260 CÂU TRẮC NGHIỆM và ĐÁP ÁN môn ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (theo từng chương có đáp án FULL)

Đáp án câu hỏi trắc nghiệm môn Đại số tuyến tính.
Số phức phần 1: 1b, 2b, 3c, 4a, 5b, 6c, 7a, 8d, 9b, 10c, 11d, 12a, 13b, 14d, 15b, 16a, 17a, 18d, 19c,
20a, 21b, 22a, 23c, 24d, 25c.
Số phức phần 2: 1d, 2b, 3c, 4b, 5b, 6a,7c, 8a, 9b, 10d, 11c, 12d, 13a, 14b, 15d, 16b, 17c, 18c, 19b,
20c, 21a, 22d, 23a, 24c, 25a, 26a.
Ma trận phần 1: 1c, 2d, 3a, 4c, 5d, 6c, 7b, 8a, 9b, 10d, 11d, 12b, 13b, 14a, 15d, 16c, 17c, 18b, 19c,
20b, 21b, 22b, 23d,24c, 25a.
Ma trận phần 2: 1d, 2c, 3d, 4d, 5d, 6d, 7a, 8c, 9d, 10d, 11d, 12a, 13c, 14c, 15b, 16c, 17c, 18a, 19b,
20b, 21b, 22a, 23b,24b, 25a.
Hệ phương trình: 1b, 2b, 3c, 4b, 5b, 6c, 7b, 8c, 9c, 10c, 11c, 12a, 13c, 14d, 15a, 16a, 17a, 18a, 19b,
20b, 21b, 22d, 23c, 24a, 25d, 26a, 27a, 28d, 29d, 30d.
Định thức: 1d, 2a, 3a, 4d, 5d, 6d, 7b, 8d, 9a,10b, 11d, 12d, 13b, 14a, 15a, 16b, 17c, 18c, 19b, 20b,
21c, 22d, 23c, 24c, 25a, 26c, 27b, 28c, 29b, 30a.
Độc lập tuyến tính 1: 1c, 2a, 3b, 4b, 5d, 6d, 7d, 8c, 9c, 10c, 11b, 12d, 13c, 14a, 15c, 16d, 17d, 18a,
19c, 20b, 21a, 22b, 23b, 24b, 25a.
Độc lập tuyến tính 2: 1c, 2a, 3b, 4b, 5a, 6d, 7a, 8c, 9d, 10d, 11c, 12b, 13a, 14a, 15c, 16c, 17d,
18b,19c, 20b, 21d, 22c, 23a, 24a, 25b.
Độc lập tuyến tính 3: 1b, 2d, 3d, 4d, 5a, 6b, 7c, 8a, 9a, 10b, 11d, 12d, 13d, 14a, 15b, 16a, 17a, 18c,
19c, 20c, 21c, 22b, 23b.
Toạ độ vécto: 1d, 2a, 3b, 4c, 5a, 6d, 7a, 8c, 9b, 10b, 11a, 12c, 13a, 14a, 15a, 16d, 17d, 18b, 19c,
20c, 21c, 22b, 23d, 24c, 25b.

1


Câu hỏ i trắc nghiệm: Số phức phần 1.
√
Câu 1 : Tìm 4 trong trường số phức.
a z1 = 2 ; z2 = −2 i. b z1 = 2 ; z2 = −2 .

Câu 2 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để ( −1 + i)

a n=3 .
b n=4 .

c
n

z1 = 2 .

là một số thực.
c n=1 .

√
Câu 3 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để ( −1 + i 3 ) n là một số thực.
a n=1 .
b không tồn tại n.
c n=3 .

d

z1 = 2 ; z2 = 2 i.

d

n=6 .

d

n=6 .

Caâu 4 : Tập hợp tất cả các số phức |z + 2 i| = |z − 2 i| trong mặt phẳng phức là

a Trục 0x.
b Đường tròn.
c Trục 0y.
d
√
Câu 5 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số z = ( − 3 + i) n là một số thực.
a n=1 2 .
b n=6 .
c n=3 .
d

Nửa mặt phẳng.
n=8 .

z 2 + z + 2 = 0 trong C, bieát z = i là một nghiệ√m.
Câu 6 : Giải phương trình z 4 + z 3 + 3 √
−1 ± i 3
−1 ± i 7
a z1,2 = ±i; z3,4 =
.
c z1,2 = ±i; z3,4 =
.
2
2
√
−1 ± 3 i
b z1,2 = ±i; z3,4 =
.
d z1,2 = ±i; z3,4 = −1 ± i 7 .
2

Câu 7 : Tập hợp tất cả các số phức z = a( c o s 2 + i s in 2 ) ; a ∈ IR trong mặt phẳng phức là
a Đường thẳng.
b Đường tròn.
c 3 câu kia đều sai. d Nửa đường tròn.
√
−1 + i 3 n
Câu 8 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số z = (
) là một số thực.
1 +i
a n=5 .
b n=6 .
c n=3 .
d n=1 2 .
√
Caâu 9 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số z = ( − 3 + i) n là một số thuần ảo.
a n=2 .
b n=3 .
c n=1 2 .
d n=6 .
√
1 −i 3
Câu 10 : Tìm argument ϕ của số phức z =
−1 + i
−7 π
π
−1 3 π
π
a ϕ=
.
b ϕ= .

c ϕ=
.
d ϕ= .
1 2
4
1 2
1 2
3
Caâu 11 : Giải z − i = 0 trong trường số phức.
iπ
iπ
5iπ
iπ
iπ
7iπ
a z0 = e 6 ; z1 = e 3 ; z2 = e 6 .
c z0 = e 6 ; z1 = e 2 ; z2 = e 6 .
b

Caùc câu kia sai.

( 1 − i) 9
Câu 12 : Tính z =
3 +i
1 6
3 2 i
8
3 2 i
a
−

.
b
−
.
5
5
5
5
√
Caâu 13 : Tìm 3 i trong trường số phức.
a Các câu kia sai.
b

iπ
6

z0 = e ; z1 = e

5iπ
6

iπ

d

; z2 = e

9iπ
6

.

z0 = e 6 ; z1 = e

c
c
d

8
5

+

5iπ
6

6 4 i
.
5

; z2 = e

d

9iπ
6

1 6
3 2 i
+

.
5
5

iπ

iπ

5iπ
6

.

iπ
6

iπ
2

7iπ
6

.

z0 = e 6 ; z1 = e 3 ; z2 = e
z0 = e ; z1 = e ; z2 = e

.

3 +i

Caâu 14 : Tính z =
2 i
−1
3 i
1
3 i
1
3 i
a
− .
b
+ .
c 1 − 3 i.
d
− .
2
2
2
2
2
2
2+iy
Câu 15 : Biểu diển các số phức có dạng z = e
, y ∈ IR lên mặt phẳng phức là
a Đường tròn bán kính 2 .
c Đường thẳng y = e2 x.
b Đường tròn bán kính e2 .
d Đường thẳng x = 2 + y.

Câu 16 : Cho các số phức z = ea+2i , a ∈ IR. Biễu diễn những số đó lên trên mặt phẳng phức ta
được:
a Nửa đường thẳng.
c Đường tròn bán kính bằng e.
b Đường thẳng.
d Đường tròn bán kính bằng e2 .
Câu 17 : Cho số phức z có module bằng 5. Tìm module của số phức w =
a

1 .

2 +3 i
Câu 18 : Tính z =
1 +i
1
3 i
a
+ .
2
2
Caâu 19 :

Caâu 20 :

Caâu 21 :
Caâu 22 :

Caâu 23 :

Caâu 24 :

Caâu 25 :

b

1 0 0 3 0 .

2 0 1 0 .

d

5 .

