Nghiên cứu một số biến đổi di truyền và mối liên quan với các yếu tố tiên lượng định hướng điều trị bệnh nhân u nguyên bào thần kinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ
VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN
VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ
VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN
VÀ PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62440103

HÀ NỘI - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số
liệu, đồ thị,…. được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố
trong bất kỳ một công trình nào khác.
Hà Nội, 30 tháng 05 năm 2016
Tác giả luận án

Phan Huy Thiện


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn và GS. TS. Phan Văn Hạp - những người Thầy đã hết lịng tận
tụy hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình
thực hiện và hoàn thành luận án.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng bày tỏ lịng biết ơn
tới các thầy, cơ và các bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Khoa Vật lý
của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng góp
nhiều ý kiến quý báu cho luận án.
Cuối cùng tác giả cảm ơn những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện và
động viên cho tác giả hoàn thành bản luận án này.
Tác giả luận án

Phan Huy Thiện

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................
LỜI CẢM ƠN ..............................................................................................................
MỤC LỤC ..................................................................................................................1
DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ...............................................................3
CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH .........................................................4
MỞ ĐẦU. ...................................................................................................................5
CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN .....................................12
1.1. Đạo hàm trung bình tích phân ................................................................12
1.1.1. Định nghĩa. .............................................................................................13
1.1.2. Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân ..........................................13
1.2. Một số khái niệm bổ trợ..........................................................................15
1.2.1. Nghiệm xấp xỉ.........................................................................................16
1.2.2. Phương pháp cân bằng sai số ..................................................................17
1.3. Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner. ..........18
CHƯƠNG II TÍNH TỐN THƠNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÕ PHẢN
ỨNG HẠT NHÂN ...................................................................................................21
2.1. Khái niệm mở đầu. .................................................................................21
2.2. Dạng tổng quát của phương trình khuếch tán. ........................................22
2.2.1. Phương trình khuếch tán ...............................................................23
2.2.2. Phương trình vi phân cho các neutron nhiệt và giải phương trình
đó cho các dạng hình học đơn giản. .................................................................24
2.3. Phép gần đúng theo độ tuổi khuếch tán. .................................................28
2.4. Các điều kiện tới hạn. .............................................................................30
2.5. Độ tuổi neutron. ......................................................................................32
2.6. Phép gần đúng khuếch tán đa nhóm. ......................................................33
2.7. Các nghiên cứu tính tốn lị phản ứng từ trước đến nay. ........................35
1

2.7.1. Những phương pháp tính tốn lị phản ứng hạt nhân đã được tính
tốn trong vài thập kỷ vừa qua. ........................................................................35
2.7.2. Phương pháp nodal. ......................................................................36
2.7.3. Phương pháp nodal biến phân. ......................................................37
2.8. Phát triển phương pháp IAD. ..................................................................38
2.9. Kết luận và so sánh. ................................................................................52
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NHIỄU XẠ SĨNG
TRONG MƠI TRƯỜNG ĐÀN HỒI……………………….. ...............................55
3.1. Đặt bài tốn nhiễu xạ. .............................................................................55
3.1.1. Đặt vấn đề. ..............................................................................................55
3.1.2. Đưa bài toán về hệ phương trình tích phân kỳ dị. ..................................61
3.2. Giải gần đúng hệ phương trình ...............................................................64
3.3. Kết luận và so sánh. ................................................................................67
KẾT LUẬN ...............................................................................................................70
DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG
BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. ........................................................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................73
Tiếng Việt ........................................................................................................73
Tiếng Nga. .......................................................................................................74
Tiếng Anh ........................................................................................................76

2


DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1.

Hàm F có điểm góc tại x0 . ..................................................................14

Hình 1.2.

Hàm F khơng liên tục tại x0 . ..............................................................14

Hình 1.3.

Miền được giải với biên 1 ,  2 . ........................................................16

Hình 2.1.

Giá trị thơng lượng neutron trường hợp 1 chiều với

Hình 2.2.

Lị hình cầu. ........................................................................................47

Hình 2.3.

Thơng lượng neutron hình cầu cho nhóm nhanh và nhóm nhiệt. ......51

Hình 2.4.

So sánh thơng lượng neutron theo 2 phương pháp MC là phương pháp

keff

khác nhau. 46

Monte Carlo và SN và phương pháp S N của luận án [130] .....................................53
Hình 3.1.

Mặt phẳng đàn hồi  r ,  bị cắt một góc hình nêm. ...........................58

Hình 3.2.

Đồ thị nhiễu xạ hàm u  x  ..................................................................66

Hình 3.3.

