Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------

TRẦN THỊ THU HẰNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trần Thị Thu Hằng

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - 2012


Lời nói đầu
Lý thuyết về phương trình hàm là một trong những lĩnh vực quan trọng
của Giải tích tốn học. Hiện nay, có khá nhiều cách tiếp cận phương trình hàm
với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau như nghiên cứu định tính (xác định
một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên cứu tính định lượng (ước lượng số
nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương,
nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn... Trong đó, tính ổn
định nghiệm của phương trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên
cứu chính khi tiếp cận phương trình hàm.
Năm 1940, trong nhiều buổi chuyên đề tại câu lạc bộ toán học của trường đại
học Washington, S. M. Ulam đã đưa ra rất nhiều các câu hỏi về một số lượng
lớn các vấn đề vẫn chưa giải được. Trong đó, ơng có đưa ra một câu hỏi có liên
quan đến tính ổn định của một đồng cấu như sau:
Cho G1 , G2 là hai nhóm, và một metric nhóm d(., .) tương ứng. Với mọi > 0
cho trước, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu một hàm h : G1 → G2 sao cho bất
phương trình:
d(h(xy), h(x)h(y)) < δ,

∀x, y ∈ G1

khi đó có tồn tại một đồng cấu H : G1 → G2 sao cho d(h(x), H(x)) < với
∀x ∈ G1 ?
Câu hỏi trên của ông đã đặt tiền đề cho một loạt những vấn đề nghiên cứu
về tính ổn định của phương trình hàm, mở ra một hướng điều tra mới mà ngày
nay ta gọi đó là vấn đề về sự ổn định.
... khái niệm về tính ổn định trong tốn học được xem là một vấn đề được
nhìn nhận rộng hơn như sau: khi chúng ta thay đổi một chút giả thuyết của định

lý thì ta có thể khẳng định rằng vấn đề mới này có thể đúng hoặc gần đúng?
Với mỗi phương trình hàm tổng quát thì câu hỏi được đưa ra như sau: khi
giả thuyết này là đúng thì nghiệm của phương trình có khác với nghiệm của
phương trình trước đó khơng? Tương tự như nếu ta thay phương trình bằng bất
phương trình thì nghiệm của bất phương trình đã cho có gần đúng với nghiệm
của phương trình ban đầu.

i


Lời nói đầu

Nếu câu trả lời là đúng thì ta có thể nói phương trình Cauchy này là ổn định.
Những dạng câu hỏi này là cơ sở cho những bài tốn về tính ổn định.
Luận văn
"Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm
và các dạng tốn liên quan"
trình bày một số khái niệm cơ bản về các phương trình hàm Cauchy cơ bản
(phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) và phương
trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm tổng quát
của các phương trình hàm trong lớp hàm liên tục, gián đoạn và trong trường số
phức... Từ đó đưa ra các kết quả về tính ổn định của phương trình hàm trên.
Bố cục luận văn gồm 2 chương.
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm cơ bản về các phương trình hàm
Cauchy cơ bản (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phương
trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) và phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm của các phương trình trên
trong lớp hàm liên tục, hàm không liên tục và lớp hàm trong trường phức của
hai phương trình hàm này.
Chương 2: Tính ổn định của các phương trình hàm

Mục đích của chương này trình bày tính ổn định của các phương trình hàm đã
trình bày ở chương 1. Tính ổn định của phương trình hàm được nghiên cứu từ
năm 1940 mà đặt nền móng cho vấn đề này là câu hỏi của S. M. Ulam. Năm
1941, D. H. Hypers là người đầu tiên trả lời câu hỏi của Ulam, ông cho ra một
định lý nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm cộng tính trong khơng
gian Banach. Định lý này chỉ ra trong một dãy hàm xấp xỉ cộng tính cho trước,
tồn tại một hàm cộng tính duy nhất có thể xấp xỉ dãy hàm cộng tính cho trước
đó, và hồn tồn có thể tính tốn được trực tiếp hàm cộng tính đó từ các hàm
cho trước. Sau hơn 30 năm sau đó, vào năm 1977, trong khi làm nghiên cứu
sinh cho trương đại học California, Th. M. Rassias đã đưa ra điều kiện làm yếu
đi điều kiện về dạng sai phân Cauchy trong định lý của Hypers. Định lý này
có sức ảnh hưởng rất lơn đến các nhà tốn học khi nghiên cứu về tính ổn định
của phương trình hàm.Trong hội nghị khoa học Quốc tế, Th. M. Rassias đã đưa
ra câu hỏi để hoàn thiện định lý của mình, và ngay sau đó Z. Gajda là người
hồn thiện định lý của ông. Năm 1979, J. Baker, J. Lawrence và F. Zorzitto đã
chứng minh được rằng xét trong một loạt các hàm xác định trên nửa nhóm có
tính chất xấp xỉ mũ (nhân tính) thì hoặc nó bị chặn hoặc nó là hàm mũ (nhân
ii


Lời nói đầu

tính). Tương tự như việc xét tính ổn định của các phương trình hàm Cauchy
ở trên, Forti đã chứng minh được định lý về tính ổn định của hàm logarit xác
định trên nửa nhóm bằng phương pháp trực tiếp như cách chứng minh định lý
của Hypers.Tiếp theo, trong chương này tiếp tục đưa ra những kết quả nghiên
cứu về tính ổn định của phương trình hàm cosin (hay cịn gọi là phương trình
hàm d’ Alambert), tỉnh ổn định của nó được nghiên cứu chính bởi nhà tốn học
J. Baker và P. Găvruta. Đồng thời, ta cũng mở rộng nghiên cứu về tính ổn định
của phương trình hàm Wilson (Af g ), (Agf ) , phương trình hàm (Af gf g ), (Af ggf )

có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert.

