CHUỖI hàm (GIẢI TÍCH)

§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
�
�
n
n
� an ( x - x0 ) hay � an x
n=0
n=0

a0, a1, a2, .. là hằng số

Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn
(2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo
x hoặc (x-x0).
Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng
(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng
tổng quát dạng (2)


§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
�
n
Miền HT của chuỗi lũy thừa � an x là tập D nếu
n=1
�
n
a
x
�
" x = x0 �D chuỗi số

n 0 HT
n=1

Ví dụ: Chuỗi

� n
� x
n=0

Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)


§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
�
1
Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi �
2n
n=11 + x

un ( x ) =

1
2n

xác định với mọi x

1+ x
Khi |x|<1: Cho n � � ta được x 2n � 0
� lim un = 1 chuỗi PK theo đkcssht

n��

1
Khi |x|=1: x = 1, " n � un = , " n Chuỗi PK
2
n
�1 �
1
1
�
�
:
=
Khi |x|>1: Cho n � � un =
�
2n
2 n
2�
�
�
1+ x
(x )
|x| �
�
Chuỗi HT vì |x|>1
Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
2n


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT

�

Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa �an x

n

n=1

�

� an x0

tức là chuỗi số

n

n =1

HT tại x=x0,

HT. Theo đkccsht ta được

n
n
a
x
=
0
�
$

M
>
0
:
a
x
< M, " n
lim n 0
n
0

n ��

Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi:
n

�x �
n
n �
n
an x = an x 0 � �
=
a
x
�
n
0
�
�
x

�0 �

n

n

�x �
�x �
�
�
�
�
= vn, " n
<
M
�
�
�
�
�
�
�
�
x0 �
x0 �
�
�

�

v n HT
Nếu |x|<|x0| thì chuỗi n�
=1
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh.
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
�

Nếu chuỗi lũy thừa � an x HT tại x0 �0 thì nó HTTĐ tại
n

n=1

mọi điểm x �(- | x0 |,| x0 |)
�

an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x
Hệ quả: Nếu chuỗi n�
=1
thỏa |x|>|x1|
n

Bán kính hội tụ (BKHT):
�

Số R>0 sao cho chuỗi �an x n HT với mọi x: |x|n =1

PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa
�
n
lim
|
a
|
n
�
n ��
1
R=
Thì
BKHT
là
r =�
Đặt:
� | an+1 |
r
lim
�
n ��
| an |
�
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa

Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ cịn xét sự HT của
chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi
sau
n
�
� x
n
1. � (nx )
2. � n 2
n=1
n=1 2 .n
1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn:
r = lim n | an | = lim n = +� � R = 0
n��

n��

BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0}
1
1
1
n
n
= �R =2
2. an = n 2 � lim | an | = lim
n 2

2
n ��
n �� 2 .n
2 .n
� 1
Khi x=2: �
2 là chuỗi số dương HT
n=1 n
� (- 1)n
Khi x=-2: � 2 là chuỗi HTTĐ
n=1 n
Vậy MHT [-2,2]


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi:
n
n
�
�
�n +1 �
x
2n
�
�
1. � n
2. � �
( x - 1)
�
n

�
2n - 1�
n=1 3 + 5
n=1�
(n - 1)! x
3. �
n=1
5n
�

n

n!
4. � n n
n=1 n x
�

1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5)
1
1
1
n
an = n
� lim | an | = lim n n
= → R=5
n
n
5
n ��
n �� 3 + 5

3 +5
� (�5)n
Khi x=± 5: � n
Là 2 chuỗi PK theo đkccsht
n
n=1 3 + 5
Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi
đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
n
�n +1 �
2
�
,
X
=
(
x
1)
�0
2. Chuỗi lũy thừa với an = �
�
�
�
�
2n - 1�
n
�

�
n +1 � 1
n
n
�
lim | an | = lim �
= → R=2
�
�
n��
n�� �
2n - 1� 2
n
� �n + 1 �
n
�
Ta chỉ xét X=2: � �
2
Chuỗi PK theo đkccsht vì
�
�
�
2n - 1�
n=1�
3
n
2n- 1�2n- 1
�
n
�

3
�
�
�3 �
2n + 2�
3
�
�
2 �0
�
�
�
�
un = �
=
1
+
n
�
�
e
�
uuu
uuu
r
�
�
�
�
� 2n - 1�

� �
�
�
�2n - 1�
�
�
�
�
�
�
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
0 � X < 2 � 0 �( x - 1)2 < 2 � 1Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)

2 < x < 1+ 2


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
(n - 1)!
3. Chuỗi lũy thừa với an =
5n
| an +1 |
n!
5n
n
� lim
= lim n +1 .
= lim = +� → R=0
n �� | an |
n �� 5
(n - 1)! n�� 5

Vậy BKHT R=0, MHT là {0}


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
n!
1
4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X =
x
n
n
n
�
�
| an +1 |
(n + 1)! n
n � 1
�
lim
= lim
. = lim � �
=
n
+
!
�
n �� | an |
n �� ( n + 1)
n ! n �� �
n + 1� e
→ R=e

� n! n
Khi X=e: �
e
n
n =1 n
un +1 (n + 1)! e n +1 n n
e
� Dn =
=
.
=
n�� 1
n +1
n
n uuuuuur
un
(n + 1)
n!e
1+ 1
n
n
n +1
�
�
�
�
1�
1�
Tuy nhiên, vì �
�

1+ �
< e <�
1+ �
,"n
�
�
�
� n�
� n�
Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert

(

)


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
n!
1
4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X =
, R=e
x
n
�
n
!
n
Khi X=-e: � (- e ) = � (- 1)n n ! e n
n
n =1 n

n =1
nn
�

Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó
cũng PK
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
�
1
x
>
�
1
1
e
X x
e
1
�
x
<�
e
Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
�

Tính chất của chuỗi lũy thừa: � an x

n =1

n

(1)

Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:
1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
� �
�
��
n�
n
n- 1
�
�
S�
(x) = �
a
x
=
a
(
x
)
=
a

nx
, " x �(- R, R )
�
�
�
�
n
n
n
�
�
� n=1
n =1
n =1
3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
n +1
x
n
n
, " x �(- R, R )
�S(t )dt = �� ant dt = � an �t dt = � an
n +1
n =1
n =1
0
0 n =1
0
x

x �

�

x

�


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Ví dụ: Tìmn BKHT và tính tổng các chuỗi sau
� x
�
n
1. �
2. � nx
n =1 n
n =1
�

3. � (- 1)n 2nx 2n- 1
n =1

xn
4. � 2
n =1 n + n
�

1
1. Chuỗi có an =

Dễ dàng suy ra R=1.
n
� xn
Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt S( x ) = �
n =1 n
� �
n�
� �
x �
1
n- 1
�
�
� S (x) = � � �
= �x
=
, " x �(- 1,1)
�
� n=1
1- x
n =1�
�n �
x

1
dt = - ln(1- x ), " x �(- 1,1)
Vậy: S( x ) = �
0 1- t

§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
2. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt
�

n

�

S( x ) = � nx = x � nx
n =1

n- 1

n =1

� � 1 �
� (1- x ) - x (- 1)
�� n �
�
S( x ) = x �
�x �
= x�
x
=
x
�
�
�
�
�

�
�
� 1- x �
n =1
(1- x )2
x
S( x ) =
, " x �(- 1,1)
2
(1- x )


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
3. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt
�
�
��
n
2n - 1
n 2n �
�
S( x ) = � (- 1) 2nx
=�
(
1)
x
�
�
�
�

�
n =1
n =1
�
��
2 n�
�
=�
(
x
)
�
�
�
�
�
n =1
�
� 2
�
1
�
=�
(- x )
�
�
2
�
�
�

1- (- x ) �
- 2 x (1 + x 2 ) + x 2.2 x
=
(1 + x 2 )2
2x
, " x �(- 1,1)
Vậy: S( x ) = 2 2
(1 + x )


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
4. Dễ dàng thấy R=1, " x �(- 1,1) ta đặt
�
� n�
� xn
� xn
xn
1
1 �
�
S( x ) = � 2
= �x �
= �
- �
�
�
�
�
n n + 1� n=1 n n=1 n + 1
n =1 n + n

n =1
� xn
1 � x n +1
S( x ) = �
�
x n=1 n + 1
n =1 n
�
� xn
� xn
1�
x
�
�
S( x ) = �
- �
�
Sử dụng kết quả câu 1.
�
�
�
x�
1�
n =1 n
n =1 n
�
1
S( x ) = - ln(1- x ) - ( - ln(1- x ) - x )
x
�

1 �
- 1�
+ 1, " x �(- 1,1)
Vậy : S( x ) = ln(1- x )�
�
�
�
�
x �


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
� f (n )( x )
0 ( x - x )n
�
0
n
!
n =0
Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm
� f ( n ) (0) n
x
�
n =0 n !
Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi
x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể
bằng f(x).