So sánh với kết quả trong [95]. ...........................................................67

3


CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH

Phương pháp IAD

Gọi các phương pháp rời rạc hóa bài tốn biên có sử dụng
khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp
đạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt là các phương pháp
IAD (Integrally Averaged Derivative). Phương pháp này
được áp dụng cho chương II và chương III. Dựa trên định
nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài tốn
vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham
gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình
tích phân (khơng có đạo hàm theo nghĩa thơng thường trên
tồn miền) về một mơ hình thống nhất, sau đó sử dụng

phương pháp xấp xỉ thơng thường để tìm nghiệm (kể cả việc
xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa). Phương pháp giải
sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu
được gọi chung là phương pháp IAD

Phương pháp Nodal

Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán
neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương pháp
phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phản
ứng hạt nhân

Phương pháp Monte Một phương pháp giải phương trình khuếch tán tính tốn lị
Carlo

thường dùng theo phép thử xác suất.

4


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Thế giới các hiện tượng vật lý vi mô và vĩ mô quanh ta được mơ tả, giải thích
thơng qua các định luật cơ bản của vật lý, các hiệu ứng... giúp cho con người khám
phá bản chất các hiện tượng tự nhiên. Các đại lượng vật lý trong tự nhiên có mối
liên hệ qua lại lẫn nhau mà cơng cụ tốn học hiện đại cho phép mô tả các hiện
tượng vật lý thông qua các phương trình. Như vậy có thể nói Phương trình tốn lý
hay Phương trình vật lý tốn là cần thiết phải được đặt ra giúp cho các nhà khoa học
bằng tư duy logic khái qt hố được hình ảnh và bản chất sâu sắc các hiện tượng

vật lý, tìm ra mối liên hệ qua lại giữa chúng để giải thích và đánh giá đúng bản chất
các hiện tượng tự nhiên trong thế giới vi mô và vĩ mô [15].
Rất nhiều bài toán vật lý, cơ học, kỹ thuật thường được mơ hình hóa dưới
dạng các phương trình vật lý toán (vi phân thường hay vi phân đạo hàm riêng) trong
miền có biên (tĩnh) hoặc có điều kiện ban đầu (động) hay biên hỗn hợp (phụ thuộc
cả không gian lẫn thời gian) [7].
Một trong những vấn đề được quan tâm của tốn học tính tốn là tìm nghiệm
gần đúng các bài toán biên [26]. Vấn đề này được xét đầy đủ cho lớp các bài tốn
biên có hệ số, nghiệm, hay biên trơn. Các bài toán thường gặp với các điều kiện
phức tạp hơn thường không thỏa mãn các điều kiện lý tưởng, do đó cần nhấn mạnh
rằng lớp các bài tốn đó là khá rộng. Bởi vậy phải chú ý đến các bài tốn có hệ số,
nghiệm, biên khơng trơn [28]. Lớp các bài toán này thường nảy sinh nhiều trong
thực tiễn, chẳng hạn khi nghiên cứu các quá trình khuếch tán (khuếch tán vật chất
trong các bài tốn mơi trường, khuếch tán neutron trong lị phản ứng hạt nhân), các
bài tốn truyền nhiệt, thủy động học, phương trình trạng thái trong các mẫu hạt
nhân v.v…Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ loại bài toán như vậy [10]. Bản luận án
này tìm cách từ một khái niệm của đạo hàm IAD [3, 8] phối hợp với một số các
phương pháp đã biết như các phép biến đổi toán tử, phương pháp phần tử biên, hay

5


phương pháp rời rạc hóa bài tốn biên [9] v.v… để vượt qua tính khơng trơn của bài
tốn và mục đích là tìm cách đi đến nhanh và chính xác nhất các thơng số và đại
lượng vật lý cần tìm sát với thực tế (ví dụ như tính thơng lượng neutron trong lò
phản ứng hạt nhân [20, 58, 77], hay bài tốn nhiễu xạ của sóng trong các mơi
trường đàn hồi bị hổng một góc  cho tới nay vẫn chưa được nghiên cứu hồn
chỉnh).
Chúng tơi muốn nhấn mạnh đến các phép tính lị phản ứng hạt nhân để đảm
bảo điều kiện an tồn lị phản ứng hạt nhân [20, 77]. Khi xảy ra điều kiện khơng an

