Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------------------------

NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC
VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------------------------------

NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC
VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU
Chun ngành: Hình học và tơpơ
Mã số: 62.46.10.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Hà Huy Vui
TS. Phó Đức Tài

HÀ NỘI-2011


Mục lục

Mục lục

1

Mở đầu

3

1

Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với
thớ một chiều

12

1.1

Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . .

12

1.2

Một nhận xét về bài tốn đặc trưng giá trị tới hạn tại vơ hạn của các
cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều . . . . . . . . .

2

3

17

Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một mặt đại số và của ánh xạ đa
thức từ Cn vào Cn−1

22

2.1

Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt . . . . . . .

35

2.3

Tô pô của thớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Tô pô của hàm hữu tỷ hai biến phức

45

3.1

Các giá trị rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.2

Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . . . .

53

1


3.2.1

Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler . . . . . . . . . . .

54

3.2.2

Điều kiện Malgrange và điều kiện M-tame . . . . . . . .

62

3.2.3

Điều kiện Fedoryuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh của ánh xạ đa thức

70

Kết luận

79

Danh mục cơng trình của tác giả liên quan đến luận án

80

Tài liệu tham khảo

81

2


Mở đầu
Việc nghiên cứu các tính chất tơ pơ của các đa tạp đại số có thể chia thành hai
mảng đề tài:
(i) Nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh;

(ii) Nghiên cứu các đa tạp affine.
Thành tựu cơ bản của các nghiên cứu về mảng đề tài thứ nhất là lý thuyết Lefschetz. Bằng cách khảo sát các Lefschetz pencil, cụ thể là thông qua việc mô tả tô
pô của thớ tổng qt và mơ tả các tốn tử đơn đạo quanh các thớ đặc biệt - mà ở
đây chính là các thớ có kỳ dị, các tính chất tơ pơ của các đa tạp xạ ảnh đã được hiểu
khá rõ ([10], [38], [36]).
Với mảng đề tài thứ hai, như nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đã nhận xét, tình
hình là rất khác. Còn nhiều câu hỏi về các đa tạp affine và các ánh xạ đa thức vẫn
chưa có câu trả lời, ngay cả cho trường hợp hai biến.
Cái tương tự của Lefschetz pencil trong trường hợp affine là phân thớ Milnor
toàn cục. Từ một kết quả rất tổng quát của R. Thom ([43]), nếu f là một ánh xạ đa
thức từ một tập đại số không kỳ dị V vào khơng gian Ck thì f xác định một phân
thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ ngoài một tập đại số B của khơng gian đích Ck .
Đó là phân thớ Milnor tồn cục. Do tính khơng compact của không gian Cn , ở đây
xuất hiện một hiện tượng mà ta khơng gặp khi nghiên cứu Lefschetz pencil, đó là
hiện tượng kỳ dị ở vô hạn. Một thớ f −1 (t0 ) là thớ đặc biệt khơng chỉ vì nó chứa một
điểm kỳ dị, mà cịn do ánh xạ f không xác định một phân thớ tầm thường trong
mọi lân cận của điểm vô hạn của thớ f −1 (t0 ). Bởi vậy, ngoài các giá trị tới hạn, tập

3


B cịn chứa các giá trị tới hạn tại vơ hạn.
Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu các tính chất tơ pơ
của các tập đại số affine, một trong những bài toán đầu tiên cần phải giải quyết là
Đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn.
Mặc dù trong khoảng gần 30 năm trở lại đây rất nhiều nhà toán học đã nghiên
cứu bài toán này, nhưng cho đến nay đây vẫn cịn là một bài tốn mở. Ngay cả khi
V là toàn bộ Cn và f là ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta vẫn chưa biết cách trả
lời, ngoại trừ đối với một ít trường hợp đặc biệt mà ta sẽ liệt kê dưới đây.
Khi V = C2 và k = 1, tức là f là một đa thức hai biến phức, các giá trị tới hạn tại

vô hạn được đặc trưng theo nhiều cách khác nhau. Đầu tiên là kết quả của Hà Huy
Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) và M. Suzuki ([42]), nói rằng giá trị t là giá trị tới hạn
tại vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler
của thớ tổng quát. Sau đó Hà Huy Vui ([44]) đưa ra khái niệm số mũ Lojasiewicz
tại vô hạn của thớ và chứng minh ba điều kiện sau là tương đương:
(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;
(ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn 0;
(iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn −1.
Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu điều kiện
Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn.
Khi V = Cn , n > 2 và k = 1, trong [30] M. Tibar chỉ ra rằng tiêu chuẩn thông
qua đặc trưng Euler nói chung khơng cịn đúng. Cũng bằng các ví dụ cụ thể, L.
Paunescu và A. Zaharia ([32]) đã chứng tỏ rằng các đặc trưng thông qua số mũ
Lojasiewicz như trong trường hợp hai biến là khơng cịn đúng.
A. Parusinski đã thực hiện được một bước đột phá khi tìm cách khai thác được
một ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C, đó là tất cả các đa thức
hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Trong [24], với giả thiết đa thức f : Cn → C
chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, A. Parusinski đã chứng minh được rằng
ba điều kiện sau là tương đương:
4


