Giáo án dạy thêm lớp 6

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (745.08 KB, 40 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>


Sưu tầm

GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG

HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bu

ổi 1: CHỮ SỐ - QUY LUẬT DÃY SỐ

TH

Ứ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

I. Lý thuyết:

1. Dạng tốn về tìm chữ số: Xét số abc với a, b, c∈N và 0 < a ≤9; 0≤b,c≤9. Khi

đó: abc = a.100 + b.10 + c

abc = a.100 + bc
abc = ab.10 + c

2. Dạng toán về quy luật dãy số:

+ Cách tính số số hạng của dãy số tăng dần:

Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1
+ Cách tính số số hạng của dãy số giảm dần:

Số số hạng = (số đầu – số cuối) : khoảng cách + 1
+ Tính tổng các số hạng của dãy số:

Tổng = (số đầu + số cuối).số số hạng:2
3. Thứ tự thực hiện phép tính:

+ Mình cộng và trừ hoặc mình nhân và chia => trái sang phải.

+ Lũy thừa => Nhân và chia => Cộng và trừ.

+ (…) => […] => {…}
II. Bài tập:

Bài 1: Tính tổng các số lẻ từ 1 đến 999.
Hướng dẫn:

Số số hạng của dãy là: (999 – 1) : 2 + 1 = 500(số hạng)
Số cặp là: 500:2 = 250 (cặp)

Giá trị của một cặp là: (999 + 1) = 1000
Tổng của dãy số là: 250.1000 = 250 000

(Hoặc: Tổng = (1+999).500:2 = 250000)

Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa 2 chữ số của số đó
thì được số có 3 chữ số gấp 9 lần số có 2 chữ số ban đầu.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab, với a, b∈N và 0 < a ≤9; 0≤b≤9.

Ta có: ab.9 = a0b  9.(10a + b) = 100.a + b
 90.a + 9.b = 100.a + b
 10.a = 8.b

 5.a = 4.b

Vì a và b là số có một chữ số, nên a = 5; b = 4.
Bài 3: Tính.

a. 1 + 7 + 8 + 15 + 23 + … + 160
b. 1 + 4 + 5 + 9 + 14 + … + 60 + 97
c. 78.31 + 78.24 + 78.17 + 22.72
Hướng dẫn:

a. 1 + 7 + 8 + 15 + 23 + … + 160

= (1 + 7) + 8 + (15 + 23) + 38 + (61 + 99) + 160
= 8 + 8 + 38 + 38 + 160 + 160

= (8 + 38 + 160).2
= 206.2

= 412

b. 1 + 4 + 5 + 9 + 14 + … + 60 + 97

= (1 + 4) + 5 + (9 + 14) + 23 + (37 + 60) + 97
= 5 + 5 + 23 + 23 + 97 + 97

= (5 + 23 + 97).2
= 125.2

= 250

c. 78.31 + 78.24 + 78.17 + 22.72
= 78.(31 + 24 + 17) + 22.72
= 78.72 + 22.72

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:

a. A = 100 + 98 + 96 + 94 + …+ 2 – 97 – 95 – 93 - … - 3 – 1
b. B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 - … - 299 – 300 + 301 + 302
Hướng dẫn:

a. A = 100 + 98 + 96 + 94 + …+ 2 – 97 – 95 – 93 - … - 3 – 1
= 100 + (98 – 97) + (96 – 95) + (94 – 93) + …+ (4 – 3) + (2 – 1)
= 100 + 

1
49

1
...
1
1

sô

+
+
+
= 100 + 49
= 149

b. B = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 - … - 299 – 300 + 301 + 302

= 1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + … + (298 – 299 – 300 + 301)+302
= 1 + 0 + 0 + … + 0 + 302

= 303

Bài 5: Điền các chữ số thích hợp vào các chữ, để được phép tính đúng:

1ab+ 36 = ab1

Hướng dẫn:

Ta có: 1ab+ 36 = ab1

100 + ab + 36 = ab.10 + 1
136 + ab = 10. ab+ 1

135 + ab = 10. ab

135 = 9. ab

ab = 15
Vậy a = 1; b = 5
Bài tập về nhà:

Bài 1: Điền các chữ số thích hợp vào các chữ, để được phép tính đúng:
abc + acc + dbc = bcc

Bài 2: Cho ba chữ số a, b, c với 0 < a < b < c.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b. Biết rằng tổng hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488. Tìm tổng các chữ số: a +
b +c

Bài 3: Chia các số tự nhiên từ 1 đến 100 thành hai lớp: Lớp số chẵn và lớp số lẻ. Hỏi

lớp nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Bài 1: Ta có: abc + acc + dbc = bcc

Ta viết lại: abc

+ acc

dbc

bcc

Ta thấy, c = 0 hoặc c = 5.

* Nếu c = 5 thì 5 + 5 + 5 = 15 (Viết 5 nhớ 1)

Lại có b + b + c + 1 = 2b + c + 1 = 2b + 5 + 1 = 2b + 6 cho ta tận cùng bằng 5,
vơ lí vì 2b + 6 chẵn.

* Vậy c = 0. Khi đó ta có:

ab0

+ a00

db0

b00

Ta có: b = 5 (Vì b phải khác 0). Khi đó:

a50

+ a00

d50

500

=> a + a + d + 1 = 2a + d + 1 = 5 => a = 1; d = 2.
Vậy a = 1; b = 5; c = 0; d = 2.

Bài 2: a. Tập hợp A = {abc; acb; bac; bca; cba; cab}

b. Ta có, hai số nhỏ nhất trong tập hợp A là abc và acb.

Theo bài ra ta có: abc + acb = 488

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta có: 2bc + 2cb = 488

 200 + 10.b + c + 200 + 10.c + b = 488
 400 + 11.b + 11.c = 488

 11.(b + c) = 88
 b + c = 8

Vậy a + b + c = 2 + 8 = 10.
Bài 3: Ta liệt kê:

Lớp các số lẻ 3 5 7 9 …… 95 97 99 1

Lớp các số chẵn 2 4 6 8 …… 94 96 98 100

Nhìn vào bảng liệt kê ta thấy, tổng các chữ số của mỗi số lẻ hơn tổng các chữ số
của mỗi số chẵn tương ứng là 1. Trong cặp cuối cùng, tổng các chữ số của số 1 và số
100 bằng nhau, nên ta có 49 cặp hơn kém nhau 1 đơn vị.

Vậy tổng các chữ số của các số lẻ, hơn tổng các chữ số của các số chẵn là 1.49 =
49.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

D

ẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2; 3; 5; 9.

I.Lí thuyết:

1. Tính chất chia hết của một tổng:

1.1. Nếu a ⋮ m và b ⋮ m thì (a + b) ⋮ m và (a – b) ⋮ m.
1.2. Nếu (a + b) ⋮ m và a ⋮ m thì b ⋮ m.

1.3. Nếu a ⋮m và b /m thì (a + b) /m.
1.4.Nếu a ⋮ m thì (n.a) ⋮ m.

2. Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9:

2.1. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết
cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

2.2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết

cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

2.3. Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số là một số chia hết cho 3 thì số
đó chia hết cho 3.

- Một số tự nhiên khi chia cho 3 có dư là số k, thì tổng các chữ số của nó khi chia cho
3 cũng có số dư là k.

2.4. Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số là một số chia hết cho 9 thì số
đó chia hết cho 9.

- Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3, nhưng ngược lại thì khơng kết luận được
nó chia hết cho 9.