tồn như sự cố (sự cố nhà máy điện nguyên tử Chernobyl, Ukraina, sự cố nhà máy
điện hạt nhân Fukushima – Nhật bản), nhiệm vụ của người tính tốn lị cần có một
phương pháp tính nhanh nhất cho kết quả chính xác để đốn biết sự cố, và điều
khiển lị ngay lập tức khắc phục sự cố ở miền có thơng lượng cao để hệ số nhân
hiệu dụng trở về ngưỡng an toàn cho phép
Với các bài tốn có phương trình và điều kiện biên liên tục, đủ trơn đã có
nhiều phương pháp giải và được nhiều nhà toán học, vật lý lý thuyết và vật lý thực
nghiệm khảo sát, đề xuất [138]. Đối với các bài toán cơ học và vật lý có biên phức
tạp chứa đựng các điểm đứt gãy thì những phương pháp thơng thường khó cho lời
giải đảm bảo độ chính xác thậm chí khơng thể áp dụng được. Phương pháp sai phân
là một trong những phương pháp có tính vạn năng [19, 25] cũng khơng phải lúc nào
cũng cho kết quả khả quan tại các vùng kỳ dị hay đứt gãy của nghiệm đồng thời đòi
hỏi việc phân vùng chia lưới luôn thay đổi. Điều này gây trở ngại cho việc sử dụng
thuật tốn trên máy tính.
Trong bản luận văn này chúng tôi tập trung vào một số bài tốn vật lý cơ bản
như phương trình Wigner 1. (danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã công
bố liên quan đến luận án) đặc trưng cho loại phương trình Elliptic, giải phương trình
khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân (còn được gọi là phương trình
Boltzman) với nhiều nhóm năng lượng để tìm các đặc trưng neutron, trong đó có
các đại lượng như thơng lượng neutron, hệ số tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng v.v…
Cuối cùng, trên cơ sở bài toán nhiễu xạ của sóng trong các mơi trường đàn hồi,
6


chúng tơi giải quyết bài tốn nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi với biên cứng
bị hổng một góc  được mơ tả bởi phương trình vi tích phân một cách dễ dàng theo
phương pháp IAD trong 5. (danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã cơng
bố liên quan đến luận án).
2. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm đề xuất việc sử dụng phương pháp IAD (phương pháp đạo hàm trung

bình tích phân) và một số phương pháp phối hợp như phương pháp lặp, phương
pháp đạo hàm riêng và giá trị riêng để giải gần đúng (bằng số) cho các loại bài toán
vật lý và cơ học cũng như kỹ thuật trong các trường hợp miền biên của hàm được
xét chứa điểm vùng đứt gãy, kỳ dị. Với phương pháp đạo hàm trung bình tích phân
cho phép xây dựng được một thuật toán nhất quán đối với bài tốn cần giải, nhất thể
hóa các khái niệm vi phân, đạo hàm cho tồn miền nhằm khắc phục các khó khăn
vấp phải khi sử dụng các phương pháp khác. Để nâng cao độ chính xác của phương
pháp IAD1 chúng tơi đã kết hợp với các phương pháp khác trong toán học tính tốn
như phương pháp Richarson, phương pháp tham số liên tục, phương pháp tham số
bé, phương pháp xấp xỉ, phương pháp tích phân kỳ dị [10, 11, 12], …v.v.
Mục tiêu chính của luận án là tìm nghiệm gần đúng của các phương trình vật
lý tốn có kỳ dị [6, 17] bằng cách sử dụng phương pháp IAD và các phương pháp
kết hợp khác.
Một số kết quả chính của luận án được ghi trong danh mục các cơng trình
khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án.
3. Phương pháp nghiên cứu.
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án chúng tôi sử dụng các kiến thức
cơ bản của tốn học như phương pháp tính và các phương pháp giải gần đúng [12]
…giải tích , giải tích hàm [31], giải tích phức [55], phương trình đạo hàm riêng

1

Ở Chương I, chúng tôi gọi tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged
Derivative) bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngồi), các phương pháp rời rạc
hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo
hàm trung bình tích phân.

7

[18], phương trình tích phân kỳ dị tuyến tính và khơng tuyến tính [6], cũng như các
kiến thức cơ bản của vật lý lý thuyết [2, 4, 5, 58],
Trên cơ sở phương trình khuếch tán neutron [77] với các điều kiện biên trong
lõi lị phản ứng hạt nhân. Chúng tơi tiến hành tính tốn thơng lượng neutron với một
vài dạng hình học đơn giản và so sánh với các phương pháp khác như phương pháp
nodal và phương pháp Monte Carlo để đánh giá tính ưu việt của phương pháp IAD.
chúng tơi dựa trên bài tốn nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi bị hổng một góc

 để giải quyết bài toán trong miền biên kỳ dị trong 3. (danh mục các cơng trình
khoa học của tác giả đã cơng bố liên quan đến luận án).
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
Với mục tiêu đã đề ra, luận án “Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học
bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp” đã được
xây dựng trên cơ sở phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp
tích phân kỳ dị, được GS. TS Phan Văn Hạp đề xuất đã được chúng tôi áp dụng cụ
thể cho việc tính thơng lượng neutron bằng phương trình khuếch tán neutron đối với
lị phản ứng hạt nhân hình cầu trong gần đúng hai nhóm neutron theo phương pháp
IAD bằng cách đưa về bài toán ma trận của hàm riêng và trị riêng được công bố
trong các bài báo trong danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án và đánh giá tính ưu việt của chúng so với phương pháp nodal và phương
pháp Monte Carlo là các phương pháp mới trong tính tốn lị phản ứng hạt nhân, và
trên cơ sở bài tốn nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi chúng tơi giải quyết
được miền biên kỳ dị bằng cách đưa ra phương trình vi tích phân để giải bằng số
trong 3.(danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đến
luận án).
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án.
Việc tính tốn được kết quả dùng phương pháp IAD tính thơng lượng neutron
trong mơ hình hạt nhân hình cầu và tính nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi có
miền biên kỳ dị được chúng tơi áp dụng lần đầu tiên tính tốn bằng phương pháp

