TÍCH PHÂN bội BA (GIẢI TÍCH)

§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
Định nghĩa:
Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω
trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không
dẫm lên nhau Ω1, Ω2 ,..., Ωn có thể tích tương ứng là
∆V1, ∆V2 ,..., ∆Vn

Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk)
n
Lập tổng tích phân Sn = ∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk
k =1

Cho max d (Ωk ) → 0, nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu
hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách
lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích
phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω


§2.
tính
Vậy:

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

∫∫∫ f ( x, y , z )dV =
Ω

lim

n

∑ f ( xk , y k , zk )∆Vk

max d ( Ωk )→0 k =1

Chú ý : Vì tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia
miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song
song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là
hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz
Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :

∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz
Ω

Ω


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω
tính

1. ∫∫∫ dxdydz = V (Ω )
Ω

2. ∫∫∫ C.f ( x, y , z )dxdydz = C ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz
Ω

Ω

3. ∫∫∫ (f ( x, y , z ) + g ( x, y , z ))dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz
Ω

Ω

4. Nếu g ≥ f trên Ω thì

Ω

∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz ≤ ∫∫∫ g ( x, y , z )dxdydz
Ω

Ω

Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau
Ω1, Ω2
5. ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz
Ω

Ω1

Ω2


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục
trong miền đóng, giới nội, liên thơng Ω thì trong Ω tồn
tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho :

∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = f ( x0 , y 0 , z0 )V ( Ω)
Ω

Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng

1
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz
V (Ω) Ω


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
Cách tính
Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là
miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn
dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì

 ϕ ( x ,y )


∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫  ∫ f ( x, y , z )dz  dxdy
Ω
D ψ ( x ,y )

ϕ ( x ,y )

Ta cịn viết tích phân trên ở dạng

∫∫ dxdy ∫ f ( x, y , z )dz
D

ψ ( x ,y )

Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định
hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi
xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 = ∫∫∫ 2zdxdydz
Ω

Trong đó Ω giới hạn bởi

0 ≤ x,0 ≤ y , x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần
hình trịn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y
Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên
4

I1 = ∫∫ dxdy ∫ 2zdz
x2 +y 2

D

2

2 2

=

2 4
∫∫ ( z )x 2 + y 2 dxdy
D
π
2

2

= ∫∫ (16 − ( x + y ) )dxdy = ∫ dϕ ∫ r (16 − r 4 )dr
D

0

0

§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
y=0

z=4
z=x2+y2

D
x=0


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz
Ω

Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0
Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên
đường parabol y=x2 là mặt trụ khơng kín, ta cần thêm
giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng
Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của
Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D

1
Trong miền D, ta có y≤1
tức là 0 ≤ 1 - y nên trong
D
Ω mặt phẳng z = 1 – y
nằm trên mặt phẳng z = 0
-1
1


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính

y+z=1

Vì vậy:
1− y

I2 = ∫∫ dxdy ∫ ( x + y )dz
D

0

= ∫∫ ( x + y )( z01− y )dxdy

z=0

D

1

1

−1

x2

I2 = ∫ dx ∫ ( x + y )(1 − y )dy

y=x2


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính
Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên
miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z
Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D
giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1
Miền D ứng với x+y≥0 nên
ta được 0≤z ≤x+y. Vậy :

x+
y

I3 = òòò f ( x, y , z )dxdydz
W

x +y

I3 = òò dxdy ò xdz
D

0

1

1- x

I3 = ò xdx ò dy
0

0

=1


§2.

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách

tính

x+y=z

y=0

x+y=1

x=0


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Xét điểm M(x,y,z) trong khơng gian, N(x,y,0) là hình
chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ
của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ
Vậy điểm M được xác
định bởi bộ ba số (r, φ, z),
chúng được gọi là tọa độ
trụ của điểm M. Công
thức liên hệ giữa tọa độ
trụ và tọa độ Descartes là
 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ
z = z


z

M(x,y,z)

z
x

φ

r

y
N(r,φ)


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Ta có cơng thức tính tích phân trong tọa độ trụ

∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ r .f (r cos ϕ, r sin ϕ, z )drdϕdz
Ω

Ω

Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ
nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3
mặt tọa độ là 1 phần hình trịn hoặc 1 phần ellipse.