II. Bài tập: 
Bài 1:

a. Tìm chữ số tự nhiên x biết: 2346 + x chia hết cho 3.

b. Tìm số tự nhiên x biết x có 2 chữ số và 1008 + x chia hết cho 9.
Hướng dẫn:

a. Vì 2 + 3 + 4 + 6 = 15 ⋮ 3 nên 2346 ⋮ 3. Mà (2346 + x) ⋮3 nên x⋮3 và x là chữ số tự
nhiên do đó x ∈ {0; 3; 6; 9}.

b. Vì 1 + 0 + 0 + 8 = 9 ⋮ 9, nên 1008 ⋮9. Mà 1008 + x ⋮ 9 nên x ⋮ 9và x là số tự nhiên
có 2 chữ số, do đó x ∈ {18; 27; …; 99}.

Bài 2: Chứng minh rằng:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hướng dẫn:

a.Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2; a + 3; a + 4.
Ta có:

a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) = a + a + a + a + a + 1 + 2 + 3 + 4

= 5a + 10

Vì 5a ⋮ 5 và 10 ⋮ 5 nên 5a + 10 ⋮5. Vậy tổng 5 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 5.
b.Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2a; 2a + 2; 2a + 4; 2a + 6; 2a + 8.

Ta có:

2a + (2a + 2) + (2a + 4) + (2a + 6) + (2a + 6)
= (2a + 2a + 2a + 2a + 2a) + (2 + 4 + 6 + 8)
= 10a + 20

Vì 10a ⋮ 10 và 20 ⋮ 10 nên 10a + 20 ⋮ 10. Vậy tổng 5 số chẵn liên tiếp thì chia
hết cho 10.

Bài 3:Chứng minh rằng:
a.(n + 15)(n + 4) ⋮ 2
b.(3n + 4)(n + 3) ⋮ 2
Hướng dẫn:

a.- Trường hợp 1: Nếu n là số chẵn thì n + 4 ⋮ 2 nên (n + 15)(n + 4) ⋮ 2
-Trường hợp 2: Nếu n là số lẻ thì n + 15 ⋮ 2 nên (n + 15)(n + 4) ⋮ 2

Vậy (n + 15)(n + 4) ⋮ 2

b.- Trường hợp 1: Nếu n là số chẵn thì 3n + 4 là số chẵn, nên 3n + 4 ⋮2. Do đó
(3n + 4)(n + 3) ⋮ 2

-Trường hợp 2: Nếu n là số lẻ thì n + 3 là số chẵn nên n + 3 ⋮2. Do đó (n + 15)(n + 4)
⋮ 2

Vậy (3n + 4)(n + 3) ⋮ 2
Bài 4:

a. Tìm chữ số tự nhiên x để số 302��𝑥chia hết cho 9.

b. Tìm chữ số tự nhiên x, y biết 1234��𝑥𝑦 chia hết cho 5 và 9.
Hướng dẫn:

a. Vì 302��𝑥⋮ 9 nên (3 + 0 + 2 + x) ⋮ 9 hay (5 + x) ⋮9. Do x là chữ số tự nhiên, nên x =
4.

b. Vì 1234��𝑥𝑦⋮ 5 nên y ∈ {0; 5}

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Do x là chữ số, nên x = 8.

Nếu y = 5: Ta có 1234��𝑥5⋮ 9, nên (1 + 2 + 3 + 4 + x + 5) ⋮ 9 hay (15
+ x)⋮ 9.

Do x là chữ số, nên x = 3.
Vậy �𝑥 = 8

𝑦 = 0; �𝑥𝑦= 3= 5

Bài 5: Tìm các chữ số x, y biết 2340��𝑥3𝑦chia hết cho 5 và 3.
Hướng dẫn:

Vì 2340��𝑥3𝑦⋮ 5 nên y ∈ {0; 5}

-Nếu y = 0: Ta có 2340��𝑥30⋮ 3, nên (2 + 3 + 4 + 0 + x + 3 + 0) ⋮ 3 hay (12 + x)
⋮3.

Do x là chữ số, nên x ∈ {0; 3; 6; 9}.

-Nếu y = 5: Ta có 2340��𝑥35⋮ 3, nên (2 + 3 + 4 + 0 + x + 3 + 5) ⋮ 3 hay (17 + x)
⋮3.

Do x là chữ số, nên x ∈ {1; 4; 7}.
Vậy �x ∈ {0; 3; 6; 9}

𝑦 = 0 ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 = 5

Bài tập về nhà:

Bài 1: Từ năm chữ số 0; 1; 3; 5; 9
a. Hãy lập các số có 5 chữ số khác nhau.

b. Hãy lập các số có 4 chữ số, mà các số đó chia hết cho 2.

c. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 5.
d. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 3.
e. Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 9.
Bài 2:

a. Tìm chữ số tự nhiên x, biết: (35 + x + 49) ⋮7.

b. Tìm số tự nhiên x có hai chữ số, biết: (10719 + x) ⋮9.
c. Tìm số tự nhiên x, biết x ≤ 9 và (101000 + 8 + x) ⋮ 9
Bài 3: Tìm các chữ số tự nhiên x, y biết:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

d. 1��𝑥3𝑦223⋮ 9 và x – y = 1
e. 20��𝑥91𝑦⋮ 5 và 3

g. 44��𝑥3𝑦⋮ 5 và 3

Bài 4: Chứng minh rằng:
a. (n + 7)(n + 10) ⋮ 2

b.Tổng 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 5 và chia 10 dư 5.
Hướng dẫn:

Bài 1:

a. Các số có 5 chữ số khác nhau là: 31950; 31905; 31590;….

b. Các số có 4 chữ số, mà các số đó chia hết cho 2 là: 1350; 1530; 1110; …..

c. Các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 5 là: 135; 315; 105; 905;
130; 310;…

d. Các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 3 là: 150; 510; 315; 351;
513; 531; …

e. Các số có 3 chữ số khác nhau, mà các số đó chia hết cho 9 là: 135; 153; 315; 351;

513; 531.

Bài 2:

a. Vì 35 ⋮ 7; 49 ⋮ 7 và (35 + x + 49)⋮7 nên x⋮ 7. Mà x là chữ số tự nhiên, do đó x∈{0;
7}.

b. Vì 10719 ⋮ 9 và (10719+x)⋮9 nên x⋮ 9. Mà x là số tự nhiên có 2 chữ số, do đó
x∈{18; 27; …; 99}.

c. Vì 101000 + 8 = 100…08 ⋮ 9 và (101000 + 8+x)⋮9 nên x⋮ 9. Mà x là số tự nhiên và x
≤9 , do đó x∈{0; 9}.

Bài 3:

a. x∈{0; 5}
b. x∈{1; 4; 7}
c. �𝑥 ∈ {1}

𝑦 = 0 ; �𝑥 ∈𝑦 = 5 {5}

d. �𝑥 = 4

𝑦 = 3

e. �𝑥 ∈ {0; 3; 6; 9}

𝑦= 0 ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 = 5

f. �𝑥 ∈ {2; 5; 8}

𝑦 = 5 ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 = 0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a.- Nếu n=2k thì n+10⋮ 2.
- Nếu n=2k+1 thì n+7 ⋮ 2.

b. Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2k + 1; 2k + 3; 2k + 5; 2k + 7; 2k + 9 ta có:
(2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + (2k + 7) + (2k + 9) = 10k + 25

- Vì 10k ⋮ 5 và 25 ⋮ 5 nên 10k + 25 ⋮5 => Tổng 5 số lẻ liên tiếp chia hết cho 5.