5 i
5
i
5
i
.
c
− .
d
+ .
2
2
2
2
2
2
√ 10

( 1 +i 3 )
Tìm argument ϕ của số phức z =
−1 + i
−π
7 π
π
−π
a ϕ=
.
b ϕ=
.
c ϕ=
.
d ϕ= .
1 2
3
1 2
1 2
√
1 +i 3
Tìm argument ϕ của số phức z =
1 +i
π
π
π
7 π
a ϕ= .
b ϕ= .
c ϕ= .
d ϕ=

.
1 2
3
4
1 2
Tập hợp tất cả các số phức |z + 2 − i| + |z − 3 + 2 i| = 1 trong mặt phẳng phức là
a Ellipse.
b Các câu kia sai.
c Đường thẳng.
d Đường tròn.
√
Tìm argument ϕ của số phức z = ( 1 + i 3 ) ( 1 − i)
π
π
7 π
π
a ϕ= .
b ϕ= .
c ϕ=
.
d ϕ= .
1 2
3
1 2
4
2
Tập hợp tất cả các số phức e ( c o s ϕ + i s in ϕ) ; 0 ≤ ϕ ≤ π trong mặt phẳng phức là
a Đường tròn.
b Đường thẳng.
c Nửa đường tròn.

d 3 câu kia đều sai.
√
2 +i 1 2
Tìm argument ϕ của số phức z =
1 +i
π
π
7 π
π
a ϕ= .
b ϕ= .
c ϕ=
.
d ϕ= .
4
3
1 2
1 2
Giải phương trình trong trường số phức ( 1 + 2 i) z = 3 + i
1
i
− .
b −1 + i.
c z = 1 − i.
d z = 1 + i.
a
2
2
b

5

c

z · i2006
.
z¯

+


Câu hỏ i trắc nghiệm: Số phức phần 2.
1 + i2007
Câu 1 : Tính z =
2 +i
−i
−2
i
1
i
2
a
+
.
b
+ .
c
− .
5
5

5
5
5
5
Câu 2 : Tập hợp tất cả các số phức |z − 5 | = |z + 5 | trong mặt phẳng phức là
a đường y = x.
b Trục 0y.
c Các câu kia sai.
√
−1 + i 3
Câu 3 : Tìm argument ϕ của số phức z =
( 1 + i) 15
7 π
1 1 π
π
a ϕ= .
b ϕ=
.
c ϕ=
.
3
1 2
1 2
√
Caâu 4 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để ( −1 + i 3 ) n
a n=1 .
b không tồn tại n.
c n=3 .
√
Câu 5 : Tìm i trong trường số phức.

−iπ
5iπ
3iπ
5iπ
a z1 = e 4 ; z2 = e 4 .
c z1 = e 4 ; z2 = e 4 .
b

iπ

z1 = e 4 ; z2 = e

5iπ
4

.

Caâu 6 : Giải phương trình ( 2 + i) z = 1
−1
7 i
− .
b
a z=
5
5
Câu 7 : Giải phương trình ( 2 + i) z = (
1
7 i
a z= − .
b

5
5
1 +3 i
Câu 8 : Tính z =
2 −i
−1
7 i
a
+ .
b
5
5
√

/
− 3 i trong C
−1
7 i
z=
+ .
5
5
2
/
1 − i) trong C
1
7 i
z= + .
5
5

1 + i.

z=

d

ϕ=

d

n=6 .

d

z=

c

z=

−2
4 i
− .
5
5

d

z=

1

c
5

−

7 i
.
5

d

1 − i.

d

3 câu kia đều sai.

1
5

5

3 i
.
5

−

Trục 0x.

z1 = e 4 ; z2 = e
c

1

d

iπ

d

d

−

3iπ
4

3 π
.
4

.

7 i
.
5

1
5

+

7 i
.
5

−2
4 i
+ .
5
5

5

3)
Caâu 9 : Cho z = (1+i
. Tìm module của z.
4−3i
16
a 5.
b 32
.
5
√
Câu 10 : Tìm −9 trong trường số phức.
a z1 = −3 ; z2 = 3 i. b z1 = 3 i.

32
.
25

c
c

Các câu kia sai.

d z1 = 3 i; z2 =
−3 i.

Câu 11 : Tập hợp tất cả các số phức |z + 4 i| = |z − 4 | trong mặt phẳng phức là
a Trục 0y.
c Đường thẳng x + y = 0 .
b Đường thẳng y = 4 x.
d Đường tròn.

2 +3 i
Câu 12 : Tính z =
3 −i
3
i
1
3 i
1
5 i
3
1 1 i

a
− .
b
+ .
c
+ .
d
+
.
5
2
2
2
1 0
2
1 0
1 0
Caâu 13 : Tập hợp tất cả các số phức e4 ( c o s ϕ + i s in ϕ) ; π/2 ≤ ϕ ≤ 3 π/2 trong mặt phẳng phức là
a Nửa đường tròn.
b Nửa
đường c Đường tròn.
d Đường thẳng.
thẳng.
√
Câu 14 : Tìm argument ϕ của số phức z = ( 3 + i) ( 1 − i)
7 π
−π
π
5 π
a ϕ=

.
b ϕ=
.
c ϕ= .
d ϕ=
.
1 2
1 2
4
1 2
Caâu 15 : Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa |z + 2 i| + |z − 2 i| = 9 , trong mặt phẳng phức là
a đường tròn.
b Các câu kia sai.
c nửa mặt phẳng.
d elipse.


Câu 16 : Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa |arg( z) | ≤ π/2 , trong mặt phẳng phức là
a Các câu kia sai.
b nửa mặt phẳng.
c đường tròn.
d Đường thẳng.
1 + i20
Câu 17 : Tính z =
3 +i
−3
i
2
−i
a

+ .
b
+
.
5
5
5
5
√
Câu 18 : Tìm −i trong trường số phức.
iπ
3iπ
a z1 = e 4 ; z2 = e 4 .
b

d

Câu 20 : Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa |arg( z) | =
đường tròn.
√
1 +i 3
Câu 21 : Tìm argument ϕ của số phức z =
( 1 − i) 2010
5 π
7 π
a ϕ=
.
b ϕ=
.
6

6
Câu 22 : Nghiệm của phương trình z 3 = 1 là:
a
b

nửa mặt phẳng.

Các caâu kia sai.
z = 1 ; z = ± 12 −
1
2

√

z = 1 ;z =

d

z = 1 ; z = − 12 ±

±

b

√

a
Caâu 25 : Cho
a

−iπ
4

z1 = e

−iπ
4

ϕ=

; z2 = e
; z2 = e

3iπ
4

.

5iπ
4

.

7 π
.
1 2

i
− .
5

5

d

ϕ=

π
, trong mặt phẳng phức là
3
c Các câu kia sai.
d

z+1 2
+1 =0
z−1
z = ±i.
b Các câu kia sai.
√
argument của số phức z = ( 3 + i) 10 ( 1 − i)
π
8 π
.
b
.
1 2
1 2
số phức z = 1 + 2 i. Tính z 5 .
4 1 − 3 8 i.
b 4 1 + 3 8 i.

5 .

z1 = e

d

c

ϕ=

c

π
.
3

2

π
.
1 2

nửa đường thẳng.

3 π
.
4

d

ϕ=

z = i.

d

z = ±2 i.

c

−π
.
1 2

d

Các câu kia sai.

c

2 2 + 3 5 i.

d

−4 1 − 3 8 i.

c

Các câu kia sai.

d

2 5 .

3
.
2

Câu 26 : Tính môđun của số phức z =
a

i
− .
5
5

3
.
2

Câu 23 : Tìm tất cả các số phức z thỏa
Câu 24 : Tìm

c

3

3
.
2

√

c

a

c

Các câu kia sai.

√
1 +i 3
Câu 19 : Tìm argument ϕ của số phức z =
−1 + i
−5 π
π
a ϕ= .
b ϕ=
.
3
1 2
a

c

b

3 +4 i
i2009
5

.
2

.
7


Câu hỏ i trắc nghiệm: Ma trận phần 1.
Câu 1 : Cho A ∈ M4 [IR] , B = ( bij ) ∈ M4 [IR], với bij = 1 , neáu j = i + 1 , bij = 0 , nếu j = i + 1 . Thực
hiện phép nhân AB, ta thấy:
a
b
c
d

3 câu kia đều sai.
Các dòng của A dời lên trên 1 dòng, dòng đầu bằng 0.
Các cột của A dời qua phải 1 cột, cột đầu bằng 0.
Các cột của A dời qua trái 1 cột, cột cuối bằng 0.


3

1

5


Câu 2 : Với giá trị nào của m thì A =  2

a

b

∀m.

Câu 3 : Cho ma trận A: A =
a

1 .

Câu 4 : Với giá
 trị nào của k
1
0
0

 2
3
0


−2
5
A= 4

1
7
 2
−1 k + 1 4

a ∃k.
Câu 5 : Cho ma trận A =
a

∃m.











1

2
2

3
3

6
4

2
b

 

1

2

1



3
5 −1
m=2 .


2 
4
3 
  1
 khả nghịch?
7
m 2 −1
c m = −1 .
d



Tìm hạng của ma trận phụ hợp PA

−1

5
−3
−1
0 .

3

7 


.

9 
8

c

2 .

thì hạng của ma trận A lớn hơn hoặc bằng 4 :
0
k+5


0
4


0
6



−1
8

2
k+5
b k = −1 .
c ∀k.

