 .

b. sin2 x  4 cos x  4  0
Giải:  sin2 x  4 cos x  4  0  1  cos2 x  4 cos x  4  0

 cos x  1(nhaän)
  cos2 x  4 cos x  3  0  
.
cos
x

3(loaï
i
)

Ta có cos x  1  x  k 2 .
Bài 14.
a. 3sin 2 3x  5sin 3x  2=0 ;



b. 2cos2 2 x  5cos 2 x  3  0 ;







c. tan2 ( x  )  4 tan( x  )  3  0 ; d. cot 2 x  1  3 cot x  3  0 ;
3

3
e. tan 4 x  4 tan 2 x  3  0 ;



f. 4sin 2 x  2( 3  1)sin x + 3  0 .





Bài 15. (Chứa sin2 u,cos u ; cos2 u,sin u ) :
a. sin2 2 x  4cos2 x  4  0 ;

b. 2 cos2 2 x  3sin2x  2  0 ;

c. 3sin2 2 x  4  4 cos2 x ;

d. 2 cos2 3x  3sin3x  3 ;

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 19


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

e. sin 2 x  cos x+1=0 ;

f. sin 2 2 x  2cos 2 x 

g. 3cos 2 6 x  8cos3 xsin 3 x 4  0 ;

h. 2cos2 x  3sin x. ;

3
0;
4

i. 6cos2 x  5sin x  2  0 .

Bài 16. (Chứa  cos2u,cos u  ;  cos2u,sin u  ) :
a. cos2 x  4sin x  5 ;
c. 1  cos4 x  cos2 x ;
e. 3cos2 x  sin x  4  0 ;

b. 2cos2 x  1  cos x ;
d. cos4 x  cos2 x  2  0 ;
f. cos2x+9cos x+5=0 ;







Bài 17. Chứa  tan u,cot u  ; 1/ cos2u,tan u ; 1/ sin 2 u,cot u :
a. tan x  2cot x  1  0 ;
b. 3 tan x  6cot x+2 3  3  0 ;
5
3
c.
 9   cot x ; d.
 tan x  5 ; e. tan 2 x  cot 2 x  2
2
sin x
cos2 x







Bài 18. Chứa cos2 u,sin2 u,cos u cos2 u,sin2 u,sin u :
a. cos2 x  sin2 x  3cos x  4  0 ;





b. 2sin2 x  cos2 x   sin x  3 ;



Bài 19. Chứa cos2u,cos2 u,sin u , cos2u,sin 2 u,cos u :

a. cos2 x  cos2 x  4sin x  3 ;
Bài 20.
a. 2sin2

x
 3cos2 x  5  0 ;
2

b. cos2 x  sin2 x  1  2cos x
b. 2 cos2

x
 sin2 x  0 .
2

 Vấn đề 3: Phương trình cổ điển (bậc nhất
theo sin, cos):
Dạng: a sin u  b cos u  c .
Điều kiện có nghiệm: a2  b2  c2
Cách giải: Chia 2 vế cho a 2  b2 , ta đƣợc
a
b
c
sin u 
cos u 
(1)
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 20


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

Sau đó tìm góc  để cos  

a
a 2  b2

c

Khi đó: (1)  cos  sin u  sin  cos u 

b

,sin  

a 2  b2

a 2  b2

.

 sin(u   ) 

c
a 2  b2

Ví dụ: Giải phương trình sin(2 x  100 )  3 cos(2 x  100 )  1
Giải:  a  1; b   3; c  1  a 2  b2  12  ( 3)2  4  12  c2
 Chia hai vế cho

a 2  b2  2 ta được:

1
3
1
sin(2 x  100 ) 
cos(2 x  100 ) 
2
2
2
 cos 600 sin(2 x  100 )  sin 600 cos(2 x 100 ) 





0
0
 sin 2 x  10  60 

1
2

1
2

 2 x  700  300  k 3600
 sin  2 x  70   sin 30  
0
0
0
0
 2 x  70  180  30  k 360
0

0

 2 x  1000  k 3600
 x  500  k1800

.

