Đề thi môn toán 2004

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG

Đề thi tuyển sinh chương trình Đào tạo Kỹ sư Tài năng và Ks. Chất lượng cao 2004
Môn thi: Toán học
(Thời gian: 90 phút)

Bài 1.
Tìm các số a, b, c sao cho
1
52)14()5(
)3()15()2(
lim
2444
232323
=
++++−−
+−−++−
±∞→
xxxcbxxxa
xxcxxbxxa
x


Bài 2.
Chứng minh rằng với mọi tham số m, phương trình
0)1(9
23
=−−− xmxx
luôn có 3 nghiệm.

Bài 3.
f(x) là một hàm số xác định trên đoạn [0,1], lấy giá trị trên đoạn [0,1], thỏa mãn điều kiện
]1,0[, ,)()(
212121
∈∀−<− xxxxxfxf

Chứng minh rằng tồn tại một điểm duy nhất ]1,0[
0
∈x sao cho
.)(
00
xxf =


Bài 4.
a) Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(

b) Chứng minh rằng nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn
điều kiện f(a) = f(b) = 0 thì
,
4
)(
)(

2
M
ab
dxxf
b
a
−
≤
∫

trong đó
)(max xfM
bxa
′
=
≤≤

Khi nào xảy ra dấu đẳng thức ?