§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành
chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
1. f(x) khả vi vô hạn lần
2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n
thì f ( x ) = � f
�

n =0

(n )

( x0 )
( x - x0 )n , " x �( x0 - R, x0 + R )
n!

Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều
kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử
dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi
Taylor - Maclaurint


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
�

n

x
1 / e  � , MHT: D  R
n!
n 0
x

�

�
1
2/
 �x n , 1  �(1)n x n , D   1,1
1  x n 0
1  x n 0
�

 (  1)...(  n  1) n
3 / 1 x 1 �
x
n!
n 1


R,
 �N
�
�
 1,1 ,   0
�
D�

 1,1 ,  1    0
�
�
 1,1 ,  �1
�


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
�

4 / ln(1  x )  �(1)

n 1 x

n

n 1

�

n

,

D   1,1

2n 1

x
5 / sin x  �( 1)

(2n  1)!
n 0
n

�

2n
x
cos x  �(1)n
(2n )!
n 0
�

2n 1
x
6 / arctan x  �( 1)n
,
2n  1
n 0

DR

D   1,1


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:
x
1. f ( x ) = 2
x - 5x + 6

2. f ( x ) = ln(2 - 3 x + x 2 )

�1
x
1 �
�
�
=
x
�
�
2
�
�
x - 3 x - 2�
x - 5x + 6
�
�
�
�
n
n�
�
�
�
�
�
��
��

1
1
1
1
1
x
1
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= x�
+
=
x
+
� ��
�
�
�
�
�
�

�
�
�
�
x
x
�
��
���
3
2
3
3
2
2
�
n =0
n =0
�
�
�
11- �
�
�
�
3
2�
� �1
1 �
n +1

�
x
Vậy: f ( x ) = � �
MHT: (-2,2)
�
�
n
+
1
n
+
1
�
n =0 �
2
3 �
1. f ( x ) =

x
x
Chuỗi HT nếu - 1 < < 1 và - 1 < < 1 ↔ -23
2


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x)
x
f ( x ) = ln(1 + (- x )) + ln 2 + ln(1 + (- ))
2

n
n- 1
� (- 1)n- 1
�
�
�
(- 1)
x�
n
�
f ( x ) = ln2 + �
(- x ) + �
- �
�
�
n
n � 2�
n =1
n =1
�n
1� 1 �
f ( x ) = ln2 - � �
1+ n �
x MHT: (-1,1)
�
�
n =1 n � 2 �
�

Chuỗi HT nếu

�
- 1 <- x < 1
�
�
� - 1< x <1
�
x
�
- 1<
<1
�
2
�


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint

(

Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: f ( x ) = ln x + 1 + x 2

1
Ta tính f �
(x) 

x



1
1 x 
 1
x  1 x2
1 x2
2

1

2 2
x



Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):

1 �
1 �
�
�
  1�
�
�
�
1 2 �2 �
2 �4
�
�
f (x)  1  x 
x L

2
2!
1�
1 � �1
�
�
�
 �
  1�
L �
  n  1�
�
�
2�
2 � �2
2n
�
�
�
L
x L
n!

)


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint

f�
(x)  1 

�

n 1.3.5...(2n  1) 2n
(1)
x
n

�

n 1

2 n!

Hàm khai triển được nếu 0 �x 2 �1 � 1 �x �1
x
�
f
(
t
)
dt
0

Suy ra: f ( x )  �



ln x  1  x

2

 x �

MHT : 1 �x �1

�

n 1

 f (0)

n 1.3.5...(2n  1) 2n 1
(1)
x
n

2 n !(2n  1)