1

1

1

2

3

1

3

4

5
b



2

3
−4
∀m.

d

3 .

d

k = −5 .



1

m
0 
. Tính m để A khả nghịch.
0
c m=2 0 .
d

5




m=3 .

0

m=0 .

Câu 6 : Cho A ∈ M4 [IR] , B = ( bij ) ∈ M4 [IR], với bij = 1 , nếu i = j + 1 , bij = 0 , neáu i = j + 1 . Thực
hiện phép nhân AB, ta thấy:
a
b
c
d

Các cột của A dời qua phải 1 cột, cột đầu bằng 0.
Các dòng của A dời lên trên 1 dòng, dòng đầu bằng 0.
Các cột của A dời qua trái 1 cột, cột cuối bằng 0.
3 câu kia đều sai.


1

 2
Câu 7 : Tính hạng của ma trận: A = 


1

a

r( A) = 1 .

b



4

2
3

5
7

2

−1

1 0 1 7 9
r( A) = 3 .

1 5



3 



6 

1

c

r( A) = 4 .

d

r( A) = 2 .


c o s π/3
− s in π/3

Caâu 8 : Cho A =
a
b
c
d

s in π/3
c o s π/3

, X =∈ M2×1 [IR]. Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Vécto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng π/3 .
Vécto X quay cùng chiều kim đồng hồ một góc bằng π/3 .
Vécto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng π/6 .
3 câu kia đều sai.

1

Câu 9 : Cho f ( x) = 3 x2 − 2 x; A =
1 9
−6

a

5
1 3

.

2
−1
1 9
−6
3

b

. Tính f ( A) .
−4
2 3

.

1 9
8

c

−4
2 1

.

d

3 câu kia đều sai.

Câu 10 : Cho A ∈ M3×4 [IR]. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép
biến đổ
 i trên tương
 đương với nhân bên phải ma trận A cho ma trận nào sau đây.
0 0 1


a  0 1 0 .
c 3 câu kia đều sai.
1 0 0




0 0 1
0 0 1 0
 0
 0
1 0 

1 0 0 



b 

.
.
d 
 1


0 0
1 0 0 0 
0 0 0
0 0 0 1




1

1

1

1

 2
Caâu 11 : Cho ma traän A: A = 



2

2

3

3
1

2
b

3
−1
1 .

2 

. Tìm hạng của ma trận phụ hợp PA

a



2 .

Câu 12 : Cho A =
a

1

1

2

0

0

1

0

3

3

2
0

0

.

3

3

a

AB =

b

AB =

1

1 4

1 3

1 4
1 4
1 4

1 8
1 3
1 8

3

2

2

3

2

0

4

1

3



−3
−5
2

0

.

b

0

3

(n ∈ IN + ). Tính A3 .
d

3

2

3

2

0


và B =  2

0

0 
. Khẳng định nào sau đây đúng

4

0
c

4

1

5

 

3

BA xác định nhưng AB không xác định.
AB =

2

5

1

1 4

1 3

0

1 4

1 8

0

.




6 
4 6 

  3
 khả nghịch?
7
m 1 4
c ∀m.

d

m=4 .

d

−3
−5

. Tính f ( A) .
2
5
7

.

c

2

3



0

3

+3
3

1

d

1
−1
2
−5

3

2

an 0
0
bn
1
3 .

0 .

1

3
3
−2
Câu 14 : Với giá trị nào của m thì A = 

2 −7
a ∃m.
b m=3 .
Câu 15 : Cho f( x) = x2 + 2 x − 5 ; A =

=

c

.


a

.

d

n

3

−2
3

.
0

3

3

3 .

a 0
0 b

. Biết

0

1

c

−1
1

0
b

Câu 13 : Cho hai ma traän A =

3 
3

−3
−5
7

5

.

2

5

.

.




2

1

2

3

4

3

4

2

4

5
b

7

2 

. Tìm hạng của ma trận phụ hợp PA





1

Câu 16 : Cho ma trận A: A = 
a

3 .



1

Câu 17 : Tính hạng của ma trận:
1 1
2
−1
2

 2
3
5
3
5

4
7
7
7
5
A=


3
6
−2
8
 3
6 8 1 5 −4 −8
a r( A) = 4 .

5 

c

4 .

d

2 .

r( A) = 3 .

c

r( A) = 5 .

d

r( A) = 2 .

d

m=8 .

8
1 .











b



1

 3

Caâu 18 : Tìm m để hạng của ma trận phụ hợp PA baèng 4 . A = 

1

a

m=6 .

c o s π/6
s in π/6

Caâu 19 : Cho A =
a
b
c
d

b

− s in π/6
c o s π/6

m=3 .

c



1

5

2
6

6 3
m=8 .

1
−1
0

−1



0 



2 
m

, X =∈ M2×1 [IR]. Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Vécto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng π/6 .
Vécto X quay cùng chiều kim đồng hồ một góc bằng π/3 .
Vécto X quay cùng chiều kim đồng hồ một góc bằng π/6 .
3 câu kia đều sai.


1

0

Câu 20 : Cho ma traän A: A = 
 2

3

a

3



4
b

2
m 
. Tìm m để hạng của A−1 bằng 3 .
2
m=1 .
c m=3 .

3 câu kia đều sai.

d

m=2 .

Câu 21 : Cho A ∈ M3×4 [IR]. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được
nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận
nào sau đây.


1 0 0
0 1 
a 3 câu kia đều sai.
c 
 2
.
0 1 0





1 0 0
1
0 0
b 
1 0 
d 
1 0 
 0
.
 0
.
2 0 1
−2 1 1


1

 2
Caâu 22 : Cho A = 


a

4
−1
k = −5 .


Caâu 23 : Cho A =
a

∃k.





1

2
2

3
3

5

0

0

3

3
−2
k+1

0

4

5

6
4 k+5
b ∀k.





.


Với giá trị nào của k thì r( A) ≥ 3 :
c



không tồn tại k.

d

k = −1 .

k 1
1
k 

 với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A bằng 3 ?
2 k k
b k=1 .
c k=1 .
d ∀k.

3






1

2

1


Câu 24 : Cho A =  2

5

2 
 và M là tập tất cả các phần tử của A−1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

a

3

7 4
{−1 , 0 , 2 } ⊂ M .

Câu 25 : Tính hạng cuûa ma
3 2 4 6
 2
1 3 5

A=
 4
5 3 6
4 5 3 7
a r( A) = 3 .

traän:
5
4 


7 
8

b

{6 , −2 , 2 } ⊂ M .

c

{6 , −1 , 0 } ⊂ M .

d

{6 , 1 , 3 } ⊂ M .

b

r( A) = 2 .

c

r( A) = 4 .

d

r( A) = 5 .

4


Câu hỏ i trắc nghiệm: Ma trận phần 2.
√
Câu 1 : Cho z = c o s ( 2π
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông Fn = ( fk,j ) cấp n , với
n
n
fk,j = z (k−1)·(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân Fn · X được gọi là phép biến đổi
Fourier. Tìm biế
n đổi Fourier

của vécto X = ( 1 , 2 , 0 ) T .
√
√
√
√
a X = ( 3 , 23 + i 12 , 23 + i 12 ) T .
c X = ( 3 , 12 − i 23 , 12 + i 23 ) T .
b

3 câu kia đều sai.

d

X = ( 3 , − 12 − i

√

3 1
,
2 2

+i

√

3 T
) .
2

Caâu 2 : ∞−chuẩn của matrận là số lớnnhất trong tổng trị tuyệt đối của từng HÀNG. Tìm ∞−chuẩn

5 −1 2

7
1 
của ma trận A =  3
.
2 −5 7
a 1 1 .
b 8 .
c 1 4 .
d 3 caâu kia đều sai.
√
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông Fn = ( fk,j ) cấp n , với
Câu 3 : Cho z = c o s ( 2π
n
n
fk,j = z (k−1)·(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân Fn · X được gọi là phép biến đổi
Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vécto X = ( 1 , 0 , 1 , 1 ) T .
a 3 câu kia đều sai.
c X = ( 3 , i, 1 , −i) T .
b X = ( 4 , −i, 1 , i) T .
d X = ( 3 , −i, 1 , i) T .
√
Caâu 4 : Cho z = c o s ( 2π
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông A = ( ak,j ) cấp n , với
n
n
ak,j = z (k−1)·(j−1)

được gọ
i là ma trận Fourier. Tìm ma trận Fourier caáp 3.