8


IAD mang lại một kết quả tốt cho đóng góp vào cách tính mới trong tính tốn lị
phản ứng hạt nhân và bài toán nhiễu xạ.
Với kết quả thu được của luận án chúng tơi nhận thấy đã đóng góp được một
phần rất quan trọng vào một cách tiếp cận mới trong tính tốn lị phản ứng hạt nhân,
một vấn đề thời sự trong tính tốn lị phản ứng hạt nhân. Cuối cùng áp dụng phương
pháp IAD để giải bài tốn nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi thuần nhất bị
hổng một góc  .
Ngồi việc đóng góp vào nghiên cứu khoa học trong tính tốn nhiễu xạ, thơng
lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân. Một vấn đề khá thực tế trong điều kiện
nước ta hiện nay đang gấp rút xây dựng 4 lò phản ứng hạt nhân cung cấp điện năng
cho quốc gia. Việc nghiên cứu này đóng góp vào tính tốn và thiết kế lị bảo đảm
cho việc vận hành lò phản ứng hạt nhân và an tồn cho nó.
6. Cấu trúc luận án.
Bản luận án này ngoài phần mở đầu, phần tài liệu tham khảo gồm có các
chương chính sau đây
Chương I. Phương pháp đạo hàm trung bình tính phân. Trong chương này
chúng tơi giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tích phân bao gồm định
nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngồi), các phương pháp rời rạc hóa
bài tốn biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma
trận do GS Phan Văn Hạp đề xuất và được công bố trong một số bài báo từ năm
1994 [8] và 2. (danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan
đến luận án) . Trước tiên chúng tôi định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân và các
tính chất của nó, sau đó một số bài tốn lý thuyết có nghiệm không trơn được giải
bằng cách sử dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân cũng sẽ được trình bày
ở đây.
Trong chương này chúng tôi cũng đưa vào phương pháp tham số liên tục [21]
và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ để sử dụng cho các chương sau, khái niệm bài

toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều. Dựa
trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên

9


miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo
hàm theo nghĩa trung bình tích phân (khơng có đạo hàm theo nghĩa thơng thường
trên tồn miền) về một mơ hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ
thơng thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa).
Chương II. Áp dụng cho tính tốn lị phản ứng hạt nhân được giải bằng
phương pháp IAD. Trong chương II, chúng tơi trình bày cơ sở vật lý lò phản ứng
hạt nhân, các điều kiện biên trong lị và phương trình khuếch tán trong lị phản ứng
hạt nhân, áp dụng phương pháp IAD tính tốn thơng lượng lò và so sánh với các kết
quả của các phương pháp khác như phương pháp nodal, phương pháp Monte Carlo.
Kết quả đã được công bố trong các bài báo 1.- 8. (danh mục các cơng trình khoa học
của tác giả đã công bố liên quan đến luận án).
Chương III. Áp dụng phương pháp IAD cho bài toán nhiễu xạ sóng trong mơi
trường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc  . Trong chương này chúng tơi xây
dựng bài tốn nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi trong bài tốn cơ học. Chúng
tơi áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài tốn biên có kỳ dị, băng phép biến
hình bảo giác của hàm biến phức đưa bài tốn về phương trình vi tích phân để giải.
Kết quả công bố trong bài báo 3. (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã
cơng bố liên quan đến luận án).
7. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài luận án.
Tác giả đã hoàn thiện, cụ thể hóa việc áp dụng phương pháp IAD cho các bài
toán được nêu trong luận án đồng thời chỉ rõ phạm vi ứng dụng của phương pháp
cho nhiều lớp bài tốn có cùng các đặc trưng của miền biên và độ kỳ dị. Các kết quả
có thể mở rộng cho nhiều loại phương trình tốn khác nhau trong cơ học và vật lý,
trong thế giới vi mô và vĩ mô.

Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 08 cơng trình dưới
dạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trên tạp chí và kỷ yếu hội nghị khoa học
quốc tế và trong nước, trong đó có 5 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế.
Lò phản ứng hạt nhân là một hệ thống thiết bị cơng nghệ, trong đó phản ứng
dây chuyền, phân hạch hạt nhân được kiểm sốt và duy trì, từ đó năng lượng hạt
10


nhân dưới dạng nhiệt được lấy ra để sử dụng hữu ích, chẳng hạn như máy phát điện,
tàu phá băng [58]. Trong thiết bị như thế, neutron gây ra phản ứng phân hạch hạt
nhân với các hạt nhân nặng được gọi là nhiên liệu hạt nhân. Các thành phần nguyên
liệu của một lò phản ứng bao gồm nhiên liệu, nước làm mát hệ thống, vật liệu cấu
trúc, và các thiết bị kiểm sốt phản ứng phân hạch. Nói chung, các vật liệu được sắp
xếp rất không đồng nhất. Trong các bài tốn này, chúng tơi chủ yếu quan tâm đến
bài toán dừng, nghiên cứu bài toán tĩnh để xem xét đặc trưng và các tính chất của lị
phản ứng hạt nhân. Các tính tốn lị phản ứng hạt nhân nhằm xác định thừa số nhân
neutron theo các cấu hình khác nhau của một lò phản ứng hạt nhân và phân bố
thơng lượng neutron (vì vậy suy ra phân bố cơng suất sinh ra) theo không gian và
thời gian với các điều kiện biên khác nhau.
Chúng tôi đã tạo nên một phương pháp IAD cho tính lị phản ứng hạt nhân
mới dựa trên phương trình khuếch tán neutron mang tính nhất thể hóa. Chúng tơi đã
điều chỉnh các thơng lượng phản hồi trong cách tính lặp thơng qua các hệ số được
định nghĩa trong phương pháp IAD. Không mất nhiều thời gian tính tốn, bộ nhớ
máy tính và độ hội tụ tốt hơn. Chúng tôi đã chủ động phối hợp với một số phương
pháp khác như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Monte-Carlo, phương
pháp lặp nodal, phương pháp tiệm cận, phương pháp biến phân để tìm thơng lượng
chính xác hơn có ý nghĩa về mặt vật lý. Chúng tơi giải quyết các điều kiện biên kỳ
dị và không kỳ dị như điều kiện thực tế đặt ra trong lò phản ứng và đưa ra được
thông lượng và các đặc trưng khác của lò phản ứng hạt nhân.
Phương pháp IAD cịn cho phép xây dựng thơng số đặc trưng hạt nhân như tiết

diện tán xạ, phân hạch, hấp thụ, hệ số khuếch tán, quãng chạy tự do trung bình của
neutron v.v… là các thơng số quan trọng tại vị trí và nhóm năng lượng nào đó trong
lõi lị dùng để tính thơng lượng neutron.
Qua phép tính tốn về áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài tốn nhiễu
xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi nêu lên được phương pháp IAD có thể
áp dụng cho các bài tốn nhiễu xạ bằng cách giải đơn giản, không cần nhiều tính
tốn lập trình cồng kềnh vẫn có thể cho được kết quả phù hợp thực tế.

11


CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN
Equation Section 1
Trong chương này luận án giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tích
phân bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các
phương pháp rời rạc hóa bài tốn biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa
phương trình về dạng ma trận [9]. Nghiên cứu này sẽ định nghĩa đạo hàm trung bình
tích phân và các tính chất của nó, sau đó giới thiệu một số bài tốn lý thuyết có
nghiệm khơng trơn được giải bằng cách sử dụng IAD.
Phương pháp tham số liên tục và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ, khái
niệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai
chiều cũng được dẫn ra ở đây. Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích
phân, ta đưa các bài tốn vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên
tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (khơng
có đạo hàm theo nghĩa thơng thường trên tồn miền) về một mơ hình thống nhất,
cos đạo hàm liên tục tại mọi diểm không trơn, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ
thơng thường để tìm nghiệm, trong tính tốn các số liệu đầu vào thường khơng
tuyến tính và chúng tơi áp dụng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân để xử lý
các xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa [12] .

1.1.

Đạo hàm trung bình tích phân
Tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged

Derivative) là thuật ngữ được sử dụng trong luận án bao gồm định nghĩa và các
phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài tốn
biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo
cách đạo hàm trung bình tích phân đã được định nghĩa trong trang 6.

