CHUYÊN đề 7 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG gặp TRONG kì THPTQG

PHẦN

CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN &
PP TÍNH TÍCH PHÂN

1

❑ DẠNG TỐN 1: TÌM TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP
Q
b

 f ( x ) dx = F ( x )

Biến đổi đưa về dạng tích phân cơ bản:

b
a

= F (b ) − F ( a )

a

b

b

a

a

Tính chất 1:  k . f ( x ) dx =  f ( x ) dx k là hằng số.
b

b

b

Tính chất 2:   f ( x )  g ( x )  dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx
a

Tính chất 3:

a

a

b

c

b

a

a

c

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

(a  c  b)

DẠNG 1.1 ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐỂ GIẢ
 BÀI TẬP NỀN TẢNG 

2

Câu 1:



(Mã 103 - BGD - 2019) Biết

f ( x ) dx = 2 và

1

B. −4 .

A. 8 .

2

2

 g ( x ) dx = 6 , khi đó

  f ( x ) − g ( x )  dx bằng

1

1

D. −8 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn B
Ta có:

2

2

2

1

1

1

  f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 2 − 6 = −4 .
1

Câu 2:

(Mã 102 - BGD - 2019) Biết tích phân



f ( x ) dx = 3 và

0

1

 g ( x ) dx = −4 .

Khi đó

0

1

  f ( x ) + g ( x ) dx

bằng

0

A. −7 .

B. 7 .

C. −1 .

D. 1 .

Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 1


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Chọn C
Ta có

1

1

1

0

0

0

  f ( x ) + g ( x ) dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx = 3 + ( −4 ) = −1 .
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Biết

Câu 3:

bằng

A. 6 .



1

0

f ( x)dx = 2 và

B. −6 .



1

0

g ( x)dx = −4 , khi đó

C. −2 .

  f ( x ) + g ( x )  dx
1

0

D. 2 .

Lời giải

Chọn C

  f ( x) + g ( x) dx = 
1

1

0

0

1

f ( x)dx +  g( x)dx = 2 + ( −4) = −2 .
0

1

(Mã đề 101 - BGD - 2019) Biết

Câu 4:



1

f ( x )dx = −2 và

0

bằng
A. −1 .

  f ( x ) − g ( x ) dx

0

0

C. −5 .

B. 1 .

1

 g ( x )dx = 3 , khi đó

D. 5 .

Lời giải
Chọn C
1

1

1

0

0

0

  f ( x ) − g ( x )dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx = −2 − 3 = −5 .
1

Câu 5:

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho



f ( x ) dx = 2 và

0

1

 g ( x ) dx = 5 , khi
0

1

  f ( x ) − 2 g ( x )  dx

bằng

0

A. −8

C. −3

B. 1

D. 12

Lời giải
Chọn A
Ta có

1

1

1

0

0

0

  f ( x ) − 2 g ( x ) dx =  f ( x ) dx − 2 g ( x ) dx = 2 − 2.5 = −8 .

Câu 6:

(THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng
với mọi hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ?
b

b

A.

b

  f ( x) + 2 g ( x)dx =  f ( x)dx +2  g ( x)dx .
a

b

b

a

B.


a

a

f ( x)
dx =
g ( x)

 f ( x)dx
a
b

.

 g ( x)dx
a

b

C.

b

  f ( x).g ( x)dx =  f ( x)dx .  g ( x)dx .
a

a

b

b

D.


a

a

2

b

f ( x )dx =   f ( x )dx  .
a

2

Lời giải
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 2


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Chọn A
Theo tính chất tích phân ta có:
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

  f ( x) + g ( x)dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx;  kf ( x)dx = k  f ( x)dx , với k 
2

4

−2

−2

(THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho

Câu 7:

.

 f ( x ) d x = 1 ,  f ( t ) dt = −4 .

Tính

4

 f ( y ) dy .
2

A. I = 5 .

B. I = −3 .

C. I = 3 .

D. I = −5 .

Lời giải
Chọn D
4

4

4

4

 f ( t ) d t =  f ( x ) d x ,  f ( y ) dy =  f ( x ) dx .

Ta có:

−2

−2

2

Khi đó:

2
4

2
4

 f ( x ) d x +  f ( x ) d x =  f ( x ) dx .

−2

4

  f ( x ) dx =
2

−2

2

4

2

−2

−2

 f ( x ) d x −  f ( x ) dx = − 4 − 1 = − 5 .

4

Vậy

 f ( y ) dy = −5 .
2

(THPT CÙ HUY CẬN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

Câu 8:

khi đó



2

0



2

0

f ( x ) dx = 3 và

 g ( x ) dx = 7 ,
2

0

 f ( x ) + 3 g ( x ) dx bằng

B. −18 .

A. 16 .

C. 24 .

D. 10 .

Lời giải
Chọn C
Ta có:



2

0

 f ( x ) + 3g ( x ) dx =  f ( x ) dx + 3 g ( x ) dx = 3 + 3.7 = 24 .
0
0
2

2

1

Câu 9:

(THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2) Cho



3

f ( x ) dx = −1 ;

0

 f ( x) dx = 5
0

3

. Tính

 f ( x) dx
1

A. 1.

B. 4.

C. 6.

D. 5.

Lời giải
Chọn C
Ta có

3

1

3

3

3

1

0

0

1

1

0

0

 f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx   f ( x) dx =  f ( x) dx −  f ( x) dx = 5+ 1= 6

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 3


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
3

Vậy

 f ( x) dx = 6
1

Câu 10: (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho

2

3

1

2

 f ( x ) dx = −3 và  f ( x ) dx = 4

3

. Khi đó

 f ( x ) dx

bằng

1

A. 12.

B. 7.

D. −12 .

C. 1.
Lời giải

Chọn C
3

2

3

1

1

2

 f ( x ) d x =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −3 + 4 = 1 .
Câu 11: Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên  −1; 2 , f ( −1) = 8;f ( 2 ) = −1 . Tích phân

2

 f ' ( x )dx

−1

bằng
A. 1.