iii


Bảng kí hiệu
tập các số ngun
tập số ngun khơng âm
tập số thực dương
tập số thực
tập số thực khác không
tập số thực không âm
tập số thực dương
tập số phức
F
trường vô hướng, hoặc R hoặc C
Rez
phần thực của số phức z = a + bi
Imz
phần ảo của số phức z = a + bi


với x > 0

1
signx = 0
với x = 0


−1

với x < 0
Z
Z+
Z∗+
R
R∗
R+
R∗+
C

[0, 1]
]0, 1]

= {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1}
= {x ∈ R|0 < x ≤ 1}

]0, 1[

= {x ∈ R|0 < x < 1}

µ(E)

độ đo của tập E .
số phức liên hợp của z .

z¯

v

Mục lục
Lời mở đầu

i

Lời cảm ơn

iv

Bảng kí hiệu

v

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1 Phương trình hàm Cauchy . . . . . .
1.1.1 Phương trình hàm cộng tính
1.1.2 Phương trình hàm mũ . . . .
1.1.3 Phương trình hàm logarit . .
1.1.4 Phương trình hàm nhân tính
1.2 Phương trình hàm d’ Alambert . . .

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM
2.1 Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . .
2.1.1 Tính ổn định của phương trình hàm cộng tính . . . . .
2.1.2 Tính ổn định của phương trình hàm mũ . . . . . . . . .
2.1.3 Tính ổn định của phương trình hàm logarit . . . . . . .
2.1.4 Tính ổn định của phương trình hàm nhân tính . . . . .
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm d’ Alembert . . . . . . . .
2.2.1 Tính ổn định của phương trình hàm cosin (A) . . . . .
2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Af g ), (Agf ), và (Agg )
2.2.3 Tính ổn định của phương trình hàm (Af gf g ) và (Af ggf )

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

1
1
1
18
23
26
29

.
.
.
.
.
.
.
.
.

36

36
36
48
50
52
53
53
60
71

Kết luận

77

Tài liệu tham khảo

78

vi


Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi sẽ đề cập đến hai dạng toán cơ bản nhất trong
lý thuyết về phương trình hàm đó là phương trình hàm Cauchy và phương trình
hàm D’ Alambert. Chúng đóng vai trị nòng cốt để giải quyết các lớp hàm khác
nhau về xác định hàm số trong đại số và trong lượng giác tương ứng.

1.1

Phương trình hàm Cauchy

Trong lý thuyết về phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy được nghiên
cứu từ rất lâu và các tính chất của nó khá hữu hiệu trong việc các ngành khoa
học và tự nhiên. Chúng tôi xin đưa ra một số các dạng cơ bản của phương trình
Cauchy sau:
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (xy) = f (x) + f (y),

(Phương trình hàm mũ).

f (xy) = f (x) + f (y),

(Phương trình hàm logarit).

f (xy) = f (x)f (y),

1.1.1

(Phương trình hàm cộng tính).

(Phương trình hàm nhân tính).

Phương trình hàm cộng tính

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm f : R → R với R là tập số thực, được gọi là một
hàm cộng tính khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính:
f (x + y) = f (x) + f (y),

∀x, y ∈ R.

(1.1)

Phương trình hàm (1.1) được xem xét đầu tiên bởi A.M. Legendre (1791) và
C. F. Gauss (1890) nhưng sau hơn 30 năm đó A. L. Cauchy (1821) là người đầu
tiên tìm ra cơng thức nghiệm tổng qt của nó. Phương trình này có ý nghĩa
1


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

đặc biệt trong toán học. Nó được bắt gặp ở hầu hết các ngành học của tốn
học, là sự khởi đầu của các phép tính đối với hàm số.
Lớp hàm cộng tính liên tục

Định lí 1.1.2. Cho f : R → R là một hàm cộng tính. Nếu f liên tục thì f có
dạng:
f (x) = ax,

∀x ∈ R.

(1.2)

với a là hằng số thực. Hơn nữa, nếu f là một hàm xác định với mọi x, y khơng
âm hoặc dương và liên tục thì f có dạng (1.2).
Chứng minh. Trước hết, với x = y = 0 thì từ (1.1) ta thu được:
f (0) = 0.

Cho y = −x thay vào (1.1) ta thu được:
f (0) = f (x) + f (−x) = 0

⇔

f (−x) = −f (x).

như vậy, f là hàm lẻ. Bây giờ, ta chỉ ra f là đồng nhất hữu tỷ nghĩa là với mọi
x ∈ R và một số r là số hữu tỷ thì:
(1.3)

f (rx) = rf (x).

Thật vậy, từ (1.1) bằng phương pháp quy nạp ta thu được:
f (x1 + x2 + ... + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn ).

với xk = x, (k = 1, 2, ..., n) thay vào phương trình trên ta có:
f (nx) = nf (x),

∀n ≥ 0.

(1.4)

Hơn nữa, với mỗi số n nguyên âm, sử dụng f là hàm lẻ và (1.4) ta thu được:
f (nx) = −f (−nx)
= −(−n)f (x)
= nf (x).

Do đó (1.4) đúng với mọi số n nguyên. Với một số hữu tỷ r có dạng r =
m = nr. Ta có:
f (nrx) = f (mx)
⇔ nf (rx) = mf (x)

m
⇔ f (rx) = f (x) = rf (x),
n
2

∀x ∈ R.

m
n

⇒


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Như vậy f là thuần nhất hữu tỷ.
Do đó lấy f (1) = c và cho x = 1 thay vào (1.3) ta có:
f (r) = rf (1) = cr

∀r ∈ Q.

Từ đó suy ra f là một hàm tuyến tính trên tập số hữu tỷ.
Mặt khác, giả sử f là một hàm cộng tính, liên tục trên tập số thực. Với số
thực x tùy ý thì ln tồn tại một dãy {rn } các số hữu tỷ với rn → x. Do f cộng
tính nên f là tuyến tính trên tập số hữu tỷ. Nghĩa là
f (rn ) = arn ,

∀n ∈ N.

