Đề thi HSG môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Cảnh Hóa

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH

<b>TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA</b> <b>ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8_{Mơn: Tốn}</b>
<b>Năm học 2018-2019</b>

Thời gian: 90 phút(<i>không kể thời gian giao đề)</i>
<b>Bài 1</b> <i>(2,0 điểm).</i>

Cho biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x

A : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

  

 

_   _ _   _

   

   

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x =

1
2 _.

c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị
nguyên.

<b>Bài 2</b> <i>(2,0 điểm).</i> Giải các phương trình sau:
a.b) (6<i>x</i>8)(6<i>x</i>6)(6<i>x</i>7)2 72 b. <i>_x</i>2 1

+9<i>x</i>+20+

1

<i>x</i>2

+11<i>x</i>+30+

1

<i>x</i>2

+13<i>x</i>+42=

1
18

<b>Câu 3. </b><i>(3,5 điểm) </i>Cho hình vng ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy
điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và
BC lần lượt tại hai điểm M, N.

a. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

b. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng:
AC = 2EF.

c. Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

= +

AD AM AN _.

<b>Câu 4. </b><i>(1,5 điểm) </i>Cho <i>a b c</i>, , là ba số dương thoả mãn <i>abc</i>1_._{Chứng minh rằng :}

3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>  _.

<b>Bài 5</b> <i>(1,0 điểm).</i> Cho an = 1+2+3+…+ n.<i><b> </b></i>Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính

phương.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH <b>HƯỚNG DẪN CHẤM </b>

<b> TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA</b> <b> ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 </b>

<b>Mơn:Tốn </b>
<b> Lớp: 8 </b>

<b>Bài</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>Bài 1</b>
<i>(2,0đ)</i>

Biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x

A : x 2

x 4 2 x x 2 x 2

  
 
_   _ _   _
   
 _{ } _
<b>a</b>

<b>(0.75)</b> _{Rút gọn được kết qủa:}

1
A
x 2


 
0.75
<b>b</b>

<b>(0.5)</b> x ₂1  x1₂_hoặcx₂1 <i>⇒</i> _A= ₃2 _{hoặc A=} ₅2

0.5

<b>c</b>
<b>(0.25)</b>

A < 0 <i>⇔</i> x - 2 >0 <i>⇔</i> x >2 0.25

<b>d</b>

<b>(0.75)</b> A Z <i>⇔</i>

<i>−</i>1

<i>x −</i>2<i>∈Z</i> <i>⇔</i> x-2 Ư(-1) <i>⇔</i> x-2 { -1; 1}
<i>⇔</i> x {1; 3}

0,5
<b>Bài2</b>

<i><b>(2,0đ )</b></i>
<i><b>a</b></i>
<i><b>(1.0)</b></i>
2

(6<i>x</i>8)(6<i>x</i>6)(6<i>x</i>7) 72

Đặt 6<i>x</i> 7 <i>t</i>._{Ta có}(<i>t</i>1)( 1)<i>t</i> <i>t</i>2 72 (<i>t</i>21)<i>t</i>2 72<i>t</i>4 <i>t</i>2 72 0

4 ₉ 2 ₈ 2 _{72 0} 2₍ 2 _{9) 8(} 2 _{9) 0} ₍ 2 ₉₎₍ 2 _{8) 0}

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

             

Mà <i>t</i>2 8 0_nên

2 _{9 0} 2 ₉ ₃ 2

3

<i>t</i>    <i>t</i>    <i>t</i> <i>x</i>

hoặc

5
.
3
<i>x</i>

PT có nghiệm là

2 5

;

3 3

<i>x</i>   

 _.
0.25
0.25
0.25
0.25
<b>b</b>
<b>(1.0)</b>

x2_{+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x}2_{+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;}

x2_{+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;}

<i><b>(0,25 điểm)</b></i>

ĐKXĐ : <i>x ≠ −</i>4<i>; x ≠ −</i>5<i>; x ≠ −</i>6<i>;x ≠ −</i>7

Phương trình trở thành :
¿

1

(<i>x</i>+4)(<i>x</i>+5)+

1

(<i>x</i>+5)(<i>x</i>+6)+

1

(<i>x</i>+6)(<i>x</i>+7)=

1
18

¿
<i>_x</i>1

+4<i>−</i>

1

<i>x</i>+5+

1

<i>x</i>+5<i>−</i>

1

<i>x</i>+6+

1

<i>x</i>+6<i>−</i>

1

<i>x</i>+7=

1
18

<i>_x</i>₊1₄<i>−</i> 1
<i>x</i>+7=

1

18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0

Từ đó tìm được x=-13; x=2;

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>a</b>
<b>(1.0)</b>

0.5

Ta có DAM = ABF  _{(cùng phụ}_BAH ₎

AB = AD ( gt)

BAF = ADM = 90  0 (ABCD là hình vng)
 ΔADM = ΔBAF_(g.c.g)

0.25

=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên. AE = DM

Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) 0.25

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành

Mặt khác.DAE = 90 0 (gt) 0.25

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25

<b>b</b>
<b>(1.0)</b>

Ta có ΔABH ΔFAH (g.g)

AB BH

=

AF AH



hay

BC BH

=

AE AH_{( AB=BC, AE=AF)}

0.25

Lại có HAB = HBC  (cùng phụ ABH ₎

ΔCBH ΔEAH

  _(c.g.c) 0.25

2
ΔCBH

ΔEAH

S BC

=

S AE

 

 _ _

  _{, mà}

ΔCBH
ΔEAH
S

= 4

S _(gt)

2
BC

= 4
AE

 

  

  _{nên BC}2_{= (2AE)}2

 _{BC = 2AE} _{E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD}

0.25

Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25

<b>c</b>
<b>(1.0)</b>

Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:


AD AM

=

CN MN

AD CN

=

AM MN



0.25

Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:

MN MC AB MC

= =

AN AB AN MN

 

hay

AD MC

=

AN MN 0.25

 

2 2 2 2 ₂ ₂ ₂

2 2

AD AD CN CM CN + CM MN

+ = + = = = 1

AM AN MN MN MN MN

       

       

        

(Pytago)

0.25



2 2

AD AD

+ = 1

AM AN

   

   

    2 2 2

1 1 1

<i>AM</i> <i>AN</i> <i>AD</i>

  

(đpcm) 0.25

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>(1.5)</b>





2

2 2 2 <i>_{a b c}</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y z</i>

 

  

  _(*)

Dấu “=” xảy ra 

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

Thật vậy, với a, b _{R và x, y > 0 ta có}





2

2 2 <i>_{a b}</i>

<i>a</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>



 

 _(**)














2
2 2

<i>a y b x x y</i>  <i>xy a b</i>







2
0
<i>bx ay</i> 

(luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra 

<i>a</i> <i>b</i>
<i>x</i> <i>y</i>

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có





2





2

2 2 2 <i>_{a b}</i> 2 <i>_{a b c}</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x y</i> <i>z</i> <i>x y z</i>

  

    

  

Dấu “=” xảy ra 

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

0.5

Ta có:

2 2 2

3 3 3

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( )

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i> <i>ab ac bc ab ac bc</i>    
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

2( ) ₂

<i>a b c</i> <i>a b c</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ab ac bc ab ac bc</i> <i>ab bc ac</i>

<i>a b c</i>

   

   

   

   

   

      

 

 

 _(Vì<i>abc</i>1₎

0.25

Hay

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ab ac bc ab ac bc</i> <i>a b c</i>

 

   _   _

    

0.25

Mà

1 1 1
3
<i>a b c</i>   _nên

2 2 2

1 1 1

3
2

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>ab ac bc ab ac bc</i>     

0.25

Vậy 3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2

<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i>  _(đpcm) 0.25

<b>Bài 5</b>
<b>(1.0)</b>

Ta có an+1= 1 +2 +3 +…+ n + n + 1

an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 +…+ n) + n + 1

= 2.

( 1)

2
<i>n n</i>

+n+1 = n2_+2n+1=(n+1)2_{là một số chính phương}

0.5
0.5

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->