C. − 9.

B. 7.

D. 9.

Lời giải
Chọn C
2

Ta có

 f ' ( x )dx = f ( x )

−1

2
−1

= f ( 2 ) − f ( −1) = −1 − 8 = −9.

Câu 12: (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và có
2

4

4

0

2

0

 f ( x)dx = 9;  f ( x)dx = 4. Tính I =  f ( x)dx.
A. I = 5 .

B. I = 36 .

C. I =

9
.
4

D. I = 13 .

Lời giải
Chọn D
4

2

4

0

0

2

Ta có: I =  f ( x )dx =  f ( x )dx +  f ( x)dx = 9 + 4 = 13.

Câu 13: (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

0

3

−1

0

 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx = 3. Tích

3

phân

 f ( x ) dx

bằng

1

A. 6

B. 4

C. 2

D. 0

Lời giải
Chọn B

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 4


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Có

0

3

3

0

3

−1

0

−1

−1

0

 f ( x ) dx = 3;  f ( x ) dx = 1;  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = 3 + 1 = 4

Câu 14: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f ( x )
liên tục trên

4

4

3

0

3

0

 f ( x ) dx = 10 ,  f ( x ) dx = 4 . Tích phân  f ( x ) dx

và

A. 4 .

B. 7 .

C. 3 .

bằng
D. 6 .

Lời giải
Chọn D
3

Theo tính chất của tích phân, ta có:


0

Suy ra:

3

4

4

0

0

3

4

4

3

0

f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx .

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = 10 − 4 = 6 .

3

Vậy

 f ( x ) dx = 6 .
0

Câu 15: (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Nếu
1
F( x) =
và F (1) = 1 thì giá trị của F ( 4 ) bằng
2x −1

1
A. ln 7.
B. 1 + ln 7.
C. ln 3.
D. 1 + ln 7.
2
Lời giải
Chọn B
4

4

4

1
1
1
Ta có:  F  ( x )dx = 
dx = ln | 2 x − 1| = ln 7 .
2x −1
2
2
1
1
1
4

Lại có:

 F  ( x )dx = F ( x )

= F ( 4 ) − F (1) .

4
1

1

Suy ra F ( 4 ) − F (1) =

1
1
1
ln 7 . Do đó F ( 4 ) = F (1) + ln 7 = 1 + ln 7 .
2
2
2

Câu 16: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hàm số f x liên tục trên
thoả mãn
A. I

8

12

8

12

1

4

4

1

 f ( x ) dx = 9 ,  f ( x ) dx = 3 ,  f ( x ) dx = 5 . Tính I =  f ( x ) dx .

17 .

B. I

1.

C. I

11 .

D. I

7.

Lời giải
Chọn D
12

8

12

Ta có: I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .
1

1

8

8

12

8

1

4

4

=  f ( x ) d x +  f ( x ) d x −  f ( x ) dx = 9 + 3 − 5 = 7

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 5


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 17: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho hàm số f ( x ) liên

tục trên  0;10  thỏa mãn

10



6

f ( x ) dx = 7 ,


2

0

B. P = 4 .

A. P = 10 .

2

10

0

6

f ( x ) dx = 3 . Tính P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

C. P = 7 .

D. P = −6 .

Lời giải
Chọn B
.Ta có

Suy ra

10

2

6

10

0

0

2

6

2

10

10

6

0

6

0

2

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx = 7 − 3 = 4 .

Câu 18: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hàm số f ( x ) liên tục trên
đoạn  0;10  và

10



f ( x ) dx = 7 ;

6


2

0

A. P = 4

2

10

0

6

f ( x ) dx = 3 . Tính P =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

B. P = 10

C. P = 7

D. P = −4

Lời giải
Chọn A
10

Ta có:



2

6

10

0

2

6

f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx .

0

 7 = P+3 P = 4.

Câu 19: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN 3 NĂM 2018-2019) Cho f , g là hai hàm
3

3

1

1

liên tục trên đoạn 1;3 thoả:   f ( x ) + 3 g ( x ) dx = 10 ,   2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 .
3

Tính   f ( x ) + g ( x ) dx .
1

A. 7.

B. 6.

C. 8.

D. 9.

Lời giải
Chọn B
3

3

  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10



 f ( x )dx + 3 g ( x ) dx = 10 (1) .

1

1

3

3

  2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6

3

1
3

 2 f ( x )dx − g ( x )dx = 6

1
3

3

1

1





1

1

(2) .

Đặt X =  f ( x )dx , Y =  g ( x )dx .
 X + 3Y = 10
X = 4
Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình: 
.

 
2 X − Y = 6
Y = 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 6


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
3

3

1

1

Do đó ta được:  f ( x )dx = 4 và  g ( x ) dx = 2 .
3

Vậy

  f ( x ) + g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .
1

Câu 20: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1; 3 thỏa mãn điều
3

kiện

3

3

  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 đồng thời

  2 f ( x ) − g ( x ) dx=6 . Tính

  f ( x ) + g ( x ) dx .

1

1

1

A. 9 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn B
3

Ta có:

3

  f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 



1

1

3

3

f ( x )dx+3 g ( x )dx=10 .
1

3

3

1

1

  2 f ( x ) − g ( x ) dx=6  2  f ( x )dx- g ( x )dx=6 .
1
3

3

1

1

Đặt u =  f ( x )dx; v =  g ( x )dx .
3
  f ( x )dx=4
u + 3v = 10
u = 4
1
 3

Ta được hệ phương trình: 
 2u − v = 6
v = 2
 g x dx=2
 ( )
1
3

Vậy

  f ( x ) + g ( x ) dx=6 .
1

Câu 21: (THPT ĐÔNG SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho f , g là hai hàm liên
3

3

1

1

tục trên 1;3 thỏa:   f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 và   2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 .
3

Tính I =   f ( x ) + g ( x )  dx .
1

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải
Chọn D
3

3

1

1

Đặt a =  f ( x ) dx và b =  g ( x ) dx .
3

Khi đó,   f ( x ) + 3 g ( x )  dx = a + 3b ,
1

3

  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 2a − b .
1

 a + 3b = 10
a = 4

Theo giả thiết, ta có 
.
 2a − b = 6
b = 2
Vậy I = a + b = 6 .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 7


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
DẠNG 1.2: ÁP DỤNG BẢNG CƠNG THỨC CƠ BẢN

 BÀI TẬP NỀN TẢNG 

Câu 22: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính tích phân
0

I=

 ( 2 x + 1) dx .