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Ví dụ 4: Tính tích phân I3 = ∫∫∫ zdxdydz
Ω

Trong đó Ω là miền giới hạn bởi z = x 2 + y 2 , z = x 2 + y 2
Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z
từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt
phẳng z = 0
2

2

2

z=x +y = x +y

2

⇔ ( x 2 + y 2 )2 − x 2 + y 2 = 0

 z = x 2 + y 2 = 0 (loại)
⇔
z = x 2 + y 2 = 1

Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là

hình trịn

x 2 + y 2 ≤ 1 , tương ứng ta có


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Vì x2+y2≤1 nên

I3 =

Vậy:

x2 + y 2 ≤ x2 + y 2

∫∫

dxdy

x 2 + y 2 ≤1

x2 +y 2

∫

zdz

x2 +y 2

Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình trịn nên ta
sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt :
 x = r cos ϕ

 y = r sin ϕ
z = z


và ta có
2 r

2π

1

r

0

0

r2

I3 = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ zdz

1
π
z
2

4
I3 = 2π .∫ rdr .( ) = π .∫ r (r − r )dr =
12
2 r2
0
0
1


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ

Miền D


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ
trụ
z
dxdydz
Ví dụ 5: Tính tích phân I5 = ∫∫∫ 2
Ω x + y2
Trong đó Ω giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1, z = 0, x + y + z = 2

√2

Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω
xuống mặt phẳng Oxy ta được hình trịn : x2+y2≤1
Với 2 mặt cịn lại, ta phải so
sánh giữa z=0 và z= √2 -x-y
để có cận đối với dz
Ta vẽ thêm đường thẳng
√2 -x-y =0 trong mp z=0 để
so sánh
Rõ ràng, trong hình trịn
ta có
√2 -x-y ≥0
=0
-y
-x


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Vậy :

2−x −y

I5 =

∫∫

dxdy

z

∫

dz

x2 + y 2
Hình chiếu của Ω là hình trịn nên ta sẽ đổi tích
phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt  x = r cos ϕ
x 2 + y 2 ≤1

0


 y = r sin ϕ
z = z


2p

I5 = ò d j
0

2p

2- r cos j - r sin j

1

ũ rdr

ũ

0

1

0

ổ
ử
z
ữ
I5 = ũ dj ũỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố2 ứ
0

0

2

0

z
dz

r

2- r cos j - r sin j

dr


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ1 2 p ổ

I5 =

ỗ
2ỗ
ũ
2 ố
0

1
2(cos j + sin j ) + (1+ sin2j
3

ư
7p
÷
)÷
d

j
=
÷
ø
3

x+y+z=√2

Ta sẽ tính bằng
cách thứ 2
x2+y2=1

Miền D


§2.
trụ
I5 =

=

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

z 
 ÷
2
2
x + y  2 0
2

1

∫∫

x 2 + y 2 ≤1

2

2−x −y

dxdy

2

2 + x + y − 2 2x − 2 2y + 2 xy

∫∫

x 2 + y 2 ≤1

x2 + y 2

dxdy

Ta đang có tích phân kép trên cả hình trịn nên ta sẽ
đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường
và được

2 + r 2 − 2 2r (cos ϕ + sin ϕ ) + 2r 2 sin ϕ cos ϕ
I5 = ∫ d ϕ ∫ r

dr
r
0
0
2π

1


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong
tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường
theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu
sang tọa độ cực.


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

trụ
Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên
miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π
Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song
với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và
được miền D : 1≤ y2+z2≤4

2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π
4p

I6 = òò dydz ò ( y 2 + z 2 )dx =
2p

D

2p

I6 = 2pò dj
0

2
2
2
r
.
r
dr
=
15
p
ò
1

òò

1£ y 2 +z 2 £ 4

2

2

( y + z ).2pdydz


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

cầu
Trong khơng gian cho điểm
M(x,y,z), N là hình chiếu của M
xuống mặt phẳng xy. Ta đặt:
φ là góc giữa Ox và tia ON
θ là góc giữa Oz và tia OM
ρ là độ dài đoạn OM

M

θ
ρ
φ

N

Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π
Nếu M nằm trên Oz thì góc φ khơng xác định, cịn
khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng khơng xác

định. Cịn tất cả các điểm khác đều có thể xác định
φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

cầu
Khi đó, ta dễ dàng tính được

 x = ρ sinθ cos ϕ

 y = ρ sinθ sin ϕ
z = ρ cos θ


Ngược lại, ta có cơng thức chuyển từ tọa độ cầu
sang tọa độ Descartes như sau

 ρ = x 2 + y 2 + z2

y

tan ϕ =
x


x2 + y 2
tanθ =


z


§2.

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ

cầu
Từ
đó, ta có cơng thức đổi biến tích phân bội 3 sang
tọa độ cầu:

∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz
Ω

= ∫∫∫ ρ 2 sinθ f ( ρ sinθ cos ϕ, ρ sinθ sin ϕ, ρ cosθ )dϕ dθ d ρ
Ω

Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần
hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân
bội ba sang tọa độ cầu.
Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω
xuống mặt phẳng Oxy, cịn đối với θ, ρ thì dựa vào
phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz