SKKN rèn kỹ năng tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp 7

MỤC LỤC
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài.

2

II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2

III. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu.

3

IV. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
B. NỘI DUNG

3
4

I. Cơ sở lí luận

4

II. Thực trạng của việc học Toán ở trường THCS An Dương.

4

III. Biện pháp thực hiện

6

1. Đối với học sinh

6

2. Đối với giáo viên

6

2.1. Các phương pháp chứng minh hình học 7.
2.2. Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh .

6
8

2.3. Phương pháp chung để tìm lời giải bài tốn.

9

2.4. Các ví dụ minh hoạ.

10

2.5. Vận dụng vào soạn và dạy một tiết luyện tập.

16

2.6. Bài tập áp dụng
IV. Kết quả đạt được

* Rút kinh nghiệm.
C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

23
24
25

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1


Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường
THCS là tích cực hố các hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển năng lực
tự học. Nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học
sinh.
Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ
lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng
minh bài tốn chứ khơng đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài tốn.
Thơng qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương
pháp chứng minh tiến tới có được phương pháp học tập bộ mơn hình học.
Với chương trình hình học lớp 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái
niệm mở đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường qui
nạp khơng hồn tồn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến
thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối quan hệ giữa chúng bằng mơ tả trực
quan với sụ hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7, học sinh
bước đầu làm quen với các mối quan hệ vng góc, song song, bằng nhau,...Với
yêu cầu kỹ năng từ thấp đến cao địi hỏi phải có sự suy luận lơgíc hợp lý, khả năng

sử dụng ngơn ngữ chính xác thơng qua các bài tập chứng minh. Việc làm quen và
tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đa số học
sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc học tập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết,
các định nghĩa, các định lý, tiên đề,… đến việc hồn thiện các chứng minh dạng
tốn, các lập luận, suy luận để đến điều phải chứng minh. Hầu hết học sinh chưa
cảm nhận được cái hay, cái đẹp ở hình học, rất ngại khi học hình học vì nhiều
nguyên nhân khác nhau dẫn tới kết quả học tập chưa cao, đặc biệt là việc tư duy
chứng minh một bài tốn hình học đối với các em cịn nhiều khó khăn. Chính vì
vậy việc rèn luyện cho học sinh hình thành và phát triển tư duy hình học và có kỹ
2


năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học cơ bản từ đó có
khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêu cầu cần thiết đối với việc
giảng dạy phân mơn hình học ở bậc THCS đặc biệt đối với học sinh lớp 7.
Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài: “Rèn kỹ năng tìm lời giải bài tốn
chứng minh hình học lớp 7”.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
1. Mục đích:
- Thơng qua đề tài tơi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy mơn
hình học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất.
- Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho một bài tốn
chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kỹ năng phân tích, tổng hợp kiến thức,
giúp phát triển tư duy và rèn khả năng tự học cho học sinh, đáp ứng yêu cầu đổi
mới giáo dục.
2. Nhiệm vụ:
- Khảo sát chất lượng học tập của học sinh về mơn Tốn tại lớp mình giảng
dạy.
- Tìm hiểu ngun nhân dẫn đến kết quả học tập chưa cao ở học sinh.
- Phân loại đối tượng học sinh nhằm lựa chọn biện pháp thích hợp.

- Thực hiện kế hoạch bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh.
- Đúc rút kinh nghiệm cho bản thân từ thực tiễn giảng dạy.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 7 trường THCS An Dương, quận Tây Hồ, thành phố Hà Nội.
- Nội dung chương trình hình học 7.
2. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu.
3


- Tìm hiểu điều tra thực tiễn.
- Thực nghiệm sư phạm.
- Tổng kết kinh nghiệm.
IV- PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU
- Thời gian thực hiện: 1 năm
- Đề tài tập trung ở chương trình tốn 7 – cụ thể, Tiết 29: “Luyện tập về
trường hợp bằng nhau của tam giác góc - cạnh - góc”.

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
4


Trong trường THCS mơn tốn được coi là mơn khoa học ln được chú
trọng nhất và cũng là mơn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng định
là phân mơn hình học có nhiều khái niệm trừu tượng nhất, kiến thức trong bài tập
lại phong phú rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học. Bên cạnh đó u cầu bài
tập lại cao, nhiều bài tốn ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ, lơgic
và có trình tự.