- Vì 10k ⋮ 10 và 25 chia 10 dư 5 nên 10k + 25 chia 10 dư 5 => Tổng 5 số lẻ liên tiếp
chia 10 dư 5.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1. Ước và bội:

- Nếu a ⋮ b (a, b ∈ N; b ≠0) thì a là bội của b và b là ước của a.
Ví dụ: 30 ⋮5 nên 30 là bội của 5 và 5 là ước của 30.

- Số 1 là ước của mọi số tự nhiên và số 0 là bội của mọi số khác 0.
2. Số nguyên tố, hợp số:

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Ví dụ: Các số ngun tố: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59;
61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 91; 97;…

- Số 2 là số nguyên tố bé nhất và là số nguyên tố chẵn duy nhất
- Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số nguyên tố lẻ.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước số.
II. Bài tập:

Bài 1:

a. Viết tập hợp các ước của 8; 16; 24.
b. Viết tập hợp các bội của 3; 5; 7.
Hướng dẫn:

a. Tập hợp các ước cần tìm là: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}; Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}; Ư(24) =
{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

b. Tập hợp các bội cần tìm là: B(3) = {0; 3; 6;…}; B(5) = {0; 5; 10; …}; B(7) = {0;
7; 14;…}.

Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết:
a. 80⋮ x và x > 20.

b. x là ước của 100 và 5 < x < 20.
c. x là bội của 13 và x < 39.
d. x ∈ B(7) và 49≤ x < 70.
Hướng dẫn:

a. Vì 80⋮ x => x ∈ Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}. Mà x > 20, nên x ∈
{40; 80}.

b. Vì x là ước của 100 => x ∈ {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}. Mà 5 < x < 20, nên x
∈ {10}.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

d. Vì x ∈ B(7) => x ∈ {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77;…}. Mà 49≤ x <

70, nên x ∈ {49; 56; 63}.

Bài 3: Không tính kết quả, hãy xét xem tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số:

a. 2172 + 3009
b. 15 + 2175 – 5.199
c. 31.71.25 + 17.25.13
d. 17.19.37.97.107 + 1
Hướng dẫn:

a. Vì 2172 ⋮ 3 và 3009 ⋮ 3 => (2172 + 3009) ⋮ 3. Do 2172 + 3009 >1 => (2172 +
3009) là hợp số.

b. Vì 15 ⋮ 5; 2175 ⋮ 5 và 5.199 ⋮ 5 => (15 + 2175 – 5.199) ⋮ 5. Mà 15 + 2175 – 5.199
> 1 => 15 + 2175 – 5.199 là hợp số.

c. TT chỉ ra 2 tích cùng chia hết cho 25 => là hợp số.

d. Vì tích 17.19.37.97.107 là số lẻ và 1 là số lẻ => tổng 17.19.37.97.107 + 1 là số
chẵn. Mà (17.19.37.97.107 + 1) > 2 => 17.19.37.97.107 + 1 là hợp số.

Bài 4:

a. Tìm số tự nhiên x để 15⋮(n+3).

b. Tìm số tự nhiên k để 7k và 11k đều là các số nguyên tố.
Hướng dẫn:

a.Vì 15⋮(n+3) => n+3 ∈ Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.
+ n+3 = 1 Khơng tìm được n.

+ n+3 = 3 => n = 0
+ n+3 = 5 => n = 2
+ n+3 = 15 => n = 12
Vậy n ∈ {0; 2; 12}.

b.- Với k = 0 thì 7k = 0 và 11k = 0 không phải SNT.
- Với k = 1 thì 7k = 7 và 11k = 11 là SNT

- Với k > 1 thì 7k và 11k đều có ít nhất là 3 ước số là 1; 7 và k. Do đó 7k và 11k
khơng phải số nguyên tố.

Vậy k = 1.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a. Viết tập hợp các ước của 18; 24; 25; 50; 90.
b. Viết tập hợp các bội của 7; 8; 9; 13.

Bài 2: Tìm x, biết:
a. 125 ⋮ x và 5 ≤ x < 27
b. x là ước của 81 và x ≥ 9.
c. x là bội của 15 và ước của 60.
d. 200⋮x và 20<x<80

Bài 3: Tìm n biết:
a. 21⋮(n+7)

b. 25⋮(2n+3)
c. 70 ⋮ (2n+5)

Bài 4: Khơng tính, hãy cho biết các số sau là SNT hay hợp số?

a. 111111111
b. 101000 + 17
c. 2375 + 3885
d. 3.6885 – 222
Hướng dẫn:

Bài 1, 2, 3: Tự làm 
Bài 4:

a. Ta có, 111111111>1 và 111111111⋮9 => 111111111 là hợp số.
b. Ta có 101000 + 17 > 1 và 101000 + 17 = 1000….017 ⋮9 => là hợp số.

c. Vì 2375 ⋮ 5 và 3885 ⋮ 5 => 2375 + 3885 ⋮5 và 2375 + 3885 > 1 => là hợp số.
d. Vì 3.6885 ⋮ 3 và 222 ⋮ 3 => 3.6885 – 222⋮ 3 và 3.6885 – 222 > 1 => là hợp số.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1.Tia: Hình gồm điểm O và 1 phần đường thẳng bị chia ra bởi O, gọi là tia gốc O.
- Ta có tia Ox hoặc tia OA.

- Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và
tạo với nhau thành đường thẳng.

- Nếu A, B, C thẳng hàng thì BA và BC là 2 tia đối nhau.
2. Đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB là hình gồm 2 điểm

A, B và tất cả những điểm nằm giữa 2 điểm A và B.
3. Khi nào thì AM + MB = AB?

- Khi M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB.
- Ngược lại, khi AM + MB = AB thì M nằm giữa A và B.

II. Bài tập:

Bài 1: Cho 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
a. Viết tên các tia gốc M, gốc N, gốc P, gốc Q.
b. Viết tên các tia trùng nhau gốc N, gốc P.
c. Viết tên các tia đối của tia NM, tia PQ.
Hướng dẫn:

a. - Các tia gốc M là: MN, MP, MQ.
- Các tia gốc N là: NM, NP, NQ.
- Các tia gốc P là: PM, PN, PQ.
- Các tia gốc Q là: QM, QN, QP.

b.- Các tia trùng nhau gốc N là: NP, NQ.
- Các tia trùng nhau gốc P là: PN, PQ.
c.- Các tia đối của tia NM là: NP, NQ.
- Các tia đối của tia PQ là: PN, PM.

Bài 2: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn
thẳng, viết tên các đoạn thẳng đó.

Hướng dẫn:

Từ mỗi điểm, ta vẽ được 5 đoạn thẳng đến 5 điểm cịn lại. Do đó với 6 điểm, ta vẽ
được số đoạn thẳng là 5.6=30 đoạn thẳng. Nhưng vì mỗi đoạn thẳng đã được tính 2
lần, nên số đoạn thẳng là 30:2 = 15 đoạn thẳng.

x
A

.

.

y
O

.

.

M Q

.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vậy có thể vẽ được 15 đoạn thẳng là: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD,
CE,…

Bài 3: Cho 3 điểm H, I, K thẳng hàng. Trong 3 điểm đó, điểm nào nằm giữa hai
điểm còn lại nếu:

a. HK = 3,5cm; MI = 8cm; IK = 4,5cm.
b. IH + KI = HK.

Hướng dẫn:

a. Ta có: HK + IK = 3,5 + 4,5 = 8(cm) = MI => K nằm giữa H và I.
b. Vì 3 điểm H, I, K thẳng hàng và IH + KI = HK => I nằm giữa H và K.

Bài 4: Cho AB = 10cm. Gọi E là điểm nằm giữa 2 điểm A và B, biết BE = 4cm.
a. Tính độ dài AE.

b. Gọi F là điểm nằm giữa 2 điểm B và E sao cho EF = 2cm. Tính AF và BF.
Hướng dẫn:

a.Vì điểm E nằm giữa 2 điểm A và B nên:
AE + EB = AB
 AE + 4 = 10
 AE = 10 – 4
 AE = 6(cm)
b.Vì F nằm giữa 2 điểm E và B nên:

EF + FB = EB
2 + FB = 4
 FB = 4 – 2
 FB = 2(cm)

Vì F nằm giữa 2 điểm E và B => F nằm giữa 2 điểm A và B, nên:
AF + FB = AB

AF + 2 = 10
 AF = 8(cm)

Bài 5: Cho 2 điểm A và B nằm trên đường thẳng a sao cho AB = 6cm. Gọi M là
điểm nằm trên đường thẳng a sao cho BM = 3cm. Tính AM.

Hướng dẫn:

Ta xét hai trường hợp sau:

-Trường hợp 1: Điểm M nằm giữa 2 điểm
A và B.

A E F B

.

a A

.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Vì M nằm giữa 2 điểm A và B nên: AM + MB = AB
AM + 3 = 6

AM = 3(cm)

-Trường hợp 2: Điểm B nằm giữa 2 điểm
A và M.

Vì B nằm giữa 2 điểm A và M nên: AB + BM = AM
6 + 3 = AM

AM = 9(cm)

Bài tập về nhà: 
Bài 1: Cho hình vẽ.

a.Vẽ tất cả các tia gốc: A, M, N, P, F.
b.Viết các tia trùng với tia AM, tia NP.
c.Viết các tia đối của tia NP, MN, PN.
Bài 2: Cho hình vẽ.

a.Viết tất cả các tia trong hình.
b.Viết các tia đối của tia BO, OB.

Bài 3: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, biết AC = 3cm; BC = 5cm và AB = 8cm. Hỏi
trong 3 điểm A, B, C điểm nào nằm giữa 2 điểm còn lại?

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 9cm, M là điểm nằm giữa A và B sao cho

BM = 4cm.
a.Tính AM.

b. Gọi N nằm giữa 2 điểm A và M sao cho MN = 3cm. Tính AN, BN.

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB = 10cm và M nằm giữa A và B sao cho AM = 6cm. Gọi
N là điểm thuộc AB sao cho MN = 2cm. Tính AN, BN.

Hướng dẫn: 
Bài 1:

a. Hình vẽ.

b. Các tia trùng với tia AM AM là AN, AP,AF.
- Các tia trùng với tia NP là NF.

A B

.

6cm

.

3cm

A N P F

.

O
A

B
y’

A N P F

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

c. - Các tia đối của tia NP là: NM và NA.
- Các tia đối của tia MN là là MA.

- Tia đối của tia PN là PF.
Bài 2:

a.Các tia trong hình là: OA, Ox, OB, Ox’, Oy, Oy’.

b. Các tia đối của tia BO là Bx’, của tia OB là OA và Ox.
Bài 3:

Vì 3 điểm A, B, C thẳng hàng và AC + BC = 3 + 5 = 8(cm) = AB. Do đó điểm C nằm

giữa 2 điểm A và B.

Bài 4:

a.Vì điểm M nằm giữa 2 điểm A và B nên:
AM + MB = AB
 AM + 4 = 9
 AM = 9 – 4
 AM = 5(cm)
b.Vì N nằm giữa 2 điểm A và M nên:

AN + NM = AM
AN + 3 = 5
 AN = 5 – 3
 AN = 2(cm)

Vì N nằm giữa 2 điểm A và M => N nằm giữa 2 điểm A và B, nên:
AN + NB = AB

2 + NB = 9
 NB = 7(cm)
Bài 5: Ta xét 2 trường hợp.

-Trường hợp 1: Điểm N nằm giữa 2 điểm A và M.
AN = 4cm; BN = 6cm.

-Trường hợp 2: Điểm N nằm giữa 2 điểm M và B.
AN = 8cm; BN = 2cm.

Buổi 5 :

LŨY THỪA – SO SÁNH HAI LŨY THỪA

A N M B

.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

I. Lý thuyết:

- Công thức cơ bản: am.an = am + n; am:an = am – n; (am)n = a
m.n

; (

b
a

)m = m

m

b
a

- So sánh:
+ Nếu am

> bm => a > b (a, b ∈N)
+ Nếu am

> am => m > n

- Chú ý: Nếu A > B, mà B > C thì A > C.
II. Bài tập:

Bài 1: So sánh 3111 và 1714.
Hướng dẫn:

Ta có: 31 < 32 => 3111 < 3211 =>3111 < (25)11 => 3111 < 255
17 > 16 => 1714 > 1614 => 1714 > (24)14 => 1714 > 256
Vì 1714 > 256 > 255 > 3111. Vậy 1714 > 3111

Bài 2: Xét xem các đẳng thức sau có đúng khơng?
a. 1218 = 276.169

b. 2528.0,00819 = 0,25
Hướng dẫn:

a. Ta có: 1218 = (3.4)18 = 318.418 = 318 .(22)18 = 318.236
276.169 = (33)6.(24)9 = 318.236

Vậy 1218

= 276.169

b. Ta có: 2528.0,00819 = (52)28.

19
1000
8







 = 556

.
19
125
1






 = 556

( )

3 19
19

5
1

= 556. 57

5
1

= 57

56
5
5
=
5
.
5
5
56
56
=
5
1

= 0,2 < 0,25
Vậy 2528

.0,00819 < 0,25
Bài 3: So sánh 291 và 535
Hướng dẫn:

Cách 1: Ta có 291 = (213)7 = 81927; 535 = (55)7 = 31257
Vì 81927 > 31257 nên 291 > 535

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Vì 291 > 3218 > 2518 > 535 nên 291 > 535

Bài 4: Cho A = 5.415.99 – 4.320.89 và B = 5.29.619 – 7.229.276.
Tính A:B.

Hướng dẫn:

Ta có: A = 5.415.99 – 4.320.89

= 5.(22)15.(32)9 - 22.320.(23)9
= 5.230.318 - 22.320.227

= 5.230.318 - 229.320
= 5.229.2.318 - 229.318.32
= 229.318 (5.2 – 32)
= 229.318 (10 – 9)
= 229.318.1

= 229.318

B = 5.29.619 – 7.229.276
= 5.29.(2.3)19 – 7.229.(33)6
= 5.29.219.319 – 7.229.318
= 5.228.319 – 7.229.318
= 5.228.318.3 – 7.228.2.318
= 228.318(5.3 – 7.2)
= 228.318(15 – 14)
= 228.318.1

= 228.318
Vậy A:B = (229

.318) : (228.318) = 2
Bài tập về nhà:

Bài 1: Cho A = 2181.729 + 243.81.27 và B = 32.92.243 + 18.243.324 + 723.729
Tính A:B.

Bài 2: So sánh
a. 544 và 2112
b. 10750 và 7375

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22018 + 22019

Bài 4: Trong số 75 chiếc nhẫn hình dáng như nhau, có 1 chiếc trọng lượng khác
những chiếc kia. Dùng cân đĩa và chỉ cân 2 lần, hãy xác định xem chiếc nhẫn này
nặng hơn hay nhẹ hơn những chiếc nhẫn kia.