1
1
1


a A =  1 −1 −1 .
c 3 câu kia đều sai.
1
1
z



1
1
1
1
1
1
−1 1 
z z2 
b A=
d A=
 1
.
 1
.

1 z2 z
1 z2 z
Caâu 5 : Cho ma trận A =
a

2

100

0

3 0 0
2

100

2

6

0

2

. Tính A100 .

.


−2

Câu 6 : Cho ma trận A = 
 4
3
là chỉ số của ma trận A.
a k=2 .

b
0

Các câu kia sai.

c
2

1

100

0

1 0 0
1

.

d
2

1

100

0

3 0 0
1

.



−4
2
4 
. Số nguyên dương k nhỏ nhất thoả r( Ak ) = r( Ak+1 ) gọi
2
2
Tìm chỉ số của ma trận A.
b k=1 .
c 3 câu kia đều sai. d k = 3 .

Câu 7 : 1 −chuẩn của ma trậ
 n A là số lớ
 n nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng CỘT. Tìm 1 −chuẩn
5 −1 2

7
1 
của ma trận A =  3
.

2 −5 4
a 1 3 .
b 1 0 .
c 3 câu kia đều sai. d 7 .
, 2 ) . Đặt I −2 ·u·uT , vécto X = ( 1 , −2 , 1 ) T . Tính ( I −2 ·u·uT ) ·X.
Câu 8 : Cho vécto đơn vị u = ( 13 , −2
3 3
Phép biến đổi ( I − 2 · u · uT ) là phép đối xứng của vécto X qua mặt phẳng P là mặt phẳng
qua gốc O nhận u làm vécto pháp tuyến.
Phép biế
n đổi 
( I − 2 · u · uT ) 
được gọilà phép biến đổ
i Householder.



1 9 /9
1 7 /9
1 9 /9



a 
b 
c 
d 3 câu kia đều sai.
 2 /9
.
 4 /9 .

 −2 /9 .
−7 /9
8 /9
1 1 /9
1


Câu 9 : Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết củama trận AT · A là
1 2 −1

5 
chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận A =  2 3
.
4 1
6
a 3 câu kia đều sai. b 2 7 .
c 3 5 .
d 9 7 .
Caâu 10 : 1 −chuẩn của ma trận là số lớn nhất
của ma
i
 trận AB vớ

1
2 −1
2



A= 2

3
2  và B =  −1
−3 1
4
3
a 1 3 .
b 1 5 .


−2
Caâu 11 : Cho ma traän A = 
 −3
−2
a 3 câu kia đều sai.

trong tổng trị tuyệt đối của từng CỘT. Tìm 1 −chuẩn


3

−1
4
−1

0 
.
2

c

3 câu kia đều sai.

d

1 9 .



1

1
1

2 
. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho r( An ) = 0 .

1

1
b

n=2 .

c

n=4 .

d

n=3 .

Caâu 12 : Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết củama trận
3
4

1
chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma traän A =  2
−2 5
a 1 5 3 .
b 1 0 4 .
c 3 câu kia đều sai. d 2 1 6 .


AT · A laø
6
7 
.
3



−2 1 1
1 2 
Câu 13 : Cho ma trận A = 
 −3
. Ma trận A gọi là ma trận luỹ linh nếu Ak = 0 . Số nguyên
−2 1 1
dương k nhỏ nhất thoả Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận luỹ linh. Tìm chỉ số của ma
trận A.
a 3 câu kia đều sai. b k = 2 .

c k=3 .
d k=4 .
Caâu 14 : Cho A ∈ M3×4 [IR]. Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào cột thứ
3, cột 2 đã được nhân với số 2 và đổi chổ cột 1 cho cột 2. Phép biến đổi trên tương đương
với nhâ
 n bên phả
i ma trận A cho ma trận nào sau đâ
y.

1 0 0
1 0 0




a  2 1 0 .
c  0 2 1 .
0 0 1
0 1 0


1 0 0

b  0 0 1 
d 3 câu kia đều sai.
.
0 1 2

Câu 15 : Cho vécto đơn vị u = ( √ 16 , √−26 , √ 16 ) . Đặt I −u·uT , vécto X = ( 1 , −2 , 1 ) T . Tính ( I −u·uT ) ·X.
Phép biến đổi ( I − u · uT ) là phép chiếu vécto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc

O nhậ
n u làm 
vécto pháp tuyến.



7 /3
5 /3
4 /3



a 
b 
c 3 câu kia đều sai. d 
 −4 /3 .
 2 /3
.
 1 /3 .
1 /3
−1 /3
2 /3
√
Caâu 16 : Cho z = c o s ( 2π
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông Fn = ( fk,j ) cấp n , với
n
n
fk,j = z (k−1)·(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân Fn · X được gọi là phép biến đổi
Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vécto X = ( 2 , −1 ) T .

a X = ( 3 ,2 ) T.
b 3 câu kia đều sai. c X = ( 1 , 3 ) T .
d X = ( 2 ,1 ) T.
Caâu 17 : Cho ma trận A =
a
2

99

B.

2

2
2

2

. Đặt B =
b
2

100

1

1
1

1

. Tính A100 .
c

B.
2

2

199

B.

d
2

200

B.


Câu 18 : Cho A ∈ M3×4 [IR]. Sử dụng phép hai phép biến đổi sơ cấp theo liên tiếp: cộng vào hàng
thứ 2, hàng 1 đã được nhân với số 3 và đổi chổ hàng 2 cho hàng 3. Phép biến đổi trên
tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.
1 0 0
1 0 0





a  0 0 1 .
c  3 0 1 .
3 1 0
0 1 0


1 0 0


b 3 caâu kia đều sai.
d  3 1 0 .
0 0 1
√
Câu 19 : Cho z = c o s ( 2π
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông A = ( ak,j ) cấp n , với
n
n
ak,j = z (k−1)·(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Tìm ma trận Fourier cấp 2.
1 −1
1
1
.
b A=
.
c 3 câu kia đều sai. d A
=
a A=
1
1

1 −1
1
1
.
−1 −1

Câu 20 : Tổng tất cả các phầ
đường ché
o gọi là vết củ
 n tử trên 
 a ma traän.
1 3 2
5 −2 4

2 4 
3
7 
Cho ma traän A = 
 4
 và B =  1
. Tìm vết của ma trận AB.
3 2 2
6
4
5
a 3 câu kia ñeàu sai. b 7 0 .
c 4 6 .
d 6 5 .




Câu 21 : Cho ma trận A = 

a



m=1 .

2
3

1
2

1

3
4

6



3

−1
0
1 


. Tính m để A khả nghịch và r( A−1 ) = 3 .
−1
2 
3
m
b Các câu kia sai.
c m = −2 .
d m=2 .

Câu 22 : ∞−chuẩn của ma trận là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng HÀNG. Tìm ∞−chuẩn
của ma
i
 trận AB vớ


3
−1 2
4
−2 0


3
2 
2
0 
A= 2
 vaø B =  −1
.
−3

1
4
3
−1 2
a 3 3 .
b 3 câu kia đều sai. c 1 1 .
d 1 5 .
√
Caâu 23 : Cho z = c o s ( 2π
) − i s in ( 2π
) là một nghiệm của n 1 . Ma trận vuông A = ( ak,j ) cấp n , với
n
n
ak,j = z (k−1)·(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Tìm ma trận Fourier cấp 4.


1
1
1
1
 1
i −1 −i 

a A=

.
c 3 câu kia đều sai.
 −1
1 −1
1 

1
i −1 −i




1
1
1
1
1
1
1
1
 1
 1
−i −1
i 
i
1
−i 


b A=
d A=

.

.
 1

 1
−1
1
−1 
1
−1
1 
1
i −1 −i
1 −i 1
i
Câu 24 : Tìm ma trận X thỏa mãn

a





9
7
−1

1 5



1 2 
.
6

X·
b



2

5
1

3

1 0

 9
−1 0



4

2

6 
.
7

=
 5

−1


−1 6
−1 8 
.
1 9

c

3



Các câu kia sai.

d



1 0

−8

0

7



1 6 
.
1 2


Câu 25 : Tổng tất cả các phầ
đường chéo gọi là vết của ma trận.
 n tử trên 
1 0 0
1 0 
Cho ma trận A = 
 2
. Tìm vết của ma trận A100 .
3 2 2
a 3 câu kia đều sai. b 4 100 .
c 2 100 + 4 100 .

4

d
2

100

.


Câu hỏi trắc nghiệm: Định thức.


i

1
1
−1
Câu 1 : cho A = 

2 +i 0
số thực.
a m=1 0 .

