Tổng hợp đề thi học sinh giỏi tập 3

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2
TỔ TOÁN
-----  -----
NGUYỄN VĂN XÁ





TÀI LIỆ
U THAM KH
Ả
O MÔN TOÁN


TẬP BA









MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI




























2009
20092009
2009




Nguyễn Văn Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

1

MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI


1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009
Bài 1 (6 ñiểm)

1/ So sánh hai số 2009
2010
và 2010
2009
.
2/ Tìm giới hạn
2
0 3
3
1 1
lim
3 ( 1 4 1)
2 ( (1 6 ) 1 6 1)
x
x x
x x x
→
 

−
 
+ +
 
+ + + +
 
.
Bài 2 (4 ñiểm)

1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x
2009
+ y
2009
+ z
2009
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của
F = x
2
+ y
2
+ z
2
.
2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng
1 2 1
2009 2010 2009+n
1 1 1 1
...
C C C 2007
n+

+ + + <
.
Bài 3 (4 ñiểm)
Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180
o
và các cạnh bên
SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 .
Bài 4 (4 ñiểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng
2 2 2
1 2 2+ 3
+ - m + n + p
m n p
≤
.
2/ Giải hệ phương trình
3 3 2
3 3 2
3 3 2
( ) 14
( ) 21
( ) 7
x y x y z xyz
y z y z x xyz
z x z x y xyz


+ + + = +

+ + + = −


+ + + = +

.
Bài 5 (2 ñiểm)

1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ
giác ñó.
2/ Cho y = a
0
x + a
1
x
3
+ a
2
x
5
+ … + a
n
x
2n+1
+ … thoả mãn (1 – x
2
)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1).

Tìm các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, …,

a
n
.


2.

KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007

Câu 1:
(4
ñ
i
ể
m)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

3 2 cos cos
3 2 cos cos
3 2 cos cos
x y z
y z x
z x y
+ = +


+ = +


+ = +

.

Trang

1
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

2
Câu 2:

(4
ñ
i
ể
m)
Cho dãy s
ố

{ }
n
x
tho
ả
mãn:
0
3
1 1
3
3 2
n n n
x
x x x
+ +
=



− = +



.
Tìm
lim
n
n
x
→+∞
.
Câu 3:
(4
ñ
i
ể
m)
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
*
+
R
và tho
ả
mãn:
2 2

2
(1) 5
4
( ) ( ) 4 , 0 .
f
f x x f x x x
x
=



− = − ∀ >



Câu 4:
(4
ñ
i
ể
m)

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng cho hình vuông ABCD c
ạ
nh a và
ñ

i
ể
m M thay
ñổ
i. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a m
ỗ
i t
ổ
ng
sau:
1)

T
2
= 2.MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2

.
2)

T
1
= 2.MA + MB + MC + MD.
Câu 5:
(4
ñ
i
ể
m)
Cho t
ậ
p h
ợ
p A =
{
0,1,2,…,2006
}
. M
ộ
t t
ậ
p con T c
ủ
a A
ñượ
c g
ọ

i là t
ậ
p con “ngoan ngoãn” n
ế
u v
ớ
i b
ấ
t
kì x, y
∈
T (có th
ể
x = y) thì | x – y |
∈
T.
1)

Tìm t
ậ
p con “ngoan ngoãn” l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a A và khác A.
2)

Tìm t

ậ
p con “ngoan ngoãn” bé nh
ấ
t c
ủ
a A ch
ứ
a 2002 và 2005.


3. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008
Câu 1:
Tìm a
ñể
t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

2
( )
2
a x
f x
a x
+

=
−
ch
ứ
a t
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

2
1
( )
2 4 2
g x
x x a
=
+ + −
.
Câu 2:

Gi
ả
i h
ệ
PT
4 2 2 3

2 2
1
1
x x y x y
x y x xy

+ − =

− + = −

.
Câu 3:

Cho x
≥
1, y
≥
2, z
≥
3. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th

ứ
c
1 2 3
( , , ) .
yz x zx y xy z
f x y z
xyz
− + − + −
=
Câu 4:

G
ọ
i V, S l
ầ
n l
ượ
t là th
ể
tích và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a kh
ố
i t
ứ
di

ệ
n ABCD. Ch
ứ
ng minh
3
2
288.
S
V
>
Câu 5:

Gi
ả
i PT nghi
ệ
m nguyên
2 2 2 2
8 2 .
x y x y xy
− − =
Câu 6:

Tìm hàm s
ố
kh
ả
vi f : (-1 ; 1)
→

ℝ
th
ỏ
a mãn
( ) ( ) ( ), , ( 1; 1).
1
x y
f x f y f x y
xy
+
+ = ∀ ∈ −
+

Trang

2
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

3


4. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002
Câu 1

Cho hàm s
ố
f(x) có
ñạ
o hàm trên
R
và th
ỏ
a mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x,
∀
x
∈
R
. Tính f

’(0) b
ằ
ng
ñị
nh
ngh
ĩ
a.
Câu 2

1.

Cho
△
ABC. Tìm giá tr

ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c cot cot cot tan tan tan .
2 2 2
A B C
P A B C
= + + + + +
2.

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
3 2
3 2
2000 0
500 0
x xy y

y x y x

− + =

− − =

.
Câu 3

1.

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo k s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2 1 2
(1 )ln 1 0.
2 2 1
k kx
x
kx k

+ −
− − =
− +

2.

Tìm nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình
3
2
1
1
1
1
2
1 1
ln(1 ) ln(1 ) 1 .
x x
x x x
x x
+
+
+ − + = −

Câu 4

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G
ọ
i G là tr
ọ
ng tâm t
ứ
di
ệ
n và x, y,
z, t l
ầ
n l
ượ
t là kho
ả
ng cách t
ừ
G
ñế
n các m
ặ
t ph
ẳ
ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).

a.

Tìm m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, c
ñể
GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t).
b.

G
ọ
i , ,
α β γ
là góc gi
ữ
a các c
ặ
p
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Gi

ả
s
ử

c < b < a . H
ỏ
i ba
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng
os , os , os
a c b c c c
α β γ
có th
ể
d
ự
ng
ñượ
c m
ộ
t tam giác hay không ?


5. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008
Bài 1
Tính g

ầ
n
ñ
úng giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a f(x) = 5x – 3 +
2
10 8
x x
− −
.
Bài 2

Tính g
ầ
n
ñ
úng (
ñế
n

ñộ
, phút, giây) nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình 3cos2x + 4cos3x = 1.
Bài 3
V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N
*
ñặ
t f(n) = (n
2
+ n + 1)
2
+ 1 và a
n
=
(1). (3)...(2 1)
(2). (4)... (2 )
f f n
f f f n
−

. Tính g
ầ
n
ñ
úng 2009a
2008
.
Bài 4
D
ự

ñ
oán lim(
sin
1)
n
n
n
+ .
Bài 5

Gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình

2
3 0
2
x
x
e sinx
− + − = .
Trang

3
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

4
Bài 6

M
ộ
t
ñấ
t n
ướ
c có 80 sân bay mà kho
ả

ng cách gi
ữ
a các c
ặ
p sân bay b
ấ
t kì
ñề
u khác nhau và không có ba
sân bay nào th
ẳ
ng hàng. Cùng m
ộ
t th
ờ
i
ñ
i
ể
m t
ừ
m
ỗ
i sân bay có m
ộ
t chi
ế
c máy bay c
ấ
t cánh và bay

ñế
n
sân bay nào g
ầ
n nh
ấ
t. Trên b
ấ
t kì sân bay nào c
ũ
ng không th
ể
có quá n máy bay bay
ñế
n. Tìm n.
Bài 7
Hình chóp t
ứ
giác
ñề
u có tâm m
ặ
t c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p trùng v
ớ

i tâm m
ặ
t c
ầ
u n
ộ
i ti
ế
p. Tính g
ầ
n
ñ
úng góc
gi
ữ
a m
ặ
t bên và m
ặ
t
ñ
áy.
Bài 8