Sử dụng tính liên tục của hàm f ta có:

f (x) = f ( lim rn ) = lim arn = ax.
n→∞

n→∞

Nhận xét: Như vậy, từ định lý trên ta thấy rằng một hàm cộng tính có tính
liên tục thì tuyến tính nghĩa là đồ thị của hàm cộng tính liên tục có dạng là
một đường thẳng (khơng thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ. Hơn nữa, tính liên tục
của hàm f trong (1.1) có thể được làm yếu đi thậm chí điều kiện liên tục trở
thành liên tục tại một điểm thì hàm f vẫn có dạng tuyến tính. Điều này được
G. Darboux chứng minh trong định lý sau.
Định lí 1.1.3. Nếu f liên tục tại một điểm x0 ∈ R cho trước thì f thỏa mãn
tính cộng tính sẽ liên tục trên R.
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết ta có:
lim f (x) = f (x0 ),

x→x0

thì với mỗi x1 ∈ R ta đều có:
f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )

∀x ∈ R.

Từ đó suy ra:
lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )

x→x1

x→x1

= f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ).

Vì x1 ∈ R là tùy ý nên f là một hàm liên tục trên tập R.
3


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chú ý: Nếu f : R → R là một nghiệm khác không của phương trình (1.1)
thì f khơng bị chặn.
Trên đây, ta thấy rằng một hàm cộng tính liên tục là tuyến tính và thậm chí
điều kiện hàm f liên tục tại một điểm thì f vẫn có tính tuyến tính. Trong các
bài giảng gần đây đã đưa ra khá nhiều điều kiện khác để đảm bảo tính chất trên
nghĩa là ta yếu đi các giả thiết về tính liên tục của hàm f mà ta vẫn được những
kết quả tương tự. Một số điều kiện tương đương với tính liên tục và các chứng
minh được biết đến trong bài giảng của Aczél,Aczél và Dhombers, Kannappan,
và Kuczma. Sau đây là một vài kết quả ta thu được:
Định lí 1.1.4. Cho f : R → R là một hàm cộng tính với c = f (1). Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
(i) f liên tục tại điểm x0 .
(ii) f đơn điệu tăng.
(iii) f không âm với mỗi x không âm.
(iv) f bị chặn trên trên một khoảng hữu hạn.
(v) f bị chặn dưới trên một khoảng hữu hạn.
(vi) f bị chặn (trên) dưới trên một tập bị chặn có độ đo Lesbesgue dương.
(vii) f bị chặn trên một tập bị chặn có độ đo dương (Lesbesgue).
(viii) f bị chặn trên một khoảng hữu hạn.
(ix) f (x) = cx.
(x) f khả tích Lesbesgue địa phương.
(xi) f khả vi.

(xii) f là đo được Lesbesgue.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) Lấy x > y và {rn } là một dãy hữu tỷ sao cho rn → x − y khi n → ∞
thì rn + y − x + x0 → x0 khi n → ∞. Từ (i) và tính cộng tính của hàm f ta
có:
f (rn + y − x + x0 ) → f (x0 ),

nghĩa là
f (rn ) + f (y − x) + f (x0 ) → f (x0 ).
4


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

crn + f (y) − f (x) → 0.

nhưng
crn + f (y) − f (x) → c(x − y) + f (y) − f (x).

như vậy
f (x) − f (y) + c(y − x) = 0.

suy ra
f (x) − f (y) = c(x − y) > 0

trong đó c = f (1) > 0.

Do đó f là một hàm đơn điệu tăng hay (ii) được chứng minh.
(ii) ⇒ (iii) Giả sử x ≥ 0 từ (ii) ta có:
f (x) ≥ f (0) = 0.

vậy (iii) được chứng minh.

(iii) ⇒ (iv) Giả sử x ∈ [a, b] (một khoảng hữu hạn) thì b − x ≥ 0 và từ (iii) và
tính cộng tính của hàm f suy ra:
f (b) ≥ f (x).

nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn [a, b] bởi f (b).
(iv) ⇒ (v) Cho [c, d] là một khoảng hữu hạn và x ∈ [c, d]. Từ (iv) giả sử f là một
hàm bị chặn trên trên [c, d] thì f là một hàm bị chặn trên trên [c − x, d − x].
Như vậy ta có tồn tại m sao cho:
f (c − x) ≤ m,

nghĩa là
f (x) ≥ f (c) − m.

Điều này chỉ ra rằng f là hàm bị chặn dưới trên [c, d].
(v) ⇒ (vi) Giả sử f là một hàm bị chặn trên trên tập bị chặn F có độ đo
Lesbesgue dương. Tồn tại một khoảng hữu hạn [a, b] sao cho F ⊂ [a, b]. Với
x ∈ [a, b] ta xét [a − x, b − x], từ (v) ta có vì f là hàm bị chặn dưới nên
f (a − x) ≥ m hoặc f (x) ≤ f (a) − m, nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn [a, b]
và do đó f bị chặn trên khoảng F .