(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;
(ii) đặc trưng Euler của thớ f −1 (t) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát;
(iii) số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f −1 (t) nhỏ hơn −1.
Luận án này tìm cách khai thác một ưu điểm khác của trường hợp các ánh xạ
từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức bằng một. Trong luận án này chúng tôi
nghiên cứu các cấu xạ từ M vào N, với M, N là các tập đại số không kỳ dị và
dimM = dimN + 1. Điểm chung của các ánh xạ này với các đa thức hai biến là thớ
tổng quát đều là các đường cong. Với điều kiện này ta hy vọng rằng các kết quả của

trường hợp C2 vào C có thể mở rộng được cho lớp các ánh xạ đang xét.
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các ánh xạ trong các tình huống sau:
1. Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 ;
2. Hạn chế của một đa thức trên một mặt đại số không kỳ dị trong Cn ;
3. Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức là các ánh xạ có dạng gf : C2 \ {g = 0} → C
với f, g là những đa thức hai biến phức.
Một nội dung khác của luận án là đưa ra mối quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn
tại vô hạn của một ánh xạ đa thức với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá
trị mà tại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame.
Luận án gồm 3 Chương và 1 Phụ lục.
Chương 1 gồm hai phần. Trong phần đầu, chúng tơi giới thiệu bài tốn đặc trưng
các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết. Kết quả
chính của Chương 1 được trình bày trong phần thứ hai. Theo định lý của Hà Huy
Vui - Lê Dũng Tráng và M. Suzuki, có thể đặc trưng các giá trị tới hạn của đa thức
hai biến thông qua một bất biến tơ pơ là đặc trưng Euler. Kết quả chính của chương
này nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ
là một chiều thì một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi địa
phương tại t0 thì F xác định một phân thớ tầm thường tô pô. Như vậy, nếu F là một
5


cấu xạ có thớ một chiều (phức) thì về bản chất, bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn
tại vơ hạn của F vẫn cịn là một bài tốn tơ pơ: nếu có phép tầm thường hóa của F
cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.
Kết quả chính của Chương này được trình bày trong bài báo [28]. Định lý chính
của Chương là như sau:
Định lý (xem Định lý 1.2.1). Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ Cn là các
tập đại số phức không kỳ dị sao cho dimM = dimN + 1 và t0 ∈ N là một giá trị
chính qui của F. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 là giá trị chính qui tại vơ hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0 và một
vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ
Φ/

F −1 (D)

F −1 (t0 ) × D

F

' 

pr2

D

giao hốn.
(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t0 , tức là tồn tại lân cận D của t0 và một
đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ
Φ/

F −1 (D)

F −1 (t0 ) × D

F

' 

pr2

D

giao hốn.
Trong Chương 2 chúng tơi nghiên cứu bài tốn đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các ánh xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp sau:
(a) F = (F1 , F2 , . . . , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 là một ánh xạ đa thức;
(b) F = g|V là hạn chế của hàm đa thức g : Cn → C lên V, trong đó V ⊂ Cn là
một mặt đại số khơng kỳ dị, tức là V = {x ∈ Cn : g1 (x) = g2 (x) = · · · = gn−2 (x) = 0}
là tập đại số không kỳ dị và dimC V = 2.
Cho t0 là một giá trị chính qui của F. Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thớ F −1 (t) là
một tập đại số phức một chiều không kỳ dị.
6


Hàm tuyến tính L : Cn → C được gọi là một phép chiếu tốt đối với t0 nếu tồn tại
lân cận đủ nhỏ D của t0 sao cho với mọi t ∈ D ta có
i) ánh xạ hạn chế Lt : F −1 (t) → C là riêng và
ii) số dL (F −1 (t)) := #Lt−1 (A), trong đó A là một giá trị chính qui của Lt , khơng
phụ thuộc vào t.
Các kết quả chính của Chương là:
Định lý (xem Định lý 2.1.7). Cho F = (F1 , F2 , . . . , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 là một ánh
xạ đa thức. Cho t0 là một giá trị chính qui của F. Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt
đối với t0 . Khi đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của
thớ F −1 (t0 ) lớn hơn đặc trưng Euler của thớ tổng quát.
Định lý (xem Định lý 2.1.8). Cho F = g|V : V → C là hạn chế của g lên V, trong
đó V ⊂ Cn là một mặt đại số khơng kỳ dị và g là một đa thức n biến. Cho t0 là một
giá trị chính qui của F. Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 . Khi đó, t0 là
giá trị tới hạn tại vơ hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F −1 (t0 ) lớn hơn đặc
trưng Euler của thớ tổng quát.