Hướng dẫn:

Bài 1: Ta có: A = 2181.729 + 243.81.27
= 3. 727.3.243 + 243.81.3.32
= 32.727.243 + 243.243.32
= 32.243(727 + 243)
= 32.243.970

B = 32.92.243 + 18.243.324 + 723.729
= 32.92.243 + 2.32.243.324 + 3.241.3.243
= 32.92.243 + 2.32.243.324 + 32.241.243

= 32. 243(92 + 2.324 + 241)

= 32. 243.970
Vậy A:B = (32

. 243.970): (32. 243.970) = 1
Bài 2: So sánh.

a. 544 và 2112

Cách 1: Ta có: 544 < 644 <=> 544 < (43)4 <=> 544 < 412

Mà 412 < 2112 nên 544 < 2112
Cách 2: Ta có: 2112 = (213)4 = 92614

Mà 92614 > 544 nên 544 < 2112
b. 10750 và 7375

Ta có: 10750 = 1072.25 = (1072)25 = 1144925
7375 = 733.25 = (733)25 = 38901725
Vì 1144925 < 38901725 nên 10750 < 7375.
Bài 3: Tính nhanh tổng sau:

S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22018 + 22019

=> 2S = 2 + 22 + 23 + … + 22018 + 22019 + 22020

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Vậy S = 22020

– 1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

I. Lý thuyết:

1. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo pp cột dọc: 
VD:Phân tích số 180 ra thừa số nguyên tố.

180 2
90 2

45 3

15 3
5 5
1
Vậy 180 = 22.32.5
2. Tính số các ước của một số:

Để tính số các ước của một số a, ta viết a dưới dạng a = bx

.cy.dz… với b, c, d,…là các
số nguyên tố.

Khi đó số ước của a là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)…

VD:Số ước của 180 là: (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3.3.2 = 18
II. Bài tập:

Bài 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 8000; 9600; 12000.
Hướng dẫn:

8000 = 26.53; 9600 = 27.3.52; 12000 = 25.3.53
Bài 2: Tính số lượng các ước của các số sau:
a. 96.

b. 2500.
c. 4800

Hướng dẫn:

a. Ta có: 96 = 25.3 => Số các ước của 96 là: (5 + 1)(1 + 1) = 12 ước.
b. Ta có: 2500 = 22.54=> Số các ước của 2500 là: (2+ 1)(4 + 1) = 15 ước.

c. Ta có: 4800 = 26.3.52 => Số các ước của 4800 là: (6 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 42 ước.
Bài 3: Viết tập hợp các ước của:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

c. 23.32

Hướng dẫn: 
a. Ư(25

.3) = {1;21;22;23; 24; 25;3; 3.21;3.22;3.23; 3.24; 3.25}
b. Ư(26

.5) = {1;21;22;23; 24; 25;26; 5; 5.21;5.22;5.23; 5.24; 5.25; 5.26}
c. Ư(23

.32) = {1;21;22;23;3; 32; 2.3;2.32;22.3; 22.32; 23.3;23.32}
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 9 ước.

Hướng dẫn:

Gọi số cần tìm là A, ta có: A = ax

.byvới a, b là các số nguyên tố. Khi đó số ước của A
là:

(x+1)(y+1) = 9

Vì A là số nhỏ nhất, nên x≥y => x = 2; y = 2.
=>A = a2.b2

Vì A là số nhỏ nhất, nên a và b là các số nguyên tố nhỏ nhất khác nhau => a=2; b=3.
Vậy số cần tìm là 22

.32 = 36

Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có số ước là 10.
Hướng dẫn: Lập luận tương tự bài 4 ta có A = 24

.3 = 48.
Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết:

a. (5n + 13)⋮4

b. (3n + 15)⋮ (n + 2)
c. (4n + 10) ⋮ (n + 3)

Hướng dẫn:

a.Ta có:

5n + 13 = 5n + 5 + 8 = 5(n + 1) + 8. Vì .(5n + 13)⋮4 và 8⋮4 => 5(n+1) ⋮4 (n∈N).
Vì 5/�4 nên n + 1 ⋮ 4 => n + 1 = 4k (k∈N*) => n = 4k – 1.

Vậy n = 4k - 1(k∈N*).
b.Cách 1:

Ta có:

3n + 15 = 3n + 6 + 9 = 3(n + 2) + 9. Vì (3n + 15)⋮ (n + 2) và 3(n + 2)⋮ (n + 2) =>9 ⋮
(n + 2) => n + 2 ∈Ư(9) => n + 2 ∈ {1; 3; 9} => n ∈ {1; 7}.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

=> n + 2 ∈Ư(9)…..
c.Ta có:

Ta có (n + 3) ⋮ (n + 3) => 4(n + 3) ⋮ (n + 3) hay (4n + 12) ⋮ (n + 3). Mà (4n + 10)⋮ (n
+ 3) => [(4n + 12) - (4n + 10)] ⋮ (n + 3) hay 2 ⋮ (n + 3)

=> n + 3 ∈Ư(2).

Vì n là số tự nhiên, nên khơng tìm được n thỏa mãn.
Bài tập về nhà:

Bài 1: Phân tích các số sau ra TSNT.
2400; 18900; 8400; 5640

Bài 2: Tìm số các ước của:

a. 4090 d. 2480 e. 108900
b. 700

c. 3400

Bài 3: Viết tập hợp các ước của:
a. 32.2

b. 23.32
c. 52.32
d. 23.3.52

Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất:
a. Có 8 ước.

b. Có 14 ước.

Bài 5: Tìm số tự nhiên n, biết:
a. 21⋮(n + 1)

b. 30 là bội của 3n + 2.
c. (5n + 13) ⋮ 3

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 1, 2, 3 tự làm.

Bài 4: a. A = 24 b. A = 192
Bài 5:

a. (n + 1) ∈ Ư(21) => Xét từng trường hợp.

b. (3n + 2)∈Ư(30) => Xét từng trường hợp.

c. Ta có: 5n + 13 = 5n + 10 + 3 = 5(n + 2) + 3. Vì (5n + 13) ⋮ 3 va 3⋮ 3, nên 5(n + 2) ⋮
3. Mà 5/� 3 => n+2 ⋮ 3 hay n + 2 = 3k (k ∈ N*) => n = 3k – 2 (k ∈ N*).

d. Tương tự câu c, 7n + 12 = 7n + 7 + 5 => n = 5k – 1 (k ∈ N*).

e. Ta có (n + 3) ⋮ (n + 3) => 4(n + 3) ⋮ (n + 3) hay (4n + 12) ⋮ (n + 3). Mà (4n + 19)⋮
(n + 3) => [(4n + 19) - (4n + 12)] ⋮ (n + 3) hay 7 ⋮ (n + 3) => n + 3 ∈ Ư(7)...

f. Vì (2n + 7) ⋮ (3n + 5) => 3(2n + 7) ⋮ (3n + 5) hay (6n + 21) ⋮ (3n + 5)

=>[2(3n + 5) + 11] ⋮ (3n + 5) => 11 ⋮ (3n + 5) => (3n + 5) ∈ Ư(11)……(Xét từng
trường hợp).

g. Tương tự câu f, ta có: 2(3n + 7) ⋮ (2n + 3) hay (6n + 14) ⋮ (2n + 3)

=>[3(2n + 3) + 5] ⋮ (2n + 3) => (2n + 3) ∈ Ư(5)……(Xét từng trường hợp).