5


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

(vi) ⇒ (vii) Giả sử f bị chặn dưới trên tập bị chặn F có độ đo dương. Do
đó F + F là tập có phần trong khác rỗng. Như vậy, tồn tại một đoạn

[c, d] ⊂ F + F và f là tập bị chặn dưới trên [c, d]. Từ chứng minh (v) ⇒ (vi)
dễ dàng chỉ ra rằng f bị chặn dưới trên [c, d]. Ta có (vii) được chứng minh.
Chú ý: Nếu f là hàm bị chặn trên tập C sao cho C − C chứa một đoạn
và do đó f khơng liên tục.
(vii) ⇒ (viii) Giả sử |f (x)| ≤ m với x ∈ F trong đó F là tập có độ đo dương.
Từ định lý Steinhaus, tồn tại một số dương δ sao cho ∀x, y ∈ F, t = x − y
thỏa mãn |t| ≤ δ có thể được . Khi đó |f (t)| = |f (x − y)| với mỗi t ∈] − δ, δ[
và do đó nó bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn. Vậy (viii) được chứng minh.
Chú ý:Một khoảng hữu hạn là một tập bị chặn có độ đo dương.
(viii) ⇒ (ix) Giả sử f bị chặn trên đoạn [a, b]. Đặt:
φ(t) = f (x) − cx,

với x ∈ R.

(1.5)

thì φ cũng là hàm cộng tính trên R, φ(r) = 0 với r ∈ Q và φ là một hàm bị
chặn trên [a, b]. Hơn nữa,
với x ∈ R, r ∈ Q.

φ(x + r) = φ(x)

(1.6)

Do đó với mỗi số thực x, tồn tại một số hữu tỷ r sao cho x + r ∈ [a, b],
ta có thể suy ra (1.6) nghĩa là φ bị chặn khắp mọi nơi trên R.
Do đó φ(x) = 0 với x ∈ R. Thực vậy, giả sử phản chứng, tồn tại một số
x0 sao cho φ(x0 ) = b(= 0) > 0 Khi đó φ(nx0 ) = nb đúng với mọi n ∈ Z, nên
với n lớn tùy ý, thì φ có thể nhận giá trị lớn tùy ý. Mâu thuẫn với tính bị
chặn của hàm φ. Do đó,

f (x) = cx.

Vậy (ix) vẫn đúng.
(ix) ⇒ (x) Hiển nhiên.
(x) ⇒ (xi) Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1) trên [a, b] ta có:
b

b

f (x + y)dy =

b

f (x)dy +

a

a

f (y)dy.
a

nghĩa là
b+x

f (v)dv = (b − a)f (x) + d.
a+x

Vì f là khả tích địa phương nên từ phương trình trên suy ra f liên tục và
cuối cùng f là khả vi. Vậy (xi) được chứng minh.

6


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

(xi) ⇒ (xii) Hiển nhiên.
(xii) ⇒ (i) Để chứng minh với mọi nghiệm đo được của (1.1) là liên tục (nghĩa
là có dạng tuyến tính), một số chứng minh được biết đến từ các tác giả
(Sierpinski, Alexiewicz và Orlicz). Sau đây, là một trong số chứng minh đó.
Chứng minh([2]Chứng minh theo Sierpinski).
Ta biết rằng nếu P, Q là hai tập đo được tuyến tính có độ đo dương, thì
tồn tại các điểm p ∈ P và q ∈ Q. Đặt:
ϕ(x) = f (x) − xf (1),

∀x ∈ R.

(1.7)

mà ta biết rằng ϕ(r) = 0 với mỗi r hữu tỷ và
ϕ(x + r) = ϕ(x)

x ∈ R, r ∈ Q.

Từ định nghĩa của hàm ϕ ta suy ra ϕ đo được (vì f là đo được). Bây giờ
ta sẽ chứng minh, với mọi x ∈ R thì
ϕ(x) = 0.

Giả sử phản chứng, tồn tại một số a sao cho
ϕ(a) = 0.

(1.8)

Đặt
E1 = {x ∈ R : ϕ(x) > 0}.

và
E2 = {x ∈ R : ϕ(x) < 0}.

Vì ϕ(−x) = −ϕ(x), E1 và E2 là đối xứng nhau. Hơn nữa, E1 và E2 là đo
được (vì ϕ là một hàm đo được) . Giả sử những tập này có độ đo dương,
tồn tại x1 ∈ E1 và x2 ∈ E2 sao cho x1 − x2 = r trong đó r ∈ Q ta có
ϕ(x1 ) = ϕ(x2 + r) = ϕ(x2 ).

suy ra mâu thuẫn vì x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 . Như vậy tập E1 và E2 có độ đo
khơng. Đặt E = E1 ∪ E2 thì E có độ đo khơng và E := {x|ϕ(x) = 0}, thì tập
G = {x ∈ R : ϕ(x) = 0} là tập có độ đo dương.
Đặt H = {x ∈ R : ϕ(x + a) = 0}, thì H có độ đo dương (vì H ⊃ G − a)
Lấy x ∈ H thì ϕ(x + a) = 0. Do đó,
ϕ(x) + ϕ(a) = 0.
7


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Từ (1.9) ta suy ra ϕ(a) = 0, nên ϕ(x) = 0. Do đó H ⊂ E , nghĩa là, tập đo
được dương chứa trong một tập có độ đo khơng, vơ lý. Vì vậy, ϕ(x) = 0 với
x ∈ R và f (x) = xf (1).
Từ đó, ta có thể kết luận rằng mọi nghiệm khơng liên tục của phương
trình (1.1) có độ đo không.
Chứng minh( chứng minh theo Alexiewicz và Orlicz)

Cho x = 0 giả sử:
ϕ(t) = f (t) −

và
φ(t) =

f (x)
t.
x

1
.
1 + |ϕ(t)|

Rõ ràng là ϕ(t + x) = ϕ(t) + ϕ(x) = ϕ(t), vì ϕ(x) = 0. Do đó ϕ và φ tuần
hoàn với chu kỳ x. Nên
x
0

dt
=
1 + |ϕ(t)|

x

φ(t)dt,
0

x

=

φ(2t)dt,
0

x

=
0

nên

x
0

dt
.
1 + 2|ϕ(t)|

|φ(t)|dt
= 0.
(1 + 2|φ(t)|)(1 + 2|φ(t)|)

f (x)
t với mọi t, trong trường hợp
x
cụ thể với mọi x = 0 tồn tại một số t0 = 0 sao cho:

Suy ra ϕ(t) = 0 khắp nơi. Nghĩa là f (t) =

f (t0 ) =

f (x)
t0 .
x

và
f (t0 ) = f (1)t0 .

do đó f (x) = f (1)x với mọi x = 0. Rõ ràng phương trình trên đúng với
x = 0.