Câu 2 : Giải phương trình :
a

x = −1 0 .



1

1 
 với i2 = −1 . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để d e t ( Am ) là một
3
b

Ba caâu kia sai.

2

3

3

2

1

c

m=6 .

d

m=4 .

c

Ba caâu kia sai.

d

x = −4 .

det( A) = 2 0 .

d

Ba caâu kia sai.

m=0 .

d

m=2 .

1

1
1
0 −1
−1 1
2
b x=4

4

= −3

1
x
.


3

4

1

−1

 4
Câu 3 : Tính định thức của ma trận: A = 


1

0
−1
0

3
−4

a

det( A) = 5 3 .

2



3

6 4
det( A) = 1 4 .

b



2

3

1

 3

Caâu 4 : Tìm m để det( A) = 6 , với A = 

4

1

a

Các câu kia sai.

Câu 5 : Cho A =
a

2

3
1

4

b

5

2
1
m 1
7








−1
1
2
3

m=1 .






c

. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m ñeå d e t ( Am ) = 0 .

m=5 .

Câu 6 : Tính định thức:
2
5
1
3
2 −1
|A| =
−2 1
0
5
7
2
a |A| = 4 .



3
c



b

m=4 .

c

m=1 0 .

d

Ba caâu kia sai.

b

|A| = 0 .

c

|A| = −3 .

d

|A| = −7 .

3
4
5
−2

Caâu 7 : Biết rằng các số 2 0 5 7 , 2 2 4 4 , 5 5 2 5 chia heát cho 1 7 vaø 0 ≤ a ≤ 9 . Với giá trị nào của a thì định
thức A chia heát cho 1 7 .
2 0 5 7
2 2 4 4
A=
9 0 a 4
5 5 2 5
a a=2 .

b a=4 .
c a=3 .
d a=7 .
1
2

0
3
x 1
0 −1

Câu 8 : Giải phương trình

1
4
1
a

x=5 .

b

1

−1
1
−1

=0
2

1

x= .
3
1

c

Ba câu kia sai.

d

x=

1 0
.
3




2

3


Câu 9 : Cho ma trận A =  3

4

a

5

6 4 .

1



2 
. Tính det( PA ) .
3 −1
b 5 1 2 .
c


2


Caâu 10 : Cho f ( x) = x2 + 3 x − 5 ; A =  4
−1
1
1
a
.
b
.
2 0

5



0

0
1

0 
. Tính det( ( f ( A) )
1
4
c
.
5
3



1

2

det( X) = 4 .

b



0

det( X) = 1 .

1



−1

d

8 .

).
d



1

1

Ba caâu kia sai.



1

1 4 

2 −1 
·X = 1
.
0 1
3 5
2
c det( X) = −2 .
d

Câu 11 : Tìm định thức của ma trận X thỏa mãn 
 0
a

Ba câu kia sai.

det( X) = 3 .



1
1
1

b
c 
Câu 12 : Tính định thức của ma trận A, với A =  a

b+c c+a a+b
a det( A) = ( a + b + c) abc.
c det( A) = abc.

b det( A) = ( a + b) ( b + c) ( c + a) .
d det( A) = 0 .
Câu 13 : Tính định thức của ma trận A100 , biết A =
a

Các câu kia sai.

b

−2

50

Câu 14 : Tính định thức (m là tham soá) |A| =
|A| = 1 2 .

b

i
.
1 +3 i
c 2 50 .
2

.
1

a

1

0
2

0
|A| = 3 + m.

2

−1
1
0
m 4
3
0

50

d
2

( 1 + i) .

d

|A| = 1 6 .

1
1
1

5
c

|A| = 2 − m.

Caâu 15 : Cho ma traän A = ( ajk ) cấp 3 , biết ajk = ij+k , với i là đơn vị ảo. Tính det( A)
a 0 .
b 1 .
c i.
d −1 .
Caâu 16 : Cho d e t ( A) = 3 , d e t ( B) = 1 . Tính d e t ( ( 2 AB)
1
a 6 .
b 24
.
Câu 17 : Cho hai định thức
2
1
−5
1
1 −3
0
−6
A=
0
2
−1
2
1
4

−7
6
a B = A.

4

2
1
−3
vaø B =
−5
0
1
−6
b B = −2 A.

−1

0
2
−1
2

) , biết rằng A, B là ma trận vuông cấp 3 .
c 23 .
d 83 .

2
4
−7

6
c

. Khẳng định nào sau đây đúng?
B = 2 A.

d

Ba câu kia sai.

x x2
4 . Khẳng định nào đúng?
Câu 18 : Biết phương trình (biến x) sau có vô số nghiệm 1 2
1 a a2
a Các câu kia sai.
b ∀a.
c a=2 .
d a=2 .

2

1







Câu 19 : Tìm m để det( A) = 0 với A = 

a

m=4 .

b

1

1

3

2
5

6
6

1
1
−1
0

3



−1

0 




2 
m
c m = −4 .

m=3 .

d

m = −3 .

d

Baäc 5.

d

m=2 0 .

1 .

d

−1 .

−1
5 
. Tính det( 2 AB)

7
c Ba câu kia sai.

d

−7 2 .

d

− 23 .

2
1
x
−2
5
x3
Câu 20 : Tìm bậc của f ( x) , biết f ( x) =
4
2
2 x
5
−2
1
a Bậc 3.
b Các câu kia sai.



Câu 21 : Cho A = 



a



Ba caâu

1

1

−1
2 3
1
3 2
m
4 5
3
kia sai.



−1

Caâu 22 : Cho A =  2
4
a Ba caâu kia
Caâu 23 : Cho: 


A= 0

3

a

0

−2
1
0

0

4
6
3
c



2

4 


. Tìm m để d e t ( PA ) = 0 .
1 
9

b m=0 .
c m = −2 6 .

0 
. Tính det( A2011 ) .

1
3 1
sai.

b



2 0 1 1 .


0

b

1

c


0


4 

 và B =  0

1

Bậc 4.



0

6

1 2 .

3

2
−2

−4 8 .

Caâu 24 : Cho A ∈ M3 [R], biết det( A) = −3 . Tính det( 2 A−1 ) .
a −2 4 .
b −1
.
c − 83 .
24


1


Caâu 25 : Cho A =  5
−2
a −1 6 .

0

0
1
1





−1


0 , B =  0
2
0
b 1 8 .

Câu 26 : Tính định thức:
i+1
2 i
2
1
−1

|A| =
3 −i 1 −i 4
a |A| = 4 + i.

2

1



4 
. Tính det(2 AB) .
1
0

1

+i
0
với i2 = −1
+2 i
b Ba câu kia sai.


 3
Câu 27 : Tính định thức của ma trận: A = 

 4
5
a Các caâu kia sai.

b 0 .

2

1
−1
0
0

3

c

5 .

d

−4 .

c

|A| = 1 2 − 1 4 i.

d

|A| = 1 + 4 i.

d

−2 .

−1
7
−2
−1
1
1 0 −3
c

3







1 .




1

1



1





3
4 1




Câu 28 : Cho hai ma trận A =  1 2 1  vaø B =  −2 1 0 . Tính det( A−1 · B 2n+1 ) .
2 3 5
1
0 0
1
−1
−1
a
.
b
.
c
.
d Ba caâu kia sai.
2n+1
3
3
3
4
1

Caâu 29 : Tìm bậc của f ( x) , biết f ( x) =
x2
−1
a Các câu kia sai.
b Bậc 3.


1

1

Câu 30 : Cho ma traän A = 
 0
1

a

−4 5 .

0

1

−1
2
x
2

2

5
−1
x3 + 1 x + 4
1
0
c Bậc 4.
6



d

Bậc 5.

1 
 và f ( x) = 2 x2 + 4 x − 3 . Tính định thức của ma trận f ( A) .
0 −1
b Các câu kia sai.
c 2 0 .
d 1 5 .

4


Câu hỏ i trắc nghiệm: Hệ phương trình tuyến tính.
Câu 1 : 
Tìm

 x
x



x
a

tất cả m
+ 2 y
+ 3 y
+ 4 y
∀m.

để
+
+
+

hai
5 z
7 z
9 z

hệ phương
 trình sau

= 0
 x +
= 0 ;
x +



= 0
3 x + 1
b m=2 3 .

tương đương
4 y + 9 z = 0
2 y + 7 z = 0
0 y + mz = 0
c ∃m.

d

m=1 .