Gi
ả
i g
ầ
n
ñ

úng h
ệ
ph
ươ
ng trình
( ) 6
( ) 30
( ) 12
xy x y
yz y z
zx z x
+ =


+ =


+ =

.
Bài 9

Trên b
ả
ng có 2008 s
ố

1 2 2008
, ,...,
2008 2008 2008

. M
ỗ
i l
ầ
n xóa
ñ
i hai s
ố
a và b
ở
b
ả
ng
ñ
ó ng
ườ
i ta vi
ế
t vào
b
ả
ng s
ố
(a + b – 2ab). H
ỏ
i sau 2007 l
ầ
n xóa nh
ư
v

ậ
y s
ố
còn l
ạ
i trên b
ả
ng là s
ố
nào ?
Bài 10

Cho hai
ñườ
ng tròn (O
1
; R
1
), (O
2
; R
2
) c
ắ
t nhau. Bi
ế
t r
ằ
ng O
2

n
ằ
m trên (O
1
; R
1
) và di
ệ
n tích ph
ầ
n
chung c
ủ
a hai hình tròn này b
ằ
ng n
ử
a di
ệ
n tích c
ủ
a hình tròn (O
1
; R
1
). Tính g
ầ
n
ñ
úng t

ỉ
s
ố

1
2
R
R
.


6. CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TOÀN QUỐC (2007 – 2008)
Bài 1
Tìm m
ñể
2 3 4 3 ,
x x x
mx x
+ + ≥ + ∀ ∈
R
.
Bài 2

Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy cho
ñườ
ng tròn (C) x

2
+ y
2
-2x – 4y – 20 = 0 và hai
ñ
i
ể
m A(
29
4
;2), B(- 9 ; - 6).
Tìm
ñ
i
ể
m M
∈
(C) sao cho 4MA + 5MB
ñạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 3

Gi
ả

i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m nguyên
2 2
24( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2
x y x y y x
+ + + + + = + +
.
Bài 4

Cho
△
ABC có góc
ˆ
A tù. D
ự
ng
△
ABD vuông cân t
ạ
i D và
△
ACE vuông cân t
ạ
i E sao cho C, D khác
phía so v
ớ
i AB còn B, E cùng phía so v

ớ
i AC. G
ọ
i I, K l
ầ
n l
ượ
t là các tâm
ñườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p
△
ABD và
△
ACE. Tính t
ỉ
s
ố

IK
BC
và góc gi
ữ
a hai
ñườ
ng IK, BC.
Bài 5

Tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy ( )
n
x
cho b
ở
i
1
2
1
1
2
, *.
2 1
n
n
n
x
x
x n N
x
+

≠





= ∀ ∈

−



Trang

4
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang

5
Bài 6
Xác
ñị
nh hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên
R

+
và th
ỏ
a mãn f(x
24
) + f(x
10
) = 2007(x
24
+ x
10
),
∀
x
∈
R
.
Bài 7

Trên bàn có 2007 viên bi g
ồ
m 667 bi xanh, 669 bi
ñỏ
, 671 bi vàng. C
ứ
m
ỗ
i l
ầ
n l

ấ
y
ñ
i 2 viên bi khác
màu, ng
ườ
i ta l
ạ
i thêm vào 2 viên bi có màu còn l
ạ
i. H
ỏ
i có th
ể

ñế
n m
ộ
t lúc nào
ñ
ó trên bàn ch
ỉ
còn các bi
cùng màu hay không ?



7. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000
Bài 1 Cho parabol (P) y = x
2

– 3x + 3.
a – Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua A(1 ;
1
2
) và ti
ế
p xúc v
ớ
i (P).
b – M là
ñ
i
ể
m b
ấ
t kì thu
ộ
c
ñườ
ng th

ẳ
ng y =
1
2
. Ch
ứ
ng minh qua M luôn v
ẽ

ñượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (P) và
hai ti
ế
p tuy
ế
n
ấ
y vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 2
Cho ba s
ố
a, b, c th

ỏ
a mãn
2 2 2
2
1
a b c
ab bc ca

+ + =

+ + =

. Áp d
ụ
ng h
ệ
th
ứ
c VIET ch
ứ
ng minh a, b, c
∈
[-
4
3
;
4
3
].
Bài 3

a)

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
4
128
x y x y
x y

+ + − =


+ =


.
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 5 4

x x m
+ + − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
Bài 4
Cho hình ch
ữ
nh
ậ
t ABCD,
ñ
i
ể
m M b
ấ
t kì. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
. .
MA AD MB BC
=

. b.
. .
MA MC MB MD

=

.
Bài 5
Cho
△
ABC cân (AB = AC) v
ớ
i
ˆ
A = 2
α
, các
ñườ
ng cao AH, BI. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a> sin2
α
= 2sin
α
.cos
α
. b> 1 – cos2
α
= 2sin
2
α

. Suy ra 1 + cos2
α
= 2cos
2
α
.
Bài 1 (1
ñ
i
ể
m) Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

a.
2
2 4
2 3
x x
y
x
− −
=
+
. b.

( )( )( )x a x b x c
y
a b c
+ + +
=
+ −
(a, b, c là
ñộ
dài 3 c
ạ
nh 1 tam giác th
ườ
ng).
Bài 2
(3
ñ
i
ể
m)
a – V
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
2 3 1

y x x
= − +
.
b – Dùng
ñồ
th
ị
trên bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
2 3 0
x x m
− + =
.
Bài 3
(2
ñ
i
ể

m) Tìm k
ñể
ph
ươ
ng trình
2 2
( 5 3) (3 1) 2 0k k x k x− + + − + =
có hai nghi
ệ
m x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn
x
2
= 2x
1
.



8. THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000)
Trang

5
Nguy
ễ

n V
ă
n Xá
ðề thi HSG môn Toán
Trang

6
Bài 4
(2
ñ
i
ể
m) Các c
ạ
nh AB và CD c
ủ
a t
ứ
giác ABCD kéo dài thì vuông góc v
ớ
i nhau. Hãy tính di
ệ
n tích
c
ủ
a t
ứ
giác này n
ế
u AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm.

Bài 5
(2
ñ
i
ể
m) Cho
△
ABC có góc
ˆ
A nh
ọ
n. V
ẽ
ra bên ngoài
△
ABC các tam giác vuông cân
ñỉ
nh A là
△
ABD,
△
ACE. G
ọ
i M là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a BC. Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng AM ⊥DE.


9. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1)
Câu 1 Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a.
3
3
1 2 2 1
x x
+ = − . b.
2
2
1 1
3
x x x x
+ − = + − .

Câu 2
Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình
1.
2 2
4 4
3
17
x xy y
x y

+ + =

+ =

. 2.
12
20
15
xy
yz
zx
=


=


=


. 3.
2 2 2
2 3
2 0
2 3 4 0
x y x y
x y x

− + =

+ + − =

.
Câu 3
Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0 có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ

m x th
ỏ
a mãn 1 < x < 2.
Câu 4
Cho hình vuông ABCD có c
ạ
nh b
ằ
ng 1, hai
ñ
i
ể
m M, N di chuy
ể
n trên AD và CD nh
ư
ng luôn có

∠
MBN = 45
0
. Xác
ñị
nh v
ị
trí c
ủ
a M, N
ñể
di

ệ
n tích
△
MBN
ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu 5
Cho hai
ñườ
ng tròn (O) và (O’),
ñ
i
ể
m M n
ằ
m ngoài c
ả
hai
ñườ
ng tròn này. D

ự
ng
ñườ
ng th
ẳ
ng d
ñ
i
qua M và c
ắ
t c
ả
hai
ñườ
ng tròn (O), (O’) t
ạ
o ra hai dây cung b
ằ
ng nhau.


10. ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001)
Bài 1 Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố

sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+ +
=
+ +
.
Bài 2
Ch
ứ
ng minh
0 0
4cos36 cot7 30' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + .
Bài 3
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
3
2

0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Bài 4 Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m
ọ
i
△
ABC ta có
2 2 2
1 1 1
12
sin sin sin
2 2 2
A B C
+ + ≥ .
Bài 5
Cho tam di
ệ
n vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz l
ấ

y l
ầ
n l
ượ
t các
ñ
i
ể
m A, B, C. G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a
O trên (ABC). G
ọ
i , ,
α β γ
l
ầ
n l
ượ
t là góc g
ữ
a OH v
ớ
i Ox, Oy, Oz. Ch
ứ
ng minh r

ằ
ng
2 2 2
os os os
c c c
α β γ
+ + = 1.
Trang

6
Nguy
ễ
n V
ă
n Xá

ðề thi HSG môn Toán
Trang

7


11. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001)
Bài 1 Cho hàm s
ố
y = x
3
– 6x
2
+ 3(m + 2)x – m – 6.

a/ Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b/ Xác
ñị
nh m
ñể
hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
và các giá tr
ị
c
ự
c tr
ị
cùng d
ấ
u.
Bài 2 Cho m > 1 và ba s
ố

a, b, c th
ỏ
a mãn 0
2 1
a b c
m m m
+ + =
+ +
. Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
2
0
ax bx c
+ + = có nghi
ệ
m (0;1).
x
∈
Bài 3
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
5
2 0
x x

− − = có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
0
x
trên
ñ
o
ạ
n [1 ;2] và
0
9
8
x
>
.
Bài 4

a/ Cho F(-3 ;0) và (
△
) 3x + 25 = 0. Tìm qu
ỹ
tích
ñ
i
ể
m M trong m
ặ

t ph
ẳ
ng sao cho 5FM = 3MK v
ớ
i K là
hình chi
ế
u c
ủ
a M trên (
△
).
b/ Tìm qu
ỹ
tích tâm c
ủ
a
ñườ
ng tròn (C
α
) x
2
+ y
2
– 2xcos
α
+ 4ysin
α
+ 3sin
2

α
- sin
α
+ 1 = 0 (
α
∈
R
).


12. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)
Bài 1 (4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1.

(2
ñ
i
ể
m) sinx(cos2x + cos6x) + cos
2
x = 2.
2.

(2
ñ
i
ể
m)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 20 4 5 15 3 4 12 3
x x x x x x x x x
− + + − + = + +
.
Bài 2
(4
ñ
i
ể
m) Cho dãy (u
n
) th
ỏ
a mãn u
1
= - 2,
1
,
1
n
n

n
u
u n
u
+
= ∈
−
N
*.
1.

Ch
ứ
ng minh u
n
< 0,
∀
n
∈
N
*.
2.

V
ớ
i m
ỗ
i n
∈
N

*
ñặ
t v
n
=
1
n
n
u
u
+
. Ch
ứ
ng minh (v
n
) là m
ộ
t c
ấ
p s
ố
c
ộ
ng và suy ra bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a v

n
và u
n
.
Bài 3
(4
ñ
i
ể
m) Gi
ả
i h
ệ

27 4
1 1 5
4 27 6
1
log log
6
27 4 1
x x
y
x
y x

+ =




− ≥


− ≤



.
Bài 4
(4
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u ba s
ố
nguyên t
ố
t
ạ
o thành m
ộ
t c
ấ
p s

ố
c
ộ
ng có công sai không chia
h
ế
t cho 6 thì s
ố
bé nh
ấ
t trong chúng là 3.
Bài 5 (4
ñ
i
ể
m) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th
ể
tích b
ằ
ng 1cm
3
. Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng SA, SB, SC
ñ
ôi m
ộ

t vuông góc.
Trang

7