SKKN-BẤT DANG THUC

Mục lục
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Phơng pháp nghiên cứu
4. Nhiệm vụ của đề tài
5. Phạm vi đề tài
6. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
7. Dự kiến kết quả của đề tài
Phần II: Nội dung
phát triển năng lực, t duy của học sinh THCS thông qua việc áp dụng giải toán bất đẳng
thức trong đại số
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
Phần III: Thực nghiệm s phạm
Phần IV: Kết luận
Phần V: Tài liệu tham khảo
1
A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ
cung cấp cho học sinh (ngời học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện
chủ yếu rèn luyện khả năng t duy lôgic, một phơng pháp luận khoa học.
Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phơng pháp dạy học và giải bài tập Toán
đòi hỏi ngời giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phơng pháp dạy học để
góp phần hình thành và phát triển t duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần
đợc bồi dỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác t duy để giải các bài tập Toán trong
đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát
huy cao độ tính t duy, trí tuệ cho học sinh.
Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng, đặc biệt là

với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức
đó là:
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề
tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải đợc.
- Học sinh thờng ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phơng pháp
giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thờng khó, phải áp dụng các
kiến thức khó nh: quy nạp toán học, phản chứng,... nên học sinh hay ngại và học sinh cha vận
dụng đợc toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó nh cực trị, hàm số,...
Vì vậy: Phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là
cần thiết. Trong những năm học tập, giảng dạy ở trờng THCS tôi đã học hỏi, tích luỹ đợc một
số kiến thức về toán bất đẳng thức xin đợc trình bày dới góc độ nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng
thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn
toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài
tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học
sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức
trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và vận dụng
thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc
học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trờng.

- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
2
4) Nhiệm vụ của đề tài.
Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận
thức của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để làm bài
tập.
Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp.
Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng pháp giải,
cách đổi biến.
Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phơng trình dạng dặc
biệt.
5) Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh
lớp 8 và lớp 9.
6) Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối
năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT.
Phơng pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đa ra phơng pháp giải, bài tập áp
dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( Học sinh về nhà tự làm )
7) Dự kiến kết quả của đề tài.
Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc những bài toán đơn giản, hay mắc sai
lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện đợc đề tài này: Học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài
tập tốt hơn, tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng tự, hạn chế đợc rất nhiều
sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
3
B Nội dung
áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trờng THCS.

I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
1. Định nghĩa:
Cho 2 số a và b ta nói:
a lớn hơn b, kí hiệu: a > b

a - b > 0.
a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b

a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b

b < a.
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c

a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:
a > b

a + c > b + c.
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với bất
đẳng thức đã cho: a > b, c > d

a + c > b + d.
Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng chiều với
bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng.

a > b, c > 0

a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
a > b, c < 0

a.c < b.c
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
Nếu a > b

0, c > d

0 thì ac > bd.
2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức
a > b > 0

a
n
> b
n
.
a > b

a
n
> b
n
với n = 2k ( k

Z).

2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng
Với m > n > 0:
- Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
.
- Nếu a = 1 thì a
m
= a
n
.
- Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
.
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì
<
a
1
b
1
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a

b) tức là a > b hoặc a = b.
Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) có thể thay bởi dấu

( hoặc dấu

)
3. Các bất đẳng thức cần nhớ.
3.1. a
2


0, -a
2


0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.2.
a


0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3.3. -
a


a


a
. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.
3.4.
ba
+

a
+
b
. Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab

0.
4
3.5.
ba




a
-
b
. Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab

0;
a



b
.
(Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a

b

0 hoặc a

b

0).
Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng:
a/ a
2
+ b
2


2ab.
b/ (
2
ba
+
)
2


ab hay (a + b)
2


4ab (Bất đẳng thức Cô si).
c/
a

1
+
b
1



ba
+
1
với a; b > 0.
d/
b
a
+
a
b


2 với ab > 0.
e/ (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
).(x
2

+ y
2
). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
1. Phơng pháp dùng định nghĩa
1.1 Cơ sở toán học:
Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0.
Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0.
1.2 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

-1.
Giải
Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)]
= (x
2
-5x+4)(x
2
-5x+6) + 1.
Đặt (x
2
-5x+5) = y, biểu thức trên đợc viết lại nh sau:
(y-1)(y+1) + 1 = y
2
-1+1 = y
2


0.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1)

0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

-1.
Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
.
Giải
Xét hiệu 2 vế:
2(x
2
+ y
2
) - (x + y)
2
= 2x
2
+ 2y
2
- x
2
- 2xy - y
2

= x
2
- 2xy + y
2
= (x + y)
2


0.
Vậy 2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì:

2
ba
+



ab
.
Giải
Xét hiệu:

2
ba
+
-
ab
=
2
abba
+
=
2
)(
2
ba
+


0. Đúng với mọi a; b

0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng:
.
22
2
33

+

+
baba
Giải
Xét hiệu: A =
( )
( )
( )
8222
3
22
2
33
babababababa +

+
=






+

+
5

( )( )
.
8
3
4
2444
2
4
2
2
2
2222
22
22
baba
bababababa
baba
baba
ba
+=








++

=








++
+
+
=
Vì a > 0; b > 0; (a - b)
2


0 nên A

0.
Vậy
.
22
2
33

+

+
baba
1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
.
22
2
22






+

+
baba
2/ x
3
+ 4x + 1 > 3x
2
với x

3.
3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c
2

+ d
2
+ cd

3ab.
4/ Với
1

ba
thì
.
1
2
1
1
1
1
22
ab
ba
+

+
+
+
2. Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức.
2.1. Cơ sở toán học.
- Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy
ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thờng là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên)