Hệ quả 1.1.5. Với phương trình Cauchy (1.1) thì tính liên tục và tính đo được
là tương đương.
8


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chứng minh. Cho f là một hàm đo được và thỏa mãn (1.1) thì f bị chặn trên
tất cả các khoảng bị chặn. Thật vậy, ta giả sử trên khoảng (−A, A) hàm f không
bị chặn tức là tồn tại một dãy {yk } ∈ I sao cho:
với mỗi n cố định.

f (yk ) > 2n + f (yk−1 ),

Đặt
Em = {x ∈ I : |f (x)| ≤ m},

với m ∈ Z.

thì E1 ⊂ E2 ⊂ ... và ∪Em = I . Do đó tồn tại một số n sao cho µ(En ) là dương
(với µ là độ đo Lesbesgue). Đặt
Fk = yk + En = {z : z = yk + x : x ∈ En },
= {z : |z − yk | < A, |f (z − yk )| ≤ n}.

và
Gk = {z : |z| < 2A, f (yk ) − n ≤ f (z) ≤ n + f (yk )}.

ta có Fk ⊂ Gk . Ta chọn j > k thì ta có:
−f (yj ) + 2n + f (yk ) < 0.

Nếu zj ∈ Gj thì f (yj ) − n ≤ f (zj ). Cộng hai vế của bất phương trình ta có
n + f (yk ) < f (zj ) nên zj ∈ Gk , j = k và Gj ∩ Gk = φ. Do đó Fj ∩ Fk = φ với mọi
j = k . Do đó
∞

µ(∪∞
1 Fk )

µ(Fk ) ≤ 4A, Fk ⊂ Gk ⊂ (−2A, 2A).

=
1

Từ đó, ta kết luận được
µ(Fk ) = 0,

∀k,

nên
µ(En ) = µ(Fk ) = 0

∀k.

mâu thuẫn suy ra f bị chặn trên trên một khoảng bị chặn và do đó f liên
tục. Vì vậy với phương trình Cauchy thì tính liên tục và tính đo được là tương
đương.
Hệ quả 1.1.6. Nếu f thỏa mãn (1.1) trên R và đo được trên mọi tập con C có
độ đo Lesbesgue dương thì f liên tục.
Chứng minh. Ta có tập các ∀x ∈ C sao cho |f (x)| < n là một tập có độ đo dương
với n đủ lớn. Chứng minh tiếp theo được suy ra từ định lý (1.1.2) (vii).
9


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Lớp hàm cộng tính khơng liên tục

Trong phần trên, ta đã chứng tỏ rằng lớp hàm cộng tính liên tục là tuyến
tính. Thậm chí nếu điều kiện liên tục được làm yếu đi thành liên tục tại một
điểm thì hàm cộng tính vẫn tuyến tính. Trong nhiều năm qua sự tồn tại của lớp
hàm cộng tính phi tuyến vẫn là một vấn đề mở. Các nhà tốn học khơng chứng
minh được rằng mọi hàm cộng tính là liên tục hay chỉ ra một phản ví dụ về lớp
hàm cộng tính phi tuyến. Năm 1905, nhà tốn học người Đức G. Hamel, người
đầu tiên thành cơng trong chứng minh sự tồn tại hàm cộng tính phi tuyến. Ông
đã chứng minh bằng việc sử dụng tiên đề chọn chứng minh rằng phương trình
(1.1) có nghiệm khơng liên tục.
Định lí 1.1.7. Tồn tại một hàm cộng tính f không liên tục.
Trước khi chứng minh định lý này, Hamel đã xây dựng ý tưởng về cơ sở

Hamel để xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến. Xét tập hợp
√
√
S = {s ∈ R|s = u + v 2 + w 3, u, v, w ∈ Q}.
√ √

tập mà các phần tử là tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của 1, 2, 3. Hơn nữa tập sinh
bởi tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất. Nghĩa là nếu một phần tử s ∈ S có hai tổ
hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, chẳng hạn,
√
√
√
√
s = u + v 2 + w 3 = u + v 2 + w 3.

thì u = u , v = v , w = w . Để chứng tỏ điều này, ta cần chú ý giả thiết này kéo
theo
√
√
(u − u ) + (v − v ) 2 + (w − w ) 3 = 0.

Đặt a = (u − u ), b = (v − v ), c = (w − w ) ta thấy rằng biểu thức trên quy về
√
√
a + b 2 + c 3 = 0.

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng a = 0 = b = c . Biểu thức trên cho
√
√
b 2 + c 3 = −a.

và bình phương hai vế ta có,
√
2bc 6 = a2 − 2b2 − 3c2 .