Các Định lý này cho phép mô tả sự thay đổi tô pô giữa thớ tổng quát và thớ ứng
với kỳ dị tại vô hạn.
Cho V là một tập con của Cn . Ta định nghĩa một phép gắn k đoạn lên V là một
ánh xạ liên tục φ : U := ∪i=1,...,k [ai , bi ] → Cn thỏa mãn
• φ((ai , bi )) vi phơi với (0, 1),
• φ(ai ) = φ(a1 ) với mọi i,
• với mọi a

b ta có φ(a)

φ(b) hoặc a, b ∈ {ai , i = 1, ..., k},

• φ(U) ∩ V = {φ(b1 ), . . . , φ(bk )}.
Đặt V = V ∪ φ(U). Ta nói rằng V nhận được từ V bởi một phép gắn k đoạn
thẳng.
7


Định lý (xem Định lý 2.3.7). Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong
hai trường hợp (a) hoặc (b). Cho t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F. Giả sử
rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 . Khi đó, sai khác một tương đương đồng luân
thì thớ tổng quát F −1 (t) nhận được từ thớ đặc biệt F −1 (t0 ) sau s phép gắn, trong đó
s là số điểm tới hạn của Lt chạy ra vô hạn khi t → t0 .
Cũng trong chương này chúng tôi đưa ra các ví dụ chứng tỏ các tiêu chuẩn thơng
qua các số Lojasiewicz của một giá trị tới hạn tại vô hạn mặc dù đúng với trường
hợp ánh xạ từ C2 vào C, nhưng sẽ khơng cịn đúng với các trường hợp (a) và (b).
Nội dung của Chương 2 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([33], [34]).
Trong Chương 3 chúng tơi nghiên cứu bài tốn đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các hàm hữu tỷ hai biến phức.
Cho P : Cn → C là một ánh xạ đa thức và z ∈ Cn là một điểm kỳ dị cơ lập của

P. Khi đó, số Milnor của P tại z được định nghĩa là
µz (P) := dimC Oz /(

∂P
∂P
,...,
),
∂x1
∂xn

∂P
∂P
với Oz là vành các chuỗi lũy thừa hội tụ tại z và ( ∂x
, . . . , ∂x
) là iđêan sinh bởi
1
n
∂P
∂P
∂x1 , . . . , ∂xn .

Cho F = gf : C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó f, g ∈ C[x, y] khơng
có nhân tử chung khác hằng. Theo Định lý phân thớ Thom hàm hữu tỷ F cũng là
một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ bên ngoài một tập hữu hạn B(F) ⊂ C.
Đặt A(F) := {(x, y) ∈ C2 : f (x, y) = g(x, y) = 0}. Ký hiệu K0 (F) là tập các giá
trị chính qui của F và K1 (F) là tập hợp các giá trị t0 ∈ C \ K0 (F) sao cho tồn tại
p ∈ A(F) để µ p ( f − t0 g)

µ p ( f − tg) với mọi t khác và đủ gần t0 .

Ta có
Định lý (xem Định lý 3.1.10). Cho F =

f
g

: C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ.

Giả sử deg f > deg g. Khi đó
B(F) = K0 (F) ∪ B∞ (F) ∪ K1 (F).

8


Định lý (xem Định lý 3.2.9). Cho F =

f
g

: C2 \{g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong

đó f, g ∈ C[x, y] khơng có nhân tử chung khác hằng. Giả sử t0 ∈ C\(K0 (F)∪K1 (F))
sao cho deg( f − t0 g) = max{deg f, deg g}. Khi đó, hai khẳng định sau là tương
đương:
(i) t0 ∈ B∞ (F);
(ii) tồn tại tập compact K ⊂ C2 , sao cho
χ(F −1 (t0 ) \ K) > χ(F −1 (t) \ K)
với mọi t đủ tổng quát.
Định lý (xem Định lý 3.2.10). Cho F =

f
g

: C2 \ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ,

trong đó f, g ∈ C[x, y] và khơng có nhân tử chung khác hằng.
Cho t0 ∈ C \ (K0 (F) ∪ K1 (F)) thỏa mãn
deg( f − t0 g) = deg x ( f − t0 g) = max{deg f, deg g}.
Khi đó t0 ∈ B∞ (F) khi và chỉ khi χ({ f − t0 g = 0}) > χ({ f − tg = 0}), với mọi t đủ
tổng quát.
Hàm hữu tỷ F được gọi là thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t ∈ C nếu không
n
tồn tại dãy {xk }∞
k=0 ⊂ C , xk → ∞, mà F(xk ) → t và xk · grad F(xk ) → 0. Tương

tự, hàm F được gọi là thỏa mãn điều kiện M-tame tại t ∈ C nếu không tồn tại các
∞
n
dãy {λk }∞
k=0 ⊂ C và {xk }k=0 ⊂ C mà xk → ∞, F(xk ) → t và grad F(xk ) = λk xk .

Định lý (xem Định lý 3.2.18). Cho hàm hữu tỷ F = gf : C2 \ {g = 0} → C, trong đó
f, g ∈ C[x, y] và deg f > deg g. Cho t0 ∈ C \ (K0 (F) ∪ K1 (F)). Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) t0 ∈ B∞ (F);
(ii) F không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t0 ;
(iii) F không thỏa mãn điều kiện M-tame tại t0 .
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [29].
9

Trong phần Phụ lục chúng tôi đưa ra một quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn tại
vô hạn với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị mà tại đó ánh xạ khơng
thỏa mãn điều kiện M-tame.
Cho F : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức. Nhắc lại rằng B∞ (F) là tập các giá trị
tới hạn tại vô hạn và K0 (F) là tập các giá trị tới hạn của F.
Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : Cn → Cm đặt ν(A) := inf {ω∈Cm : ω =1} Aω . Ký
hiệu K∞ (F) là tập hợp các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại một dãy xl → ∞ thỏa mãn
F(xl ) → t và xl · ν(dF(xl )) → 0. Các phần tử của K∞ (F) được gọi là các giá trị
tới hạn tiệm cận của F.
Ánh xạ F được gọi là M-tame tại t ∈ Cm nếu không tồn tại dãy {pk }∞
k=1 sao cho