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

I. Lý thuyết: 
1. Ước chung:

- Nếu x ∈ ƯC(a,b) thì a ⋮ x và b ⋮x.
- Nếu a ⋮ x và b ⋮x thì x ∈ƯC(a,b).
VD:Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.
Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
=>ƯC(18; 24) = {1; 2; 3; 6}

2.Ước chung lớn nhất:

2.1.ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung.
2.2.Cách tìm ƯCLN:

Để tìm ƯCLN của 2 hay nhiều số ta làm như sau:
B1:Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

B2:Lấy tích các thừa số nguyên tố chung, với số mũ nhỏ nhất.
VD: Tìm ƯCLN(900; 4800)

B1: Ta có 900 = 22. 32. 52 và 4800 = 26. 3.52
B2:Vậy ƯCLN(900; 4800) = 22.3. 52 = 300
3.Tìm ƯC thơng qua ƯCLN:

VD:Tìm ƯC(640; 800)

Ta có: 640 = 27.5; 800 = 25.52=> ƯCLN(640; 800) = 25.5 = 160

=>ƯC(640; 800) = Ư(160) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 80; 160}
II.Bài tập:

Bài 1: a. Tìm ƯC(240; 320)

b.Tìm ƯCLN(448; 344); ƯC(448; 344)
Hướng dẫn:

a. Ta có: 240 = 24.3.5
320 = 26.5

=> ƯCLN(240; 320) = 24. 5 = 80 => ƯC(240; 320) = Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16;

20; 40; 80}

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

=> ƯCLN(448; 344) = 23= 8 => ƯC(448; 344) = Ư(8) = {1; 2; 4; 8 }

Bài 2:

a.Tìm x∈N biết 84 ⋮ x và 72 ⋮ x.

b. Tìm x∈N biết 92 chia cho x dư 2 và 78 chia cho x dư 6.
Hướng dẫn:

a.Vì 84 ⋮ x và 72 ⋮ x => x ∈ƯC(84; 72).
Ta có: 84 = 22.3.7

72 = 32.23

=>ƯCLN(84; 72) = 3.22

= 12

=>ƯC(84; 72) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Vậy x ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

b.Vì 92 chia cho x dư 2 => (92 – 2)⋮ x => 90 ⋮ x
Vì 78 chia cho x dư 6 => (78 – 6)⋮ x => 72 ⋮ x
=>x ∈ ƯC(90; 72)

Ta có: 90 = 2.32.5
72 = 32.23

=>ƯCLN(90; 72) = 2.32

= 18

=>ƯC(90; 72) = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Vậy x ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Bài 3:

a.Tìm ƯC(120; 86; 78)

b.Tìm x ∈N biết 63 chia cho x dư 3; 85 chia cho x dư 1 và 49 chia cho x dư 1.
Hướng dẫn:

a.Ta có: 120 = 23.3.5
86 = 2.43
78 = 2.3.13

=>ƯCLN(120; 86; 78) = 2 => ƯC(120; 86; 78) = Ư(2) = {1; 2}
b. Vì 63 chia cho x dư 3 => (63 – 3)⋮ x => 60 ⋮ x

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

=> x ∈ƯC(60; 84; 48)
………

Bài tập về nhà:

Bài 1:a. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 44660; 99330.
b. Tìm số các ước của số 46860.

Bài 2:a. Tìm ƯC(164; 348); ƯC(940; 360).

b. Tìm ƯCLN(180; 72; 344); ƯCLN(490; 348).
Bài 3: Tìm x∈N, biết:

a. 84 ⋮ x và 90 ⋮ x.

b. 73 chia x dư 1 và 88 chia x dư 2.
c. 67 chia x dư 3 và 129 chia x dư 1.

d. 39 chia x dư 3; 45 chia x dư 3 và 67 chia x dư 4.
Hướng dẫn:

Bài 1: a. 44660 = 22.5.7.11.29; 99330 = 2.3.5.7.11.43.
b.Ta có: 46860 = 22. 3.5.11.71

Số ước của 46860 là: (2+1)(1+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 48.
Bài 2:

a.*Ta có: 164 = 22.41
348 = 22. 3.29
=>ƯCLN(164; 348) = 22

= 4

=>ƯC(164; 348) =

Ư(4) = {1; 2; 4}

* Ta có: 940 = 2

.5.47

360 = 2

.3

.5

=>ƯCLN(940; 360) = 22

.5= 20

=>ƯC(940; 360) =

Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

b.* Ta có: 180 = 2

.3

.5

72 = 2

.3

344 = 2

.43

=>ƯCLN(180; 72;

344

) = 22.5= 20

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

348= 2

.3.29

=>ƯCLN(490; 348 ) = 2

Bài 3:

a. Vì 84 ⋮ x và 90 ⋮ x => x∈ƯC(84; 90).

Ta có: 84 = 22.3.7 và 90 = 2.32.5 => ƯCLN(84; 90 ) = 2.3 = 6

=> ƯC(84; 90) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}

Vậy x∈ {1; 2; 3; 6}.

b. *Vì 73 chia x dư 1 => 73 – 1 ⋮ x hay 72⋮ x
Vì 88 chia x dư 2 => 88 – 2 ⋮ x hay 86⋮ x
=> x∈ƯC(72; 86)

Ta có: 72 = 23.32 và 86 = 2.43 => ƯCLN(72; 86 ) = 2

=> ƯC(72; 86) = Ư(2) = {1; 2}

Vậy x∈{1; 2}

c.Vì 67 chia cho x dư 3 => (67 – 3)⋮ x => 64 ⋮ x
Vì 129 chia cho x dư 1 => (129 – 1)⋮ x => 128 ⋮ x
=>x ∈ ƯC(64; 128)

Ta có: 64 = 26
128 = 27

=>ƯCLN(64; 128) = 26

= 64

=>ƯC(64; 128) = Ư(64) = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}
Vậy x ∈ {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}

d. Vì 39 chia cho x dư 3 => (39 - 3)⋮ x => 36 ⋮ x
Vì 45 chia cho x dư 3 => (45 - 3)⋮ x => 42 ⋮ x
Vì 67 chia cho x dư 4 => (67 - 4)⋮ x => 63 ⋮ x
=>x ∈ ƯC(36; 42; 63)

Ta có: 36 = 22.32
42 = 2.3.7
63 = 32.7

=>ƯCLN(36; 42; 63) = 3

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31></div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Buổi 8:

BỘI CHUNG – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I.Lý thuyết:

1.Bội chung:

Ví dụ: a. Tìm bội của 3; 5.
b.Tìm bội chung của 3 và 5.
Hướng dẫn:

a.Ta có: B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; …}

B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; …}

b.Bội chung của 3 và 5 là: BC(3; 5) = {0; 15; 30; 45; …}
Chú ý: x ∈ BC(a, b)  x ⋮ 𝑎 và x ⋮ b

2.Bội chung nhỏ nhất: BCNN của 2 hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập
hợp bội chung.

*Cách tìm BCNN.

+ Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

+Lấy tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ cao nhất.
Ví dụ: Tìm BCNN(42;36)

Giải:

Ta có: 42 = 2.3.7
36 = 22.32

Vậy BCNN(42;36) = 22.32.7 = 252
3. Hai số nguyên tố cùng nhau.

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số nguyên tố khác 0 và có ước chung lớn nhất
là 1.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(8;15).
Giải:

Ta có: 8 = 23
15 = 3.5

Vậy ƯCLN(8;15) = 1 Do đó 8 và 15 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.
4. Cách tìm bội chung thơng qua bội chung nhỏ nhất.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ví dụ: Tìm BC(24;42).
Giải:

Ta có: 24 = 23.3
42 = 2.3.7

BCNN(24;42) = 23.3.7 = 168.