Từ đây suy ra b hoặc c là 0.Trường hợp khác, ta chia hai vế cho 2bc và có
√
a2 − 2b2 − 3c2
6=
.
2bc
10


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
√

√

cho ta sự mâu thuẫn rằng 6 là một số vô tỉ. Nếu b = 0 thì ta có a + c 3 = 0,
√
a
điều này kéo theo c = 0 (nếu ngược lại thì 3 = − .) là một số hữu tỷ trái với
c

√

thực tế rằng 3 là một số vô tỉ). Tương tự nếu c = 0 ta được b = 0. Như vậy cả
b và c đều bằng 0. Từ đó, lập tức ta có a = 0. Nếu đặt
√ √

B = {1, 2, 3}.

thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của các phần tử của
B . Tập B được gọi là một cơ sở Hamel đối với tập S . Về mặt hình thức, một cơ
sở Hamel cũng được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa 1.1.8. Cho S là một tập số thực, B ⊂ S . B được gọi là cơ sở Hamel
của tập S nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây:
(i) Với mọi số thực x có thể biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính hữu hạn x =
r1 x1 + ... + rn xn với ∀xi ∈ B và ri ∈ Q ∀i = 1, ..., n.
(ii) Không có tập con nào của B có tính chất xác định như trong (i).
Để chỉ ra sự tồn tại của một cơ sở ta sử dụng phương pháp quy nạp siêu hạn
hay bổ đề Zorn. Chú ý, B là một tập không đếm được và biểu diễn của x được
cho bởi (i) là duy nhất.
Nhận xét rằng, có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các hàm cộng tính và cơ sở
Hamel. Để diễn tả một hàm cộng tính ta chỉ cần cho các giá trị trên một cơ sở
Hamel là đủ, các giá trị đó có thể phân bố tùy ý. Điều này là nội dung của hai
định lý tiếp theo.
Định lí 1.1.9. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Nếu hai hàm cộng tính
có giá trị bằng nhau tại mỗi phần tử của B , thì chúng bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử f1 , f2 là hai hàm cộng tính có giá trị giống nhau tại mỗi
phần tử của B . Khi đó f1 − f2 là cộng tính. Giả sử đối với ta ký hiệu f = f1 − f2 .
Giả sử x là số thực tùy ý. Thế thì có các số b1 , ..., bn trong B và các số hữu tỷ
r1 , r2 , ..., rn sao cho
x = r1 b1 + r2 b2 + ... + rn bn .

Từ đó
f1 (x) − f2 (x) = f (x) = f (r1 b1 + r2 b2 + ... + rn bn ),
= f (r1 b1 ) + f (r2 b2 ) + ... + f (rn bn ) = r1 f (b1 ) + r2 f (b2 ) + ... + rn f (bn ),
= r1 [f1 (b1 ) − f2 (b1 )] + r2 [f1 (b2 ) − f2 (b2 )] + ... + r2 [f1 (b2 ) − f2 (b2 )].

Như vậy, ta có f1 = f2 và ta thu được điều phải chứng minh.
11


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Định lí 1.1.10. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Giả sử g : B → R là
một hàm tùy ý xác định trên B . Khi đó tồn tại một hàm cộng tính f : R → R
sao cho f (b) = g(b) với mọi b ∈ B .
Chứng minh. Với mỗi số thực x có thể tìm được b1 , b2 , ..., bn trong B và các số
hữu tỉ r1 , r2 , ..., rn sao cho:
x = r1 b1 + r2 b2 + ... + rn bn .

Việc xác định f (x) trở thành
r1 g(b1 ) + r2 g(b2 ) + ... + rn g(bn ).

Biểu thức này xác định f (x) với mọi x. Định nghĩa này là duy nhất, đối với mỗi
x việc chọn b1 , b2 , ..., bn , r1 , r2 , ..., rn là duy nhất, không kể đến thứ tự của các số
bi , ri được chọn. Đối với mỗi b ∈ B , ta có f (b) = g(b) bởi cách xác định của f .
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng f là cộng tính trên tập số thực. Giả sử x, y là hai số
thực tùy ý. Thế thì
x = r1 a1 + r2 a2 + ... + rn an .
y = s1 b1 + s2 b2 + ... + sm bm .

với r1 , r2 , ..., rn , s1 , s2 , ..., sm là các số hữu tỷ và a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bm là các phẩn
tử của cơ sở Hamel B . Hai tập {a1 , a2 , ..., an } và {b1 , b2 , ..., bm } có thể có những
phần tử chung. Giả sử hợp của hai tập đó là {c1 , c2 , ..., cl }. Thế thì l ≤ m + n và
x = u1 c1 + u2 c2 + ... + ul cl .
y = v1 c1 + v2 c2 + ... + vl cl .

ở đây u1 , u2 , ..., ul , v1 , v2 , ..., vl là các số hữu tỉ, và không đồng thời bằng không.
Bây giờ
x + y = (u1 + v1 )c1 + (u2 + v2 )c2 + ... + (ul + vl )cl .

và
f (x + y) = f ((u1 + v1 )c1 + (u2 + v2 )c2 + ... + (ul + vl )cl ),
= (u1 + v1 )g(c1 ) + (u2 + v2 )g(c2 ) + ... + (ul + vl )g(cl ),
= [u1 g(c1 ) + u2 g(c2 ) + ... + ul g(cl )],
+ [v1 g(c1 ) + v2 g(c2 ) + ... + vl g(cl )],
= f (x) + f (y).

Do đó f là cộng tính trên tập các số thực R. Điều phải chứng minh.
12


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Cho B là một cơ sở Hamel, ∀x ∈ R ta ln có
n

(1.9)

ri f (xi ).

f (x) =
i=1

Từ (1.9) thì hàm f được xây dựng ln thỏa mãn phương trình (1.1). Thật vậy,
nếu
n

n
r i xi ,

x=

với y =

q k xk ,

xi ∈ B.

i=1

i=1

(với những hằng số ri và qk có thể bằng 0, nên chúng ra có thể sử dụng số n
trong cả hai trường hợp)
n

x+y =

(ri + qi )xi .
i=1

Từ (1.9), ta thu được
n

f (x + y) =

(ri + qi )f (xi ),

i=1

= f (x) + f (y).

Nghiệm f là liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số c sao cho
f (xi ) = cxi ,

∀xi ∈ B.

Bây giờ ta sẽ chỉ ra hàm f không liên tục. Với mỗi xi cụ thể, ta xét
f (xi ) = 1

xi ∈ B.

f (xj ) = 0

j = i, xj ∈ B.