Các kiến thức trong sách giáo khoa hình học lớp 7, được trình bày theo con
đường kết hợp trực quan và suy diễn, lập luận, bằng đo đạc, gấp hình, vẽ hình, quan
sát,…học sinh dự đốn các kết luận hình học và tiếp cận các định lý. Nhờ đó giúp
học sinh có hứng thú học tập, chịu khó tìm tịi, khám phá kiến thức.
Sách giáo khoa hình học lớp 7 tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu của hình
học phẳng lớp 6, làm quen với khái niệm mới như: hai đường thẳng vng góc, hai
đường thẳng song song, quan hệ bằng nhau của tam giác, tam giác cân, tam giác
đều, định lý Pytago, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng qui
trong tam giác. Chương trình hình học lớp 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư
duy để giúp học sinh học tập tốt được chương trình hình học lớp 8 và lớp 9.
Hệ thống các bài tập đa dạng và phong phú được thể hiện dưới nhiều hình
thức, phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó địi hỏi học sinh phải có phương
pháp phân tích hợp lý để tìm lời giải cho bài tốn. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh
cách phân tích, rèn kỹ năng tìm tịi lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để
khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng, hào hứng, đạt kết quả
tốt hơn.
II. THỰC TRẠNG HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THCS AN DƯƠNG
1. Đối với học sinh:
Qua cơng tác giảng dạy tốn lớp 7 ở trường THCS An Dương hiện nay, tôi
nhận thấy rằng một bộ phận học sinh rất tích cực học tập, rèn luyện, có động cơ học

5


tập đúng đắn nên đã đạt kết quả tốt, thực hiện được mục tiêu học tập đã đề ra. Bên
cạnh đó, đa số học sinh:
- Khơng chú ý nghe giảng hoặc chỉ tập trung được trong thời gian ngắn, lười
ghi chép bài.
- Không chịu học lý thuyết nên lúng túng trong q trình áp dụng làm bài
tập.

- Khơng biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy
luận trong giải tốn, khơng biết sử dụng các bài toán đã giải hoặc áp dụng phương
pháp giải một cách thụ động.
- Khơng chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài tốn hay mở rộng
tìm lời giải cho các bài tốn khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải
tốn.
Từ đó, đa số các em cảm thấy học mơn tốn khơ khan, khó hiểu, khơng có
hứng thú cao đó với mơn tốn, điều đó đã ảnh hưởng không nhỏ tới việc học tập
của các em.
Kết quả khảo sát các em học sinh ở khối lớp 7 năm học 2012 - 2013 về mức
độ hứng thú và kết quả học tập bộ mơn tốn khi chưa áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm này vào giảng dạy:
- Mức độ hứng thú.

Lớp

Tổng số

7A2

24

Hứng thú

Thái độ
Bình thường

Khơng hứng thú

6

10

8

- Chất lượng học tập.

Lớp

Giỏi

Khá

Trung bình

6

Yếu

Kém


Tổng
số
7A2

24

SL
2

TL
%
8,3

SL

TL %

SL

TL %

SL

TL %

SL

TL %

5

20,9

9

37,5

6

25

2

8,3

- Nguyên nhân là do ngay từ đầu cấp THCS học sinh bị lúng túng vì bước
đầu đã có sự chuyển đổi về phương pháp học tập. Một bộ phận không nhỏ học sinh
trên lớp không tiếp thu được bài học do các em chưa nắm chắc được kiến thức hoặc
quên kiến thức. Bên cạnh đó, do trong q trình học các thầy cơ giáo chưa hướng
dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức các hoạt động
dạy học chưa phong phú nên chưa kích thích được hứng thú học tập cho học sinh.
b. Đối với giáo viên.
Hiện nay đa số giáo viên có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để
nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, có trách nhiệm đối với học sinh, đối với
trường lớp. Phần lớn, phương pháp giảng dạy của giáo viên đã có sự đổi mới hơn
theo hướng tích cực hố của người học, đã áp dụng công nghệ thông tin vào giảng
dạy và ngày càng sử dụng có hiệu quả cơng cụ hữu ích này.
Tuy nhiên, một bộ phận khơng nhỏ giáo viên cịn lúng túng trong việc phân
tích, hướng dẫn cho học sinh tìm ra lời giải của bài tốn. Giáo viên thường phân
tích xi chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến học sinh không hiểu tại sao và
nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bài tốn vì thế khơng vận dụng được vào giải
các bài tốn khác, do đó học sinh khơng biết cách học tốn, cụ thể là cách suy nghĩ
để tìm lời giải cho một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong mơn
hình học, khiến học sinh tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự tin, thiếu tính sáng
tạo, dẫn đến kết quả học tập chưa cao.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
1. Đối với học sinh:

7


+ Mỗi học sinh cần nắm chắc lý thuyết trên cơ sở tự đọc, tự học. Từ đó, với
sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc lĩnh
hội kiến thức mới; duy trì liên tục “học đi đôi với hành”, học lý thuyết đến đâu áp
dụng vào làm bài tập luôn đến đấy, tránh tình trạng học trước quên sau; thường
xuyên rèn luyện các kỹ năng giải tốn để hình thành phương pháp học tập bộ mơn,
tạo hứng thú trong suốt q trình học tập.
+ Thành lập tổ nhóm học tập tốn cho HS: Chia lớp thành 5- 6 nhóm (mỗi
nhóm từ 4 - 6 HS).
- Đồng đều về nam và nữ.
- Đồng đều về bàn học.
- Trong nhóm xen lẫn những em HS khá, giỏi, trung bình, yếu và kém.
2. Đối với Giáo viên:
Muốn đạt được kết quả giảng dạy tốt thì người giáo viên phải khơng ngừng
tìm tịi, học hỏi, mạnh dạn áp dụng các phương pháp dạy học hiện đại vào giảng
dạy. Tích cực tham gia các buổi sinh hoạt chuyên đề để trau dồi, nắm bắt được một
số phương pháp dạy học có hiệu quả, từ đó đúc rút kinh nghiệm cho bản thân.
Người giáo viên cần soạn kỹ bài trước khi lên lớp, có hệ thống các câu hỏi rõ ràng,
lơgíc giúp học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu đồng thời giúp giáo viên tự tin hơn trong
quá trình tổ chức các hoạt động dạy học.
Để rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh, trước hết giáo viên cần
giúp học sinh nắm vững các phương pháp chứng minh cơ bản của hình học 7 đó là:
2.1. Các phương pháp chứng minh hình học 7 .
2.1.1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể sử dụng một trong những
cách sau:
- Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo (hoặc biểu thị bởi cùng một
biểu thức).

8


- Chứng minh dựa vào định nghĩa tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, đường trung
tuyến của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng.
- Chứng minh dựa vào đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường
trung trực của tam giác.
- Chứng minh dựa vào tính chất tia phân giác của góc, tính chất ba đường
phân giác của tam giác.
- Chứng minh dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác.
- Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.
2.1.2. Chứng minh đoạn thẳng lớn hơn trong hai đoạn thẳng:
-

Chứng minh dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

(cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác).
-

Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên

(đường vng góc ngắn hơn mọi đường xiên).
-

Chứng minh dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu (đường xiên

có hình chiếu lớn hơn hoặc hình chiếu có đường xiên lớn hơn).
2.1.3. Chứng minh hai góc bằng nhau:

Để chứng minh hai góc bằng nhau chúng ta có thể sử dụng một trong những
cách sau:
- Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều.
- Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song.
- Chứng minh dựa vào tính chất của tia phân giác một góc, đường phân
giác của tam giác.
- Chứng minh dựa vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
- Chứng minh hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba.
2.1.4. Chứng minh góc lớn hơn trong hai góc:

9


-

Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác: góc đối

diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác là góc lớn hơn.
2.1.5. Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta có thể:
- Dựa vào định nghĩa chứng minh một trong các góc tạo thành bởi hai
đường thẳng cắt nhau có số đo là 900 .
- Dựa vào quan hệ giữa tính vng góc và tính song song.
- Dựa vào tính chất của đường trung tuyến của tam giác vng ứng với
cạnh huyền thì bằng nửa độ dài cạnh huyền.
- Dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác.
- Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, của tam giác.
- Dựa vào định lí Pytago.
- Dựa vào định lý về tổng 3 góc trong một tam giác áp dụng vào tam giác
vuông.

- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc kề bù.
2.1.6. Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.
Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể:
- Chứng minh cặp góc đồng vị hoặc cặp góc so le trong bằng nhau.
- Chứng minh cặp góc trong cùng phía bù nhau.
- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vng góc với
đường thẳng thứ ba.
2.1.7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể:
- Dựa vào tính chất điểm nằm giữa hai điểm.
(AM + MB = AB  M nằm giữa A và B).
- Dựa vào tính chất : Nếu A, B, C tạo thành một góc có số đo bằng 180 0 thì
A, B, C thẳng hàng.

