Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Thanh Hóa năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.54 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HĨA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019

MƠN : TỐN 
Câu 1.

a) Rút gọn 1 : 2 5 4

2 2 1 2

x

x x x x x

P

x

x x x x x x

          

       



      

   

b) Cho a 3 7 50 ,b 3 7 50 .Chứng minh rằng các biểu thức

7 7

;

M  a b N a b có giá trị đều là số chẵn
Câu 2.

a) Giả sử x x1; 2là hai nghiệm của phương trình x2 2kx 4 0(klà tham số). Tìm
các giá trị của ksao cho

2 2

1 2

2 1

x x

   

 

   

   

b) Giải hệ phương trình:

2
2

1 2 1
1 2 1

x x y

y y x

    




   


Câu 3.

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x y2 2



x y



  x 2 y x



1



b) Cho n *.Chứng minh rằng nếu 2n1và 3n1là các số chính phương thì n

chia hết cho 40.
Câu 4.

Cho đường tròn



O R;



và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, OA2 .R Từ Akẻ
các tiếp tuyến AB AC, đến đường tròn

 

O (B C, là các tiếp điểm). Đường thẳng OAcắt
dây BCtại .I Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC.Tiếp tuyến tại M của đường tròn

 

O cắt AB AC, lần lượt tại E F, .Dây BCcắt OE OF, lần lượt tại các điểm Pvà Q

a) Chứng minh rằng ABI 600và tứ giác OBEQnôi tiếp
b) Chứng minh rằng EF 2PQ

c) Xác định vị trí điểm Mtrên cung nhỏ BCsao cho tam giác OPQcó diện tích nhỏ
nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo .R

Câu 5.

Cho , ,x y z0thỏa mãn x   y z 1 0.Tìm GTLNcủa







3 3

x y

P

x yz y zx z xy



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có:





















1 4 5 1 1 1

: :

2 1 2

x x x x x x x

P

x x x

x x x x

       

  



  

b) Ta có :





3 2 1 2 1

a    và





3 1 2 1 2

b    . Do đó M 2là số
chẵn

Ta lại có: 2 2 2





2 2 6
1

a b

a b a b ab

ab
 


     

  

 , do đó:















7 7

7 4 3 7 3 4 4 3 3 4

3 3 4 4 3 3

N a b

a a b b a b a b a b

a b a b a b a b

 

     

    







2 2

 

2 2



2 2 2

2 2 478

a b a b ab  a b a b 

        

  là số chẵn.

Câu 2.

a) Để phương trình có nghiệm thì   ' 0 k2   4 0 k 2.
Ta thấy x0khơng phải là nghiệm, theo Vi-et thì 1 2

1 2

2
4

x x k

x x
  


 














2 2
4 4
1 2
1 2
2 1
2
2 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

3 48

2 48 2 80

4 8 80 4 5 2

x x

x x x x x x x x

k k
   
       
   
 
         
      

5 2 2

2 5 2

k
k
    

 
   


b) Ta có:





2 2

2 1 2 1 2 2 2 0

1 2 1

2 0

2 1 1

y y xy x

x y x

x x y

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>





2 2
2

2 1 2 1 2 2 2 0

1 2 1

2 0

2 1 1

x y xy y

y x y

y y x

x y

         



     

 
  

 



Suy ra



 



2
2

2 2 2 0

2 3 0.

2 2 2 0

y y xy x

x y x y

x x xy y

    

      

  

   

 Vì

2 0

x y

x y
y x

 


  

  


Do đó x   y x y 0là nghiệm của hệ phương trình

Câu 3.

a) Phương trình tương đương







2 2 1



2 2 2 2
1

xy

x y x y xy x y

x y



      


Suy ra







2 2

 

2 2

 

2 2

 

2 2

 

2 2





2 2



2 1 4 1 1 5 1 5 1

xy x y   x y  x y   x y   x y   x y 

 





2 2 2 2

1 1;5 0;4 2;0;2

x y x y xy

       

Xét xy0thì x  y 2

     

x y; 



0;2 ; 2;0



Xét xy        2 x y 0 y x x2 2(ktm)

Xét 2 4( )

xy   x y ktm

Vậy

     

x y; 



0;2 ; 2;0



b) Đặt

2
2

2 1
3 1

n a

n b

  




 

 với a b,  *,suy ra

2 1

a  n là số lẻ nên alẻ

Do đó:







2n a1 a1 4n 23n 1 b là số lẻ nên blẻ.
Đặt b2c1



c *



Ta có: 3n



2c1



2  1 4c c



1 8



n 8 (1)

Mặt khác số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0;1hoặc 4. Do đó
- Nếu nchia cho 5 dư 1 thì 2n1chia cho 5 dư 3, vô lý

- Nếu nchia cho 5 dư 2 thì 3n+1 chia cho 5 dư 2, vô lý

- Nếu n chia cho 5 dư 3 thì 2n+1 chia cho 5 dư 2, vơ lý

- Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 3n +1 chia cho 5 dư 3, vô lý

Vậy n 5 (2)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4.

a) Ta chứng minh được OABCtại I

Do đó, 1 0

cos cos 60

OB

ABI AOB ABI

OA

    

Mặt khác 600

2 2

COM BOM BOC

EOF FOM EOM     AOB

EOF ABI OBEQ

   nội tiếp

b) Ta có OQP OEB OEF OQP OEF PQ OQ(1)

EF OE

      

Mặt khác OBEOQE1800mà OBE 900

I

K

H

Q

P

F

E

C

B

A

O

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 

0 0 0 1 1

90 90 30 sin 2

2 2

OQ

OQE OEQ EOF OEQ

OE

         

Từ (1) và (2) suy ra EF 2PQ

c) Qua Okẻ đường thẳng vng góc với OAvà cắt ABvà AC lần lượt tại K và H.
Vì OQP OEFnên

1 . .

4 4 8 8

OPQ OEF

OPQ
OEF

S EF S OM EF R EF

S

S PQ

 

      

 

Vì 600 .cot .cot 600

R

K BOI  HC KBOB K OB 

Lại có EF FM EM FCEB



HFHC

 

 KEKB





 



2 2 . .

R

HF KE HC KB HF KE HC HF KE

        

Mặt khác, ta chứng minh được HFO OFEvà KOE OFEnên

2
2

. .

sin 60 3

HF HO R R

HFO KOE HF KE OK OH OK

OK KE
 
        
 
Do đó,
2
. 3
.

8 12
OPQ

R EF R

S   Diện tích tam giác OPQnhỏ nhất là

3
.
12

R

Khi đó M là
điểm chính giữa cung BC

Câu 5.

Ta có:











2 2

3 3 2 2

. .

x yz y zx z xy x yz y zx z xy

P x y y x x y

     
 

































2
2 2
2 2
2

2 2 2

1 1 1 1 2 1

4 1

4 12 8

1 1 1 6 1

1 1 1

3 1

12 8 1 1

1 4 1 8 8

x y z x x z z

z z z z z z

y x xy y y xy x y

z z
z

z z z

z

z z z

z z
 
 
       
                     
  
          
      
              

  
     
     
   
     
 




Áp dụng BĐT Cơ si ta có:









3 2

3 1

1 12 8 1 1 729 4

6 2 . 3 . .

1 4 1 8 8 4 729

z z z

P

P z z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy GTLN của Plà 4

</div>