 J(F)
 ≤ m,
pk → ∞, F(pk ) → t và rank 
pk
trong đó J(F) là ma trận Jacobi của F. Ký hiệu M∞ (F) là tập hợp các giá trị t ∈ Cm
mà F không là M-tame tại t.
Định lý (xem Định lý A.2). Cho F : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức. Khi đó
B(F) ⊆ K0 (F) ∪ M∞ (F) ⊆ K0 (F) ∪ K∞ (F).
Cho đa thức f (x) =

β∈Zn≥0 cβ x

β

. Ký hiệu supp( f ) = {β | cβ

0}. Đa diện Newton

Γ− ( f ) được định nghĩa là bao lồi của tập {(0, 0, . . . , 0)} ∪ supp( f ) ⊂ Rn . Ký hiệu
Γ( f ) là hợp của các mặt đóng của Γ− ( f ) mà không chứa (0, 0, . . . , 0) ∈ Rn . Với mỗi
mặt γ đặt
cβ x β .

fγ =
β∈γ

Gọi supp( f ) là tổ hợp lồi của tập supp( f ) \ {0}. Một mặt đóng ∆ của supp( f ) được
gọi là xấu nếu:
(i) gốc tọa độ thuộc không gian affine nhỏ nhất chứa ∆, và
(ii) tồn tại một siêu phẳng H = {x ∈ Rn : a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0}, sao cho:
(iia ) tồn tại i và j để ai · a j < 0, và
10


(iib ) H ∩ supp( f ) = ∆.
Về mặt hình học, điều kiện (iia ) có nghĩa là siêu phẳng H có điểm chung với Rn+ .
Ta ký hiệu B( f ) là tập hợp các mặt xấu của supp( f ).
Cho F = (F1 , F2 , . . . , Fm ) : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức. Ánh xạ F được gọi
là không suy biến (theo đa diện Newton) nếu
{a : rank(J((Fi )γi )(a) < m} ∩ (C∗ )n = ∅
với mọi i = 1, . . . , n và với mọi mặt đóng γi của Γ(Fi ).
Giả sử ∆ = (∆1 , ∆2 , . . . , ∆m ), trong đó ∆i ∈ B(Fi ), ∀i = 1, . . . , m. Ký hiệu Σ0 (F∆ )
là tập hợp tất cả các giá trị (F1∆1 (z0 ), F2∆2 (z0 ), . . . , Fm ∆m (z0 )) ∈ Cm mà z0 ∈ (C∗ )n và
rank(J((Fi )γi )(z0 )) < m. Đặt
Σ∞ (F) := ∪∆∈B(F1 )×B(F2 )×...×B(Fm ) Σ0 (F∆ ).
Khi đó, ta có

Định lý (xem các định lý A.6 và A.7). Cho F = (F1 , F2 , . . . , Fm ) : Cn → Cm là một
ánh xạ đa thức không suy biến. Khi đó
m
i
M∞ (F) ⊂ Σ∞ (F) ∪ ∪m
i=1 {t ∈ C : t = F i (0, 0, . . . , 0)}

và bởi vậy
m
i
B∞ (F) ⊂ Σ∞ (F) ∪ ∪m
i=1 {t ∈ C : t = F i (0, 0, . . . , 0)} .

Trong bao hàm thức trên B(F) là một tập rất khó đặc trưng, trong khi Σ∞ (F)
được xây dựng một cách khá tường minh thông qua những tính chất tổ hợp của đa
thức.

11


Chương 1
Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ
giữa các tập đại số phức với thớ một chiều
Chương này bắt đầu bằng việc nhắc lại các kết quả đã biết về bài toán đặc trưng
các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ phức. Một điều đáng chú ý là trong tất
cả các trường hợp đã biết, các giá trị tới hạn tại vô hạn đều được đặc trưng qua một
bất biến tô pô là số Euler. Kết quả chính của Chương là Định lý 1.2.1, nói rằng nếu
F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức khơng kỳ dị và có thớ là một chiều thì một
giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi F xác định một phân thớ
tầm thường tô pơ trong một lân cận nào đó của t0 . Như vậy về bản chất, đối với cấu

xạ có thớ một chiều (phức), bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vơ hạn vẫn cịn
là một bài tốn tơ pơ: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên
tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.

1.1

Bài tốn đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn

Trong mục này, ta giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của
các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M1 , M2 là các đa tạp trơn và F : M1 → M2 là một ánh xạ
khả vi. Ánh xạ F được gọi là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ nếu với
12


mọi t ∈ M2 , tồn tại lân cận D của t và vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t) × D sao cho sơ
đồ sau giao hốn
F −1 (D)

Φ/

F −1 (t) × D.

