TÍCH PHÂN bội BA (PHẦN 2) (GIẢI TÍCH)

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH
PHÂN BỘI BA


ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
f(x,y,z) xác định trong , đặt

x = x(u,v,w)
y = y(u,v,w)

(x,y,z)    (u,v,w)  ’

xu� x �
xw�
y

z = z(u,v,w)

D( x , y , z)
J
 y u� yv� y w�
D (u , v , w )
zu� zv� zw�

�
�
�

f ( x , y , z )dxdydz 



�
�
�

g (u ,v ,w ) | J | dudvdw

�


Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của 
Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau
qua mp z = 0
1.f chẵn theo z :

�
�
�


f ( x , y , z)dxdydz

2

�
�
�


f ( x , y , z)dxdydz

1

2.f lẻ theo z :

�
�
�


f ( x , y , z )dxdydz  0


Lưu ý:
• Mp z = 0 là mp Oxy
• Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng
qua mp
• y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y)
• x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)


TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos, y = rsin, z = z
z z

x



M

r

y

r 

2

x y

2



M’

cố định z
đổi sang tọa độ trụ  hình
chiếu D đổi sang tọa độ cực.


TỌA ĐỘ TRỤ
x = rcos, y = rsin, z = z
J=r

�
�
�

f ( x , y , z )dxdydz 



�
�
�

f (r cos  , r sin  , z)rdrd dz

�

Điều kiện giới hạn:
1.r  0
2. [0, 2] hay  [- , ]


TỌA ĐỘ CẦU
x = sincos,

z


y = sinsin,

M

y

x



z = cos
J = 2 sin

Điều kiện giới hạn:
1.  0
2.  [0, 2] hay  [- , ]
3.  [0, ]


Lưu ý:
2

2

  x y z

2

x 2  y 2   sin 
Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới
hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.


Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu
2

2

2

x y z R
2

2

2

x  y  z �R

2

2

x 
�y�
 z

2

2

2

2Rz

�  R

0 � �R
�
�
��
ۣ
0  
�
0 � �2
�
� �2R cos
�

�
0 
�
2
�
0 � �2
�


z
1
x  y  � tan  
a
a
2

2

R
x y R �  
sin 
2

2

2

Nón trên.
Trụ trịn.


VÍ DỤ
1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ
4

4xx2

2

� � �

I  dx
0

2

2

dy xzdz

0

0

0 �x �4
�
�
D  hc  : �
2
Oxy
0
�
y
�
4
x

x
�
x = rcos, y = rsin, z = z

: 0  r  4cos, 0   

0z2


z=2

y =0

x2 + y2 = 4x

4xx2

4

z=0

2

�
�
�
0
0
0

I  dx
 2



dy xzdz

4cos 

2

0

0

r cos  .z.rdz
� �dr �

d

0


2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa
độ trụ, cầu:
2

4 y 2

0

�
�
0
0

I  dy

dx

�

 4 x 2  y 2

xzdz


2

4 y 2

0

� �

I  dy
0

�

dx

0

xzdz

 4 x 2  y 2

 2

I

x = rcos,
y = rsin,
z=z

0

2

r
cos

.
z
.
rd
z
�
� �

d

0

dr

0

 4r 2

4 y 2

2

0

�
�
0
0

I  dy

 2

I



dx

 4 x 2  y 2

2

� ��


2

d  sin  cos  . cos . sin  d 

d

0

�

xzdz

2

0


3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu:

I

�
�
�


zdxdydz

 Là miền bên trong nón

2

z x y

2

2
2
2
x

y

z
2
và bị chắn bởi mặt cầu


2

2

2

2

x  y  z  2, z  x  y

2

x = rcos,

y = rsin,
z=z

1

J=r
Giao tuyến: z  1
2

I

2

x  y 1

1

�
�
�


zdxdydz 

2

1

2r 2


z.rdz 
2

�� �
d dr

0

0

r


z  x  y , x  y  z  2 x = sincos,
y = sinsin,
2

2

2

2

2

z = cos.

1

J = 2 sin

2

I

 4

2

���
d

0

d

0

 cos 2 sin  d 

0


4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:

I�
zdxdydz
�
�



2
2
2
x

y

z
�2z
: z � x  y ,
2

2


2

2

2

2

2

z � x  y , x  y  z �2z
Giao tuyến của mặt cầu và trụ

1


4
1

2
2
�
z x y
�
� 2
2z  2z
�

z 1
�
� �2
2
x

y
1
�


z � x  y , x  y  z �2z x = sincos,
y = sinsin,
2

2

2

2

2

z = cos.

1

J = 2 sin


4



2

�   2cos

2

2

zdxdydz 
�
�

�


2cos

 cos
� � �
d

0

2

x  y  z  2z


1

2

d

4

0

2

sin  d 

I

�
�
�

zdxdydz 



2



 2

2cos

�
�
�
0
 4
0



6

d

d

2

 cos sin  d 


Cách 2:

2

2

: z � x  y , x 2  y 2  z 2 �2z

2
2
�
�

cos

�

sin




sin

Biểu diễn lại : �
� �2cos

�
� cos �  2 sin 2    sin 
�
2cos ( cos 0)
� �
0 � �2cos
�
�
��
ۣ
(0   / 2)
�tan  �1
�

0 � �2cos
�
�
��
ۣ
 4   2
�
0 � �2
�

5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu:

I�
xdxdydz
�
�


: 2 �x 2  y 2  z 2 �4, x � y 2  z 2
x = cos, y = sincos, z = sinsin
J = 2 sin


2

2

2

2

2 �x  y  z �4, x � y  z

2

I

�
�
�

xdxdydz 



 4

2

2

���
d

0

d

0

2

 cos sin  d 

2

�1
2�
 3� 


�
�2 4 