chuyên đề cực trị

Th viện SKKN của Quang Hiệu />Trờng THCS Thái Thịnh
Tổ khoa học tự nhiên
Chuyên đề :
Cách giải bài toán tìm cực trị
Của tam thức bậc hai
Môn Toán
Lớp 8
----------------
Năm 2005 - 2006
phần I : đặt vấn đề
I. cơ sở lý thuyết.
Môn toán nói chung và môn Đại số lớp 8 nói riêng có nhiều dạng
bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất)
là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn
nhất, dài nhất ... Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi
tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế.
Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và
có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện
nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả
cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí
tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học
sinh khá giỏi.
Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy
giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt
ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t
duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ?
Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo
viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8
chúng tôi (nhóm Toán trờng THCS Thái Thịnh) mạnh dạn đa chuyên đề
Phơng pháp tìm cc trị của tam thức bậc hai vào dạy cho
học sinh lớp 8.

II. những yêu cầu cần thiết.
1. Đối với giáo viên.
- Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống
các bài tập về cực trị thuộc dạng tam thức bậc hai.
- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở
bậc trung học cơ sở.
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc
những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị.
2. Đối với học sinh.
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của
bài toán cực trị dạng tam thức bậc hai.
- Có kĩ năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán
cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp.
- Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.
Phần II : Nội dung
A. Một số dạng toán cực trị trong đại số.
I. Định nghĩa và chú ý.
1. Cho biểu thức f(x).
- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1)
+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = M (2)
- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1)

+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = m (2)
2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)
GTLN của hàm f là m = min f(x)
3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định
nghĩa tơng tự.
4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm GTLN
hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau :
- Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :
f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số.
- Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
- Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.
5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của
một biểu thức.
Chẳng hạn, xét biểu thức
(x 1)
2
+ (x 3)
2
.
Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá trị
nào của x để A = 0.
II. Các kiến thức thờng dùng.
1. x
2
0 x Dấu = xảy ra

x = 0
Mở rộng : [f(x)]
2n
0 , x R , n Z. Khi đó ta có
[f(x)]
2n
+ M M ; -[f (x)]
2n
+ m m. Dấu = xảy ra

f(x) = 0
2. a/ a
2
+ b
2
2ab , a, b. Dấu = xảy ra

a = b
b/
2
a
b
b
a
+
a > 0, b > 0. Dấu = xảy ra

a = b
III. phơng pháp tìm cực trị của tam thức bậc hai.
Để tiến hành giải bài toán tìm cực trị ta có nhiều phơng pháp. Song để đơn

giản hoá kiến thức chúng tôi thống nhất chọn phơng pháp nhóm so sánh để tìm
cực trị của tam thức bậc hai. Dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng
và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :
p = A
2
+ k k,
p = -B
2
+ l l,
p = A
2
+ B
2
+ m m,
p = A.B
2
+ n n với A 0,
p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0.
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,
chẳng hạn : M N, a > 1 a
M
a
N
;
M N, 0 < a < 1 a
M
a
N
;

A B > 0, > 0 A


B


;
A B > 0, < 0 A


B

.
Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra phải
mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
1/ A = x
4
+ 4x
2
3;
2/ B = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1;
3/ C = (x 1)
2

+ (x
2
1)
4
+ (x
3
1)
6
.
Giải :
1/ Vì x
4
, x
2
0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
Cách khác :
Ta có A = x
2
(x
2
+ 4) 3 3. Dấu = xảy ra x
2
(x
2
+ 4) = 0 x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x
2
+ x + 1)

2
=
16
9
4
3
2
1
x
2
2









+






+
Vì
4

3
4
3
2
1
x
2
+






+
, dấu = xảy ra khi x =
2
1

.
Nên minB =
16
9
x =
2
1

.
3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1)
2

= (x
2
1)
4
= (x
3
1)
6
= 0 x =
1
Vậy minC = 0, khi x = 1
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = - x
2
+ 2x + 6
Giải :
Ta có B = - x
2
+ 2x + 6 = -(x
2
2x) + 6 = -( x 1)
2
+ 7
Vì -( x 1)
2


0 , x -( x 1)
2
+ 7 7. Dấu = xảy ra khi x = 1

Vậy max B = 7 x = 1
IV. Một số bài tập áp dụng.