F

' 

pr2

D

Định nghĩa 1.1.2. Cho M1 ⊂ Cn và M2 ⊂ Cm là các tập đại số. Ánh xạ F : M1 →
M2 được gọi là một cấu xạ nếu tồn tại một ánh xạ đa thức h : Cn → Cm , sao cho
F(a) = h(a) với mọi a ∈ M1 .
Định lý 1.1.3 (Thom, [43]). Cho M, N ⊂ Cn là các tập đại số không kỳ dị và
F : M → N là một cấu xạ. Khi đó, tồn tại tập đại số A ⊂ N với dimA < dimN sao
cho ánh xạ hạn chế
F : M \ F −1 (A) → N \ A
xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ .
Ký hiệu B(F) là tập nhỏ nhất trong các tập A nói trên. Các phần tử của B(F)
được gọi là các giá trị rẽ nhánh của F.
Ví dụ 1.1.4. Cho F : C2 → C, (x, y) → xy. Khi đó (0, 0) là điểm tới hạn duy nhất
của F và giá trị tới hạn tương ứng là F(0, 0) = 0. Ta thấy F −1 (0)
F −1 (t)

C∗ đối với t

C ∪ C và

0. Do đó 0 ∈ B(F).

Hơn nữa F là một phân thớ tầm thường địa phương trên D := C \ {0} với phép
tầm thường hóa
Φ : F −1 (D) → F −1 (t) × D
(x, s/x) → (x, t/x, s),
trong đó t

0 tùy ý.

Vậy B(F) = {0}.

Ví dụ 1.1.5 (xem [5]). Xét F : C2 → C, (x, y) → x2 y − x. Dễ thấy F khơng có điểm
tới hạn. Ta sẽ chứng tỏ rằng B(F) = {0}.
Thật vậy, kiểm tra rằng F −1 (0)

C C∗ . Trong khi đó, nếu t

phơi với C∗ và F là tầm thường địa phương tại t.
13

0 thì F −1 (t) đồng


Vậy B(F) = {0}.
Nhận xét 1.1.6. Ở Ví dụ 1.1.5, với R đủ lớn tập F −1 (t) ∩ BR của F −1 (t) với quả cầu
đóng BR đồng phơi với F −1 (0) ∩ BR nhưng F −1 (t) \ BR và F −1 (0) \ BR có số thành
phần liên thông khác nhau. Ở đây, sự khác biệt về tô pô giữa F −1 (t) và F −1 (0) "xảy
ra" trong lân cận của điểm vô hạn.
Định nghĩa 1.1.7 ([22]). Cho M1 ⊂ Cn , M2 ⊂ Cm là các tập đại số không kỳ dị,
F : M1 → M2 là một cấu xạ và t0 ∈ M2 .
(i) Ta nói rằng t0 là một giá trị chính qui tại vô hạn của F nếu tồn tại một tập
compact K trong Cn và tồn tại lân cận D của t0 trong M2 sao cho ánh xạ hạn chế
F : F −1 (D) \ K → D
xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ .
(ii) Giá trị t0 được gọi là giá trị tới hạn tại vô hạn của F nếu t0 không phải là giá
trị chính qui tại vơ hạn của F.
Ta ký hiệu K0 (F) là tập các giá trị tới hạn và B∞ (F) là tập các giá trị tới hạn tại
vô hạn của F. Khi đó
B(F) = K0 (F) ∪ B∞ (F).
Nói cách khác, tập các giá trị rẽ nhánh bao gồm:
(i) các giá trị tới hạn của F;

(ii) các giá trị tới hạn tại vô hạn của F.
Việc nghiên cứu các tính chất tơ pơ của các cấu xạ F : M → N giữa các tập đại số
không kỳ dị, theo một nghĩa nào đó, là nghiên cứu phân thớ
F : M \ F −1 (B(F)) → N \ B(F).
Bởi vậy, một trong những vấn đề đầu tiên cần được giải quyết là:
Bài toán 1.1.8. Đặc trưng các giá trị t0 ∈ B∞ (F)?
14


Cho tới nay đây vẫn cịn là một bài tốn mở. Ta chỉ có câu trả lời cho một số
trường hợp riêng.
Định lý 1.1.9 ([42], [45]). Cho F : C2 → C là một ánh xạ đa thức và t0 là một
giá trị chính qui của F. Khi đó t0 ∈ B∞ (F) khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ
F −1 (t0 ) khác đặc trưng Euler của thớ F −1 (t) với mọi t đủ tổng quát.
Định nghĩa 1.1.10 ([8]). Cho F : Cn → C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu K∞ (F)
n
là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {xk }∞
k=0 ⊂ C , xk → ∞, thỏa mãn

F(xk ) → t và grad F(xk ) → 0. Ta nói rằng F thoả mãn điều kiện Fedoryuk
tại t nếu t

K∞ (F).

Định nghĩa 1.1.11 ([41]). Cho F : Cn → C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu K∞ (F) là
n
tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {xk }∞
k=0 ⊂ C , xk → ∞, thỏa mãn F(xk ) → t

và xk · grad F(xk ) → 0. Ta nói F thoả mãn điều kiện Malgrange tại t nếu

t

K∞ (F).

Định nghĩa 1.1.12 ([20]). Cho F : Cn → C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu M∞ (F)
∞
n
là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại các dãy {λk }∞
k=0 ⊂ C và {xk }k=0 ⊂ C thỏa mãn

xk → ∞, F(xk ) → t và grad F(xk ) = λk xk . Tương tự, ta nói F thoả mãn điều kiện
M-tame tại t nếu t

M∞ (F).