Giả sử f liên tục thì f (x) = cx. Do đó

f (xj )
xj
= . Như vậy vế phải bằng 0, còn
f (xi )
xi

vế trái là một số khác không (trong cơ sở khơng thể có 2 phần tử bằng 0). Như
vậy trái giả thiết. Tức là hàm f là hàm cộng tính phi tuyến
Bây giờ ta bắt đầu tìm hiểu rõ về lớp hàm cộng tính phi tuyến. Trước tiên, ta
chỉ ra lớp hàm cộng tính phi tuyến phơ diễn dáng điệu rất kỳ lạ.

Định nghĩa 1.1.11. Đồ thị của một hàm f : R → R là tập
G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}.

Rõ ràng đồ thị của hàm f : R → R là một tập con trong không gian R2 .
13


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Định lí 1.1.12. Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R là trù mật
khắp nơi trong không gian R2 .
Chứng minh. Đồ thị (G) của hàm f cho bởi
G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)}.

Chọn một số khác không x1 trong R. Từ f là một hàm cộng tính phi tuyến với
mọi hằng số m, ln tồn tại một số thực x2 = 0 sao cho

f (x2 )
f (x1 )
=
, theo
x1
x2

f (x1 )
, và giả sử x1 = x, ta sẽ có f (x) = mx ∀x = 0, và từ
x1
f (0) = 0 điều này kéo theo f là tuyến tính trái với giả thiết rằng f là phi tuyến.

cách khác viết m =

Suy ra

x1 f (x1 )
=0
x2 f (x2 )

vì vậy các véctơ X1 = (x1 , f (x1 )) và X2 = (x2 , f (x2 )) là độc lập tuyến tính vì
vậy chúng trải ra khắp không gian R2 . Điều này có nghĩa là với mọi vectơ
X = (x, f (x)) tồn tại các số thực r1 , r2 sao cho X = r1 X1 + r2 X2 . Nếu ta cố định
các số hữu tỷ ρ1 , ρ2 thì bằng phép chọn x1 , x2 thích hợp, ta có ρ1 X1 + ρ2 X2 là một
tập đóng trong khơng gian vectơ X do tập hợp số hữu tỷ Q là trù mật trong
tập số thực R và do đó Q2 là trù mật trong R2 . Vậy thì
ρ1 X1 + ρ2 X2 = ρ1 (x1 , f (x1 )) + ρ2 (x2 , f (x2 )),
= (ρ1 x1 + ρ2 x2 , ρ1 f (x1 ) + ρ2 f (x2 )),
= (ρ1 x1 + ρ2 x2 , f (ρ1 x1 + ρ2 x2 )).

Vì vậy tập
ˆ = {(x, y)|x = ρ1 x1 + ρ2 x2 , y = f (ρ1 x1 + ρ2 x2 ), ρ1 , ρ2 ∈ Q}|.
G
ˆ ⊂ G, đồ thị G của hàm cộng tính phi
là trù mật khắp nơi trong R2 . Từ đó G
tuyến f cũng trù mật trong R2 .

Nhận xét:Như vậy, với sự góp mặt của một cơ sở Hamel, tiếp theo ta ln
xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến như sau. Giả sử B là cơ sở Hamel đối
với tập các số thực R. Giả sử b là phần tử tùy ý của B . Đặt
g(x) =

0

nếu x ∈ B \ {b}.

1

nếu x = b.

14


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Theo định lý trên thì tồn tại một hàm cộng tính f : B → B sao cho f (x) = g(x)
đối với mỗi x ∈ B . Chú ý rằng f ở đây có thể khơng tuyến tính đối với mỗi x ∈ B
và x = b ta có
0=

f (b)
f (x)
=
.
x
b

Do đó f là một hàm cộng tính phi tuyến.
Chú ý: Đồ thị của hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trên tồn khơng gian
nghĩa là với mọi đường trịn ln chứa một điểm (x, y) sao cho y = f (x).
Lớp hàm cộng tính trong C

Trong phần này, ta khảo sát lớp hàm cộng tính giá trị phức trên mặt phẳng
phức.

Một hàm f : C → C có thể được viết
f (z) = f1 (z) + f2 (z).

với f1 : C → R và f2 : C → R được cho bởi
f1 (z) = Ref (z),

và f2 (z) = Imf (z).

Nếu f cộng tính thì
f1 (z1 + z2 ) = Ref (z1 + z2 ) = Re[f (z1 ) + f (z2 )],
= Ref (z1 ) + Ref (z2 ) = f1 (z1 ) + f1 (z2 ).

và
f2 (z1 + z2 ) = Imf (z1 + z2 ) = Im[f (z1 ) + f (z2 )],
= Imf (z1 ) + Imf (z2 ) = f2 (z1 ) + f2 (z2 ).

hay f1 (z) và f2 (z) cũng là những hàm cộng tính trên R.
Định lí 1.1.13. Nghiệm tổng quát f : C → C của phương trình (1.1) được cho
bởi
f (z) = f1 (x) + if2 (x) + f3 (y) + if4 (y).

trong đó z = x + iy, x, y ∈ R và fj : R → R là nghiệm của phương trình (1.1) với
j = 1, 2, 3, 4.

Chứng minh. Đặt z = x + iy, w = u + iv, x, y, u, v ∈ R. Hơn nữa, ta đặt
f (z) = Ref (x, y) + iImf (x, y) = g1 (x, y) + ig2 (x, y).
15

(1.10)

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

thì f thỏa mãn (1.1) và dễ dàng ta nhận thấy rằng từ (1.14) ta có
gj (x + u, y + v) = gj (x, y) + gj (u, v),

j = 1, 2.

(1.11)

cho y = 0, v = 0 vào (1.15) ta được
gj (x + u, 0) = gj (x, 0) + gj (u, 0),

j = 1, 2.

