TÍCH PHÂN kép (bội) (PHẦN 2) (GIẢI TÍCH)

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH
PHÂN KÉP


TỌA ĐỘ CỰC
M

y
r

2

2

r  x  y �0


x

x  r cos  , y  r sin 

 �[0,2 ] hay  �[ ,  ]


TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC

a �r �b
�
D:�
 � �
�



Dij
D



 

j

 j 1



ri* , *j




Tổng tích phân

Sn  �f (ri * cos  *j , ri * sin  *j )ri *r 
i, j

�
�
D

f ( x , y )dxdy  lim Sn

lim Sn 

d �0

d �0

�
�

f (r cos  , r sin  )rdrd

D


Công thức đổi biến sang tọa độ cực

x  r cos  , y  sin 

�
�
�
D

f ( x , y )dxdy 

�
�
D

f (r cos  , r sin  )rdrd


Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực

x  r cos  , y  r sin 
R

R

-R

R

2

2

x y R
�r R

2

D
-R

R
2

2

x  y �R

2

0 �r �R
�
��
0 � �2
�


x 2  y 2  2Rx





R

x 2  y 2 �2Rx

2R

r  2R cos 

0 �r �2R cos 
�
�
�


 � �
�
�2
2


2

2

x  y  2Ry
2R

R

2

2

x  y �2Ry

r  2R sin 


0 �r �2R sin 
�
�
0 � �
�

r  r2 ( )
D

r  r1 ( )



r1 ( ) �r �r2 ( )
�
D:�
 � �
�
(0     �2 )



f (r cos  , r sin  )rdrd
�
�
D


r2 ( )

�
�



 d

f (r cos  , r sin  )rdr

r1 ( )


VÍ DỤ
2
2
�
x  y �1
2
2
x

y
dxdy
1/ Tính: I  �
với D : �
�
�y �0
D

x  r cos  , y  r sin 

r=1

0 �r �1

�
D:�
0 � �
�

1

-1



I

�
�

1

��
2

r .rdrd  d r dr

D

0

0



1

 d 
3
3

�
0


2/ Tính:

�
�

I

( x  y )dxdy

D2

2

�
1 �x  y �4
D:�
�y �x , y � x
x  r cos  , y  r sin 

x

=x

=

y

r=2

y

r=1

1 �r �2
�
�
D:�

3
� �
�
�4
4


I

�
�

( x  y )dxdy

D



�
�

(r cos   r sin  ).rdrd

D
3
4



1 �r �2
�
�
D:�

3
� �
�
�4
4

2

�
�

2

d r (cos   sin  )dr
1

4



3
4

7
8 1�
�
(cos   sin  ) �  �
d   2
3
3 3�
�

�

4

�x 2  y 2 �2 y
D:�
�y � x

3/ Tính: I  �
xdxdy với
�
D

x  r cos  , y  r sin 

r = 2sin

0 �r �2sin 
�
�
D : �3
� �
�
�4


I

�
�

r cos  rdrd 

D

2sin 

1
r cos  rdr  
6

�
�


2

d

3

0


4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
2

2

2

2

x  y  4x, x  y  2x, y  x, y  0

y

=

x

r = 4cos

r = 2cos

x  r cos  , y  r sin 


�
0 � �
�
D �
4
�
�2cos  �r �4cos 


S (D ) 


�
0 � �
�
D �

4
�
�2cos  �r �4cos 

�
�

1dxdy

D



�
�

rdrd

D

4

4cos 

� �


 d
0

rdr

2cos

3 3


4 2


5/ Tính: I 

2
2
�
�x  y � x
xydxdy với D : �
� 3x �y �0

�
�
D

y  3x

r = - cos

4
�
0 � �

�
3
�
0 �r � cos 
�
�


ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT
y

( x , y ) �D � (u, v ) �D�

D( x , y )
J

D(u , v )

D

x

Công thức đổi biến

�
�

f ( x , y )dxdy 

D

x = x(u,v), y= y(u,v)

�
�

xu�
y u�

xv�
y v�

1
J 
D (u , v )
D( x , y )

f ( x (u , v ), y (u, v )) J dudv

D�


Áp dụng đổi biến tổng quát
Tọa độ cực:

x  r cos  , y  r sin 

xr� x� cos 
J


y r� y� sin 

�
�

f ( x , y )dxdy 

D

�
�

r sin 
r
r cos 

f (r cos  , r sin  )rdrd

D�


Hình trịn tâm tùy ý:
v

y

u
b



a

D: (x – a)2 + (y – b)2  R2
Dời gốc tọa độ đến
tâm
x = u + a, y = v + b

xu� xv� 1 0
J

1
y u� yv� 0 1

x

�
�
D

f ( x , y )dxdy 

Đổi tiếp sang
tọa độ cực:

�
�

g (u , v ).1dudv

u 2 v 2 �R 2

u  r cos  , v  r sin 


Tóm tắt:

D: (x – a)2 + (y – b)2  R2
x = a + rcos, y = b + rsin

v

y

J=r

r



b

a



u

x

0 �r �R

�
D�
:�
0 � �2
�

f ( x , y )dxdy  �
f (a  r cos  , b  r sin  )rdrd
�
�
�
D

D�


Đổi biến trong ellippse

b

2

x
y
D : 2  2 �1
a
b
x = arcos, y = brsin

D

2

2

a
2

x
y
2


r
a2 b2

J = abr

0 �r �1
�
D�
:�
0 � �2
�

f ( x , y )dxdy  �
f (ar cos  , br sin  )abrdrd
�
�
�
D

D�


1/ Tính: I  �
xydxdy với D là nửa trên của
�
D

hình trịn: (x – 2)2 + (y + 1)2  9
u

x = 2 + rcos, y = -1 + rsin
J=r

0 �r �3
�
D�
:�
0
�

�

�
v
I

�
�

D�

(2  r cos  )(1  r sin  )rdrd


I


�
�
D�

(2  r cos  )( 1  r sin  )rdrd
3

��
0
0

2

 d (2  r cos   2r sin   r sin  cos  )rdr

 9  18


2/ Tính: I 

Ví dụ
2

2
x
y
xydxdy , D : 
�1; y �0; x �0
9
4

�
�
D

x = 3rcos, y = 2rsin

2

J = 3.2.r = 6r
3

Miền D được viết lại:
2
�
r �1
�
3r cos  �0,2r sin  �0
�


2
�

0 �r �1
r �1
�
��
�
cos  �0,sin  �0
3r cos  �0,2r sin  �0
�
�

0
�
r
�
1
�
�
D�
:�

0
�

�
�
2


�
�

xydxdy 

D

2

1

��

d 3r cos  .2r sin  .6rdr

0

9

2

0