Định lý 1.1.13 ([44, 12]). Cho F : C2 → C là một đa thức hai biến phức. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương:
(i) t0 ∈ B∞ (F);
(ii) t0 ∈ K∞ (F);
(iii) t0 ∈ K∞ (F);
(iv) t0 ∈ M∞ (F).
Nhận xét 1.1.14. Bằng các ví dụ cụ thể, M. Tibar ([30]), L. Paunescu và A. Zaharia
([32]) chỉ ra rằng các Định lý 1.1.9 và 1.1.13 nói chung khơng cịn đúng đối với các
đa thức F : Cn → C, n ≥ 3. Tuy nhiên, Parusinski ([24]) đã chứng tỏ rằng các định
lý đó vẫn cịn đúng đối với các đa thức "chỉ có kỳ dị cơ lập tại vơ hạn".
15


Cho F : Cn → C là một đa thức bậc d, F = Fd + Fd−1 + · · · + F0 , trong đó F j là
thuần nhất bậc j. Đặt

F(x0 , x1 , . . . , xn ) := x0d F

x1 x2
xn
, ,...,
x0 x0
x0

và
X := {(x, t) ∈ Pn × C | F(x) − tx0d = 0}.
Ký hiệu H∞ := {x0 = 0} là siêu phẳng tại vơ hạn của Pn . Khi đó, tập các điểm kỳ dị
của X là A × C, với
A := {x ∈ H∞ |

∂Fd
∂Fd
= ··· =
= Fd−1 = 0}.
∂x1
∂xn

Định nghĩa 1.1.15 ([24]). Ta nói rằng F chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn nếu A là một
tập hữu hạn.
Nhận xét 1.1.16. Nếu F là một đa thức hai biến, thì F chỉ có kỳ dị cơ lập tại vô
hạn.
Định lý 1.1.17 ([24]). Cho F : Cn → C là một đa thức và t0 là một giá trị chính qui
của F. Giả sử F chỉ có kỳ dị cơ lập tại vơ hạn. Khi đó, các khẳng định sau là tương
đương:
(i) Giá trị t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F;
(ii) χ(F −1 (t0 ))

χ(F −1 (t)), với mọi t khác và đủ gần t0 ;

(iii) t0 ∈ K∞ (F).
Với mỗi không gian véc tơ X và Y ta ký hiệu L(X, Y) là tập các ánh xạ tuyến tính
từ X vào Y.
Định nghĩa 1.1.18 ([26]). Với mỗi A ∈ L(Cn , Cm ) ta định nghĩa
ν(A) := inf A∗ (φ) ,
φ =1

trong đó A∗ ∈ L((Cm )∗ , (Cn )∗ ) là toán tử liên hợp của A và φ ∈ (Cm )∗ .

16


Định nghĩa 1.1.19 ([15, 26, 13]). Cho F : Cn → Cm là một ánh xạ đa thức. Giá trị
t0 ∈ Cm được gọi là một giá trị tới hạn tiệm cận của F nếu tồn tại một dãy xl → ∞
sao cho F(xl ) → t và xl · ν(dF(xl )) → 0. Ký hiệu K∞ (F) là tập các giá trị tới hạn
tiệm cận của F.
Đặt K(F) := K0 (F) ∪ K∞ (F). Ta gọi K(F) là tập các giá trị tới hạn suy rộng của
F.
Nhận xét 1.1.20. Khi m = 1, các khái niệm giá trị tới hạn tiệm cận và giá trị tới
hạn suy rộng trong định nghĩa trên trùng với các khái niệm được nêu ra trong Định
nghĩa 1.1.11.
Định lý sau chứng tỏ rằng giá trị tới hạn tại vô hạn của F được chứa trong tập
các giá trị tới hạn suy rộng của F.
Định lý 1.1.21 ([9, 13, 26]). Cho ánh xạ đa thức F : Cn → Cm . Khi đó
B(F) ⊆ K(F).

1.2

Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô
hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một
chiều

Cho F : M → N là một cấu xạ, trong đó M, N ⊂ Cn là các tập đại số không kỳ
dị và dimC M = dimC N + 1.
Trong mục này, ta sẽ đưa ra một nhận xét về bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn
của F. Kết quả chính của mục này là
Định lý 1.2.1. Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ Cn là các tập đại số phức
không kỳ dị sao cho dimC M = dimC N + 1 và t0 ∈ N là một giá trị chính qui của F.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

17


(i) t0 là giá trị chính qui tại vơ hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0 và một
vi phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ
F −1 (D)

Φ/

F −1 (t0 ) × D

F

' 

pr2

D

giao hốn.
(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t0 , tức là tồn tại lân cận D của t0 và một
đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D sao cho sơ đồ
F −1 (D)

