Số điểm kỳ dị cô lập và số giá trị tới hạn của đa thức thực n biến

❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

❈❛♦ ❚❤Þ ▲❛♥ ❆♥❤

sè ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣ ✈➭ sè ❣✐➳ trÞ tí✐ ❤➵♥
❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ t❤ù❝ ♥ ❜✐Õ♥

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻


❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

❈❛♦ t❤Þ ❧❛♥ ❛♥❤

sè ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣ ✈➭ sè ❣✐➳ trÞ tí✐ ❤➵♥
❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ t❤ù❝ ♥ ❜✐Õ♥
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ❍×♥❤ ❤ä❝ ✲ ❚➠♣➠
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✶✵

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿

P●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➭ ❍✉② ❱✉✐

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻

✷

▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

▲ê✐ ♠ë ➤➬✉

❈❤➢➡♥❣ ✶ ✿ ◆❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së

✻

✶✳✶

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➻♥❣ ❛❢❢✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➻♥❣ ①➵ ➯♥❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

❈❤Ø sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✹

➜✐Ó♠ ❦ú ❞Þ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

❈❤➢➡♥❣ ✷ ✿ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇❡③♦✉t

✶✸

❈❤➢➡♥❣ ✸ ✿ ❈❤Ø sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ✷ ❜✐Õ♥ t❤ù❝

✷✶

❈❤➢➡♥❣ ✹ ✿ ❱Ò ♠ét sè ✈✃♥ ➤Ò ♠ë ❝ñ❛ ▲✐◗✉♥ ◗✐

✸✶

✹✳✶ ❱Ò sè ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣ ❝ñ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✷ ❜✐Õ♥ t❤ù❝ ❜❐❝

✹✳✷ ❱Ò sè ❣✐➳ trÞ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ d✱
❦Õt ❧✉❐♥

d ✳ ✳ ✳ ✸✶

n ❜✐Õ♥ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✻
✸✼


✸

▲ê✐ ♠ë ➤➬✉
▼ét ➤❛ t❤ø❝

n ❜✐Õ♥ t❤ù❝✱ ❜❐❝ d ❝ã t❤Ó ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭ ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ➤✐Ó♠ ❦ú

❞Þ ❝➠ ❧❐♣✱ ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ trÞ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ❜❛♦ ♥❤✐➟✉ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛❄ ➜➞✉
❧➭ ❝❤➷♥ tr➟♥ tèt ♥❤✃t ❝❤♦ sè ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝

n ❜✐Õ♥ t❤ù❝✱ ❜❐❝

d❄
❈➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ tù ♥❤✐➟♥ ♥➭② ➤➲ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝ñ❛ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❧ý
t❤✉②Õt ✭❧ý t❤✉②Õt ❦ú ❞Þ✱ ♣❤➞♥ t❤í ▼✐❧♥♦r t♦➭♥ ❝ô❝✱ ✳✳✳✮ ✈➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ✭tè✐

➢✉ ❤ã❛✮✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤ã ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ tí✐ ♥ã
❝❤♦ ➤Õ♥ ♥❛② ✈➱♥ ❝❤➢❛ ❝ã ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ trä♥ ✈Ñ♥✱ ♥❣❛② ❝➯ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✷ ❜✐Õ♥✳
❱✐Ö❝ ➤➳♥❤ ❣✐➳ sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣ ✈➭ sè ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ♠ét ➤❛
t❤ø❝ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ♣❤➯✐ ❞ù❛ ✈➭♦ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❤×♥❤ ❤ä❝ ➤➵✐ sè ❧➭ ➜Þ♥❤
❧ý ❇❡③♦✉t✳ ❚✉② ✈❐②✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇❡③♦✉t t❤➢ê♥❣ ❝❤Ø ➳♣ ❞ô♥❣ ❤✐Ö✉ q✉➯ ❝❤♦ ❝➳❝ ❤Ö
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè tr➟♥ tr➢ê♥❣ ♣❤ø❝ ✈➭ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤

CPn ✳ ❚r♦♥❣

❦❤✐ ➤ã✱ ✈✃♥ ➤Ò ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉❛♥ t➞♠ ë ➤➞② ❞➱♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè
tr➟♥ tr➢ê♥❣ t❤ù❝ ✈➭ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❛❢❢✐♥❡

Rn ✳

❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝➠ ❧❐♣ t❤ù❝ ❝ñ❛ ♠ét ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❦❤➠♥❣
♥❤÷♥❣ ❜➺♥❣ ❜é✐ ♠➭ ❝ß♥ ❜➺♥❣ ❝❤Ø sè ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚❤ù❝ ❝❤✃t✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ✈✐Ö❝ ➤➳♥❤
❣✐➳ sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ trÞ✱ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝ñ❛ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ t❤ù❝
❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝❤Ø sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤
▼ô❝ ➤Ý❝❤ t❤ø ♥❤✃t ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❣å♠ ❆❧❛♥
❉✉r❢❡❡✱ ◆❛t❤❛♥ ❑r♦♥❡❢❡❧❞✱ ❍❡✐❞✐ ▼✉♥s♦♥✱ ❏❡❢❢ ❘♦② ✈➭ ■♥❛ ❲❡st❜② ✭❳❡♠ ❬✺❪✮
✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ✧➜➳♥❤ ❣✐➳ sè ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ❝ù❝ t✐Ó✉✱ ②➟♥ ♥❣ù❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❦✐Ó✉ ❦❤➳❝ ❝ñ❛
❧✉➠♥ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭

f (x, y) t❤➠♥❣ q✉❛ ❜❐❝ d ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝✧✳ ë ➤➞②

f (x, y) ❝❤Ø ❝ã ❝➳❝ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳

ụ í tứ r ờ tr trờ ợ ế ột ỏ
ở ủ q r tr tr ở
t í r tt tr ồ tờ r ờ
tr trờ ợ tổ qt ột tết ũ ủ q r
tr tr ề số trị tớ ủ ột tứ d

n ế tự

ụ ủ ế ể tự ệ ết q tr ị ý t ớ
ữ ý tết ụ trờ ợ tự
r ò trí tết ứ ủ ị ý t
ổ ể ị ý ở rộ ủ ị ý t
ớ ộ tr ợ
trì s ợ ột số