12


1.1.1. Định nghĩa
Cho X là không gian hữu hạn chiều R n , hàm F và biến X là thực hoặc phức
i) Xét F : X  X , x0  X , nếu h  X , tồn tại

1
 0 2

lim






F  x0  th   F  x0 
dt   F  x0 , h 

t

(1.1)

thì  F  x0 , h  được gọi là biến phân trung bình (theo tích phân) thứ nhất của hàm F
tại x0 .
ii) Nếu tại x0 ta có  F  x0 , h   Ah , trong đó A là ma trận vng cấp  n  n 
thì F được gọi là khả vi trung bình theo tích phân tại x0 , và viết F   x0 , h   Ah .
Nhận xét:. Do mục đích nghiên cứu của luận án nên ở đây chỉ sử dụng đạo
hàm trung bình tích phân theo định nghĩa trên. Ta có thể mở rộng định nghĩa trên
bằng cách thay thế biểu thức trong i) bởi biểu thức

lim
 0



1

2     

F  x0  th   F  x0 
dt   F  x0 , h  ,  ,   0
t

(1.2)

Phương pháp đạo hàm trung bình tích phân cũng cho phép xử lý các số liệu
đầu vào cho các bài toán có số liệu đầu vào khơng tuyến tính hoặc rời rạc hóa,
khơng trơn, chúng trở nên liên tục và khơng có điểm gián đoạn, đứt gãy. Nhất là

những bài tốn lượng tử vi mơ trong tính tốn lị phản ứng hạt nhân hoặc hệ lượng
tử [41].

1.1.2. Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân
i) Hiển nhiên ta có

 F  G   x   F   x   G  x 
0

0

0

 F   x0     F   x0 

(1.3)

 F  G   x   F   z   G  x 
0

0

0

13

 z0  G  x0 


ii) Nếu F có đạo hàm Gateaux tại x0 thì F’ cũng có đạo hàm trung bình tại đó

và ta có F   x0   F   x0  .
iii) Tồn tại hàm F có đạo hàm trung bình tại x0 , nhưng khơng có đạo hàm
Gateaux tại đó.
Ví dụ: F  x   x khơng có đạo hàm Gateaux tại x0  0 nhưng có đạo hàm
trung bình tích phân tại đó.

1 
(1.4)
h sign tdt
 0 2 
iv) Hàm F có điểm góc tại x0 , nhưng có đạo hàm trung bình tại đó và ta có
F   0   lim

F   x0  

F   x0  0   F   x0  0 
2

f1  x 

(1.5)

f2  x 

x

x0
Hình 1.1.

Hàm F có điểm góc tại x0 .

v) Hàm F không liên tục tại x0 , nhưng có đạo hàm trung bình tại đó và ta có

f1  x 
f2  x 

x

x0
Hình 1.2.

Hàm F khơng liên tục tại x0 .

vi) Hàm F có đạo hàm hữu hạn hai phía tại x0 thì có đạo hàm trung bình tại đó
và ta cũng có

14


F   x0  0   F   x0  0 
(1.6)
2
Nhận xét: Các tính chất ii), iii), ) và iv) suy từ tính chất vi). Bây giờ chứng
F   x0  

minh tính chất vi). Do gỉả thiết F có đạo hàm hai phía tại x0 nên dễ dàng suy ra
hàm

f t  

F  x0  th   F  x0 
t

liên tục trong lân cận t  0 , suy ra

1
 0 2

lim



1

 f    f    
  f  t  dt  2 lim



0

 F  x0   h   F  x0  F  x0   h   F  x0  
1
 lim 


2  0 







F  x0   h   F  x0 
F  x0   h   F  x0  
1
 lim
lim

 0
2   0



F   x0  0   F   x0  0 
2

điều phải chứng minh.

1.2.

Một số khái niệm bổ trợ
Sau đây, để ngắn gọn ta sẽ gọi các phương pháp rời rạc hóa bài tốn biên có sử

dụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp đạo hàm trung
bình tích phân, gọi tắt là các phương pháp IAD (Integrally Average Derivative).
Phương pháp này được áp dụng cho Chương 2 và Chương 3. Dựa trên định nghĩa
của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài tốn vi phân trên miền (cả biên) có
kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa
trung bình tích phân (khơng có đạo hàm theo nghĩa thơng thường trên tồn miền) về

một mơ hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thơng thường để tìm
nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa), phương pháp hàm
riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận, Trong đó dùng các phép

15


biến đổi Fourier, Laplace để tìm nghiệm. Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo
hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD.

1.2.1. Nghiệm xấp xỉ
Giả sử cần tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình

L U   b trong miền 

Equation Section 1(1.1)

với các điều kiện biên

S U   s Trên phần biên 1

(1.2)

G U   g Trên phần biên  2

(1.3)

trong đó  là miền được giải với biên 1 ,  2

1

Hình 1.3.



2

Miền được giải với biên 1 ,  2 .

L , F , G là các toán tử vi phân, b, s, g là các hàm đã cho. Giả sử U là nghiệm đúng
của bài toán (1.1), (1.2), (1.3) mà ta khơng thể tìm được bằng phương pháp giải tích.
Ta tìm nghiệm xấp xỉ U dưới dạng:
n

U   ii  0

(1.4)

i 1

trong đó  i là các hệ số cần tìm; i  x  là hệ hàm đầy đủ, tức là thỏa mãn các
điều kiện sau của hệ hàm cơ sở :
i) Bộ các hàm i  x  là độc lập tuyến tính với mọi n.
ii)   0, u, n sao cho
1 p

p




   n

  u    xii   0   dx 



   i 1


16




Đặt (1.4) vào (1.1), (1.2), (1.3) thu được

R : L U    b  0

(1.5)

R1 : S U    s  0

(1.6)

R2 : G U    g  0

(1.7)

Có thể tìm nghiệm xấp xỉ U  sao cho các hàm sai số R, R1 , R2 được xác định
bởi (1.5), (1.6), (1.7) có giá trị bé tùy ý trên    , đã xuất hiện nhiều phương pháp

khá lý thú. Để phục vụ cho các chương sau, chúng tơi trích dẫn phương pháp cân
bằng sai số được trình bày [83].
1.2.2. Phƣơng pháp cân bằng sai số
Gỉả thiết rằng W đều được viết dưới dạng
n

W   
i i

(1.8)

i 1

trong đó  i  i  1,..., n là hệ hàm đầy đủ; i ,  i  1,..., n  là các hệ số. Mọi
hàm W thỏa mãn điều kiện biên bằng không tức là

R1  R2  0

(1.9)

 R,W    R  Wd   0

(1.10)

và

được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài tốn (1.1), (1.2), (1.3). Cịn W được gọi là hàm
trọng.
Định lý (Ostrogradski – Gauss). Miền  được gỉả thiết giới nội và đơn liên,
mặt  là kín và chính quy, thế thì

u

w



  w u  u w d     w n  u n  ds
2

2



trong đó 2   là tốn tử Laplace,



(1.11)

u w
,
là các đạo hàm theo pháp tuyến của
n n

các hàm u và w tương ứng.

17

1.3.

Phƣơng pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phƣơng trình Wigner
Trong mục 1.1 đã đưa ra định nghĩa của đạo hàm trung bình (tích phân) và các

chương sau chúng tơi sẽ áp dụng các ứng dụng của nó vào tìm nghiệm xấp xỉ của
bài tốn khuếch tán
Gần đây phương trình Wigner và bài toán liên kết Wigner – Poisson đã được
sự chú ý của các nhà toán học và vật lý lý thuyết do tính chất phi tuyến của nó khi
xét trong môi trường Plasma lượng tử tĩnh điện. Chúng được xét trên cơ sở lý thuyết
trường trung bình.
Ta xét bài tốn được trình bày trong bài báo [83]

 wt  v x w  Ewv   v  w


 w  t  0   w0

(1.12)

trong đó v  R k (tốc độ), x  R k (vị trí) và t  R  (thời gian), k  1, 2,3. Xét biểu
thức
 
 

 V   i V  x 

v 
 


, t   V  x  v , t 
2i 
2i  


(1.13)

hoặc biểu diễn dưới dạng một tích phân tương đương

 V w  i  2 

k

 
 
 

i  v v
dvd , (1.13)
V  x  2 , t   V  x  2 , t   w  x, v, t   e
k
k 





R  Rv 



V  x, t     4 

1



Ryk

  y, t 
x y

dy,

  x, t    w  x, v, t  dv

(1.14)
(1.15)

Rvk

Phương trình Liouville lượng tử (1.12) được Wigner đưa ra năm 1932 từ
phương trình Schrodinger khi lượng tử hóa phương trình Liouville cổ điển. Đó cũng
chính là phương trình Wigner và nghiệm tương ứng là hàm Wigner.
Chú ý rằng biểu thức (1.13) có dạng

 V   f 1 V  f
trong đó f là phép biến đổi Fourier và f 1 là phép biến đổi ngược của nó, và

18

(1.16)




 V  x, , t   i V  x 

 

 

, t   V  x  , t  .
2 
2 


 
Áp dụng phép biến đổi Fourier vào phương trình Wigner (1.12) với u  fw ta

thu được :
t u  i div   xu   E vu   v  x, , t  u.

(1.17)

3. Lấy tập hợp rời rạc các hạt nằm tại vị trí  xi  t  , vi  t   với hằng số không
gian pha wi và thời gian phụ thuộc vào trọng số wi  t  . Nghiệm w là nghiệm xấp xỉ
được đo bởi tổ hợp tuyến tính của hàm delta
w  x, v, t    wW
i i  x  xi     v  vi .

i

Giải (1.12) bởi phương pháp IAD
 dwi

 dt   w j  xi  x j    x j , vi  v j  w j ,
j

 w  t  0   w  x  t  0  , v  t  0   ,   0.
0
i
i
 j

(1.18)