2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a
4
+ b
4
>
8
1
.
Giải
Ta có a + b > 1 > 0. (1)
Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc:
(a + b)
2
> 1

a
2
+ 2ab + b
2
> 1. (2)
Mặt khác: (a - b )
2


0

a
2
- 2ab + b

2


0. (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) ta đợc: 2(a
2
+ b
2
) > 1

(a
2
+ b
2
) >
2
1
. (4)
Bình phơng hai vế của (4) ta đợc: a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
>
4
1
. (5)

Mặt khác: (a
2
- b
2
)
2


0

a
4
- 2a
2
b
2
+ b
4


0. (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a
4
+ b
4
) >
4
1
. Hay a
4

+ b
4
>
8
1
.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
cba
+
1
+
acb
+
1
+
bac
+
1



a
1
+
b
1
+
c
1
.

Giải
Xét
cba
+
1
+
acb
+
1
với a + b - c > 0; b + c - a > 0.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có:
x
1
+
y
1



xy
1



yx
+
4
.
Vì vậy ta đợc:
cba

+
1
+
acb
+
1


b2
4
=
b
2
Tơng tự ta có:
acb
+
1
+
bac
+
1


c
2
6

bac
+
1

+
cba
+
1


a
2
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta đợc:

cba
+
1
+
acb
+
1
+
bac
+
1



a
1
+
b
1
+

c
1
.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu
2
22
+
ba
thì
.2
+
ba
Giải
Ta có:
( )
.2020
2222
2
abbabababa
++
Từ
.22
2222
+
baba
Suy ra
022

ab

hay 2ab

2.
Mặt khác (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1)

22

ab
(2)

2
22
+
ba
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
( )
4
2
+
ba
hay
.2
+

ba
Nhng
baba
++
nên
.2
+
ba
2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau:
1. a > b; c > d

a - c > b - d.
2. a > b; c > d

ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà cha biết hai vế có
không âm hay không)
3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế không âm:
a > b

a
2
> b
2
.
4. Khử mẫu mà cha biết dấu của chúng:
b
a
>
d
c

ad > bc.
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có cùng dấu hay
không: a > b


a
1
>
b
1
.
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội
từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n

2 thì: 1 +
2
1
+
3
1
+ ... +
12
1

n
< n.

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có:
A = 1 + (
2
1
+
3
1
) + (
2
2
1
+ ... +
7
1
) + (
3
2
1
+ ... +
15
1
) + ... + (
1
2
1

n
+
12
1

n
).
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân số lớn nhất
trong nhóm ta đợc:
A < 1 +
2
1
.2 +
2
2
1
.4 +
3
2
1
.8 + ... +
1
2
1

n
.2
n-1
=

n
1...11
+++
= n.

2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
ba
11
+



ba
+
4
(a > 0; b > 0).
2/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

abcd4

.
3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4

8
1
.
4/
2
2
1
+
2
3
1
+ ... +
2
1
n
<
n
n 1
+
.
7
3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
3.1. Cơ sở toán học.
- Để chứng minh bất đẳng thức A

B ta biến đổi tơng đơng (dựa vào các tính chất của
bất đẳng thức) A

B

...

C

D. Và cuối cùng đạt dợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên
là C

D.
Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A

B.
- Để dùng phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:
(A
222
2) BABAB
+=
.
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minnh x
2
+ x + 1 > 0 với

x

.
Giải
Ta có: x
2
+ x

+ 1 = (x
2
+ 2.x.1 +
4
3
)
4
1
+
= (x +
2
1
)
2
+
4
3
> 0 với
x

.(Điều phải chứng
minh).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi a, b, c, d, e

R thì:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e) (1)
Giải
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 4 ta đợc:
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2

4a(b + c + d + e).

(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a
2
- 4ad + 4d
2
) + (a
2
- 4ae + 4e
2
)

0

(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2

0 (2)
Vì (a - 2b)
2


0
Rba

;
.
(a - 2c)
2


0
Rca

;
.
(a - 2d)
2


0
Rda

;
.

(a - 2e)
2


0
Rea

;
.

Bất đẳng thức (2) đúng với
Redcba

;;;;
. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có:
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)

(ax + by)
2
. (1)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

y
b
x
a
=
.
Giải
Ta có: (1)

a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2


a
2
x

2
+ 2abxy + b
2
y
2
.


a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0

(ay - bx)
2


0 (2).
Ta thấy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
3.3 Chú ý.
- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu

bằng các dấu

.
Thật vậy, nếu (1)

(2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì cha thể kết luận đợc bất đẳng thức
(1) có đúng hay không.
- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ qua các phép biến đổi tơng đ-
ơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì vậy cần lu ý các phép biến đổi tơng đơng có điều
kiện.
3.4 Bài tập tự giải
1/ Bài 1: So sánh 2 số A =
333

và B =
122

.
2/ Bài 2: Chứng minh rằng với x > 1 ta có:
2
1


x
x
.
3/ Bài 3: Chứng minh rằng:
Rcba

;;
ta có:

8