0
0
0
0
2
x

220

k

360
x

110

k
180


Bài 21 : a. sin x  3 cos x  2 ;

b. 3cos 2 x  3 sin 2 x  3 ;


d. sin(3x  )  1  3 cos(3x  )  0 ;

c.  cos x  sin x   2 ;

3

e. 2 sin    3x   6 cos    3 x   2  0 ;
4



4



g. cos 2 x  3 sin 2 x  2 ;

i. 3 cos( x 

3

f. 2 cos 4 x  6 sin 4 x  2 ;

h. 2  3 cos(300  x)  sin(300  x)  0 ;

2
2
)  3sin( x  )  3 .
3
3

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 21


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phương trình đẳng
cấp bậc hai
Dạng: a sin 2 u  b sin u cos u  c cos2 u  d .
Cách giải: Xét hai trƣờng hợp:
TH1: cos u  0 : sin 2 u  1 . Thay vào phƣơng trình.

TH2: cos u  0 : Chia 2 vế cho cos2 u , đƣa phƣơng trình về phƣơng
d
trình bậc hai theo tan u với chú ý
 d 1  tan 2 u 
2
cos u
Xem ví dụ minh họa sẽ rõ hơn.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 5sin2 x  2sin 2 x  3cos2 x  2
Giải:
5sin2 x  2sin2 x  3cos2 x  2  5sin2 x  4sin x cos x  3cos2 x  2

TH1: cos x  0 : sin2 x  1  cos2 x  1  0  1 .
Thay vào phƣơng trình ta có: 5.1  4.sin x.0  3.0  2 (vô lý)
TH2: cos x  0 : Chia cả hai vế phƣơng trình cho cos2 x :
sin2 x
sin x cos x
cos2 x
2
5
4
3

2
2
2
cos x
cos x
cos x cos2 x

 5tan2 x  4 tan x  3  2(1  tan2 x)
 5tan2 x  4 tan x  3  2  2 tan2 x  0  3tan2 x  4 tan x  1  0


 tan x  1
x   k

4


 tan x  1  
1

3
 x  arctan    k
3



b. 4sin2 3x  6 3 sin3x.cos3x  2 cos2 3x  4
Giải:

TH1: cos3x  0 :ta có sin2 3x  1 . Thay vào đƣợc: 4=4 (đúng).

 k
Giải cos3x  0  3x   k  x  
là nghiệm.
2

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

6

3

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 22


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

TH2: cos3x  0 : Chia 2 vế cho cos2 3x ta đƣợc
sin2 3x
sin 3x.cos3x
cos2 3x
4
4
6 3
2

2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x cos2 3x

 4 tan2 3x  6 3 tan3x  2  4(1  tan2 3x)
 6 3 tan3x  2  4  6 3 tan3x  6  tan 3x 
tan 3 x  tan


6

 3x 


6

 k  x 


18



6
6 3



1
3



k

.
3

Bài 22:

a. cos2 x  3sin x cos x  2sin2 x  0 ;

b. sin2 x  (1  3)sin x cos x  3 cos2 x  0 ;

c. 5sin2 x  2sin 2 x  2  3cos2 x  0 ; d. sin2 2 x  sin 4 x  2 cos2 2 x 

1
;
2

e. 3sin2 3x  3 sin3x.cos3x  cos6 x  1  0 ; f. 2sin 2 2x  sin 2x cos 2x  cos2 2x  2
g. 2sin 2 3x  sin3x cos3x  3cos2 3x  0 ;
i. 2cos2 x  3 3 sin 2 x  4sin 2 x  4 ;

h. 4sin 2 x  2sin 2 x  3cos2 x  1 ;
j. 4cos2 x  3sin x cos x  3  sin 2 x ;

 Vấn đề 5: Phương trình đưa về dạng
tích:
Sau những bƣớc biến đổi thích hợp ta có phƣơng trình dạng:

A  0
A.B  0  
.
B


0

 A1  0

A 0
Mở rộng: A1 . A2 ... An  0   2
...

 An  0
Bài 23:
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 23


THPT ERNST THÄLMANN

GV. LÊ QUỐC HUY

b. sin 2 x  2 cos2 x  0 ;

a. sin 4 x  2 cos2 x  0 ;
c. sin2 (3x 



4



)  cos2 2 x  0 ;

d. 2sin 2 x  2 sin 4 x  0
f. 5cos x  2sin 2x  0 ;

e. sin2 (2 x  )  cos2 3x  1 ;
5
g. tan2 x  2tan x  0 ;

h. 2 cos2 x  cos2 x  2

i. 2sin2 x  3cos2 x  2 ;

j.cos3x – cos4x + cos5x = 0

k. sin 7 x  sin3 x  cos5 x ;

l. cos2 x  sin2 x  sin3x  cos4 x

3x
;
2
o. cos2 x.cos x  1  sin2 x.sin x ;
2

q.sin2(x +
)  sin 2 (2 x  )  0 ;
3

3
s. sin x  2sin3x   sin5x
1
u. sin x.sin 2 x.sin 3x  sin 4 x ;
4

n. cos2 x  sin x  1  0

m.cos2x – cosx = 2 sin2

p. cos x  sin2 x  0
r. tan x  3cot x
t. cos5x.cos x  cos4x
v. sin 4 x  cos 4 x 

1
cos 2 2 x
2

 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phương trình đối
xứng:
Dạng: a(sin x

cos x)

b sin x.cos x

0 (1)

c

Cách giải: Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x 



suy ra t 2  1  2sin x cos x nên ta có sin x cos x 





,  2  t  2
4



t 2 1
.
2

Sau đó thay vào phƣơng trình (1), đƣợc một phƣơng trình theo ẩn t, giải tìm t,
từ đó giải tìm x.
Bài 24:
a. sin x cos x 2sin x.cos x 1 0 ;
b. 3 sin x cos x 4sin x.cos x 0 .
c. 12 sin x cos x

2sin x.cos x 12

e. 3 sin x

cos x

sin x.cos x

g. 2 sin x

cos x

10sin x.cos x

0;

3 ; f.

Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

2;

d. 1 sin x 1 cos x
sin x

2.

cos x

3sin x.cos x

h. sin x cos x

3sin x.cos x

Lưu hành nội bộ lớp

1;
1

Trang 24


THPT ERNST THÄLMANN

i. 4 sin x

cos x

GV. LÊ QUỐC HUY

6sin x.cos x

7

0;

Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT
 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HOÁN
VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP.
 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm:
Qui tắc cộng
Một công việc có thể

đƣợc hoàn thành bằng n
trƣờng hợp khác nhau
(thực hiện xong mỗi
trƣờng hợp là đã thực
hiện xong công việc rồi)

Qui tăc nhân
Một công việc chỉ đƣợc hoàn
thành sau khi trải qua n giai
đoạn (các giai đoạn này có mối
ràng buộc với nhau, thiếu một
giai đoạn nào đó thì công việc
chƣa đƣợc xem là xong)

Trƣờng hợp 1: có m1

Giai đoạn 1: có m1 cách thực

cách thực hiện
Trƣờng hợp 2: có m2

hiện
Giai đoạn 1: có m2 cách thực

Cụ thể cách thực hiện
….
Trƣờng hợp n: có mn

hiện
…

Giai đoạn n: có mn cách thực

Đặc
điểm

Tổng
số cách

cách thực hiện

hiện

m1 + m2 +… mn

m1 . m2 … mn

TH1

Mô
hình

TH2

Xong công việc

Giai
đoạn
1

Giai

đoạn
2

Giai
đoạn
n

Xong
công
việc

THn

Ví dụ 1: Có 12 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển Vật lí khác nhau. Bạn
Nam được chọn một quyển. Hỏi Nam có mấy cách chọn?
Tài liệu học tập Toán 11-HK1/2014/2015

Lưu hành nội bộ lớp

Trang 25