Φ/

F −1 (t0 ) × D

F

' 

pr2

D

giao hốn.
Nhận xét 1.2.2. Khi F là một đa thức hai biến phức, theo Định lý 1.1.9, có thể phân
biệt được thớ tổng quát của F với thớ tại các giá trị tới hạn tại vô hạn thông qua một
bất biến tô pô đơn giản là đặc trưng Euler. Khi F là một cấu xạ giữa các tập đại số
phức và thớ tổng quát là một chiều, Định lý 1.2.1 chỉ ra rằng, về bản chất, bài tốn
đặc trưng giá trị tới hạn tại vơ hạn vẫn cịn là một bài tốn tơ pơ: nếu có phép tầm
thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi
các ánh xạ khả vi.
Cho ánh xạ liên tục h : X → Y. Một đồng luân của h là một ánh xạ liên tục
H : X × [0; 1] → Y, sao cho H(x; 0) = h(x) với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.3. Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phân thớ, hay một

cách tương đương, có tính nâng đồng ln, nếu với mọi đa diện X và với bất kỳ ánh
xạ liên tục h : X → E, mọi đồng luân Φ của π ◦ h nâng được thành một đồng luân
của h, tức là, tồn tại đồng luân H của h để lược đồ sau giao hốn:
9

E

H

X × [0; 1] Φ
18

/



π

B.


Định nghĩa 1.2.4 ([17]). Cho X, Y là các không gian tơ pơ. Hai đồng ln
H, H : X × [0; 1] → Y
được gọi là có cùng mầm nếu chúng đồng nhất bằng nhau trong một lân cận của
X × {0}.
Định nghĩa 1.2.5 ([17]). Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập
đồng ln, hay có tính nâng mầm đồng ln, nếu với mọi đa diện X và mọi ánh xạ
liên tục h : X → E, mỗi mầm đồng luân của π ◦ h đều nâng được thành mầm đồng
luân của h.
Định nghĩa 1.2.6 ([17]). Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập

đồng luân địa phương nếu với mọi x ∈ E tồn tại lân cận U(x) ⊂ E sao cho ánh xạ
hạn chế π|U(x) là một phép ngập đồng luân từ U(x) lên π(U(x)).
Định nghĩa 1.2.7. Ánh xạ khả vi f : V1 → V2 được gọi là một phép ngập nếu với
mọi x ∈ V1 , ánh xạ vi phân d f x : T x V1 → T f (x) V2 là một toàn ánh.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra khi nào một ánh xạ mở là một phép
ngập đồng luân.
Bổ đề 1.2.8 ([17], Bổ đề 6). Cho ánh xạ mở π : E → B. Giả sử π là một phép ngập
đồng luân địa phương. Khi đó π là một phép ngập đồng luân.
Bổ đề 1.2.9. Cho ánh xạ khả vi f : V1 → V2 , trong đó V1 và V2 là các đa tạp trơn.
Giả sử f là một phép ngập. Khi đó f là một phép ngập đồng luân.
Chứng minh. Vì f là một phép ngập, nên f là ánh xạ mở và địa phương tại mọi
điểm x ∈ V1 , có thể coi f như là một phép chiếu. Do đó, tồn tại một lân cận U của
x để f|U là một phép ngập đồng luân. Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.8, f là một phép ngập
đồng luân.
Định nghĩa 1.2.10. Ánh xạ liên tục f : X → Y được gọi là một tương đương đồng
luân yếu nếu các ánh xạ cảm sinh lên các nhóm đồng luân
f∗ : π∗ (X) → π∗ (Y)
là các đẳng cấu.
19


Bổ đề 1.2.11 ([17], Hệ quả 15). Cho lược đồ giao hốn các ánh xạ liên tục
E

h /

E,

π



π

B
trong đó π và π là các toàn ánh. Giả sử π và π là các phép ngập đồng luân. Khi đó,
nếu hb := h|π−1 (b) : π−1 (b) → π −1 (b) là tương đương đồng luân yếu với mọi b ∈ B và
π là một phân thớ thì π là một phân thớ.
Bổ đề chính mà ta sử dụng trong mục này là như sau.
Bổ đề 1.2.12 ([17], Hệ quả 32). Cho ánh xạ khả vi π : E → B, trong đó E, B là các
đa tạp trơn và dimR E = dimR B + 2. Giả sử π thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) π là một toàn ánh;
(ii) π là một phân thớ;
(iii) π là một phép ngập.
Khi đó, π là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C ∞ .
Chứng minh Định lý 1.2.1. (i) ⇒(ii): Hiển nhiên.
(ii) ⇒(i): Giả sử F là tầm thường tô pô địa phương tại t0 , tức là tồn tại một lân
cận D của t0 và một đồng phôi Φ : F −1 (D) → F −1 (t0 ) × D, sao cho lược đồ sau giao
hoán:
F −1 (D)

Φ/

F −1 (t0 ) × D.