Vế phải của (1.18) biểu diễn một xấp xỉ của tốn tử tích phân. Áp dụng cơng
thức cầu phương với   phù hợp với điểm không của hàm bậc hai như một xấp xỉ
của hàm delta:

   x 

 x

   ,   L1  R k  ,    x  dx,
  
R
1

k

k

ta có thể thu được hệ đại số của phương trình đối với wi .
4. Xét hệ phương trình Schrodinger
1
 
i  m   m  V  m , x , t  0,

 t
2

  t  0     x  ,  m  0
m
 m



(1.19)

được liên kết với phương trình Poisson đối với thế V:
V  n
V ., t 




V0 ., t 

19

, t  0,

(1.20)


trong đó mật độ số electron là


n  x, t    m  m  x, t  ,
2

(1.21)

m 1

 Rk , k  1, 2,3, là một miền bị chặn, hệ số m , m  N là thực và dương. Ta có thể
chứng minh định lý sau.

Định lý. Nếu u thỏa mãn điều kiện
M  sup x1 v2 x 3 x 4 u
4
1 i 

Lp   

 

thì

sup x1 v2 x 3 x 4 u
4
1 i 

Lp   

 C t 

đúng cho mọi t  R  , trong đó  Gt u  x, v   u  X ,V  gắn liền với đặc trưng của toán
tử V  x  E v .


Et 2
,
 X  x, v, t   x  vt 
2

V  x, v, t   v  Et.

( Gt u  f là nghiệm của phương trình vận chuyển t f  v x f  E v f  0; f  t  0   u )

Dựa trên định lý này ta có thể áp dụng các phương pháp đạo hàm trung bình
tích phân kết hợp với các phương pháp xấp xỉ cho gần đúng của nghiệm cho bài
toán (1.19), (1.20) và xây dựng phương pháp IAD cho các đặc trưng của toán tử.
Với định lý trên cho phép chúng tôi xây dựng phương pháp IAD. Phương
pháp dựa trên định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân trong khơng gian hữu hạn
chiều R n cho các bài toán giải phương trình khuếch tán neutron trong lị phản ứng
hạt nhân đối với phương trình vi tích phân nhiều biến (được trình bày trong Chương
2) và phát triển bài toán nhiễu xạ sóng trong mơi trường đàn hồi bị hổng một góc
trong tài liệu 3. (danh mục các cơng trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan

đến luận án).

20


CHƢƠNG 2. TÍNH TỐN THƠNG LƢỢNG NEUTRON TRONG LỊ
PHẢN ỨNG HẠT NHÂN
2.1.

Khái niệm mở đầu
Trước nhu cầu cần sử dụng năng lượng hạt nhân của nước ta hiện nay. Việc

nghiên cứu và tính tốn thơng lượng neutron trong lị phản ứng hạt nhân rất quan
trọng, nó là một thiết bị hiện đại tạo ra năng lượng cho con người. Chúng bao gồm
các vật liệu đa dạng như nhiên liệu, chất làm chậm, nước làm mát, chất phản xạ
v.v… tất cả các thành phần được sắp xếp không đồng nhất. Do đó thiết kế lị phản
ứng hạt nhân và phân tích các chế độ hoạt động khác nhau của nó là một nhiệm vụ
phức tạp bao gồm nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật [72, 117]. Tuy nhiên điều
các nhà vật lý quan tâm nhất là sự phân bố và tính chất trạng thái của các neutron
(được gọi là các đặc trưng neutron) như: phân bố thông lượng trong vùng hoạt; từ
đó tính hệ số nhân hiệu dụng (keff) cho các cấu hình khác nhau ở điều kiện nhiệt độ
20oC v.v… trong lị phản ứng hạt nhân. Nó đóng một vai trò quan trọng và nhận
được sự chú ý đáng kể trong vật lý lò phản ứng hạt nhân. Mục tiêu chính của sự
phân tích các đặc trưng neutron như vậy để mơ tả và dự đốn trạng thái của lò phản
ứng hạt nhân trong các điều kiện khác nhau và để tìm thấy cấu hình tối ưu của nó,
trong đó có khả năng hoạt động tự bền vững lâu dài với sự can thiệp tối thiểu của
con người [103].
Một trong các vấn đề mang tính thời sự hiện nay là các bài tốn tính tốn lị
phản ứng hạt nhân. Neutron chuyển động trong lò phản ứng hạt nhân là nhân tố
chính để xác định các hành vi hoạt động của lị phản ứng hạt nhân, nó được coi như

các hạt điểm có vận tốc, tọa độ xác định. Các hành vi chuyển động và tương tác bao
gồm hấp thụ, tán xạ hay phân hạch thỏa mãn phương trình vận chuyển Boltzmann,
cịn gọi là phương trình vận chuyển neutron trong lị phản ứng hạt nhân. Chúng tơi
dành nội dung chương này để xây dựng mơ hình vật lý đưa ra phương trình vận

21