Câu 2 : Cho ma trận A ∈ M4,5 ( R) , X ∈ M5,1 ( R) . Khẳng định nào đúng?
a 3 câu kia đều sai.
c Hệ AX = 0 vô nghiệm.
b Hệ AX = 0 có nghiệm khác không.
d Hệ AX = 0 có nghiệm duy nhất.




x +
Câu 3 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm  −2 x −

4 x +
a m = −1 .
b m=3 .
c m=3

Câu 4 : Tìm tấtcả m

 x
Hệ (I)  2 x

5 x
a ∃m.

để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệ
 m

+ y + 2 z = 0
 x
+ 3 y + 4 z = 0 ; heä (II)  3 x

+ 7 y + 1 0 z = 0
2 x
b m=4 .
c






Caâu 5 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm 

 3
a

m=5 .

b



1 4
m= .
3

c







Câu 6 : Giải hệ phương trình (tìm tất cả nghiệm) 


a

( −8 , 4 , −1 ) .

b

( 1 6 , −6 , 1 ) .



x
3 x
2 x
x

+
+
+
+
c

2
4

3 y +
z =
−1
6 y + ( m−1 ) z =
4
2
1 2 y + ( 3 +m ) z = m−3
.
d m = −1 .

của hệ (II)
+ 2 y + 2 z =
+ 4 y + 6 z =
+ 5 y + mz =
3 câu kia đều sai.

x
x
x
x

∃m.
2 y − 2 z = 2
7 y − 2 z = 5
5 y + z = 3
3 y + 3 z = 1
Các câu kia sai.

x +
y −
Câu 7 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm  2 x + 3 y −

3 x + my −
a m=2 .
b ∃m.
c 3 caâu kia đều sai.
tất cả m để
+ 2 y + 2 z =
0
+ 3 y + 2 z + 2 t
+ 2 y + z + 2 t
+ y + z + mt
m=2 .
b

hệ

phương

trình

= 0
= 0
= 0
m=0 .

c




0
0
d

m=1 .

+ y + z +
t
+ 3 y + 4 z −
t
+ y + 2 z + 5 t
+ 6 y + 3 z + mt






Câu 8 : Tìm

x



 x


 x

x
a

0

sau

m=0 .

có

=
=
=
=

1

3
2
1

d

m=3 .

d

( −2 0 , 9 , 1 ) .

2 z = 1
3 z = 5
7 z = 4
d m=2 .

nghiệm

d

khác

m = −1 .

mx +
y +
z = 1
z = 1
Câu 9 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm  x + my +


x +
y + mz = m
a m = −2 .
b ∀m.
c ∃m.
d m=1 .

1

khoâng


Câu 10 : Trong
tất cả các nghiệm của hệ phương trình, tìm nghiệm thoả 2 x + y + z − 3 t = 4 .


x
+ y + z + t = 0

2 x + y + 3 z + 4 t = 0


3 x + 4 y + 2 z + 5 t = 0
a 3 câu kia đều sai. b ( 3 , −4 , 2 , 0 ) .
c ( 4 , −2 , −2 , 0 ) .
d ( 5 , −3 , −3 , 0 ) .




2 x − 4 y + 6 z =0
Caâu 11 : Giải hệ phương trình  3 x − 6 y + 9 z = 0

5 x − 1 0 y + 1 5 z =0
/ .
a x = y = 3 α, z = α, α ∈ C
c
/ .
b x = 2 α + β, y = α, z = β, α, β ∈ C
d
Câu 12 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm
a

m = ±2 .

Câu 13 : Tìm tấtcả m

 x
Hệ (I) 3 x


2 x
a m=1 .

để
+
+
+

b

∃m.

/ .
x = 2 α − 3 β, y = α, z = β, α, β ∈ C
/ .
x = −α, y = z = α, α ∈ C





x + 2 y +
z
2 x + 5 y +
3 z


3 x + 7 y + m2 z
c m = −2 .

=
=
=
d

1
5
5

m = ±2 .

tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệ
m của hệ (II)


2 y + 2 z = 0
y + 2 z = 0
 x +
4 y + 6 z = 0 heä (II)  2 x + 3 y + 4 z = 0 ;

5 y + mz = 0
5 x + 7 y + 1 0 z = 0
b ∃m.
c ∀m.
d 3 caâu kia ñeàu sai.




x +
y + 2 z =
2
y + 3 z =
5
Câu 14 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm  2 x +

3 x + my + 7 z = m + 2
a 3 câu kia đều sai. b m = 4 .
c m=3 .

d ∃m.
Câu 15 : Vớ
 i giá trị

 x + 2 y
2 x + y


3 x + 3 y
a m=4 .

nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường?
+
z =0
+ 3 z =0
+ mz = 0
b m=4 .
c m=0 .
d m=3 .

Câu 16 : Tìm
tất cả m để tất cả


x
+ 2 y + 1 z

3 x + y + 5 z



4 x + 5 y + mz
a m=1 .

hai hệ khôn
g tương đương.

= 1
y +
 x +
= 6 vaø 2 x + 3 y +


= 1 0
3 x + 4 y +
b 3 caâu kia ñeàu sai. c

2 z = 1
4 z = 1
5 z = 3
∃m.

d

m=1 .





x + 3 y +

z =
−1
0
Caâu 17 : Tìm tất cả m để hệ sau vô nghiệm  2 x + 6 y + ( 1 − m) z =

2
2 x + 6 y + ( m +1 ) z = m−3
a m=1 .
b m = ±1 .
c m=3 .
d

m = −1 .

Câu 18 : Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau
tương đương


x + 2 y + 3 z




y + z + 2 t = 1
 x +
 2 x +
y + z
x + 3 y + 4 z + 5 t = 3 ;



5
x
+
4
y
+ 4 z



3 x + 2 y + 2 z + 7 t = 5

3 x + 6 y + 9 z
a m=9 .
b 3 câu kia đều sai. c ∃m.

m=6 .

Câu 19 : Trong tất cả cá
 c nghiệm của

x2
 x1 +
trị nhỏ nhất.  2 x1 + 3 x2

x1 + 2 x2
a ( −3 , 2 , 1 , 0 ) .
b

+ 3 t
+ 5 t

+ 1 1 t
+ mt

=
=
=
=

2
4
7
6
d

hệ phương trình, tìm nghiệm sao cho x21 + x22 + x23 + x24 đạt giá
+ 2 x3 + x4 = 1
+ 4 x3 + 2 x4 = 4
+ 3 x3
= 4
−3
1 −10
( 11 , 2 , 11 , 11 ) .
c 3 câu kia đều sai. d ( −12
, 2 , 45 , −1
).
5
5
2





x + y + 2 z −
t=0
t=0
Câu 20 : Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của heä  2 x + 3 y + z +

−x + y + z + mt = 0
có chiều bằng 1.
a m=7 .
b ∃m.
c m=5 .
d m=7 .
Caâu 21 : Tìm
tất


x
+
2

2 x + 3


3 x + 5
a m=2

cả m để

y + ( 3 − m) z
y −
5 z
y +
mz
.
b

hệ phương
=0
=0
=0
m = −1 .

trình

c

Câu 22 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm
a

m=2 .

b

sau








m = ±2 .

c

2
3

có

d

x + 2 y +
z
x + 5 y +
3 z
x + 7 y + m2 z
m = −2 .

=
=
=
d

2 x +
Caâu 23 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau là hệ Cramer  3 x +

x +

a m = −2 .
b m=0 .
c m = −4

a

tất cả m
+ y +
+ 3 y + 4
+ y + 2
+ 6 y + 3
1 4
m= .
3

z
z
z
z

để hệ phương
+
t = 0
−
t = 0
+ 5 t = 0
+ mt = 0
b

trình

sau

m=3 .

khác

Các câu kia sai.





Câu 24 : Tìm

x



 2 x

3 x



4 x

nghiệm

có

c

không.

m=1 .
1
5
7
m = ±2 .