−1

A. I = 0 .

B. I = 1 .

D. I = −

C. I = 2 .

1
.
2

Lời giải
Chọn A
0

I=

 ( 2 x + 1) dx = ( x

2

+ x)

−1

0
−1

= 0−0 = 0.

1

Câu 23: Tích phân

 ( 3x + 1)( x + 3) dx

bằng

0

A. 12 .

B. 9 .

C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B

1

1

0

0

2
3
2
 ( 3x + 1)( x + 3) dx =  ( 3x + 10 x + 3) dx = ( x + 5 x + 3x ) 0 = 9 .

Ta có:

1

1

Vậy :

 ( 3x + 1)( x + 3) dx = 9 .
0


2

Câu 24: (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Giá trị của  sin xdx bằng
0

A. 0.

B. 1.

C. -1.

D.


.
2

Lời giải
Chọn B




2

Tính được  sin xdx = − cos x 2 = 1 .
0
0
2



Câu 25: (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính tích phân I = (2 x + 1) dx
0

A. I = 5 .

C. I = 2 .

B. I = 6 .

D. I = 4 .

Lời giải
Chọn B
2



(

Ta có I = (2 x + 1) dx = x + x
0

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

2

)

2
0

=4+2=6.
Trang | 8

CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN

2

Câu 26: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho




2

f ( x ) dx = 5 . Tính I =   f ( x ) + 2 sin x  dx = 5 .

0

B. I = 5 +

A. I = 7

0



D. I = 5 + 

C. I = 3

2

Lời giải
Chọn A




2

2

0

0




2

2

0

0



Ta có: I =   f ( x ) + 2 sin x  dx =  f ( x ) dx +2  sin x dx =  f ( x ) dx − 2 cos x 02 = 5 − 2 ( 0 − 1) = 7 .
2

f ( x ) dx = 2 và



Câu 27: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho

−1

2

 g ( x ) dx = −1 .

Tính

−1

2

I=

  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx .

−1

A. I =

17
2

B. I =

5
2

C. I =

7
2

D. I =

11
2

Lời giải
Chọn A
2

x2
Ta có: I =   x + 2 f ( x ) − 3 g ( x )  dx =
2
−1

2

−1

2

2

−1

−1

+ 2  f ( x ) dx − 3  g ( x ) dx =

3
17
.
+ 2.2 − 3 ( −1) =
2
2

Câu 28: (THPT HÀM RỒNG THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hai tích phân
5

−2

5

−2

5

−2

 f ( x ) dx = 8 và  g ( x ) dx = 3 . Tính I =   f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx

A. 13 .

C. −11 .

B. 27 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn A
5

I=

  f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx =

−2

=

5

−2

5

−2

5

−2

5



−2

5

5

−2

−2

f ( x ) dx −  4 g ( x )dx −  dx =

5



−2

5

5

−2

−2

f ( x ) dx − 4  g ( x )dx −  dx

5

 f ( x ) dx + 4  g ( x )dx −  dx = 8 + 4.3 − x −2 = 8 + 4.3 − 7 = 13 .
2

Câu 29: (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho

 f ( x)dx = 2

và

−1
2

 g ( x)dx = −1 , khi đó

−1

A.

2

  x + 2 f ( x) + 3g ( x) dx bằng.

−1

5
.
2

B.

7
.
2

C.

17
.
2

D.

11
.
2

Lời giải
Chọn A
Ta có

2

2

2

2

−1

−1

−1

−1

3

5

  x + 2 f ( x) + 3g(x)  dx =  xdx + 2  f ( x)dx + 3  g ( x)dx = 2 + 4 − 3 = 2 .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 9


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
2

Câu 30: (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho



2

f ( x ) dx = 3 ,  g ( x ) dx = −1 thì

0

0

2

  f ( x ) − 5 g ( x ) + x  dx

bằng:

0

A. 12 .

B. 0 .

C. 8 .

D. 10 .

Lời giải
Chọn D
2

2

2

2

0

0

0

0

  f ( x ) − 5 g ( x ) + x  dx =  f ( x ) dx − 5 g ( x ) dx +  xdx = 3 + 5 + 2 = 10
5

Câu 31: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Cho

 f ( x ) d x = −2
0

5

. Tích phân   4 f ( x ) − 3 x 2  dx bằng
0

A. −140 .

B. −130 .

C. −120 .

D. −133 .

Lời giải
Chọn D
5

5

5

0

0

0

2
2
3
  4 f ( x ) − 3x  dx = 4 f ( x ) dx −  3x dx = −8 − x 0 = −8 − 125 = −133 .
5

Câu 32: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
2

2

1

1

  4 f ( x ) − 2 x  dx = 1 . Khi đó  f ( x )dx bằng:
B. −3 .

A. 1 .

D. −1 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn A
2

2

2

2

x2
4
f
x
−
2
x
dx
=

1

4
f
x
dx
−
2
xdx
=
1

4
f
x
dx
−
2.