F

' 

pr2

D

Vì t0 là giá trị chính qui của F, nên khơng mất tính tổng qt có thể giả sử
F|F −1 (D) : F −1 (D) → D
là một phép ngập. Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.9, ánh xạ hạn chế F|F −1 (D) là một phép
ngập đồng luân.
20


Thêm nữa, với mọi t ∈ D ánh xạ hạn chế
Φ|F −1 (t) : F −1 (t) → F −1 (t0 ) × {t}
là một đồng phơi, do đó là một tương đương đồng luân yếu. Áp dụng Bổ đề 1.2.11
ta có F|F −1 (D) là một phân thớ.
Mặt khác, ánh xạ khả vi F : F −1 (D) → D là một phép ngập toàn ánh. Theo giả
thiết ta có dimC M = dimC N + 1. Bởi vậy thớ của F có chiều thực bằng 2. Vậy theo
Bổ đề 1.2.12 F là tầm thường địa phương lớp C ∞ tại t0 .
Định lý 1.2.13. Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ Cn là các tập đại số
phức không kỳ dị và dimC M = dimC N + 1. Cho t0 ∈ N là một giá trị chính qui của
F. Khi đó, t0 là giá trị chính qui tại vơ hạn nếu và chỉ nếu tồn tại một quả cầu đủ
nhỏ D có tâm là t0 sao cho với mọi t ∈ D phép nhúng của thớ F −1 (t) vào F −1 (D) là
một tương đương đồng luân yếu.
Chứng minh của Định lý dựa trên
Bổ đề 1.2.14 ([17], Hệ quả 13). cho π : E → B là một phép ngập đồng luân và là
một toàn ánh. Nếu phép nhúng của mỗi thớ của π vào E là một tương đương đồng
luân thì π là một phân thớ.
Chứng minh Định lý 1.2.13. Giả sử t0 là giá trị chính qui tại vơ hạn của F. Khi đó
tồn tại một lân cận D của t0 sao cho ánh xạ hạn chế F|F −1 (D) là tầm thường địa
phương lớp C ∞ . Không mất tính tổng qt, có thể giả sử D là quả cầu tâm tại t0 . Dễ
dàng kiểm tra được rằng phép nhúng của mỗi thớ F −1 (t) vào F −1 (D) là một tương

đương đồng luân yếu.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử D là quả cầu tâm tại t0 để phép nhúng của
mọi thớ F −1 (t) vào F −1 (D) là một tương đương đồng luôn yếu. Theo Bổ đề 1.2.14
ánh xạ F : F −1 (D) → D là một phân thớ. Khi đó, theo Bổ đề 1.2.12, F xác định
một phân thớ tầm thường trên D.

21


Chương 2
Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một
mặt đại số và của ánh xạ đa thức từ Cn vào
Cn−1
Trong chương này ta nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn
của các cấu xạ cho trong hai trường hợp sau:
(a) F = (F1 , F2 , . . . , Fn−1 ) : Cn → Cn−1 là một ánh xạ đa thức khác hằng;
(b) F = g|V là hạn chế của ánh xạ đa thức g : Cn → C lên mặt đại số không kỳ dị
V ⊂ Cn , tức là V = {x ∈ Cn : g1 (x) = g2 (x) = · · · = gn−2 (x) = 0} là tập đại số
không kỳ dị và dimC V = 2.
Ta biết rằng đối với hàm đa thức f : C2 → C một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại
vô hạn của f nếu và chỉ nếu
(i) (điều kiện qua đặc trưng Euler) χ( f −1 (t0 ))

χ( f −1 (t)) với mọi t đủ tổng quát

(Định lý 1.1.9), hoặc
(ii) (điều kiện qua số Lojasiewicz) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ tại t0 nhỏ hơn
0, hoặc nhỏ hơn −1, hay một cách tương đương, f không thỏa mãn điều kiện
Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange tại t0 (Định lý 1.1.13).
22

Điểm chung giữa các ánh xạ F ở (a), (b) và các đa thức hai biến là thớ của chúng
là các đường cong. Bởi vậy, hy vọng rằng có thể mở rộng được các kết quả trong
trường hợp đa thức hai biến cho các cấu xạ đang xét. Hai vấn đề được quan tâm
trong Chương này là:
(1) Mở rộng kết quả về điều kiện qua đặc trưng Euler của bài tốn đặc trưng các
giá trị tới hạn tại vơ hạn trong trường hợp đa thức hai biến cho các lớp cấu xạ
đang xét;
(2) Đối với các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn−1 , tìm một tương tự cho kết quả về
điều kiện qua số Lojasiewicz để một giá trị cho trước là giá trị tới hạn tại vô
hạn.
Các kết quả chính của chương này bao gồm:
(i) Nếu tồn tại "phép chiếu tốt đối với giá trị t0 ", thì t0 là giá trị tới hạn tại vơ hạn
của F khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F −1 (t0 ) khác đặc trưng Euler của
thớ tổng quát. Kết quả này có thể xem là sự mở rộng của Định lý 1.1.9 sang
các tình huống (a) và (b).
Mặt khác, các ví dụ chứng tỏ rằng kết quả đó khơng cịn đúng khi khơng tồn
tại phép chiếu tốt, ngay cả khi thớ của cấu xạ có chiều bằng một.
(ii) Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng khơng có một mở rộng tự nhiên cho các đặc trưng
thông qua số Lojasiewicz của các giá trị tới hạn tại vô hạn cho các ánh xạ đa
thức từ Cn vào Cn−1 .
(iii) Trong trường hợp tồn tại phép chiếu tốt, mô tả cơ chế tạo nên sự thay đổi về tô
pô của thớ đặc biệt so với thớ tổng quát.

2.1

Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn

Nội dung của mục này là đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề (1) và (2) được nhắc

tới ở trên. Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại khái niệm và một số kết quả liên quan tới
bậc của ánh xạ và bội nghiệm của một hệ phương trình giải tích.
23