BC(24;42) = B(168) = {0; 168; 336; … … }.
Bài tập.

Bài 1. Tìm BC của các số sau.
a. 18 và 27

b. 36 và 48

Giải.

a. Ta có: 18 = 2.32
27 = 33

BCNN(18;27) = 2.33 = 54

Vậy BC(18;27) = {0; 54; 108; 168; … . . }.
b.Ta có: 36 = 22.32

48 = 24.3

BCNN(36;48) = 24.32 = 144

Vậy BC(36;48) = {0; 144; 288; 432; … . }.
Bài 2. Tìm BC của các số sau.

a. 18 ; 12; 20
b. 24 ; 36 ; 54
Giải.

a. Ta có: 18 = 2.32
12 = 22.3
20 = 22.5

BCNN(18;12;20) = 22.32.5 = 180
Vậy BC (18;12;20) = {0; 180; 360; … . }

b.Ta có: 24 = 23.3
36 = 22.32

54 = 2.33

BCNN(24;36;54) = 23.33 = 216

Vậy BC(24;36;54) = {0; 216; 432; … . }

Bài 3. a,Tìm số tự nhiên a (với a ≠0) sao cho khi chia a cho 16; 24 đều dư 9.
b.Tìm a∈ 𝑁*, biết a⋮ 40 và a⋮50và a không vượt quá 500.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

a. Vì a : 16 dư 9 => (a – 9) ⋮16
a : 24 dư 9 => (a – 9) ⋮24

=>(a – 9)∈ 𝐵𝐶(16; 24)
Ta có: 16 = 24

24 = 23.3

=>BCNN(16; 24)= 24.3 = 48
=>BC(16; 24) = {0; 48; 96; … . }
=>𝑎 ∈ {9; 57; 105; … . }

b. Vì a⋮ 40 𝑣à a⋮50 𝑛ê𝑛𝑎 ∈BC(40;50)
Ta có : 40 = 23.5

50 = 2.52

=>BCNN(40;50) = 23.52 = 200

=>BC(40;50) = B(200) = {0; 200; 400; 600; … . }

Vì a∈ 𝑁* và không vượt quá 500 nên a∈ {200; 400}.

Bài 4. Một trường học có số học sinh trong khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Biết số
học sinh khi xếp18, 12, 20 hàng thì đều dư 9 học sinh. Tìm số học sinh của trường đó.
Giải.

Gọi a là số học sinh của trường.
Đk : a∈ 𝑁 , 300 ≤ 𝑎 ≤ 400.

Vì khi xếp thành 18, 12, 20 hàng đều dư 9 em nên
(a-9)⋮18, (a-9)⋮12, (a-9)⋮20

=> (a-9)∈ BC(18,12,20)
Ta có: 18 = 2.32

12 = 22.3
20 = 22.5

=>BCNN(18,12,20) = 22.32.5 = 180

=>BC(18,12,20) = B(180) = {0; 180; 360; 720; … . }
=>(a-9)∈ {0; 180; 360; 720; … . }

=>a∈ {9; 189; 369; 729; … . }

Vì số học sinh của trường đó trong khoảng 300 đến 400 học sinh nên a = 369.
Vậy trường đó có 369 học sinh.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Giải.

Vì a : 3 dư 2, a : 4 dư 3, a : 5 dư 4. Ta có

(a-2)⋮ 3, (a-3)⋮4 , (a-4)⋮ 5
=> (a+1) ⋮3 (a+1) ⋮4 (a+1) ⋮ 5
=> (a+1)∈ BC(3, 4, 5)

Ta có: 3 = 3
4 = 22
5 = 5

=> BCNN(3, 4, 5) = 22.3.5 = 60

=> BC(3, 4, 5) = B(60) = {0; 60; 120; 180; … . }
=> a∈ {−1; 59; 119; 179; … . }

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất, khác 0 nên a = 59.
Vậy a = 59.

Bài tập về nhà.

Bài 1. Tìm BC của các số sau.
a. 14 và 21

b. 8, 12, 30
c. 20, 30, 50
Bài 2. Tìm a ∈N, biết a.
a, a⋮12, a⋮ 8 và a < 200

b, a : 8 dư 6, a : 10 dư 6 và a < 500

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Buổi 9: LUYỆN TẬP

Bài 1.a, Cho n∈N . Tìm ƯC của n + 2 và n + 7

b, Cho n∈N . Tìm ƯC của 2n + 7 và n + 4
Giải.

a. Gọi d ∈ƯC(n + 2 , n + 7)
=> n + 2 ⋮ 𝑑 và n + 7 ⋮ 𝑑

=> ( n + 7 )- ( n + 2)⋮ 𝑑  5⋮ 𝑑

=> d ∈ Ư(5) mà Ư (5) = {1; 5}. Vậy d∈ {1; 5}.
b. Gọi d ∈ƯC(2n + 7 , n + 4)

=> 2n + 7 ⋮ 𝑑 và n + 4⋮ 𝑑

n + 4⋮ 𝑑 => 2( n + 4) ⋮ 𝑑  2n + 8⋮ 𝑑

=> (2n + 8) – (2n + 7) ⋮ 𝑑 2n + 8 – 2n – 7 ⋮ 𝑑1⋮ 𝑑 => d = 1
Vậy d = 1.

Bài 2. Cho n∈ N. Tìm
a. ƯCLN(n + 3, n + 9)
b. ƯCLN(2n + 5, n + 4)
c. ƯCLN(2n + 2, n + 3)
Giải.

a. Gọi d là ƯCLN(n + 3 , n + 9)
=> n + 3⋮ 𝑑 và n + 9⋮ 𝑑

=> ( n + 9 )- ( n + 3)⋮ 𝑑 6⋮ 𝑑

=> d∈Ư(6) = {1; 2; 3; 6}. Vì d là ƯCLN(n + 3, n + 9) => d = 6.
Vậy ƯCLN(n + 3, n + 9) = 6.

b. Gọi d là ƯCLN(2n + 5, n + 4)

=> 2n + 5⋮ 𝑑 và n + 4⋮ 𝑑 => 2n + 5⋮ 𝑑 và 2(n + 4) ⋮ 𝑑 =>2n + 5⋮ 𝑑 và 2n+8⋮ 𝑑
=> (2n + 8)-(2n+5)⋮ 𝑑 3⋮ 𝑑

=> d∈Ư(3) = {1; 3}. Vì d là ƯCLN(2n + 5, n + 4) => d = 3.
Vậy ƯCLN(2n + 5, n + 4) = 3.

c. Gọi d là ƯCLN(2n + 2, n + 3)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

=> (2n + 6)-(2n+2)⋮ 𝑑 4⋮ 𝑑

=> d∈Ư(4) = {1; 2; 4}. Vì d là ƯCLN(2n + 2, n + 3) => d = 4.
Vậy ƯCLN(2n + 2, n + 3) = 4.

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N thì:

a. 2n + 15 và n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
b. 3n + 5 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Hướng dẫn:

a. Gọi d là ƯCLN(2n + 15, n + 8)

=> 2n + 15⋮ 𝑑 và n + 8⋮ 𝑑 => 2n + 15⋮ 𝑑 và 2(n + 8) ⋮ 𝑑 =>2n + 15⋮ 𝑑 và 2n+16⋮
𝑑

=> (2n + 16)-(2n+15)⋮ 𝑑  1⋮ 𝑑 => d = 1.