3 y + mz =
3
2 y − 1 z = −3
2 y − 3 z =
0
.
d Các câu kia sai .

nghiệm

m=5 .

không

tầm

d

m=

thường

1 2
.
3





x + my + mz = 1
y + mz = 1
Câu 25 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm  mx +

mx + my +
z = m
−1
a m=1 .
b m=
.
c ∀m.
d m = −2 .
2
Câu 26 : Tìm
tất cả


x
+ 2 y


2 x + 4 y


3 x + 6 y
a m = −2 .

giá trị thực m để hệ phương trình sau có VÔ SỐ NGHIỆM
+
3 z =
1
+
8 z = m+4
2
+ ( m +5 ) z = m+5
b m = ±2 .
c m=2 .
d m = ±2 .




x + 2 y + ( 7 − m) z = 2
5 z = 1
Caâu 27 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm  2 x + 4 y −

3 x + 6 y +
mz = 3
a Caùc caâu kia sai.
b m=0 .

c m=1 .
d m = 19
.
2
Caâu 28 : Tìm
tất cả

x
+ y



 2 x + 3 y


 3 x + 2 y

4 x + 5 y
a m = −3 .

m để hệ phương
+ z −
t = 0
+ 3 z − 2 t = 0
+ 2 z + mt = 0
+ 3 z + mt = 0
b m=3 .

trình

sau

c

chỉ

m=2 .




có

nghiệm

d

bằng

Các câu kia sai.

x + 2 y +
z = 1
3 z = 5
Câu 29 : Tìm tất cả m để hệ phương trình sau VÔ NGHIỆM  2 x + 5 y +

3 x + 7 y + m2 z = 6
a m = ±2 .
b m = ±2 .
c m=2 .

d ∃m.
3

khoâng.


Câu 30 : Vớ
 i giá trị

 x + 2 y
2 x + y


3 x + 4 y
1
a m= .
3

naøo của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất bằng 0 ?
+
z =0
+ 3 z =0
+ mz = 0
1 1
b m=0 .
c m=3 .
d m= .
3

4

Câu hỏ i trắc nghiệm: Độc lập tuyến tính phần 1.

Câu 1 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ thực V . Với giá trị nào của số thực m thì
mx + y + 3 z, mx − 2 y + z, x − y + z cũng là cơ sở?
a m = − 75 .
b Các câu kia sai.
c m = 75 .
d m = 75 .
Caâu 2 : Cho M = {x, y, z} là tập sinh của không gian véc tơ V . Khẳng định nào sau đây luôn
đúng?
a
{x, y, x + y + z} sinh ra V.
c {2 x, 3 y, 4 z} khoâng sinh ra V.
b
{x, 2 y, x + y} sinh ra V.
d Hạng của họ {x, x, z} bằng 3.
Câu 3 : Cho họ véctơ M = {x, y, z, t} có hạng bằng 3. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a x, y, z độc lập tuyến tính.
c M độc lập tuyến tính.
b M sinh ra không gian 3 chiều.
d x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.
Câu 4 : Trong IR3 cho hoï M = {( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 4 , 6 ) , ( 3 , 4 , m) }. Với giá trị nào của m thì M sinh ra
không gian có chiều là 3?
a ∀m.
b ∃m.
c m=3 .
d m=1 .
Caâu 5 : Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3 , biết {x, y} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào

sau đây ñuùng?
a V =< x, y, 2 x >.
c V =< x, y, x + 2 y >.
b Taäp {x, y, 0 } độc lập tuyến tính.
d {x, y, x − y} sinh ra không gian 2 chiều.
Câu 6 : Trong không gian véctơ V cho họ M = {x, y, z, t} có hạng bằng 2 . Khẳng định nào sau
đây luôn đúng? ký hiệu: ĐLTT, PTTT, THTT là độc lập , phụ thuộc và tổ hợp tuyến tính
tương ứng.
a M sinh ra không gian 3 chiều.
c {x, y} ĐLTT.
b {2 x} không là THTT của {x, y}.
d {x, y, x + z} PTTT.
Câu 7 : Trong IR3 cho họ M = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 3 , 5 ) , ( 3 , 4 , m) }. Với giá trị nào của m thì M sinh ra
không gian có chiều là 3?
a ∀m.
b m=6 .
c m=4 .
d m=6 .
Caâu 8 : Cho ba vectơ {x, y, z} là cơ sở của không gian véc tơ V . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a {x, y, 2 y} sinh ra V .
c Hạng của họ {x, x + y, x − 2 y} bằng 2.
b {x, 2 y, z} phụ thuộc tuyến tính.
d {x, y, x + y + z} không sinh ra V .
Caâu 9 : Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vectơ V , biết {x, y, z} độc lập tuyến tính.
Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Hạng của họ {x, y, z, 2 x + y − z} bằng c Các caâu kia sai.
4.
b Dim ( V ) = 3 .
d t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.
Câu 10 : Cho V =< ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 2 , −1 , 3 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) >. Với giá trị nào của m thì x = ( 2 , 1 , m) ∈ V .

a m=2 .
b m=0 .
c ∀m.
d ∃m.
Câu 11 : Với giá trị nào của k thì M = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 2 , k) } SINH ra IR3 ?
a k=4 .
b k=4 .
c k=2 .
d Không tồn tại k.
Câu 12 : Cho V =< x, y, z, t >. Giaû sử t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khẵng định nào luôn đúng?
a 2 x + y + 3 t không là véctơ của V .
c x, y, t độc lập tuyến tính.
b 3 câu kia đều sai.
d {x, y, z} là tập sinh của V .
Câu 13 : Cho không gian vecto V sinh ra bởi 4 vecto v1 , v2 , v3 , v4 . Giả sử v1 , v3 là hệ độc lập tuyến
tính cực đại của hệ v1 , v2 , v3 , v4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
a v1 , v2 , v3 không sinh ra V .
c v2 là tổ hợp tuyến tính của v1 , v3 , v4 .


Câu 14 : Cho không gian véctơ V =< ( 1 , 1 , −1 ) , ( 2 , 3 , 5 ) , ( 3 , m, m + 4 ) >. Với giá trị nào của m thì
V có chiều lớn nhất?
1 4
a m= .
b ∀m.
c m=3 .
d m=5 .
3
Câu 15 : Với giá trị nào của k thì M = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 3 , 4 , 5 ) , ( 1 , 1 , k) } khoâng sinh ra R3 ?
a Không có giá trị nào của k.

c k=1 .
b k=1 .
d Các câu khác đều sai.
Câu 16 : Trong không gian véctơ thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định
nào sau đây đúng?
a x là tổ hợp tuyến tính của y, z.
c M không sinh ra V .
b Hạng của M bằng 2 .
d 2 x là tổ hợp tuyến tính của M .
Câu 17 : Trong không gian véctơ IR3 cho các ba véctơ x1 = ( 1 , 1 , 1 ) , x2 = ( 0 , 1 , 1 ) , x3 = ( 0 , 1 , m) . Với
giá trị nào của m thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2 ?
a m = −1 .
b m = −1 .
c m=1 .
d m=1 .
Caâu 18 : Tìm tất cả m để M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 3 , 4 ) , ( 3 , 2 , 1 , m) , ( 1 , 0 , 2 , 3 ) } SINH ra không gian 4
chiều?
a ∃m.
b m=5 .
c m=0 .
d ∀m.
Câu 19 : Cho M = {x, y, z} là tập cơ sở của không gian vectơ V . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a {x, y, x + z} là cơ sở của V .
c {x, y, x + y + z} phụ thuộc tuyến tính.
b Dim ( V ) = 2 .
d
{x, y, 2 x + y} sinh ra V .
Câu 20 : Trong không gian véctơ V cho họ M = {x, y, z, t} có hạng bằng 2 . Khẳng định nào sau
đây luôn đúng?
( ký hiệu: ĐLTT, PTTT, THTT là độc lập , phụ thuộc và tổ hợp tuyến tính tương ứng.)

a M sinh ra không gian 3 chiều.
c {x, y} ĐLTT.
b {x, y, z + t} PTTT.
d {2 x} không là THTT của {x, y}.
Câu 21 : Cho M = {x, y, z} là tập sinh của không gian vectơ V , biết {x, y} độc lập tuyến tính.
Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Hạng của họ vectơ {x, y, 2 x + 3 y} baèng c Dim ( V ) = 2 .
2.
b {x, y, 2 x + 3 y + z} độc lập tuyến tính.
d
2 x+3 z ∈V.
Câu 22 : Cho không gian vecto V sinh ra bởi 4 vecto v1 , v2 , v3 , v4 . Giả sử v5 ∈ V và khác với
v1 , v2 , v3 , v4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
a
b
c
d

v1 , v2 , v3 , v4 là cơ sở của V .
V sinh ra bởi 5 vecto v1 , v2 , v3 , v4 , v5 .
Mọi tập sinh ra V phải có ít nhất 4 phần tử.
các câu khác đều sai.