(
)
(
)
(
)

1 
1
1

1
2
2

2

1

1

2

=1
1

 4  f ( x ) dx = 4   f ( x ) dx = 1
1

Câu 33: (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho

 f ( x ) dx = 1

tích phân

0
1

 ( 2 f ( x ) − 3x ) dx
2

bằng

0

A. 1 .

B. 0 .

C. 3 .

D. −1 .

Lời giải
Chọn A
1

1

1

 ( 2 f ( x ) − 3x ) dx = 2 f ( x ) dx − 3 x dx = 2 − 1 = 1 .
2

0

2

0

0

b

Câu 34: Với a , b là các tham số thực. Giá trị tích phân

 ( 3x

2

− 2ax − 1) dx bằng

0

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 10


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
3
2
A. b − b a − b .

3
2
B. b + b a + b .

3
2
C. b − ba − b .

2
D. 3b − 2ab − 1 .

Lời giải
Chọn A
b

Ta có

 ( 3x

2

− 2ax − 1) dx = ( x 3 − ax 2 − x )

b
0

= b3 − ab 2 − b .

0

Câu 35: (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hàm số
2

f ( x ) liên tục trên

và

(

)

f ( x ) + 3 x 2 dx = 10 . Tính

 f ( x ) dx .

0

0

B. −2 .

A. 2 .

2

D. −18 .

C. 18 .
Lời giải

Chọn A
Câu 1.

Lời giải
Ta có:
2

 ( f ( x ) + 3x ) dx = 10
2

2



0

0

2





2

f ( x )dx +  3 x 2 dx = 10 

 f ( x )dx = 10 − x
0

3

2
0

0

2



2

f ( x )dx = 10 −  3 x 2dx

0

0

2



 f ( x )dx = 10 − 8 = 2 .
0


4

Câu 36: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Giả sử I =  sin 3 xdx = a + b
0

( a, b  ) . Khi đó giá trị của a − b
A. −

1

6

B. −

2
2

là

1
6

C. −

3
10

D.

1
5

Lời giải
Chọn B

4


1
1 1 2

1
Ta có  sin 3 xdx = − cos 3 x 04 = +
. Suy ra a = b =  a − b = 0 .
3
3
3 3 2
0

Câu 37: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
m

 ( 3x

2

− 2 x + 1)dx = 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

0

B. ( −;0 ) .

A. ( −1; 2 ) .

C. ( 0; 4 ) .

D. ( −3;1) .

Lời giải
Chọn C
m

Ta có:

 ( 3x

2

3
2
3
2
− 2 x + 1)dx = 6  ( x − x + x ) = 6  m − m + m − 6 = 0  m = 2 .
m

0

0

Vậy m  ( 0; 4 ) .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 11


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 38: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0 ) = 4 và f  ( x ) = 2sin 2 x + 3 , x  R

4

, khi đó

 f ( x ) dx

bằng

0

A.

2 −2
.
8

B.

 2 + 8 − 8
8

.

C.

 2 + 8 − 2
.
8

D.

3 2 + 2 − 3

.
8

Lời giải
Chọn C

 f  ( x ) dx =  ( 2sin

1
x + 3 ) dx =  (1 − cos 2 x + 3 ) dx =  ( 4 − cos 2 x ) dx = 4 x − sin 2 x + C .
2
1
Ta có f ( 0 ) = 4 nên 4.0 − sin 0 + C = 4  C = 4 .
2
1
Nên f ( x ) = 4 x − sin 2 x + 4 .
2


2



4


0



1
1
 2 + 8 − 2




f ( x ) dx =   4 x − sin 2 x + 4  dx =  2 x 2 + cos 2 x + 4 x  4 =
.
2
4
8


0
0
4

Câu 39: (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) .Biết f (0) = 4 và f ( x ) = 2 cos 2 x + 3, x 

, khi


4

đó

 f ( x)dx

bằng?

0

A.

 2 + 8 + 8
8

.

B.

 2 + 8 + 2
8

.

C.

 2 + 6 + 8
8

.

D.

2 +2
8

.

Lời giải
Chọn B
Ta có f ( x ) =  f ( x ) dx =  (2 cos 2 x + 3) dx =  (2.
,

1 + cos 2 x
+ 3) dx
2

1
=  (cos 2 x + 4) dx = sin 2 x + 4 x + C do f (0) = 4  C = 4 .
2


1
2

Vậy f ( x ) = sin 2 x + 4 x + 4 nên

4


0


4
1
f ( x) dx =  ( sin 2 x + 4 x + 4) dx
2

0



4
 2 + 8 + 2
1
2
.
= ( − cos 2 x + 2 x + 4 x) =
8
4
0

Câu 40: (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0 ) = 4 và f ' ( x ) = 2sin 2 x + 1, x 

,


4

khi đó

 f ( x ) dx bằng
0

 + 16 − 4
2

A.

16

.

B.

2 −4
16

.

C.

 2 + 15
16

.

D.

 2 + 16 − 16
16

.

Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 12


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Ta có f ( x ) =  ( 2 sin 2 x + 1) dx =  ( 2 − cos 2 x ) dx = 2 x − sin 2 x + C.
1
2

Vì f ( 0 ) = 4  C = 4
1
2

Hay f ( x ) = 2 x − sin 2 x + 4.

4

Suy ra


0


4
1


f ( x ) dx =   2 x − sin 2 x + 4  dx
2

0



= x2 +

1
2
1  2 + 16 − 4
cos 2 x + 4 x 4 =
+ − =
.
4
16
4
16
0

Câu 41: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn
1


0

7
f ( x ) dx = − ,
2

2

 f ( x ) d x = −2

và

0

3
A. − .
4

4
B. − .
3

C.

4
.
3

D.