10


- Dựa vào tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vng
góc với một đường thẳng thứ ba và có một điểm chung thì hai đường
thẳng đó trùng nhau.
- Dựa vào tính chất tia phân giác của hai góc đối đỉnh.
- Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một tập hợp đường như: đường trung
trực, đường cao, đường phân giác... ).
2.1.8. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh:
- Hai đường thẳng cắt nhau và đường thẳng cịn lại đi qua giao điểm đó.
- Dựa vào tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
- Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng.
2.1.9. Chứng minh tính chất của một hình.
Trong hình học 7 ta bắt gặp nhiều bài yêu cầu chứng minh một tam giác là

tam giác cân, đều vuông... các đoạn thẳng là đường cao, đường trung tuyến, đường
phân giác. Về phương pháp chung ta có thế chứng minh các bài tốn trên thơng
qua các phương pháp chứng minh trên.
Muốn học sinh thành thạo giải một bài tốn chứng minh hình học thì trước
hết các em phải nắm được các phương pháp chứng minh cơ bản trên.
2.2. Rèn kỹ năng chứng minh hình học cho học sinh.
Việc học sinh được rèn luyện kỹ năng chứng minh hình là vơ cùng quan
trọng. Muốn rèn luyện cho học sinh có khả năng phân tích, tư duy một bài tốn
hình học sau khi các em đã được trang bị những kiến thức cơ bản và phương pháp
chứng minh trên thì giáo viên phải:
2.2. 1. Rèn kĩ năng vẽ hình:
- Vẽ hình cần chính xác, rõ ràng, để tìm ra hướng giải tốn.
- Khơng nên vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt có khi khó chứng minh (Ví
dụ u cầu vẽ tam giác thì ta chỉ vẽ tam giác thường).
11


- Nhiều bài giáo viên yêu cầu học sinh cần vẽ hình theo kết luận.
2.2. 2. Rèn kĩ năng suy luận và chứng minh:
Để chứng minh được một bài toán hình bất kì nào thì học sinh phải được:
a, Rèn kỹ năng vận dụng định lí:
Học sinh phải được rèn kỹ năng nhận dạng yêu cầu chứng minh nào đó
trong bài có khả năng vận dụng những định lí nào? Xuất phát từ kết luận của bài
toán, học sinh sẽ tư duy và kết hợp các giả thiết của bài cùng các kiến thức đã học
để tìm cách chứng minh bài tốn.
b, Rèn cách trình bày một bài tốn chứng minh:
Sau khi học sinh đã tìm được lời giải cho bài tốn nhiều học sinh sẽ lúng
túng khơng biết trình bày như thế nào? Nhiều học sinh trình bày chưa khoa học, sắp
xếp chưa đúng trình tự dẫn đến việc chứng minh các ý tiếp theo gặp nhiều khó
khăn. Vì vậy giáo viên phải yêu cầu học sinh trình bày tuần tự xuất phát từ giả

thiết. Các kết luận sử dụng nhiều hoặc nhiều kết luận sử dụng để phục vụ cho kết
luận chung thì cần ký hiệu, đánh dấu. . .
2.2. 3. Rèn kĩ năng sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp:
Để hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải, ta thường dùng phương pháp phân
tích (từ kết luận đi đến giả thiết) và lúc trình bày lời giải thì theo phương pháp tổng
hợp (từ giả thiết đến kết luận). Vậy khi trình bày một lời giải thường sử dụng
phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp để
viết phần chứng minh.
Khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải một bài tập thì giáo viên cần chú ý
hướng dẫn cho học sinh các quy tắc suy luận. Trong quá trình giải toán, ta thường
gặp hai quy tắc suy luận là quy tắc quy nạp và quy tắc diễn dịch.
- Quy nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát,
quy nạp thường là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra.
- Diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
2.2. 4. Rèn kĩ năng đặc biệt hóa:
12


Trong nhiều bài toán học giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể đưa giả
thiết của bài tốn về những trường hợp đặc biệt để tìm kết quả và phương pháp giải
quyết bài toán.
2.2. 5. Rèn kĩ năng tổng qt hóa:
Trong nhiều bài tốn sau khi giải quyết xong thì giáo viên có thể tổng qt
hố bài tốn nhằm nâng cao tư duy hình học cho học sinh như:
- Thay hằng số bởi biến.
- Thay điều kiện trong bài tốn bằng điều kiện rộng hơn.
- Thay vị trí đặc biệt của một điểm, của một hình bởi vị trí bất kì của nó, ví
dụ thay trọng tâm tam giác bởi một điểm bất kì nằm trong tam giác.
- Bỏ bớt một điều kiện của giả thiết để có bài toán tổng quát hơn.
Trên đây là một số kỹ năng mà giáo vên cần rèn luyện cho học sinh trong

quá trình giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phân mơn hình học.
2.3. Phương pháp chung để tìm lời giải bài tốn.
Chứng minh một bài tốn hình học là dựa vào những điều đã biết (gồm giả
thiết của bài toán, các định nghĩa, tiên đề, định lý đã học) và bằng cách suy luận
đúng đắn để chứng tỏ rằng kết luận của bài toán là đúng.
Dạng chung của bài tốn chứng minh là A � B, trong đó A là giả thiết của
bài toán, B là kết luận của bài tốn.
Để tìm cách chứng minh một bài tốn hình học, ta thường làm các bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đọc kỹ đề toán để hiểu rõ: Đề bài cho những gì? Đề bài yêu cầu chứng minh
điều gì? Từ đó viết tóm tắt đề bài dưới dạng giả thiết và kết luận.
+ Từ nội dung của giả thiết, ta có thể suy ra các tính chất gì, các quan hệ gì?
+ Để đi đến kết luận ta cần phải chứng minh điều gì? Trong các điều ấy, điều
nào đã biết, điều nào còn phải chứng minh.
+Vẽ hình minh hoạ ra sao? Sử dụng ký hiệu như thế nào?
+ Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán.
13


+ Dạng tốn nào? Kiến thức cơ bản cần có là gì?
Bước 2. Xây dựng chương trình giải tốn: Cần chỉ rõ các bước theo một trình tự
thích hợp.
+ Bài tốn u cầu phải chứng minh điều gì? (Kết luận A)
+ Để chứng minh được kết luận A ta phải chứng minh điều gì? (Kết luận X)
+ Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào? Cần phải chứng
minh điều gì? (Kết luận Y)
+ Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng hết giả thiết của bài toán
và các kiến thức đã học trước đó.
Sơ đồ phân tích bài tốn như sau:
Để chứng minh A

Phải cm

X Phải cm Y Phải cm ....

Phải cm

Z, (chứng minh được từ

giả thiết).
Bước 3. Thực hiện chương trình giải:
Sau khi vẽ hình, ghi kí hiệu, ghi giả thiết và kết luận, ta trình bày chứng
minh theo trình tự ngược lại của bước phân tích đi lên, tức là ta trình bày lời giải
theo phương pháp tổng hợp. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính tốn, biến đổi.
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Xem xét có sai lầm khơng, có phải biện luận kết quả khơng.
+ Nghiên cứu bài tốn tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề,…
2.4. Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Cho hình vẽ bên.

A

Hãy chứng minh VBIC là tam giác cân.
Hướng dẫn giải:
Bước 1:

D

+ Từ hình vẽ ta có thể suy ra: AB = AC; VABC
B

cân tại A; �
ABC  �
ACB ;…
BIC, cân, dự
+ Đề bài toán yêu cầu chứng minhVV
ABC

GT(*) AD = AE
đoán cân tại I, tức là chứng minh B�2  C�2 (hoặc IB =
BD = CE
KL

14
VBIC cân

1 2

I

E
2 1

C


IC), đã có �
ABC  �
ACB , thế thì ta còn phải chứng minh
�C

�.
B
1
1

+ Ghi giả thiết, kết luận.

(*): Để cho gọn, các yếu tố thẳng hàng, nằm giữa, các giao điểm đã được thể hiện
trên hình, ta có thể khơng ghi vào phần giả thiết.
Bước 2:
Phân tích đi lên:
+ Để chứng tỏ VBIC cân, ta chứng minh B�2  C�2
� C
� , ta cần chứng minh
+ Ta đã biết �
ABC  �
ACB nên để chứng minh B
2
2
�C
� , muốn vậy ta cần chứng minh VABE VACD.
B
1
1
VABE và VACD bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Bước 3:
Ta có thể trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:
Xét VABE và VACD có:
AE = AD (giả thiết)

�
A là góc chung

AB = AC (tổng của hai đoạn thẳng bằng nhau)
�C
�.
Do đó VABE VACD. (c-g-c), suy ra B
1
1
VABC có AB = AC nên là tam giác cân tại A, suy ra �
ABC  �
ACB .
��
��B
� C
� .
� �
ABC  B
ACB  C
1
1
2
2
VBIC có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân.

15


Bước 4: Xét bài toán tương tự, cũng giả thiết như trên nhưng yêu cầu chứng minh
VIDE cân.

Ví dụ 2: Cho góc xOy, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA =
OB. Vẽ các cung trịn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại
C. Chứng minh OC là tia phân giác của góc xOy.
Hướng dẫn giải:
Bước 1:
+ Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận.
x
A

� , A �Ox, B �Oy
xOy

GT

KL

O

OA = OB
(A;r) cắt (B;r) tại C

C

B
y

AC = BC
OC là tia phân giác của
�

xOy

+ Từ giả thiết ta có: OA = OB, CA = CB.
�
+ Ta phải chứng minh: �
AOC  BOC

Bước 2: Phân tích đi lên:
� , ta chứng minh �
�
+ Để chứng tỏ OC là tia phân giác của xOy
AOC  BOC
� , ta phải chứng minh VAOC VBOC
+ Muốn chứng minh �
AOC  BOC

+ Ta đã biết OA = OB; CA = CB; OC chung nên ta dễ dàng suy ra VAOC VBOC ,
theo trường hợp cạnh – cạnh –cạnh.
+ Sơ đồ phân tích:
�
�
AOC  BOC

16


VAOC VBOC


OA = OB; CA = CB; OC chung (GT)

� .
Bước 3: Chứng minh OC là tia phân giác của xOy

Xét  AOC và  BOC có:
OA = OB ( giả thiết )
CA = CB ( giả thiết )
OC: cạnh chung
Do đó :  AOC =  BOC (c – c – c)
�
Suy ra : �
AOC  BOC
�
Hay OC là tia phân giác của xOy

Bước 4: Kiểm tra lại lời giải xem có sai sót gì khơng để sửa lại bài làm.
Ví dụ 3: Cho tam giác DEF vng tại D, phân giác EB. Kẻ BI vng góc với EF tại
I. Gọi H là giao điểm của ED và IB .Chứng minh :
a) VEDB VEIB
b) HB = BF
c) So sánh DB và BF.
d) Gọi K là trung điểm của HF. Chứng minh 3 điểm E, B, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
- Đọc kỹ đề bài.

E
I

- Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận.
� = 90
 DEF , D

0

� (B �
EB là tia phân giác của E
GT DF)
BI  EF (I �EF). ED cắt IB tại H
KH = KF (K � HF)
a) VEDB VEIB
b) HB = BF
KL c) So sánh DB và BF.
d) E, B, K thẳng hàng.

D

F

B
K

H

- Hướng dẫn tìm lời giải.
17


Sơ đồ phân tích đi lên:
a)
VEDB VEIB (ch-gn)


�  IEB
� (EB là tia phân giác của DEF
� )
DEB

EB chung
�  EIB
�  900 (giả thiết)
EDB

b)
HB = BF (hai cạnh tương ứng)

VDBH VIBF (g-c-g)

�  BIF
�  900 (GT)
BDH

BD = BI (theo câu a)
�  IBF
� (đối đỉnh)
DBH

c)
So sánh DB và BF


So sánh DB và BH (vì BF = BH)


DB < BH (đường vng góc ngắn hơn mọi đường xiên)
Tương tự, thay vì so sánh DB và BH, ta so sánh IB và BF (vì DB = BI).
Ta có thể chứng minh bằng các cách khác, chẳng hạn, xét VDBH . Sử dụng
tính chất trong tam giác vng cạnh huyền là cạnh lớn nhất hoặc cạnh đối diện với
góc lớn hơn thì lớn hơn.
d)
E, B, K thẳng hàng

18


EB là đường phân giác VEHF
EK là đường trung tuyến VEHF

VEHF cân tại E


EH = EF


EH = ED + DH
EF = EI + IF
ED = EI; DH = IF
Sau khi phân tích xong, ta trình bày lời giải bài tốn trên theo hướng ngược
lại.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có �A < 900. Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác vuông
cân đỉnh A là MAB, NAC. Chứng minh rằng:
a) MC = NB
b) MC  NB

Hướng dẫn giải:
- Hướng dẫn sử dụng dụng cụ vẽ hình.
- Cho biết giả thiết, kết luận của bài toán.

19


B

0
VABC , �
A < 90 ,
GT AM  AB, AM  AB
AN  AC , AN  AC

M

K

a) BN  MC
KL b) BN  MC

I

A

N

- Hướng dẫn tìm lời giải.
Sơ đồ phân tích đi lên:

a)
BN = MC


AMC =ABN

�  BAN
� ;
AM = AB(gt) ; MAC

AN = AC (gt)


�  CAN
� ( 900 )
MAB
�  MAB
�  BAC
�
MAC
�  CAN
�  BAC
�
BAN

b) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN, BA với MC.
MC  NB

�  900
BIK

20

C



�  MAB
� ,( MAB
�  900 )
BIK

�
AMC  �
ABN (theo câu a)
�
� (đối đỉnh)
AKM  BKI

Lưu ý: VAMK và VIBK có ba góc tương ứng bằng nhau nhưng hai tam giác
này khơng bằng nhau.
Sau khi phân tích xong, ta trình bày lời giải bài tốn trên theo hướng ngược lại.
- Xét trường hợp đặc biệt:
c) Giả sử tam giác ABC đều cạnh 4cm.
+ Tính: MB; NC
+ Chứng minh: MN//BC.
B
d

M

E
A

C

F

N
Dựa vào tính chất của tam giác đều và định lí Pytago ta có:
MB  NC  4 2 (cm).

Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại E và F.
Ta sẽ chứng minh d vng góc với MN.
Thật vậy, vì VABC đều nên AE là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác, do
�  CAE
�  1 BAC
�  300 � �
đó BAE
FAM  600 .
2
21


�  600 .
Tương tự, ta tính được FAN
�  FAN
�
Xét tam giác MAN cân tại A, có FAM
nên AF là đường phân giác đồng thời

cũng là đường cao. Khi đó: AF  MN hay d  MN .
�BC  d
� BC / / MN .
�MN  d

Ta có: �

Ví dụ 5: Cho VABC (góc A tù), đường cao AI. Biết rằng O là giao điểm của ba
đường phân giác của VABC nằm trên AI. H là giao điểm ba đường trung trực của
VABC , H nằm trên AI và BC là đường trung trực của đoạn thẳng OH. Tính các góc

của VABC .
Hướng dẫn giải:
- Hướng dẫn cách vẽ hình: O là giao điểm của

A

ba đường phân giác nên O phải nằm trong tam
giác (tia phân giác nằm giữa hai cạnh của góc
tù là hai cạnh trong tam giác, nên tia phân giác
phải nằm trong tam giác).
BC là trung trực của OH (giả thiết), do đó O và
H thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là BC,
suy ra H nằm ngoài tam giác. Mà H thuộc
trung trực BC (giả thiết). Vậy OH thuộc đường
trung trực của BC, suy ra VABC cân ở A. Từ
đó suy ra cách vẽ.
- Chứng minh:
Xét VBOC và VBHC có:
BO = BH (vì BC là trung trực của OH)

CO = CH (vì BC là trung trực của OH)
BC chung
�VBOC VBHC (c  c  c)
22

O
3

B

1
2

I
H

3
1
2

C


�B
� ;C
�C
� (góc tương ứng)
� B
1
2

1
2
�B
�; C
�C
� (BO và CO là phân giác), vậy:
Mà B
1
3
1
3
3
�B
� B
�; C
�C
� C
� ��
B
ABH  �
ABC .
1
2
3
1
2
3
2
VABH có H nằm trên đường trung trực của AB nên nó cân tại H (HA = HB)
� 3�

� �
ABH  BAH
ABC .
2
1�
3
�  1 BAC
�
�  3�
 �
ABC � BAC
ABC .
Mà BAH
(OA là tia phân giác), vậy: BAC
2

2

2

�  3�
�  3�
Tương tự, ta có: BAC
ACB � BAC
ABC  3 �
ACB (1)
�  ABC
� �
Trong VABC ta luôn có: BAC
ACB  1800

(2)

Thay (1) vào (2), ta được: 5 �
ABC  1800 � �
ABC  360 .
�  1080 .
Vậy �
ACB  360 và BAC

2.5. Vận dụng vào soạn và dạy một tiết luyện tập.
Việc rèn luyện cho học sinh các kỹ năng chứng minh trên trong quá trình
giảng dạy đối với mỗi giáo viên là việc hết sức quan trọng. Để xây dựng một tiết
học mà các em được rèn luyện các kỹ năng một cách phù hợp với bản thân là một
nhiệm vụ không dễ đối với người thầy. Do đó, mỗi giáo viên phải xác định rõ mục
tiêu của từng tiết dạy.
1. Đối với dạy bài mới:
- Giáo viên phải cung cấp các tri thức mới một cách nhẹ nhàng và tự nhiên
giúp các em dễ tiếp thu.
- Sau mỗi kiến thức trọng tâm giáo viên cần khắc sâu hoặc gợi mở các
phương pháp chứng minh liên quan:
Ví dụ: Sau khi dạy xong bài: Tính chất tia phân giác của một góc. Giáo viên
có thể hỏi: Vậy qua bài hôm nay muốn chứng minh tia ON là tia phân giác của
� ta có thể chứng minh như thế nào?
xOy

23


- Dạy học định lí nên sử dụng phương pháp quy nạp để các em tự mình

khám phá những kiến thức mới từ đó các em hiểu sâu và chắc.
- Đối với mỗi kiến thức mới giáo nên là người nêu các tình huống có vấn đề
cho các em khám phá cùng với các câu hỏi, hướng dẫn gợi mở của người thầy.
2. Đối với tiết luyện tập:
- Trong các tiết luyện tập giáo viên thường xuyên quan tâm tới các kỹ năng
của từng đối tượng, từ kỹ năng vẽ hình đến kỹ năng phân tích tìm lời giải…
- Đối với mỗi bài tốn giáo viên cần hình thành cho học sinh thói quen phân
tích giả thiết, kết luận để tăng khả năng tư duy khi đi tìm lời giải.
- Sau mỗi bài giáo viên cần nhận xét rút kinh nghiệm về phương pháp, kỹ
năng trình bày cho học sinh.
- Đối với mỗi đối tượng học sinh giáo viên cần có yêu cầu cụ thể theo mức
độ từ dễ đến khó.
- Trong tiết luyện tập giáo viên nên phân thành các dạng bài và rút ra phương
pháp giải.
3. Đối với tiết ơn tập:
Đối với những tiết ơn tập thì việc rèn luyện các kỹ năng được đưa ra một
cách tổng qt, song song với đó là việc ơn luyện lại những kiến thức đã học của
chương hay của một học kỳ...Chính vì vậy người giáo viên phải:
- Hệ thống các dạng bài, các phương pháp bên cạnh việc hệ thống các kiến
thức.
- Các bài tập đưa ra nên có tính chất tổng quát, tổng hợp nhiều kiến thức
giúp các em có khả năng tư duy tổng hợp.
- Đối với mỗi dạng tốn sau một chương, một kỳ… thì có nhiều phương
pháp giải, phương pháp tư duy vì vậy giáo viên cần định hướng cụ thể cho học
sinh tránh học sinh bị lan man không xác định được phương hướng.
Sau đây là một bài soạn hình học 7, Tiết 29: “ Luyện tập về trường hợp
bằng nhau của tam giác góc – cạnh – góc ” do tơi thiết kế sử dụng các phương
24

pháp phân tích để tìm lời giải cho bài tốn, đặc biệt là phương pháp phân tích đi
lên, có ứng dụng công nghệ thông tin hỗ trợ dạy học.
Ngày soạn: 22/11/2012

Ngày dạy:

5/12/2012
Tiết 29: LUYỆN TẬP
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC GÓC – CẠNH – GÓC
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức:
- Khắc sâu kiến thức về tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh –
góc.
- Vận dụng kiến thức về tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh –
góc để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau,…
2. Kĩ năng:
- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình; ghi giả thiết, kết luận.
- Rèn kỹ năng trình bày bài tốn chứng minh hình học.
- Rèn khả năng suy luận, tư duy hình học.
3. Thái độ:
- Học sinh biết cách tham gia hoạt động nhóm và làm việc tập thể.
- Rèn tính cẩn thận, chính xác, khoa học.
- u thích mơn học.
II. CHUẨN BỊ:
1. Đối với GV:
- Giáo án, phiếu học tập, SGK, SBT, SGV toán 7, êke, com pa, thước đo góc,
thước thẳng, bảng phụ.
- Máy tính, phần mềm vẽ hình sketchpad, phần mềm trình chiếu PowerPoint,
máy chiếu phi vật thể (hiển thị phần bài làm trên giấy của HS).
25