Câu 23 : Trong IR3 cho 3 vectô x = ( 1 , 1 , 1 ) , y = ( 2 , 3 , 1 ) , z = ( 3 , 0 , m) . Tìm tất cả m để z là tổ hợp
tuyến tính của x, y.
a m=6 .
b m=6 .
c m=0 .
d m=0 .
Caâu 24 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ thực V . Khẳng định nào sau đây luôn ñuùng?

a
4 y+3 z ∈V.
c {2 x, 3 y, x + z} phụ thuộc tuyến tính.
b Hạng của họ vectơ {x, y, 2 x − y} baèng d Dim ( V ) = 2 .
2.
Caâu 25 : Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian véc tơ V . Giả sử {x, y} là tập độc lập
tuyến tính cực đại của M . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a
{x, 2 y, z} sinh ra V.
c {2 x, 3 y} không là cơ sở của V .
b {x, z, t} độc lập tuyến tính.
d Hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 3.


Câu hỏ i trắc nghiệm: Độc lập tuyến tính phần 2.

Caâu 1 : Cho V =< ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 ) , ( 5 , 3 , 1 ) >. Khẳng định nào luôn luôn đúng?
a {( 1 , 1 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } là cơ sở của V .
c {( 1 , 0 , −1 ) } ∈ V .
b dim( V ) = 3 .
d Các câu kia sai.
Câu 2 : Trong không gian véctơ V cho E = {x, y, z} là tập sinh. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a {2 x, x + y, x − y, 3 z} sinh ra V .
c Hạng của {x, y, 2 y} bằng 3.
b Các câu kia sai.
d Hạng của {x, y, x + 2 y} bằng 2.
Câu 3 : Trong không gian véctơ V cho E = {x, y, z} là cơ sở. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Các câu kia sai.
c x là tổ hợp tuyến tính của y, z.
b Hạng của x, y, x + 2 y bằng 2.

d Hạng của x, y, 2 y bằng 3.
Câu 4 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ V . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Hạng{x + y, y + z, x + y + z} = 2 .
c Các câu kia sai.
b {x + y, x − y, x + z} là cơ sở của V .
d
{x, y, 2 x + y} sinh ra V .
Caâu 5 : Cho M = {( 1 , 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 1 , 0 , 3 ) } là tập sinh của không gian véctơ V . Tìm m để
{( 3 , 1 , 6 ) , ( 1 , 2 , m) } là cơ sở của V .
a m = −3 .
b m=0 .
c m=4 .
d m=3 .
Caâu 6 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian véctơ V . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Các câu kia sai.
c {x, 2 y, 3 z} không là cơ sở của V.
b
{x, y, x + y, x + z} khoâng sinh ra V.
d
{x, x + y, x + y + z} là cơ sở của V.
Câu 7 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ thực V . Với giá trị nào của số thực m thì
2 x + 3 y + z, mx + 2 y + z, x + y + z cũng là cơ sở?
b m = 15 .
c m = − 35 .
d Caùc caâu kia sai.
a m = 32 .
Caâu 8 : Cho {x, y, z} là tập sinh của không gian véctơ V . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Dim( V ) = 4 .
c x + y, x − y, 3 z là tập sinh của V .
b x+2 y ∈ V.

d 3 câu kia đều sai.
Câu 9 : Cho không gian véctơ V có chiều bằng 3 , biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp
tuyến tính của x, y. Khẳng định nào sau đây đúng?
a {x, y, 2 x − 3 y} sinh ra khoâng gian 3 c V =< x + y + z, x − y, x + 3 y + 2 z >.
chieàu.
b V =< x, y, x + 2 y >.
d V =< x + y, x − y, z >.
Câu 10 : Cho không gian véctơ V =< x, y, z, t >, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào
sau đây luôn đúng?
a t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
c {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính.
b
dim( V ) = 3 .
d x là tổ hợp tuyến tính của 2 x, y, z.
Caâu 11 : Cho M = {x, y, z} là tập độc lập tuyến tính, t không là tổ hợp tuyến tính của M. Khẳng
định nào luôn đúng?
a {x, y, z + t, z − t} có hạng bằng 3.
c {x + y, x − y, z, t} coù hạng bằng 4.
b Các câu kia sai.
d x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.
Câu 12 : Trong R4 cho họ véctơ M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , 2 , 3 , 1 , 4 ) , ( −1 , 3 , m, m + 2 ) , ( 3 , 1 , 2 , 2 ) }. Với giá trị
nào của m thì M sinh ra không gian 3 chiều.
a m=2 .
b m=0 .
c m=2 .
d m=0 .
Caâu 13 : Cho không gian véctơ V có số chiều bằng 3 , biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ
hợp tuyến tính của {x, y}. Khẳng định nào sau đây đúng?
a x + y, x − y, x + y + 3 z là cơ sở của V . c V =< x, y, x + 2 y >.
b {x, y, z } khoâng sinh ra V .

d 3 câu kia đều sai.


Câu 14 : Cho x, y, z là ba véctơ của không gian véctơ thực V , biết M = {x+y +z, 2 x+y +z, x+2 y +z
là cơ sở của V . Khẳng định nào luôn đúng?
a {2 x, 3 y, 4 z} là cơ sở của V .
c {x + y, x − y, 2 z} có hạng bằng 2.
b Các câu kia sai.
d {x + y, y + z, x − z} là cơ sở của V .
Câu 15 : Cho {x, y, z, t} là tập sinh của không gian véctơ V . Giả sử t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
Khẵng định nào luôn đúng?
a 3 câu kia đều sai.
c x, y, z sinh ra V .
b Dim( V ) = 3 .
d {x, y, z} độc lập tuyến tính.
Câu 16 : Trong khoâng gian R3 cho khoâng gian con F =< ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 2 , 3 , −1 ) ; ( 5 , 6 , −1 ) > vaø
x = ( 2 , m, 3 ) . Với giá trị nào của m thì x ∈ F .
a m=4 .
b m=2 .
c m = −1 .
d m=3 .
Caâu 17 : Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian véctơ V . Biết x, y là tập con độc lập tuyến
tính cực đại của M . Khẳng định nào luôn đúng?
a x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.
c y là tổ hợp tuyến tính của {z, t}.
b {x + y, x − y, z, t} khoâng sinh ra V .
d t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.
Caâu 18 : Cho M = {x, y, z} là cơ sở của không gian vectơ thực V . Với giá trị nào của số thực m thì
x + 2 y + z, mx + y + 3 z, mx + 3 y − z có hạng bằng 2 ?
b m=1 .

c m=3 .
d Các câu kia sai.
a m = 75 .
Câu 19 : Trong không gian véctơ V có chiều bằng 4, cho hai họ độc lập tuyến tính
M = {x, y, z}; N = {u, v, w}. Khẳng định nào luôn đúng?
a M ∪ N là tập sinh của V .
c M ∪ N phụ thuộc tuyến tính.
b Hạng của họ M ∪ N bằng 4.
d M ∪ N sinh ra không gian 3 chiều.
Câu 20 : Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vectơ V , biết {x, y} là hệ con độc lập tuyến
tính cực đại của M . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Hạng của hoï {x, y, z, 2 x + y − z} baèng c Dim ( V ) = 3 .
3.
b t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.
d Các caâu kia sai.
Caâu 21 : Cho V =< ( 1 , 1 , 0 , 0 ) , ( 2 , 1 , −1 , 3 ) , ( 1 , 2 , 0 , 1 ) , ( 4 , 5 , −1 , 5 ) >. Tìm m ñeå ( 3 , −1 , 2 , m) ∈ V .
a m=3 .
b m = −1 .
c m=2 .
d m = −1 2 .
Caâu 22 : Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vectơ V , biết {x, y, z} là họ độc lập tuyến
tính cực đại của M . Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a Các câu kia sai.
c t là tổ hợp tuyến tính của {x, y, z}.
b {x, y, t} độc lập tuyến tính.
d Dim ( V ) = 4 .
Caâu 23 : Cho V =< ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 3 , 0 ) , ( 3 , 2 , 1 , 1 ) , ( 4 , 3 , 1 , m) >. Tìm m để dim( V ) lớn nhất.
a m=2 .
b m=3 .
c ∀m.

d m=4 .
Câu 24 : Cho không gian véctơ V =< x, y, z, t >, biết {x, y} là họ độc lập tuyến tính cực đại của
x, y, z, t. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a x, y, x + y + z sinh ra V .
c {x, t} phuï thuộc tuyến tính.
b
{x, y, t} độc lập tuyến tính.
d {z} không là tổ hợp tuyến tính của
{x, y}.
Câu 25 : Trong không gian véctơ V cho E = {x, y, z} là cơ sở. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
a
b
c
d

{x, y, 3 z, x − y} sinh ra không gian 2 chieàu.
{2 x, x + y, x − y, 3 z} là tập sinh của V .
{x + y + z, 2 x + 3 y + z, y − z} sinh ra V .
Hạng của {x, y, x + 2 y} baèng 3.