3
.
4

Lời giải
Chọn B
Ta có:

 f ( x ) dx =  ( ax

1

Lại có:


0

2

a

 f ( x ) dx = −2   3 x

3

0

3

 f ( x ) dx =
0

+ bx + c ) dx =

a 3 b 2
x + x + cx + C .
3
2
1
1

7
b
7
7
a
1
f ( x ) dx = −   x 3 + x 2 + cx  = −  a + b + c = − (1) .
2
2
3
2
2
2
3
0
2

+

8
b 2
2
x + cx  = −2  a + 2b + 2c = −2 ( 2 ) .
2
3
0

9
13
b

13
a
 3 13
 9a + b + 3c =
  x 3 + x 2 + cx  =
( 3) .
2
2
2
2
3
0 2

1
7
1

3 a + 2 b + c = − 2
a = 1


8
Từ (1) , ( 2 ) và ( 3 ) ta có hệ phương trình:  a + 2b + 2c = −2  b = 3 .
3

16
9
13

c = −

3

9 a + 2 b + 3c = 2


4
 16 
 P = a + b + c = 1+ 3 +  −  = − .
3
 3

Câu 42: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Biết rằng hàm số f ( x ) = mx + n thỏa mãn

1

 f ( x ) dx = 3
0

2

,

 f ( x ) dx = 8 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
0

A. m + n = 4 .

B. m + n = −4 .

C. m + n = 2 .

D. m + n = −2 .

Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 13


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Ta có:

1

Lại có:


0

2


0

m 2
x + nx + C .
2
1
m

1
f ( x ) dx = 3   x 2 + nx  = 3  m + n = 3 (1) .
2
2
0

 f ( x ) dx =  ( mx + n ) dx =

m
2
f ( x ) dx = 8   x 2 + nx  = 8  2m + 2n = 8
2
0

( 2) .

1
m = 2
 m+n=3

Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:  2
.
n = 2
 2 m + 2 n = 8
 m+n = 4.

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 14

CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
❑ DẠNG TỐN 2: TÌM TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

 BÀI TẬP NỀN TẢNG 

2

Câu 43: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)

dx

 2x + 3

bằng

1

A.

1
ln 35 .
2

B. ln

7
.
5

C.

1 7
ln .
2 5

D. 2 ln

7
.
5

Lời giải
Chọn C
2

2

dx
1
1
1 7
Ta có 
= ln 2 x + 3 = ( ln 7 − ln 5 ) = ln .
2x + 3 2
2
2 5
1
1

Câu 44: (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính tích phân
3

I =
0

dx
.
x+2

A. I = −

21
.
100

5
C. I = log .
2

5
B. I = ln .
2

D. I =

4581
.
5000

Lời giải
Chọn B
3

I =
0

3
dx
5
= ln ( x + 2 ) 0 = ln 5 − ln 2 = ln .
x+2
2

2

(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)

Câu 45:

dx

 3x − 2

bằng

1

A. 2 ln 2 .

2
ln 2 .
3

B.

C. ln 2 .

D.

1
ln 2 .
3

Lời giải
Chọn B
2

2

dx
1
Ta có: 
= ln 3 x − 2
3x − 2 3
1

=
1

2
ln 2 .
3
2

Câu 46: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Tích phân

dx

 x+3

bằng

0

A.

2
.
15

B.

16
.
225

5
3

C. log .

5
3

D. ln .

Lời giải
Chọn D
2

dx

 x + 3 = ln x + 3
0

2
0

5
= ln .
3

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 15


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
e

1 1 
Câu 47: (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tính tích phân I =   − 2 dx
x x 
1

A. I =

1
e

B. I =

1
+1
e

D. I = e

C. I = 1
Lời giải

Chọn A
e

e

1
1
1 1 


I =   − 2 dx =  ln x +  = .
x x 
x 1 e

1
2

Câu 48: Tính tích phân I = 
1

x −1
dx .
x

B. I =

A. I = 1 − ln 2 .

7
.
4

C. I = 1 + ln 2 .

D. I = 2 ln 2 .

Lời giải
Chọn A
2

x −1
 1
dx =   1 −  dx = ( x − ln x ) = ( 2 − ln 2 ) − (1 − ln1) = 1 − ln 2 .
Ta có I = 
1
x
x
1
1
2

2

 1
1 
Câu 49: (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho  
−
 dx = a ln 2 + b ln 3 với a , b là các số
 x+1 x+ 2 
0
1

nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a + 2b = 0 .
B. a + b = 2 .

C. a − 2 b = 0 .

D. a + b = −2 .

Lời giải
Chọn A
1

 1

1 

  x + 1 − x + 2  dx =  ln x + 1 − ln x + 2 

1
0

= 2 ln 2 − ln 3 ; do đó a = 2; b = −1 .

0

Câu 50: (THPT
2

QUỲNH

LƯU

3

NGHỆ

AN

NĂM

dx

 ( x + 1)( 2 x + 1) = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 . Khi đó giá trị a + b + c

2018-2019)

Biết

bằng

1

A. −3 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn D
2

2

2

2
1
1
dx
1 
 2
dx − 
dx
Ta có: 
= 
−
 dx = 2 
2x +1
x +1
x + 1)( 2 x + 1) 1  2 x + 1 x + 1 
1
1
1 (

2
2
2
2
1
= 2. ln 2 x + 1 − ln x + 1 = ln ( 2 x + 1) − ln ( x + 1) = ln 5 − ln 3 − ( ln 3 − ln 2 )
1
1
1
1
2

= ln 2 − 2 ln 3 + ln 5 .

Do đó: a = 1, b = −2, c = 1 . Vậy a + b + c = 1 + ( −2 ) + 1 = 0 .
3

Câu 51: Biết


1

x+2
dx = a + b ln c, với a, b, c  , c  9. Tính tổng S = a + b + c.
x

A. S = 7 .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

B. S = 5 .

C. S = 8 .

D. S = 6 .

Trang | 16


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Lời giải

Chọn A
3



Ta có

1

3
x+2
2
 2
dx =   1 +  dx =  dx +  dx = 2 + 2 ln x 1 = 2 + 2 ln 3.
x
x
x
1
1
1
3

3

3

Do đó a = 2, b = 2, c = 3  S = 7.
Câu 52: (THPT

AN

LÃO

PHÒNG

HẢI

3x 2 + 5 x − 1
2
 x − 2 dx = a ln 3 + b, ( a, b 
−1
0

I=

A. 50

NĂM

2018-2019

) . Khi đó giá trị của

B. 60

LẦN

02)

Biết

a + 4b bằng

C. 59

D. 40

Lời giải
Chọn C
3x 2 + 5 x − 1
21 

3 2
0
 x − 2 dx =   3x + 11 + x − 2  dx =  2 x + 11x + 21.ln x − 2  −1
−1
−1
2 19
19
. Vậy a + 4b = 59
= 21.ln + . Suy ra a = 21, b =
3 2
2
0

0

Ta có I =

Câu 53: (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ 3 - NĂM 2019) Biết



1

0

x2 − 2
−1
dx =
+ n ln 2 , với
x +1
m

m, n là các số nguyên. Tính m + n .

