Đáp án HSG Toán học lớp 9 Bình Xuyên, Vĩnh Phúc 2017-2018 - Học Toàn Tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (542.99 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
(Hướng dẫn này gồm 03 trang)

Lưu ý chung:

- Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ trình bày vắn tắt một cách giải, các cách giải khác của 
HS nếu đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm theo thang điểm tương ứng.

- Với câu 4, nếu học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai ý nào thì khơng chấm điểm ý đó. 
- Tổ chấm có thể chia nhỏ thang điểm hơn so với đáp án, điểm toàn bài là tổng số điểm 
của các câu thành phần.

Câu Nội dung trình bày Điểm

1 2,0 điểm 
a) (1,0 điểm)

ĐKXĐ: x0; x1 0,25

Với x0; x1 ta có



 



2 2

1 1 1

1 2

x x x

A

x x

     

  

   0,25

2
4 (1 )

.
1 4

x x

A

x x

 



 0,25

1
.
x
A

x




Vậy, với x0; x1 thì A 1 x.
x



0,25
b) (1,0 điểm)

Với x0; x1, ta có A 3 1 x 3
x
x



   0,25

1 1 4

3 0 0

x x

 

     (1) 0,25

Mà x > 0 nên (1) 1 4 0 1.
4

x x

     0,25

Vậy để A 3
x  thì

0 .

4
x

  0,25

2 2,0 điểm 
a) (1,0 điểm)

Từ giả thiết ta có



p q p q







7 do đó p > q.

Mà p, q nguyên dương nên suy ra p – q, p + q là các ước nguyên dương của 7,
hơn nữa p – q < p + q

0,5
Do đó chỉ xảy ra p – q = 1 và p + q = 7, suy ra p = 4 và q = 3.

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy p = 4 và q = 3. 0,5
b) 1,0 điểm

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHÂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2017 - 2018

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2
Với p = 2 ta thấy p22p 2222 8 không là số nguyên tố.

Với p = 3 ta thấy p22p 3223 17 là số nguyên tố. 0,5
Với p > 3 thì do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 và p lẻ, do đó

2 p

p 2 3 và p22p 



p2 1

 

2p1 3



M , do đó p22plà hợp số. 
Vậy chỉ có p = 3 thỏa mãn.

0,5
3 2,0 điểm

a) (1,0 điểm) 
ĐKXĐ: 3 x 8 .

Với 3 x 8 thì PT trở thành



x 3 1



8 x 1



0 0,5

3 1 4

8 1

x x

x
x

    

  

  

 . 0,25

Các giá trị của x đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của PT là S {4;7} 0,25

b (1,0 điểm)

Với a, b dương ta có









 

2 4 2 2 4 2 2 2 2

4 2 2

0 2 2 2 2

1 1

2 2

a b a b a b a b ab a b ab

a b ab ab a b

         

 

  

Chứng minh tương tự ta có



  

4 2 2

1 1

2 2

b a  a b ba b a

0,5

Từ (1) và (2) suy ra





Q

ab a b


 .

0,5
Mặt khác, từ đề bài suy ra

 

2
1 1

2 2 1

2
2

ab a b ab ab Q

ab

       

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Vậy max 1 1
2

Q   a b
4 3,0 điểm

a) 1,0 điểm

H

K

D
C

A
O

B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
Từ giả thiết suy ra OM = OA = OB = a, suy ra OM = OC = OD = a,

do đó tam giác MCD vng tại M. 0,25

Từ đó ta có sin2MBA· sin2MAB· sin2·MCDsin2MDC·

= (sin2MBA c·  os2MBA· ) (sin 2MCD c·  os2MCD· )= 1 + 1 = 2. 0,75
b) 1,0 điểm

Ta có MH2 = HA.HB (hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB với đường cao

MH) ; mặt khác BH = AB – AH = 2a – AH. 0,25

suy ra MH2 = AH (2a - AH) 0,25

Nghịch đảo 2 vế được





 

1 1

1
2

AH a AH  MH 0,25

Mặt khác, ta có 1 2 12 12

 

MH  MA MB (hệ thức lượng trong tam giác vuông
MAB với đường cao MH). Từ (1) và (2) suy ra





2 2

1 1 1

AH a AH MA MB

0,25
c) 1,0 điểm

Đặt b = MA. MB. MC. MD, gọi K là hình chiếu của M trên CD.

Ta có b = AB.MH.CD.MK = 4a2.MH.OH (do AB = CD = 2a, MK = OH). 0,25
Áp dụng BĐT 2 2, , y 0

2
x y

xy  x  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y, ta có

OH.MH 2 2 2 2

2 2 2

OH MH OM a

   , từ đó 4 .2 2 2 4
2
a

b a  a .

0,25

Đẳng thức xảy ra MH = OH
OH = MH = 2

a (áp dụng Pitago cho tam giác vuông cân OMH) 0,25

Vậy khi điểm H nằm giữa hai điểm O và A sao cho OH = 2
2
a

thì
MA. MB. MC. MD lớn nhất, và giá trị lớn nhất đó bằng 2a4.

0,25
5 1,0 điểm

Xét 1009 số từ 1009 đến 2017, tổng của 2 số bất kì trong chúng luôn lớn hơn hoặc
bằng 1009 1010 2019 2017   , do đó ln tờn tại 3 số thỏa mãn là độ dài 3 cạnh
của một tam giác (*).

0,25
Chia 1009 số này vào 500 tập hợp, theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại một tập

hợp chứa ít nhất 1009 1 3
500

   

 

  số thỏa mãn tính chất (*) nói trên.

0,25
Còn các số từ 1 đến 1008 ta lấy tùy ý vào 500 tập hợp trên mà không ảnh hưởng

đến kết quả. 0,25

Áp dụng suy luận trên vào bài tốn thì ta ln tìm được một phòng họp mà 3 trong
số những người trong phịng đó có các số ghi trên các tấm bìa của họ là số đo độ

dài 3 cạnh của một tam giác (đpcm). 0,25

</div>