ữ ế tứ sở

ệ ết q sẽ ợ sử ụ tr s
ộ ủ t ể trì

ị ý t

ữ ủ ế tr ứ ủ ị ý t ổ ể ị
ý ở rộ ủ ị ý t ự t ờ ồ


ỉ số ủ trờ t rt

ớ tệ ết q ủ

ó ứ ồ r t r s
st
r ú t

ề ột số ề ở ủ q

trì ờ ủ ề ở ợ q r tr tr
ở í r tt
ợ t t trờ ọ ớ sự ớ ủ
t P tỏ ò ết s s ế
t ị t t ủ ệ
ủ ệ ọ t tr ú ỡ t
tr sốt q trì t ọ t t trờ ệt t tỏ


✺
❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱ ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ tæ ❍×♥❤ ❤ä❝✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ tr➢ê♥❣
➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥
✈➝♥✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❈❛♦ ❤ä❝ ❦❤♦➳ ✶✷✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❈❛♦ ❤ä❝ ✶✷
❍×♥❤ ❤ä❝ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❣✐ó♣ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣ s✉èt
t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉
sãt✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱
❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❣➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳

❱✐♥❤✱ t❤➳♥❣ ✶✷ ♥➝♠ ✷✵✵✻
❚➳❝ ❣✐➯

ữ ế tứ sở
r ú t trì ột số ế tứ ề ờ
ờ ỉ số ủ trờ t ể
ỳ ị t
ý ệ

K = R C Kx tứ n ế tr trờ K

n N


ờ

ị ĩ

ột t số tr Kn t ó

VK (f1 , f2 , . . . , fs ) = {(x1 , x2 , . . . , xn ) Kn | fi (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, i = 1, s},
ớ s N f1 , f2 , . . . , fs Kx
ét

VK (f1 , f2 , . . . , fs ) = VK (f1 ) VK (f2 ) . . . VK (fs )
VK (f1 f2 ) = VK (f1 ) VK (f2 )

ị ĩ

ột t số C tr Kn ợ ọ t q ế C

ợ ủ t số ủ ó ó ế C = C1 C2
ớ C1 , C2 t số tr Kn tì C = C1 C = C2
ị ĩ

ột ờ tr K t ể tr

K2 ủ ột tứ f K[X, Y ] f tứ
VK (f ) = {(x, y) K2 | f (x, y) = 0}.
VK (f ) ột ờ t q ế ó t q ột t số


✼
✶✳✷

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➻♥❣ ①➵ ➯♥❤

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤

n ❝❤✐Ò✉ ✶✳✷✳✶✳ ❚r➟♥ Kn+1 \ {0, . . . , 0}✱ ①Ðt q✉❛♥ ❤Ö t➢➡♥❣

➤➢➡♥❣✿ X = (x0 , . . . , xn ) ∼ X = (x0 , . . . , xn ) ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ λ ∈ K✱

λ = 0 s❛♦ ❝❤♦ X = λX ✳ ❑❤✐ ➤ã
KP n = Kn+1 \ {0, . . . , 0}/∼
❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ n ❝❤✐Ò✉ tr➟♥ tr➢ê♥❣ K✳
❳Ðt ✈Ò ♠➷t t❐♣ ❤î♣✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ n ❝❤✐Ò✉ KP n ❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ ❝♦♥ ♠ét ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ Kn+1 ✳
➜❛ t❤ø❝ f ∈ K[X1 , X2 , . . . , Xn ] ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❜❐❝ d✱ ♥Õ✉

✈í✐ ♠ä✐ t ∈ K∗ ✱ f (tx) = td f (x)✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ♠ä✐ ➤➡♥ t❤ø❝ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣
❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❝ñ❛ f ➤Ò✉ ❝ã ❜❐❝ d✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳

▼ét t❐♣ ➤➵✐ sè tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ KP n ❧➭ t❐♣ ❝ã ❞➵♥❣

VK (f1 , f2 , . . . , fs ) = {(x0 : x1 : . . . : xn ) ∈ KP n | fi (x0 , . . . , xn ) = 0, i = 1, s},
✈í✐ s ∈ N ✈➭ f1 , f2 , . . . , fs ❧➭ ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳

▼ét ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ♣❤➻♥❣ ➤➵✐ sè ①➵ ➯♥❤ tr➟♥ K ❧➭ t❐♣

VK (f ) = {(x : y : z) ∈ KP n | f (x, y, z) = 0},
✈í✐ f ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✱ f ∈ K[X, Y, Z]✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳✹✳

❈❤♦

V = {f1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , fs (x1 , . . . , xn ) = 0} ⊂ Kn .
➜➷t

fi (x0 , x1 , . . . , xn ) = td fi

x1
xn
,...,
x0
x0

V = {f1 (x0 , . . . , xn ) = 0, . . . , fs (x0 , . . . , xn ) = 0} KP n .
t V Kn = V
ọ L = {[x0 , x1 , . . . , xn ] KP n | x0 = 0} ờ t t ủ

KP n
t V ồ
P tr Kn = V = V Kn
P ệ t V L = V \ V



ỉ số ủ trờ t
sử

M t k ề ủ Rn a M

ị ĩ

ột ờ tr M q a

: (; ) M
t (t) = (1 (t), . . . , n (t))
s (0) = a i (t) t t ớ ọ i = 1, n
sử ờ tr M q a ó

(0) =

d
(t)
dt

t=0

= (1 (0), . . . , n (0))