A. S = 1 .

B. S = 4 .

C. S = −5 .

D. S = −1 .

Lời giải
Chọn A
1



1

0

1
1 dx
x2 − 2
( x − 1) 2
−1
dx =  ( x − 1)dx − 
=
− ln | x + 1|10 =
− ln 2
0
0 x +1
x +1
2 0
2

 m = 2, n = −1  m + n = 1

Câu 54: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân
1

I =
0

( x − 1)

2

x2 + 1

dx = a − ln b trong đó a , b là các số ngun. Tính giá trị của biểu thức a + b .

A. 1 .

C. −1 .

B. 0 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D
1

Ta có I = 

( x − 1)

0

2

1

1

1

1
2x 
1
1

dx =   1 − 2
d ( x 2 + 1) = x 0 − ln ( x 2 + 1) = 1 − ln 2
 dx =  dx −  2
2
0
x +1
x +1
x +1
0
0
0

a = 1

 a +b = 3.
b = 2

Câu 55: (CHUYÊN

TRẦN

PHÚ

HẢI

PHÒNG

NĂM

x2 + x + 1
b
 x + 1 dx = a + ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S
3

2018-2019

LẦN

02)

Biết

5

A. S = 2 .

B. S = −2 .

C. S = 5 .

a

2b .

D. S = 10 .

Lời giải
Chọn A
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 17


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
5

5
a = 8
 x2

x2 + x + 1
1 
3

d
x
=
x
+
d
x
=
 x +1
  x + 1   2 + ln x + 1  = 8 + ln 2  b = 3  S = a − 2b = 2 .

3
3
3
5

Câu 56: (THPT
2



  x

+

2

1

GANG

THÉP

THÁI

x 
10
a
+ ln với a , b 
 dx =
x +1

b
b

A. P = 1 .

NGUYÊN

NĂM

2018-2019)

Cho

. Tính P = a + b ?

B. P = 5 .

D. P = 2 .

C. P = 7 .
Lời giải

Chọn B
x 
1 
 2 x +1−1
 2
Ta có   x 2 +
 dx =   x +
 dx =   x + 1 −

 dx
x +1
x +1 
x +1
1
1
1
2

2

2

2

 x3

10
10
2 10
a
=  + x − ln x + 1  =
+ ln 2 − ln 3 =
+ ln =
+ ln .
3
3
3 b
b
 3

1

Suy ra a = 2; b = 3 . Vậy a + b = 5 .
3x2 + 5 x − 1
2
−1 x − 2 dx = a ln 3 + b . Khi
0

Câu 57: (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Giả sử rằng
đó, giá trị của a + 2b là
A. 30 .
B. 60 .

C. 50 .

D. 40 .

Lời giải
Chọn D
3x2 + 5 x − 1
21 

dx =   3 x + 11 +
Ta có: I = 
 dx
x−2
x−2
−1
−1 
0

0

0

 3x 2

19
I =
+ 11x + 21.ln x − 2  = 21.ln 2 + − 21.ln 3
2
 2
 −1
 a = 21
2 19

 I = 21ln +

19  a + 2b = 40 .
3 2
b=


2

Câu 58: (THPT
3

x
1

2

CHUYÊN

SƠN

LA

NĂM

2018-2019

LẦN

01)

Cho

x+3
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng
+ 3x + 2

A. 0 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
3


1

x+3
x+3
2
1
dx = 
dx = 
dx − 
dx
2
x + 3x + 2
x + 1)( x + 2 )
x +1
x+2
1 (
1
1
3

3

3

3
= ( 2 ln x + 1 − ln x + 2 ) = 2 ln 2 + ln 3 − ln 5
1

Suy ra a = 2 , b = 1 , c = −1 .
Nên a + b + c = 2 + 1 − 1 = 2 .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 18


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
GD&ĐT

Câu 59: (SỞ
4

x

2

3

PHÚ

THỌ

NĂM

2018-2019

LẦN

01)

Cho

5x − 8
dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a −3b + c bằng
− 3x + 2

A. 12.

B. 6.

C. 1.

D. 64 .

Lời giải
Chọn D
4

Ta có: I = 
3

4
4
4

3 ( x − 2 ) + 2 ( x − 1)
5x − 8
2 
5x − 8
 3
dx = 
dx =  
+
dx = 
 dx
2
x − 1)( x − 2 )
x −1 x − 2 
x − 3x + 2
( x − 1)( x − 2 )
3 (
3
3

= ( 3ln x − 1 + 2 ln x − 2 )

4
3

= 3ln 3 + 2 ln 2 − 3ln 2 = 3ln 3 − ln 2 + 0.ln 5

a = 3

Suy ra b = −1  2 a −3b + c = 2 6 = 64 .
c = 0


1

Câu 60: Biết rằng

x
0

2

1
 a
dx =
+ x +1
b

A. 14 .

(a ,b 

, a  10 ) . Khi đó a + b có giá trị bằng

B. 15 .

C. 13 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn D

1

1

1
1
dx = 
dx .
Xét I =  2
2
x + x +1
1 3
0
0 
x+  +
2 4

1
3
3
 −  
,  . Khi đó dx =
=
tan t , với t  
1 + tan 2 t ) dt .
(
2
2
2
 2 2


Với x = 0 , ta có t = .
6

Với x = 1 , ta có t = .
3

Đặt x +


3

Khi đó I = 


6

Câu 61: (ĐỀ
2

CƠNG

BẰNG

KHTN

x + 5x + 2
dx = a + b ln 3 + c ln 5 , ( a, b, c 
2
+ 4x + 3

x
0

THI


3

1 + tan 2 t )
3
(
3
2
2
 3
2
. Từ đó suy ra
dt = 
dt=
t =
3

9
2
3
3

(1 + tan t )
6

6
4

2

A. −8 .

LẦN

02

a = 3
 a + b = 12 .

b = 9

NĂM

Biết

) . Giá trị của abc bằng
C. −12 .