Đặt
fj (x) = gj (x, 0), j = 1, 2, x ∈ R.

(1.12)

Rõ ràng fj thỏa mãn (1.1) trong R. Tương tự đặt
f3 (y) = g1 (0, y), f4 (y) = g2 (0, y),

với y ∈ R.

(1.13)

thì f3 và f4 là nghiệm của phương trình (1.1) trên R. Ta có
g1 (x, y) = g1 (x, 0) + g1 (0, y) = f1 (x) + f3 (y).

và
g2 (x, y) = g2 (x, 0) + g1 (0, y) = f2 (x) + f4 (y).

Điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.14. Một hàm phức f : R → C là nghiệm của phương trình (1.1) nếu
và chỉ nếu
f (x) = f1 (x) + if2 (x), x ∈ R.

(1.14)

ở đó fj : R → R là nghiệm của (1.1) với j = 1, 2.
Định lí 1.1.15. Nghiệm tổng quát liên tục f : C → C của phương trình (1.1)
được cho bởi
f (z) = cz + d¯
z , z ∈ C.

(1.15)

trong đó c, d là hằng số tùy ý, z¯ là số phức liên hợp của z . Kết luận tương tự vẫn
còn đúng khi f hoặc liên tục tại một điểm hoặc đo được.
Chứng minh. Vì f là một hàm cộng tính, theo định lý (1.1.13) ta có
f (z) = f1 (x) + if2 (x) + f3 (y) + if4 (y).

trong đó fj : R → R với j = 1, 2, 3, 4 là hàm cộng tính giá trị thực. Từ tính liên
tục của hàm f suy ra fj , j = 1, 2, 3, 4 là cũng có những tính liên tục nên ta có:
fj (x) = cj x.
16


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

trong đó cj (j = 1, 2, 3, 4) là hằng số thực.Ta có
f (z) = c1 x + ic2 x + c3 y + ic4 y,
= (c1 + ic2 )x + (c3 + ic4 )y = ax + by, với a = c1 + ic2 , b = c3 + ic4
a − bi
a + bi
a − bi
a + bi
x+
x−
iy +
iy,
= ax − i(ib)y =
2
2
2
2
a − bi
a − bi
a + bi
a + bi
=
x+
iy +
x−
iy,
2
2
2
2

a − bi
a + bi
=
(x + iy) +
(x − iy),
2
2
a − bi
a + bi
=
z+
z¯,
2
2
= cz + d¯
z.

ở đây c =

a − bi
a + bi
,d =
là các hằng số phức. Điều phải chứng minh.
2
2

Chú ý rằng khơng giống như hàm cộng tính liên tục nhận giá trị thực
trên số thực, các hàm cộng tính liên tục nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức
là khơng tuyến tính. Khi ta bổ xung vào giả thiết tính trơn mạnh hơn như tính
giải tích thay cho tính liên tục thì hàm f có tính tuyến tính.

Định lí 1.1.16. Nếu f : C → C là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một
hằng số phức c sao cho
f (z) = cz.

thì f tuyến tính.
Chứng minh. Vì f giải tích nên f khả vi. Lấy vi phân
f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 ).

(1.16)

theo biến z1 ta có:
f (z1 + z2 ) = f (z1 ),

∀z1 , z2 ∈ C.

Ta có lấy z1 = 0 và z2 = z nên
f (z) = c.

ở đây c = f (0) là một hằng số phức. Từ trên ta thấy rằng,
f (z) = cz + b,

với b là một hằng số phức. Thay dạng này của f (z) vào (1.16) ta thu được b = 0
và ta có điều phải chứng minh.

17


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1.2

Phương trình hàm mũ

Bên cạnh phương trình hàm cộng tính, ta đi xem xét tiếp dạng tiếp theo của
phương trình hàm Cauchy đó là phương trình hàm mũ. Phương trình hàm mũ
là cơng cụ tuyệt vời trong các ngành khoa học và kỹ thuật, bởi vì các hiện tượng
tự nhiên đều được miêu tả thơng qua hàm này. Trước hết ta xét phương trình
hàm này trên tập T trong đó T = R hoặc R∗+ hoặc R+ .
Định nghĩa 1.1.17. Một hàm f : T → R được gọi là hàm mũ khi và chỉ khi nó
thỏa mãn phương trình hàm sau:
f (x + y) = f (x)f (y),

∀x, y ∈ T.

(1.17)

Tương tự như phương trình hàm cộng tính, ta cũng xác định nghiệm của
phương trình mũ bằng phương pháp trực tiếp như trong cách xác định nghiệm
của phương trình hàm cộng tính hoặc bằng cách xác định quan hệ của nó với
phương trình hàm cộng tính.
Định lí 1.1.18. Cho f : T → R là nghiệm của phương trình (1.17). Khi đó
nghiệm tổng qt của nó sẽ có dạng f (x) ≡ 0 và f (x) = eg(x) trong đó g là một
hàm thỏa mãn phương trình hàm cộng tính.
Chứng minh. Giả sử x0 ∈ T thỏa mãn f (x0 ) = 0. Khi đó từ (1.17) ta có với mọi
x ∈ R:
f (x) = f (x − x0 + x0 ),
= f (x − x0 )f (x0 ),

(1.18)

= 0.

Như vậy
• xét T = R, khi đó f (x) = 0 nghĩa là f (x) ≡ 0 khắp mọi nơi.
• xét T = R+ , khi đó f (x) = 0 với ∀x ≥ x0 .
• xét T = R∗+ ,, với x ∈]0, x0 [ khi đó tồn tại một số nguyên dương n sao cho
nx ≥ x0 , do đó từ phương trình (1.17) và (1.18) ta suy ra
0 = f (nx) = f (x)n .

hay
f (x) = 0

18

∀x ∈ R∗+ .