ợ ọ ột t tế ú ớ M t a
ý ệ Ta M t tt t tế ú ớ M t a ó Ta M
ột tế tí k ề tr Rn ợ ọ tế
ú ớ M t a
f ữ t M N ủ Rn ỗ
ể a M t ó tể ị ột tế tí dfa : Ta M Tf (a) N
ủ f t a




ế F : Rn Rm tỏ ề ệ F (M ) N

F |M = f tì dfa ủ f t a í ế ủ dFa : Ta Rn
TF (a) Rm tế tí Ta M
f : M N N M ể a M ợ ọ ể ỳ ị
ủ f ế dfa : Ta M Tf (a)N ột
t a ể ỳ ị ủ f ế tồ t ột ồ ị
ủ a f (a) s tr ủ f tr ồ ị ó

< N

ế a ể ỳ ị ủ f tì a ợ ọ ể í q ủ

f
ế a ể ỳ ị ủ f tì f (a) ợ ọ trị tớ ủ f ế

y0 N trị tớ ủ f tì y0 ợ ọ trị í q
ủ f
ể a ợ ọ ể ỳ ị ủ f ế tồ t ủ a tr

M s a ể tớ t ủ f
ị ớ tr

Rn



r t sở ó tứ tự ủ Rn t

q ệ t s

e = {e1 , e2 , . . . , en } f = {f1 , f2 , . . . , fn } ế e = Af ớ tA > 0.
ớ q ệ t tr t sở ó tứ tự ủ Rn ợ
ớ t ọ ột ị ớ ủ Rn tứ ọ ột ệ ủ
ột tr ớ Rn ợ ị ớ ế sở ó tứ
tự ợ ọ t ớ sở t {(1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}
t M ợ ọ ị ớ ợ ế t ỗ a M ó tể
ọ ột ị ớ ủ Ta M tỏ ớ ọ a M tồ t ồ ị
: U Rk s t ỗ x U dx sở ủ Tx M

✶✵

✈➭♦ ❝➡ së ❞➢➡♥❣ ❝ñ❛ Rk ✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜❐❝ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ✶✳✸✳✸✳

❈❤♦ f : M → N ✱ M ✈➭ N ❧➭ ❤❛✐ ➤❛ t➵♣

➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣ ✈➭ ❝ã ❝❤✐Ò✉ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉✱ tr♦♥❣ ➤ã✱ ➤❛ t➵♣ M ❧➭ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❦❤➠♥❣
❜✐➟♥ ✈➭ ➤❛ t➵♣ N ❧➭ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣✳ ●✐➯ sö y ❧➭ ♠ét ❣✐➳ trÞ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ f ✈➭

f −1 (y) = {x1 , . . . , xk }✳ ❈❤♦ dfxi : Txi M → Tf (xi ) N ❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ f t➵✐ xi ✳
➜➷t
s✐❣♥(dfxi ) =

1

♥Õ✉ dfxi ❜➯♦ t♦➭♥ ❤➢í♥❣

−1

♥Õ✉ dfxi ❦❤➠♥❣ ❜➯♦ t♦➭♥ ❤➢í♥❣

❑❤✐ ➤ã✱ ➤➵✐ ❧➢î♥❣
k

❞❡❣(f, y) =

s✐❣♥(dxi )
i=1

❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝❤Ý♥❤ q✉② y ✈➭ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ f ✳
❑ý ❤✐Ö✉ ❧➭ ❞❡❣f ✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✸✳✹✳

◆Õ✉ f, g : M → N t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ♥❤➢ ë ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

✶✳✸✳✸ ✈➭ f ➤å♥❣ ❧✉➞♥ ✈í✐ g t❤× ❞❡❣f = ❞❡❣g ✳
◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣✱ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤å♥❣ ❧✉➞♥ ✈í✐ g ✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝

F : M × [0; 1] → N s❛♦ ❝❤♦ F (x, 0) = f (x) ✈➭ F (x, 1) = g(x)✱ ✈í✐ ♠ä✐
x ∈ M✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✺✳

✭✐✮ ●✐➯ sö U ❧➭ t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ Rn ✳ ▼ét tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❦❤➯ ✈✐

tr➟♥ U ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❦❤➯ ✈✐ ν : U → Rn ✳
✭✐✐✮ ➜✐Ó♠ a ∈ U ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ν ♥Õ✉ ν(a) = 0❀
✭✐✐✐✮ ❑❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ a ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝➠ ❧❐♣✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ B(a, ε) s❛♦ ❝❤♦ ν(x) = 0
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = a✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ B(a, ε)✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✻✳

❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ h =

❈❤Ø sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ν t➵✐ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ ❝➠ ❧❐♣ a ❧➭ ❜❐❝

ν
: Sεn−1 → S1n−1 ✱ ✈í✐ Sεn−1 = ∂B(a, ε)✳
ν

ỉ số ủ trờ t rt

sử f : Rn R tứ n ế

ó
rf : Rn Rn

(x1 , . . . , xn )

f
f
,...,
x1
xn

ợ ọ trờ t rt ủ f
ị ĩ

sử r tứ f : Rn R ỉ ó ể ỳ ị

x0 ột ể ỳ ị ủ f ó ủ rf t x0 ợ
ọ ỉ số ủ trờ t r t x0 ỉ số ủ f t x0 ý ệ

i(x0 )
ị ĩ

ỉ số t ụ ủ f ý ệ i(f ) ợ tí tổ

ỉ số ủ f t tt ể ỳ ị ủ ó ỉ số í ủ

rf

: Srn1 S1n1 ớ í r ủ ớ s q Br ó
rf
Srn1 t t 0 ứ tt ể ỳ ị ủ f
ét

r trờ ợ ề ỉ số ủ f t ể ỳ ị

x0 số ò q ủ t rf (x, y) q ờ trò S ể

(x, y) ột ò q S ợ ề ồ ồ ố ò q ợ
tí ộ trừ tù tộ rf (x, y) q ợ t
ề ồ ồ r ỉ số ủ rf (x, y) q S ò ợ
ị ột t ở số rf (x, y) ó ột ớ ị
ó ể (x, y) ột ò q S ợ tí ộ trừ tù
tộ rf (x, y) tế ề ớ ị ó ợ t ề
ồ ồ
ỉ số t ụ ủ f ỉ số ủ rf q ờ trò ủ ớ Sr
ứ tt ể ỳ ị ủ f


✶✷
✶✳✹

➜✐Ó♠ ❦ú ❞Þ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳✶✳

❚❛ ❣ä✐ L∞ = {[x, y, z] ∈ KP 2 : z = 0} ❧➭ ✧➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t➵✐

✈➠ ❤➵♥✧ ❝ñ❛ KP 2 ✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳✷✳

➜✐Ó♠ p ∈ L∞ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥ ❝ñ❛ ➤❛

t❤ø❝ f (x, y)✱ ♥Õ✉ p t❤✉é❝ ❣✐❛♦ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜❛♦ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ KP 2 ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣

fx−1 (0) ✈➭ fy−1 (0)✱ tr♦♥❣ ➤ã✱ fx , fy ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭ ❝➳❝ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ f t❤❡♦ ❜✐Õ♥ x
✈➭ ❜✐Õ♥ y ✳
❱Ý ❞ô ✶✳✹✳✸✳

❳Ðt ➤❛ t❤ø❝ f (x, y) = y 5 + x2 y 3 − y ✳ ❚❛ ❝ã

fx (x, y) = 2xy 3
fy (x, y) = 5y 4 + 3x2 y 2 − 1
❚❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤ã❛ fx (x, y) ✈➭ fy (x, y)✿

fx (x, y, z) = 2xy 3
fy (x, y, z) = 5y 4 + 3x2 y 2 − z 4
❑❤✐ ➤ã✱ ❜❛♦ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➵ ➯♥❤ ❝ñ❛ ♥❤÷♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ {fx (x, y) =

0} ✈➭ {fy (x, y) = 0} ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❜ë✐
2xy 3 = 0
5y 4 + 3x2 y 2 − z 4 = 0
❱❐②✱ [1, 0, 0] ∈ L∞ ❧➭ ➤✐Ó♠ tí✐ ❤➵♥ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥ ❝ñ❛ f ✳

ị ý t
ị ý t

sử C D ờ ứ

ó t ứ m, n ó t t q ó
ú t j ể tỏ 0 < j m.n
ị ý

P (z) = {P1 (z), P2 (z), . . . , Pn (z)} ệ n tứ n ế

ứ Pi (z) = di ớ ọ i = 1, n ó số ệ ủ

{P (z) = 0} ề t d1 . . . dn
ứ ét

H(z, ) = 0 P (z) + 1 R(z),
ớ

= (0 , 1 ) CP 1 z CP n r ó

P (z) = P (1, z1 , . . . , zn ) tứ t t t ứ ủ tứ P (z) =
P (z1 , . . . , zn ) tr CP n
R(z) = R(1, z1 , . . . , zn ) tứ t t t ứ ủ tứ R(z) =
R(z1 , . . . , zn ) tr CP n tỏ ề ệ A s
ệ {R(1, z1 , . . . , zn )

= 0} {R1 (1, z1 , . . . , zn ) = 0, . . . , Rn (1, z1 , . . . , zn ) =

0} ó ú D = d1 . . . dn ệ s ế ễ tí t
ỗ ệ ủ ệ
ủ ệ

{R(z) = 0} ó ú ột ờ ệ

H(z, ) = 0

ỗ ệ ủ

H(z, (1; 0)) = P (z) = 0 ó tể t ợ ở

ột số ờ ệ tr


✶✹
➜➷t

X = {(z, λ) ∈ CP n+1 | H(z, λ) = 0}
Xλ = {z ∈ CP n | (z, λ) ∈ X)}.
❚❛ ❝ã

X, Xλ ❧➭ ♥❤÷♥❣ t❐♣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ♥➟♥ X ➤➢î❝ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤➭♥❤ ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤

♣❤➬♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②
r

X=

Y
i=1

✈í✐

s
i

Wj

∪

= Y ∪ W.

j=1

Y i ∈ Y ♥Õ✉ π : Y i → CP n t♦➭♥ ➳♥❤ ✈➭ W j ∈ W ♥Õ✉ π : W j → CP 1 ❧➭

➳♥❤ ①➵ ❤➺♥❣✳

π(W ) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ tr♦♥❣ CP 1 ✈➭ Xλ = Yλ ✱ ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈
/ π(W )✱

❘â r➭♥❣
tr♦♥❣ ➤ã✿

Yλ = {z ∈ CP n | (z, λ) ∈ Y }.
●✐➯ sö

Y i ❧➭ ♠ét t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ X ♠➭ π(Y i ) = CP 1 t❤× Y i ❝❤ø❛ (z, (0, 1))

✈➭ ❞✐♠Y i

= 1✳

❑ý ❤✐Ö✉✿
s✐♥❣(Y
❱×

i

) = {(z, λ) ∈ Y i | z ❧➭ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ó♠ s✉② ❜✐Õ♥ ❝ñ❛ H(z, λ) = 0}.

(z, (0, 1)) ∈
/ s✐♥❣(Y i ) ♥➟♥ s✐♥❣(Y i )

s✐♥❣(Y i )

Y i ✳ ❉♦ ➤ã ❞✐♠✭s✐♥❣✭Y i ✮✮ < 1 ♥➟♥

= ❤♦➷❝ s✐♥❣Y i ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳
r

▼➭ s✐♥❣(Y )

=

s✐♥❣(Y i ) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥➟♥

π(s✐♥❣(Y i )) ❝ò♥❣ ❧➭ t❐♣ ❤÷✉

i=1

❤➵♥✳
➜➷t

E = π(W ) ∪ π(s✐♥❣(Y )) t❤× E ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ λ ∈
/ E t❛ ❝ã

✰✮

Xλ = Yλ ❀

✰✮

Xλ ❝❤Ø ❝❤ø❛ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥❀





#{X = 0} = D = d1 . . . dn ì ớ ọ
/ E tì ọ ể ủ

H(z, ) s ế #{H(z, ) = 0} = H(z, )


H(z, ) ồ ớ R(z) = H(z, (0, 1))
H(z, )

= R(z) = #{R(z) = 0} = D.

ờ t ứ ớ a ệ ó ủ H(z, (0, 1))

P (z) =

0 tì a lim X r ó
(0,1)

lim X = { tt ể ớ ủ {z (k) , (k) }

(0,1)

ớ

z (k) X(k) (k) 0}

X CP n+1 ị ở n trì

ì

X = {H1 (z, ) = . . . = Hn (z, ) = 0}
ỗ t ủ
ớ ọ

X ó ề ớ 1 ó W j 1

i = 1, s (W j ) = { ể } CP 1 s r
j

W

= W j 1,

ớ

Wj = {z CP n | (z, ) W j }, CP 1 .
ừ ó t ó
ọ

i
Z(1,0)
ứ ệ ủ H(z, (1, 0)) P (z) ớ

i = 1, s

ớ
ó tộ

i0
a ệ ủ P (z) = 0 tì a Y(1,0)
Y(1,0) ớ i0

{1, 2, . . . , r}

r (1, 0) ét H(z, (1 + ; )) ì a ệ ủ {P (z)

=

0} tồ t ủ ỏ S ủ a s P (z) = 0 ớ ọ z S \ {a}

ó t ó

P t ồ ớ H(z, (1 + , )) a {P (z) =


✶✻

0} ♥➟♥ H(z, (1 + ε, ε)) ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ Sδ ✳ ❍❛② z(1 + ε, ε) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛
ε→0

H(z, (1 + ε, ε))✳ ❉♦ ➤ã z(1 + ε, ε) −−→ a✳ ❱❐②✱ a ∈ lim Xλ ✳
λ→(1,0)

▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈×

Xλ ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ♥➟♥
a ∈ lim Xλ ⊂ X(1,0) .
λ→(1,0)

▼➭

#{X(1,0) } ≤ D = d1 . . . dn ♥➟♥ sè ♥❣❤✐Ö♠ ❝➠ ❧❐♣ ❝ñ❛ {P (z) = 0} ❦❤➠♥❣

✈➢ît q✉➳ d1 . . . dn ✳ ❍❛② sè ♥❣❤✐Ö♠ ❝➠ ❧❐♣ ❝ñ❛
✷✳✸✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳

{P (z) = 0} ≤ d1 . . . dn ✳

❈❤♦ P (z) = {P1 (z), P2 (z), . . . , Pn (z)} ❧➭ ❤Ö n ➤❛ t❤ø❝ n ❜✐Õ♥

♣❤ø❝ ✈➭ ❞❡❣Pi (z) = di ✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, n✳ ❑❤✐ ➤ã✱ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛

{P (z) = 0} ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭ d1 . . . dn ✳
❚❛ ❝ã ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉
❳Ðt

Ha (z, t) = tP(z) + a(1 − t)R(z)
✈í✐

(1)

(z, t) ∈ CPn × [0, 1]❀ a ∈ C \ {0} ✈➭ R(z) = {R1 (z), R2 (z), . . . , Rn (z)}

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
✭✐✮ ❞❡❣Ri
✭✐✐✮

(A)✿

= di ✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, n❀

R(z) ❝ã ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ D = d1 . . . dn ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ CPn ✈➭

❞Ô tÝ♥❤ t♦➳♥✳
➜➷t

Qi = lim z i (t) ✈➭
t→1

mi = { sè ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ z i (t)| lim z i (t) = Qi }

t→1

✷✳✹✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

❱í✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➷♣

(mi , Qi )✱ tr♦♥❣ ➤ã mi ∈ N∗ ✱ Qi ∈ CPn ✱ t❛

❣ä✐ tæ♥❣ ❤×♥❤ t❤ø❝

r

α=

mi Qi
i=1


✶✼
❧➭ ✵✲❝②❝❧❡ ❞➢➡♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝
❣ä✐ ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠

Qi ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤Ø♥❤ ❝ñ❛ ✵✲❝②❝❧❡ α✱ sè mi ➤➢î❝

Qi ❝ñ❛ α✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, r✳

❑ý ❤✐Ö✉
✭✐✮

r

n
L+
0 (P ) = {

i=1

n
mi Qi | mi ∈ N∗ , Qi ∈ Pn }✳ ❑❤✐ ➤ã✱ L+
0 (P ) ❧➭ ♥ö❛ ♥❤ã♠

❝➳❝ ✵✲❝②❝❧❡ ❞➢➡♥❣ tr♦♥❣
r

●✐➯ sö

α=
i=1

n
Pn ✳ ❚r➟♥ L+
0 (P )✱ t❛ tr❛♥❣ ❜Þ t♦♣♦ ♥❤➢ s❛✉✿

n
mi Qi ∈ L+
0 (P )✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ Ni ❧➭ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ Qi tr♦♥❣

n

P ✱ i = 1, s✱ Ni ∩ Nj =✱ ✈í✐ i = j ✱ t❤× ❤ä {Ni | i = 1, s} ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥

k

N ❝ñ❛ α ❣å♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ✵✲❝②❝❧❡ ❝ã ❞➵♥❣ β =

nj Pj s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, s
j=1

t❤×

nj = mi ✳
pj ∈Nj

✭✐✐✮

X = {(z, t) ∈ CPn × [0, 1]| H(z, t) = 0} t❤× X ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè

✈➭ ❝ã t❤Ó ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②
p

X=

q

Y

i

i=1

❚r♦♥❣ ➤ã✱

Wj

∪

= Y ∪ W.

(3)

j=1

Y i ∈ Y ♥Õ✉ π(Y i ) = CP1 ✱ W i ∈ W ♥Õ✉ π(W j ) = { ✶ ➤✐Ó♠ }✳ ❘â

r➭♥❣
❞✐♠Y i

= 1, ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, p

π(W ) ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥✳
➜➷t

E0 = π(W ) ✈➭ E1 = π(W ∪ s✐♥❣(Y ))✲❤÷✉ ❤➵♥
✷✳✺✳

❇æ ➤Ò✳

n

✭✐✮ ❚❐♣ Yt = {z ∈ CP | (z, t) ∈ Y } ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ✈í✐ ♠ä✐

t ∈ C \ E0 ✳
✭✐✐✮ ★{Yt } ❂ ❝♦♥st✱ ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ C \ E1 ✳
❳❡♠ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳
✷✳✻✳ ❇æ ➤Ò✳

●✐➯ sö Q ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❝➠ ❧❐♣ ❝ñ❛ Yt ✱ t ∈ C ✈➭ N ❧➭ ♠ét ❧➞♥


✶✽

❝❐♥ ❝ñ❛ Q tr♦♥❣ Pn ✳ ●ä✐ N ❧➭ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ Q ∈ Yt \ {Q} s❛♦ ❝❤♦ N ∩ N =✳
❑❤✐ ➤ã✱ sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ Yt ❝❤ø❛ tr♦♥❣ N ❧➭ ❝è ➤Þ♥❤ ✈➭ ❦❤➳❝ ✵✱ ✈í✐

t ∈ C \ E ✈➭ t ➤ñ ❣➬♥ t✳
❱í✐

✷✳✼✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

t❤✉é❝

Q ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❝➠ ❧❐♣ ❝ñ❛ Yt ✱ ❣ä✐ m(Q) ❧➭ sè ➤✐Ó♠

Yt tr♦♥❣ N s❛♦ ❝❤♦ t ∈ C \ E1 ✱ ✈í✐ t ➤ñ ❣➬♥ t✳

✷✳✽✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

ø♥❣ ✈í✐

●✐➯ sö

Yt = {Q1 , . . . , Qr } ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ✵✲❝②❝❧❡ t➢➡♥❣

Yt ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐
r

[Yt ] =

m(Qi ).Qi .
i=1

✷✳✾✳ ❇æ ➤Ò✳

➳♥❤ ①➵
n
[Y ] : C \ E0 → L+
0 (P )

t → [Y ]t = [Yt ]
❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝✳
❚õ ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t tr➟♥✱ t❛ ①➞② ❞ù♥❣ ✵✲❝②❝❧❡ ❝ñ❛ ♥❤÷♥❣ ➤➢ê♥❣
❝♦♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ t➵✐

t = 1✳

●✐➯ sö

X = {(z, t1 ) ∈ CPn × C| P(x) + t1 R(z) = 0}
Xt1 = {z ∈ CPn | (z, t1 ) ∈ X , t1 ∈ C}
❚❛ ❝ã

Xt1 ≡ Xt = {z ∈ CPn | (z, t) ∈ X} t➵✐ t =

sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥❤➢ ë

a
✳ ❞♦ ➤ã✱ X ❝ò♥❣ ❝ã
a + t1

(3)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✵✲❝②❝❧❡ ♥❤➢ s❛✉
p

n

α=
i=1

lim[Yti ]
t→0

[Y0i ]

=
i=1

❳Ðt

H1 = tP(z) + a(1 − t)R1 (z)

(∗)

H2 = tP(z) + a(1 t)R2 (z)
tr ó

()

R1 (z) R2 (z) tứ tỏ ề ệ A sử H1 = 0

ó ệ

{x1 (t), . . . , xD (t)} H2 = 0 ó ệ {y1 (t), . . . , yD (t)}

ứ ế

V t t ủ {P(z) = 0} tì

{ố xi (t) V } = {ố yi (t) V }.
ể ứ ề t sẽ r tr ủ

xi (t) V

số

xi (t) V.

ó ị

n
[Y i ] : C \ E0 L+
0 (P ) tụ

lim[Yti ] = [Y1i ]
t1

ý ớ

Yti ủ tổ qt tì Yti = xi (t)

ó
p

lim[Yti ] t ứ ớ H1

1 =
i=1
p

lim[Yti ] t ứ ớ H2

2 =
i=1
ị ĩ

t1

t1

n
1 2 ế tồ t : [0; 1] L+
0 (P ) t

(0) = 1 , (1) = 2

ỉ

s Z = {P(z) = 0} ớ ọ s [0, 1]

ờ ú

H1 (z, t) H2 (z, t) ọ t số H(z, t1 , t2 ) ó
H(z, t1 , t2 ) = P(z) + t1 R1 (z) + t2 R2 (z)


✷✵
➜➷t

χ = {(z, t1 , t2 ) ∈ Pn × C2 | H(z, t1 , t2 ) = 0} t❤× χ ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ ➤➵✐ sè

✈➭ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②
p

q

χ=

Y

i

Wj

∪

i=1

❚r♦♥❣ ➤ã✱
s❛♦ ❝❤♦

= Y ∪ W.

j=1

Y i ❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t➵♣ ✷ ❝❤✐Ò✉✱ π(Y i ) = C2 ✱ ✈í✐ ♠ä✐ i = 1, p✱ W j ❧➭ ➤❛ t➵♣

π(W s )

C2 ✱ ✈í✐ ♠ä✐ j = 1, q ✳

❚❛ ❝ã

Y i (t1 , t2 ) = {z ∈ Pn : (z, t1 , t2 ) ∈ Y i }
❑❤✐ ➤ã
p

lim [Y(ti 1 ,0) ]

