Bài tập :Đường thẳng và mặt phẳng song song

BÀI TẬP
QUAN HỆ SONG SONG
A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG :
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
• Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
• Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
• Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình
bình hành , định lý talet … )
Cho tam giác ABC gọi M và N là 2 điểm trên AB và AC sao cho
BC//MN
AC
AN
AB
AM
=>=
Cho tam giác ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của BC=>
3
1
3
2
==
MA
MG
AM
AG
Thí dụ 1:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng . Gọi M trên AC và N trên
BF sao cho
3
1

==
BF
BN
AC
AM
1.Chứng minh CD//EF và AB ;DM l EN đồng qui.
2.Chứng minh MN//DE.
GIẢI
2.Trong tam giác IED ta có :
DE//MN
IE
IN
ID
IM
=>==
3
1
Thí dụ 2:
Cho tứ diện ABCD . Gọi M ,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm AB ; CD; AD;BC; AC và BD.
1.Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bìh hành.
2.Chứng minh MN ;PQ;RS đồng qui .
GIẢI
1.CD//AB và EF//AB=>CD // EF
Gọi O ∈AC∩BD=>O là trung điểm của AC và BD
===>=
3
2
3
1
AO

AM
AC
AM
> M là trọng tâm ∆ABD
=>DM cắt AB tại trung điểm I của AB
Gọi O’ ∈BF∩AE=>O’ là trung điểm của AE và BF
===>=
3
2
3
1
'BO
AM
BF
BN
> N là trọng tâm ∆ABE
1)Tam giác ABD có MP là đương trung bình
=>MP//BD và MP = BD/2
Tam giác BCD có QN là đường trung bình
=>QN // BD và QN =BD/2
=>MP//QN và MP = QN => MPNQ là hình bình hành
2)MPNQ là hình bình hành =>MN và PQ cắt nhau tại trung
điểm I của mỗi đường .
Tứ giác QRPS là hình bình hành => PQ và RS cắt nhau tại
trung điểm I của mỗi đường .
Vậy MN ; PQ và RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q):
–Tìm một điểm chung của 2 mặt phẳng.
–Dựa vào định lý :”Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và lần lượt đi qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy”

Thí dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD .
1.Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
2.Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Bài tập :
1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD).
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .
Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.
Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =
3
2
SB .
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm
nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a. Chứng minh : PQ // SA.
b. Gọi K = MN ∩ PQ
Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.

GIẢI
1.Giao tuyến của (SAD) và (SBC):
S ∈(SAD) ∩(SBC)=> (SAD) ∩(SBC)=Sx
AD //BC =>Sx // AD //BC.
Vậy giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường
thẳng qua S và song song với AD và BC
2. Giao tuyến của (SAB) và (SDC):
S ∈(SAB) ∩(SDC)=> (SAB) ∩(SDC)=Sy
AB //DC =>Sy // AB //DC.
B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Dạng 3 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (α) :
Phương pháp
–Tìm trong (α) một đường thẳng (d)
–Chứng minh (d)//(a)
–Suy ra (a)//(mpα
Thí dụ 1:
Cho tứ diện ABCD gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AD và AC . Chứng minh MN//(BCD) và CD//BMN.
GIẢI
Thí dụ 2:
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không nằm
trong cùng một mặt phăng.Gọi O và O’ lần lượt là tâm của
ABCD và ABEF.
1.Chứng minh OO’ // (ADF) và OO’//(BCE).
2.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và
ABE. Chứng minh MN //(CDE).
GIẢI
1.Xét tam giác BDF , OO’ là đường trung bình =>OO’//DF
=>OO’//(ADF).
Xét tam giác AEC , OO’ là đường trung bình =>OO’//EC
=>OO’//(BCE).

2.DM cắt AB tại trung điểm I của AB
EN cắt AB tại trung điểm I của AB
)CDE//(MN)CDE(EFDC//EF
DE//MN
IE
IN
ID
IM
IE
IN
ID
IM
=>⊂=>
=>==>







=
=
=>
3
1
3
1

Dạng 4:Tìm giao tuyến của 2 mp(P) và mp(Q):

–Tìm một điểm chung của 2 mp(P) và mp(Q).
–Dựa và định lý : “Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó .”
Thí dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi .Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD .Xác
định thiết diện của hình chóp với mpα đi qua O và song song với AB và SC.
GIẢI
MN // CD (đường trung bình)
CD ⊂ (BCD)=> MN // (BCD)
CD //MN
MN ⊂ (BMN)=> CD // (BMN)
( ) ( )
MP)SBC()(
}P{SB)d(;SC//d)//(SCmaø;)dM(d)()SBC()()SBC(MBCM
.MN)ABCD()(
}M{BCd;}N{ADdAB//d)//(AB()dO(d)ABCD()(ABCDO
=∩α=>
=∩=>α∈=α∩=>α∩∈=>∈
=∩α=>
=∩=∩=>=>α∈=∩α=>∩α∈
2222
11111
QN)SAD(()(PQ)SAB()(
}Q{SAdAB//d)//(AB
)dP(d)()SBA(PSBP
=∩α=∩α=>
=∩=>=>α
∈=α∩∈=>∈
33
33

Thiết diện là tứ giác MPQN .
QP//AB ; MN//AB=>QP//MN
=>MPQN là hình thang.
Thí dụ 2:
Cho tứ diện ABCD , gọi M ; N lần lượt là trung
điểm của AB và AC.Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN)
GIẢI
BC//Dx)DBC//(MN
)bìnhtrungñöôøng(BC//MN
Dx)DBC()DMN(
)DBC()DMN(D
=>=>
=∩=>
∩∈
Giao tuyến là đường thẳng đi qua D và song song
với BC
Bài tập :
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các
cạnh AB và CD .
a. Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC
đều song song với (MNP)
c. Gọi G
1
,G
2
lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC
Chứng minh
21
GG

// (SAB)
2.Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (α) qua MN // SA
a. Tìm các giao tuyến của (α) với (SAB) và (SAC).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với (α)
c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang.
3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ .
Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (
α
) với tứ diện ABCD.
b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành
4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang .
Gọi M là một điểm của CD ; (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .
a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng (
α
) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ?
b. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD).
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và
(α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh SB, SD.
b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm
I,J, A thẳng hàng .