Vậy 2n + 15 và n + 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
b. Gọi d là ƯCLN(3n + 5, 2n + 3)

=> 3n + 5⋮ 𝑑 và 2n + 3⋮ 𝑑 => 2(3n + 5)⋮ 𝑑 và 3(2n + 3) ⋮ 𝑑 =>6n + 10⋮ 𝑑 và
6n+9⋮ 𝑑

=> (6n + 10)-(6n+9)⋮ 𝑑 1⋮ 𝑑 => d = 1.

Vậy 3n + 5 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4: a. Tìm a, b ∈N biết a + b = 63 và ƯCLN(a,b) = 7.

b. Tìm 2 số biết tích của chúng bằng 1050 và ƯCLN của chúng bằng 5.
Chú ý: Với a, b ∈ N* ta có:

a.b = BCNN(a,b) . ƯCLN(a,b)
Hướng dẫn:

a. Vì ƯCLN(a,b) = 7 => a ⋮ 7 và b ⋮ 7 => a = 7k và b = 7q (Với k, q ∈ N* và
k, q là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a + b = 7k + 7q = 63 7(k + q) = 63  k + q = 9.

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 2 4 5 7 8

q 8 7 5 4 2 1

a 7 14 28 35 49 56

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

b. Gọi 2 số cần tìm là a và b (a, b ∈ N).

Vì ƯCLN(a,b) = 5 => a ⋮ 5 và b ⋮ 5 => a = 5k và b = 5q (Với k, q ∈ N* và k,
q là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a.b = 5k . 5q = 1050  25kq = 1050  k.q = 42

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 2 3 6

q 42 21 14 7

a 5 10 15 30

b 210 105 70 35

Bài 5: a. Tìm a, b ∈N biết a + b = 33 và ƯCLN(a,b) = 3.

b.Tìm 2 số biết tích của chúng bằng 1029 và ƯCLN của chúng bằng 7.
Hướng dẫn:Tương tự Bài 4.

Bài tập về nhà: 
Bài 1: Tìm:

a. ƯCLN(940; 560)
b. BCNN(18; 24; 36)

c. ƯCLN(n + 3; n + 12)
d. ƯC(2n + 4; n + 10)
e. ƯCLN(2n + 3; 3n + 1)

Bài 2: Cho n ∈ N. Chứng minh rằng:

a. Hai số 2n + 11 và n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b. Hai số 4n + 7 và 5n + 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 3: Tìm a, b ∈ N biết:

a. a + b = 32 và ƯCLN(a,b) = 4.
b. a + b = 105 và ƯCLN(a,b) = 7.
c. a.b = 96 và ƯCLN(a,b) = 4.

Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 55 và ƯCLN của chúng là 5.
Hướng dẫn:

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

b.Ta có:18 = 2.32; 24 = 23.3 và 36 = 22.32 => BCNN(18; 24; 36) = 23.32 = 72
c. Gọi d là ƯCLN(n + 3, n + 12)

=> n + 3⋮ 𝑑 và n + 12⋮ 𝑑 => (n + 12)-( n+3)⋮ 𝑑 9⋮ 𝑑

=> d∈Ư(9) = {1; 3; 9}. Vì d là ƯCLN(n + 3, n + 12) => d = 9.
Vậy ƯCLN(n + 3, n + 12) = 9.

d. Gọi d∈ ƯC(2n + 4, n + 10)

=> 2n + 4⋮ 𝑑 và n + 10⋮ 𝑑 => 2n + 4⋮ 𝑑 và 2(n + 10) ⋮ 𝑑 =>2n + 4⋮ 𝑑 và 2n+20⋮ 𝑑
=> (2n + 20)-(2n+4)⋮ 𝑑 16⋮ 𝑑

=> d∈Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}.

Vậy ƯC(2n + 4, n + 10) = {1; 2; 4; 8; 16}

e. Gọi d là ƯCLN(2n + 3, 3n + 1)

=> 2n + 3⋮ 𝑑 và 3n + 1⋮ 𝑑 => 3(2n + 3)⋮ 𝑑 và 2(3n + 1) ⋮ 𝑑 =>6n + 9⋮ 𝑑 và
6n+2⋮ 𝑑

=> (6n + 9)-(6n+2)⋮ 𝑑 7⋮ 𝑑

=> d∈Ư(7) = {1; 7}. Vì d là ƯCLN(2n + 3, 3n + 1) => d = 7.
Vậy ƯCLN(2n + 3, 3n + 1) = 7.

Bài 2: a. Gọi d là ƯCLN(2n + 11, n + 5)

=> 2n + 11⋮ 𝑑 và n + 5⋮ 𝑑 => (2n + 11)-(2n+10)⋮ 𝑑  1⋮ 𝑑=> d= 1
Vậy hai số 2n + 11 và n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b. Gọi d là ƯCLN(4n + 7, 5n + 9)

=> 4n + 7⋮ 𝑑 và 5n + 9⋮ 𝑑 => 4(5n + 9)-5(4n+7)⋮ 𝑑  1⋮ 𝑑=> d= 1
Vậy hai số 4n + 7 và 5n + 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3: a. Vì ƯCLN(a,b) = 4 => a ⋮ 4 và b ⋮ 4 => a = 4k và b = 4q (Với k, q ∈ N* và
k, q là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a + b = 4k + 4q = 32 4(k + q) = 32  k + q = 8.

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 3 5 7

q 7 5 3 1

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

b 28 20 12 4

b. Vì ƯCLN(a,b) = 7 => a ⋮ 7 và b ⋮7 => a = 7k và b = 7q (Với k, q ∈ N* và k, q
là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a + b = 7k + 7q = 105 7(k + q) = 105  k + q = 15.

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 2 4 7 8 11 13 14

q 14 13 11 8 7 4 2 1

a 7 14 28 49 56 77 91 98

b 98 91 77 56 49 28 14 7

c. Vì ƯCLN(a,b) = 4 => a ⋮ 4 và b ⋮4 => a = 4k và b = 4q (Với k, q ∈ N* và k, q
là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a.b = 4k.4q = 96 16k.q = 96  k.q = 6.

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 2 3 6

q 6 3 2 1

a 4 8 12 24

b 24 12 8 4

Bài 4: Vì ƯCLN(a,b) = 5 => a ⋮ 5 và b ⋮5 => a = 5k và b = 5q (Với k, q ∈ N* và k, q
là hai số nguyên tố cùng nhau)

Ta có: a + b = 5k + 5q = 55 5(k + q) = 55  k + q = 11.

Vì k, q ∈ N* và k, q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên ta có bảng sau:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

q 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

a 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

</div>

Giáo án dạy thêm lớp 6

<b>GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG </b>

<b>HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6 </b>

<b>Bu</b>

<b>ổi 1: CHỮ SỐ - QUY LUẬT DÃY SỐ </b>

<b> TH</b>

<b>Ứ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH </b>

<b> D</b>

<b>ẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2; 3; 5; 9. </b>

.

<b>. </b>

<b><sub>. </sub></b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b> . </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>Buổi 5 :</b>

<b>LŨY THỪA – SO SÁNH HAI LŨY THỪA</b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

<b>. </b>

( )

Ư(4) = {1; 2; 4}

* Ta có: 940 = 2

.5.47

360 = 2

.3

.5

Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

b.* Ta có: 180 = 2

.3

.5

72 = 2

.3

344 = 2

.43

344

348= 2

.3.29

<b>Bài 3: </b>

<b>BỘI CHUNG – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT</b>

<b>Buổi 9: LUYỆN TẬP </b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về