α1 =
i=1
p

i
lim [Y(0,t
]
2)

α2 =
i=1
✷✳✶✶✳ ❇æ ➤Ò✳

✭✐✮

❚å♥ t➵✐ ❞➲②

t1 →0

t2 →0

(mk , nk ) ∈ N2 ✱ k = 0, . . . , s t❤♦➯ ♠➲♥

n0 = ms = 0❀

✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

mk−1 nk − mk nk−1 = 1✱ ✈í✐ ♠ä✐ k = 1, . . . , s❀
(k)

Y0,0 ❤÷✉ ❤➵♥✳

❚r♦♥❣ ➤ã✱

Y (k) = ϕ(k) (Y − E)− ✈➭ ϕ(k) : Pn × C2 → Pn × C2 ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
m

n

k−1 nk
k
ϕ(k) (z, u1 , u2 ) = (z, t1 , t2 ) ✈í✐ t1 = u1 k−1 um
u2 ✈➭
2 ✱ t2 = u1

i
Y(0,0)
= {z ∈ Pn : (z, 0, 0) ∈ Y i }
✷✳✶✷✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳

✷✳✶✸✳ ➜Þ♥❤ ❧ý✳

❱í✐

α1 , α2 ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ tr➟♥ t❤× α1 ∼ α2 ✳

❱í✐ ♠ä✐

t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❧✐➟♥ t❤➠♥❣ ❝ñ❛

R1 , R2 t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ A t❛ ❝ã✱ ♥Õ✉ V ❧➭ ♠ét

{P(z) = 0} t❤× ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛

{H(z) = 0} t✐Õ♥ ➤Õ♥ ❱ ✈➭ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ♥❣❤✐Ö♠ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦
R1 , R2 ✳❍➡♥ ♥÷❛✱ tæ♥❣ sè t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ♥❣❤✐Ö♠ t✐Õ♥ ➤Õ♥ V ❜➺♥❣ D = d1 ...dn ✳


✷✶

❈❤➢➡♥❣ ✸

❈❤Ø sè ❝ñ❛ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❣r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛
➤❛ t❤ø❝ ✷ ❜✐Õ♥ t❤ù❝
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❣å♠ ❆❧❛♥ ❉✉r❢❡❡✱ ◆❛t❤❛♥ ❑r♦♥❡❢❡❧❞✱ ❍❡✐❞✐ ▼✉♥s♦♥✱ ❏❡❢❢ ❘♦② ✈➭ ■♥❛ ❲❡st❜②
✭❳❡♠ ❬✺❪✮ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ✧➜➳♥❤ ❣✐➳ sè ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ❝ù❝ t✐Ó✉✱ ②➟♥ ♥❣ù❛ ➤Þ❛
♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦✐Ó✉ ❦❤➳❝ ❝ñ❛
ë ➤➞② ❧✉➠♥ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭
●✐➯ sö

f (x, y) t❤➠♥❣ q✉❛ ❜❐❝ d ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝✧✳

f (x, y) ❝❤Ø ❝ã ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳

f (x, y) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ✷ ❜✐Õ♥✱ ❤Ö sè t❤ù❝ ❝ã ❜❐❝ ❧➭ d✳ ❚❛ ♥ã✐ f ❝ã

♠ét ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ t➵✐

(x0 , y0 )✱ ♥Õ✉ fx (x0 , y0 ) = 0 ✈➭ fy (x0 , y0 ) = 0✳ ë ➤➞②✿ fx , fy

❧➬♥ ❧➢ît ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝ñ❛
➜✐Ó♠ ❦ú ❞Þ

f t❤❡♦ ❜✐Õ♥ x ✈➭ ❜✐Õ♥ y ✳

(x0 , y0 ) ❧➭ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ✭❤❛② ❝ß♥ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❦ú

❞Þ ❦✐Ó✉ ▼♦rs❡✮✱ ♥Õ✉ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❍❡ss✐❛♥ ❝ñ❛




❞❡t 


f t➵✐ (x0 , y0 ) ❧➭ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣

fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )

=0

fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )

◆Õ✉ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❍❡ss✐❛♥ ❝ñ❛

f t➵✐ (x0 , y0 ) ❜➺♥❣ ✵ t❤× (x0 , y0 ) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠

❦ú ❞Þ s✉② ❜✐Õ♥✳
❈❤Ø ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ❝ù❝ t✐Ó✉ ✈➭ ②➟♥ ♥❣ù❛
➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳ ❚✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ➤Ò✉ ❝➠ ❧❐♣✳
✸✳✶✳ ◆❤❐♥ ①Ðt✳

➜✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ♥Õ✉

❝➯ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ ❍❡ss✐❛♥ ➤Ò✉ ➞♠✱ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱
♥Õ✉ ❝➯ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ➤Ò✉ ❞➢➡♥❣✱ ❧➭ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛✱ ♥Õ✉ ❤❛✐ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ♠ét
❧➭ ➞♠✱ ♠ét ❧➭ ❞➢➡♥❣✳


✷✷
➜➷t m ❧➭ sè ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ➤➵✐ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ f ✱ n ❧➭ sè ➤✐Ó♠ ❝ù❝ t✐Ó✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
❝ñ❛

f ✈➭ s ❧➭ sè ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ f

❚❛ ❝ã ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ❝ù❝ t✐Ó✉✱ ②➟♥ ♥❣ù❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣
❝ã ❞➵♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭

−x2 − y 2 ✱ x2 + y 2 ✱ x2 − y 2 ✳ ❉♦ ➤ã✱ ❝❤Ø sè tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡

❝ñ❛ ➤✐Ó♠ ❝ù❝ ➤➵✐✱ ❝ù❝ t✐Ó✉ ✈➭ ②➟♥ ♥❣ù❛ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭
❇ë✐ ✈❐②✱ ♥Õ✉

+1, +1 ✈➭ −1✳

f (x, y) ❝❤Ø ❝ã ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ t❤×
i = m + n − s.