B. −10 .

2018-2019)

D. 16 .

Lời giải

Chọn C
2
2


x −1
x2 + 5x + 2
1
2 

=
1
+
d
x
d
x
=
1
−
+



 dx
2

0 x + 4 x + 3

 ( x + 1)( x + 3 ) 

x
+
1
x
+
3


0
0


2

Ta có:

= ( x − ln x + 1 + 2 ln x + 3 ) = 2 − 3 ln 3 + 2 ln 5 .
2

0

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 19


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Vậy a = 2, b = −3, c = 2 , do đó abc = −12 .
Câu 62: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN 1 NĂM 2018-2019) Biết
4


1

x3 + x 2 + 7 x + 3
a
a
dx = + c ln 5 với a , b , c là các số nguyên dương và là phân số tối giản.
2
x − x+3
b
b

Tính P = a − b 2 − c 3 .
A. −5 .

B. −4 .

C. 5.

D. 0.

Lời giải
Chọn B
4



Ta có

1

4
3 ( 2 x − 1) 

x3 + x 2 + 7 x + 3
d
x
=
x+2+ 2
 dx
2

x − x+3
x − x+3
1

4
4
d ( x 2 − x + 3 ) 27
4
27
1 2

2
=  x + 2 x  + 3
=
+
3ln
x

−
x
+
3
=
+ 3ln 5 .
2
1
x − x+3
2
2
2
1
1

x3 + x 2 + 7 x + 3
a
dx = + c ln 5 , suy ra a = 27 , b = 2 , c = 3 .
2
x − x+3
b

4



Mà

1

Vậy P = a − b 2 − c 3 = −4 .
THANH

Câu 63: d(TT
1


0

TƯỜNG

NGHỆ

AN

NĂM

2018-2019

LẦN

02)

Cho

4 x + 15 x + 11
dx = a + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T = a.c − b bằng
2x2 + 5x + 2
2

A. 4 .

B. 6 .

C.

−1
.
2

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
4 x 2 + 15 x + 11
(4 x 2 + 10 x + 4) + (5 x + 7)
5x + 7 

d
x
=
dx =   2 + 2
 dx
2
0 2 x 2 + 5 x + 2
0

2x + 5x + 2
2x + 5x + 2 
0
1

Ta có:

1

1

1

1
3 
3
5


1
= 2+
+
 dx =  2 x + ln | x + 2 | + ln | 2 x + 1|  = 2 − ln 2 + ln 3
x + 2 2x +1 
2
2

0
0

Vậy a = 2 , b = −1 , c =
Câu 64: (CHUYÊN

HẠ

5
nên T = 6 .
2

LONG

NĂM

2018-2019

LẦN

02)

Biết


2

3sin x − cos x

 2 sin x + 3cos x dx =
0

A.

b
−11
ln 2 + b ln 3 + c ( b, c  Q ) . Tính ?
c
3

22
.
3

B.

22
.
3

C.

22
.
3

D.

22
.
13

Lời giải

Chọn C
m ( 2 sin x + 3cos x ) + n ( 2 cos x − 3sin x )
3sin x − cos x
=
2 sin x + 3cos x
2 sin x + 3cos x
( 2m − 3n ) sin x + ( 3m + 2n ) cos x

Đặt:
=

2 sin x + 3cos x

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 20


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
3

m=

 2m − 3n = 3

13
Đồng nhất hệ số ta có: 
.

 3m + 2 n = −1

 n = − 11

13


 3
11
( 2 sin x + 3cos x ) − ( 2 cos x − 3sin x )
2
3sin x − cos x
13
Nên: 
dx =  13
dx
2
sin
x
+
3cos
x
2
sin
x
+
3cos
x
0
0
2






3
11 2 2 cos x − 3sin x
 3 11 2 cos x − 3sin x 
2 −
=  − .
dx
=
x
( )0
 2 sin x + 3cos x dx

13
13
2
sin
x
+
3cos
x
13
13

0
0
2





3 11 2 d ( 2 sin x + 3cos x )
3 11
=
− 
dx =
− ln 2 sin x + 3cos x 2
26 13 0 2 sin x + 3cos x
26 13
0

11

b=

3 11
11
b 11 26 22

13
=
− ln 2 + ln 3 . Do đó: 
 = .
=
.
26 13

13
c 13 3 3
 c = 3

26

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 21


CHUN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
❑ DẠNG TỐN 3: GIẢI TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN

 BÀI TẬP NỀN TẢNG 

Câu 65: (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

ln x
x

. Tính: I = F ( e ) − F (1) ?.
A. I =

1
.
2

B. I =

1
.
e

D. I = e .

C. I = 1 .
Lời giải

Chọn A
e

Theo định nghĩa tích phân: I = F ( e ) − F (1) = 
1

e

e

e

ln x
ln 2 x
1
f ( x ) dx = 
dx =  ln x.d ( ln x ) =
=
x
2 1 2
1

1

.
1

Câu 66: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x +1dx bằng
0

A.

1( 4
e + e) .
3

B. e3 − e .

C.

1( 4
e − e) .
3

D. e 4 − e .

1 5
e − e2 .
3

D. e 5 − e 2 .

Lời giải
Chọn C
1

e

1

1

1
1
1
dx =  e 3 x +1d ( 3 x + 1) = e3 x +1 = ( e 4 − e ) .
30
3
3
0

3 x +1

0

2

Câu 67: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)  e3 x −1dx bằng
1

A.

1 5
( e + e2 ) .
3

B.

1 5
( e − e2 ) .
3

C.
Lời giải

Chọn B
2

2
1
1
Ta có  e3 x −1dx = e3 x −1 1 = ( e5 − e 2 ) .
3
3
1
6

Câu 68: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho


0

A. I = 5 .

B. I = 36 .

2

f ( x )dx = 12 . Tính I =  f (3 x)dx.
0

C. I = 4 .

D. I = 6 .

Lời giải
Chọn C
2

Ta có: I =  f (3 x)dx =
0

2

6

1
1
1
f (3 x)d 3 x =  f (t )dt = .12 = 4.

30

30
3

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 22


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 69: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tích phân
1

I =
0

1
dx có giá trị bằng
x +1

A. ln 2 − 1 .

B. − ln 2 .

D. 1 − ln 2 .

C. ln 2 .
Lời giải

Chọn C
1

Cách 1: Ta có: I = 
0

1
d( x + 1)
1
dx = 
= ln x + 1 0 = ln 2 − ln1 = ln 2 .
x +1
x +1
0
1

Câu 70: (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Tính
3

K =
2

x
dx .
x −1
2

1 8
ln .
2 3

B. K =

A. K = ln 2 .

C. K = 2ln 2 .

8
D. K = ln .
3

Lời giải
Chọn B
3

3
3 1 8
x
1
1
1
K = 2
dx =  2
d ( x 2 − 1) = ln x 2 − 1 = ln .
2 2 3
x −1
2 2 x −1
2
2

Câu 71: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho
với m , p , q

A. 10 .

và là các phân số tối giản. Giá trị m

B. 6 .

C.

22
.
3

p

q bằng

D. 8 .

Lời giải
Chọn C
1 3x
e
3

Ta có
Vậy m

p

q

1

Câu 72: Biết rằng

 xe
0

1
3
x2 +2

5

dx =

2

22
.
3

(

)

1

2
1

a b c
e − e với a , b, c 
2

A. 4 .

B. 7 .

1 5
e
3

e 2 . Suy ra m

1
, p
3

5 và q

2.

. Giá trị của a + b + c bằng
C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
1

Ta có:

 xe
0

x2 +2

1
1 x2 +2
1 2 1 1
dx =  e
d x 2 + 2 = e x + 2 = e3 − e 2 .
0 2
20
2

(

)

(

)

Nên a = 1 , b = 3 , c = 2 .
Vậy a + b + c = 6 .

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 23


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 73: (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
1

đồng thời thỏa mãn f ( 0 ) = f (1) = 5 . Tính tích phân I =  f  ( x ) e f ( x ) dx .
0

A. I = 10

B. I = −5

C. I = 0

D. I = 5

Lời giải
Chọn C
1

I =  f ( x) e

f ( x)

1

f ( x)

dx =  e

0

d ( f ( x )) = e

f ( x)

1

=e

f (1)

−e

f ( 0)

= e5 − e5 = 0 .

0

0

e

x

Câu 74: (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Biết

1

2

x +1
dx = ln ( ae + b ) với
+ x ln x

a , b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T = a − ab + b 2 .
2

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 8.

Lời giải
Chọn B
1
e 1+
e
e
x +1
d ( x + ln x )
x
1 x 2 + x ln x dx = 1 x + ln x dx = 1 x + ln x = ln ( x + ln x ) 1 = ln ( e + 1)
e

Vậy a = 1, b = 1 nên T = a 2 − ab + b 2 = 1.
Câu 75: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Biết
2

 ( x + 1)

2

e

x−

1
x

p
q

dx = me − n , trong đó m, n, p, q là các số nguyên dương và

1

p
là phân số tối
q

giản. Tính T = m + n + p + q .
B. T = 10 .

A. T = 11 .

C. T = 7 .

D. T = 8 .

Lời giải
Chọn B
2

Ta có: I =  ( x + 1) e
2

x−

1
x

2

dx =  ( x + 2 x + 1) e
2

1

Xét I1 =  ( x + 1) e
2

x−

dx =  x .e
2

2

− e

x−

1
x

d (x

2

)=x e
2

1

2

 I1 +  2 xe

x−

1 2
x

1
x

dx = x e
2

x−

1 2
x

1
x

2

dx =  ( x + 1) e
2

e

x−

1
x

x−

1
x

2

dx +  2 xe

x−

1
x

dx

1

2
2
1
1
x−
x− 
x2 + 1
1
2
2 
x 
. 2 dx =  x .e d  x −  =  x d  e x 
x
x 1




1

2

−  2 xe

x−

1
x

x−

1 2
x

dx

1

I=x e
2

1

2

 ( x + 1)

x−

1

1

Do

x−

1

1

2

1

2

1
x

1

=x e

1
x

1

2

1 2
x−
2
x

x−

p
q

3

= 4e 2 − 1

1

dx = me − n , trong đó m, n, p, q 

1

+

m = 4
n = 1
p


và
là phân số tối giản  
q
p =3
 q = 2

Khi đó, T = m + n + p + q = 4 + 1 + 3 + 2 = 10 .
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 24


CHUYÊN ĐỀ TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 76: Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) =

x2

2t d t

 1+ t

2

là

2x

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
Chọn D

d (1 + t
2tdt
Ta có f ( x ) = 
=
2
1+ t
1+ t2
2x
2x
x2

x2

2

) = ln

(1 + t 2 )

x2
2x

= ln (1 + x 4 ) − ln (1 + 4 x 2 ) .

x = 0
4 x3
8x2
4 x3
8x

; f ( x) = 0 
f ( x) =
−
−
=0 
4
2
4
2
1+ x 1+ 4x
1+ x 1+ 4x
 x = 
Trục xét dấu:

17 − 1 .
2

Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPTQG

Trang | 25