✸✳✷✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳

❈❤Ø sè i ❝ñ❛ f (x, y) q✉❛♥❤ ➤➢ê♥❣ trß♥ C t❤á❛ ♠➲♥ |i| ≤ d − 1✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➢î❝ C ❧➭ ♠ét ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ t➵✐ (0, 0) s❛♦
❝❤♦ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛

f ♥➺♠ tr♦♥❣ ❤×♥❤ trß♥ ❝ã ❜✐➟♥ ❧➭ C ✳ ❚❛ ❝ã q✉ü

tÝ❝❤ ♥➡✐ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❣r❛❞✐❡♥t ♥➺♠ ♥❣❛♥❣ ❝❤♦ ❜ë✐ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣

D = {(x, y) ∈

R2 | fy (x, y) = 0}✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ tr➟♥ C ♠➭ tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ ❣r❛❞✐❡♥t ♥➺♠
♥❣❛♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❣✐❛♦ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛

D ✈➭ C ✳

❈ã ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ①➯② r❛✿

• ◆Õ✉ C ❧➭ ♠ét t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝ñ❛ D t❤× ❝➳❝ ➤✐Ó♠ tr➟♥ C t❤á❛ ♠➲♥ ❣r❛❞f (x, y)
❧✉➠♥ ❞➢➡♥❣ ❤♦➷❝ ❧✉➠♥ ➞♠✳ ❉♦ ➤ã✱

i = 0✳

❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ✷ ➤✐Ó♠ p1 , p2 tr➟♥ C ♠➭ ❣r❛❞f (p1 )

λ(p1 )(1, 0) ✈í✐ λ(p1 ) > 0 ✈➭ ❣r❛❞f (p2 ) = λ(p2 )(1, 0) ✈í✐ λ(p2 ) < 0✳ ❱× λ
❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥➟♥ ❦❤✐
tå♥ t➵✐ ➤✐Ó♠

C

=
❧➭

p ❝❤✉②Ó♥ ➤é♥❣ tõ p1 ➤Õ♥ p2 t❤❡♦ ❝❤✐Ò✉ ❞➢➡♥❣ t❤×

p ∈ C s❛♦ ❝❤♦ λ(p ) = 0✳

▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦

p ∈ C ⊂ D ♥➟♥ fy (p ) = 0 ✈➭ λ(p ) = fx (p ) = 0✳ ❙✉② r❛

p ∈ C ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛ f ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt t✃t ❝➯ ❝➳❝
➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛

f ♥➺♠ ë ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ ➤➢ê♥❣ trß♥ C ✳

• ◆Õ✉ C ✈➭ D ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝❤✉♥❣ t❤× C ✈➭ D ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ t➵✐ j ➤✐Ó♠
❝➠ ❧❐♣✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇❡③♦✉t✱ t❛ ❝ã

j ≤ 2(d − 1)✳


✷✸
❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣

(−1, 0) ✈➭ (1, 0) ❧➭ ❝➳❝ ❣✐➳

trÞ ❝❤Ý♥❤ q✉② ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵✿

h=

❣r❛❞f
❣r❛❞f

: Sr1 → S 1

❉♦ ➤ã

|❞❡❣(h, (−1, 0))| + |❞❡❣(h, (1, 0))| = 2|i| ≤ j ≤ 2(d − 1).
❱❐②✱

|i| ≤ d − 1.

✸✳✸✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳

◆Õ✉ f (x, y) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ d ❝❤Ø ❝ã ♥❤÷♥❣ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣✱

t❤× f (x, y) ❝ã ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭ (d − 1)2 ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱× f (x, y) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ d ♥➟♥ {fx (x, y) = 0} ✈➭ {fy (x, y) =

0} ❧➭ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ➤➵✐ sè ❝ã ❜❐❝ ❝❛♦ ♥❤✃t ❧➭ d − 1✳ ●✐❛♦ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➢ê♥❣
❝♦♥❣ ♥➭② ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛
➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝➠ ❧❐♣ ♥➟♥ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝

f (x, y)✳ ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt f (x, y) ❝❤Ø ❝ã ❝➳❝

fx (x, y) ✈➭ fy (x, y) ❦❤➠♥❣ ❝ã ❝➳❝ ♥❤➞♥ tö

❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝❤✉♥❣✳ ❱❐②✱ t❤❡♦ ➜Þ♥❤ ❧ý ❇❡③♦✉t sè ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ ❝ñ❛
♥❤✃t ❧➭

f (x, y) ❧í♥

(d − 1)2 ✳

✸✳✹✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳

◆Õ✉ f (x, y) ❝ã ❝❤Ø sè i > 1✱ t❤× f (x, y) ❝ã Ýt ♥❤✃t ❧➭ 2(i − 1)

➤✐Ó♠ ❦ú ❞Þ t➵✐ ✈➠ ❤➵♥✳
➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✸✳✹✱ t❛ ❝➬♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❜æ ➤Ò s❛✉✿
✸✳✺✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭✐✮ ➜✐Ó♠ tr➡♥ p0 tr➟♥ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ➤➵✐ sè

G ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠

t✉r♥✐♥❣ ❝ñ❛ G ➤è✐ ✈í✐ ➤✐Ó♠ p ∈ R2 ✱ ♥Õ✉ t✐Õ♣ t✉②Õ♥ tí✐ G t➵✐ p0 ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈í✐
➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ tõ

p ➤Õ♥ p0 ✳

✭✐✐✮ ➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣

G = {(x, y) ∈ R2 | g(x, y) = 0} ❧➭ t❤✉ ❣ä♥✱ ♥Õ✉ ➤❛ t❤ø❝ g

❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤➞♥ tö ❜é✐ ❧í♥ ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ ✷✳