Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (280.18 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO </b>
<b>PHÚ THỌ </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
<b>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA </b>
<b>LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019 </b>
<b>Mơn: Tốn </b>
Thời gian: 150 phút
<b>A. TRẮC NGHIỆM (8 điểm) </b>
<b>Câu 1. </b>Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương <i>n</i>sao cho
2
1024
15
<i>n</i>
là số tự nhiên
A. 1 B. 4 C. 3 D. 5
<b>Câu 2. </b>Cho hình thang <i>ABCD</i>có hai cạnh đáy <i>AB CD</i>, sao cho <i>AB</i>4,<i>CD</i>9,
<i>DAB</i><i>DBC</i>. Độ dài đường chéo <i>BD</i>bằng:
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
<b>Câu 3. </b>Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>, đường thẳng di qua điểm <i>M</i>
A. <i>y</i>2<i>x</i>1 B. <i>y</i>2<i>x</i>1 C. <i>y</i> 2<i>x</i> 9 D. <i>y</i> 2<i>x</i> 1
<b>Câu 4. </b>Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>,cho hai điểm <i>A</i>
A. 5
2 B.
5 2
2 C. 5 2 D.
2
2
<b>Câu 5. </b>Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>,cho bốn điểm <i>A</i>
A. 15
2 B.
15 2
2 C. 15 D. 30
<b>Câu 7. </b>Cho bốn điểm <i>A B C D</i>, , , nằm trên đồ thị hàm số <i>y</i> <i>x</i>2sao cho <i>ABCD</i>là một tứ giác
lồi nội tiếp đường trịn đường kính <i>AC</i>.Gọi <i>M x y</i>
, .
<i>AC BD</i> Giá trị <i>y</i><sub>1</sub><i>y</i><sub>2</sub> bằng:
A. 0 B. 2
2 C. 1 D. 2
<b>Câu 8. </b>Cho tam giác <i>ABC</i> vuông tại A có <i>AB</i>3,<i>AC</i> 4và phân giác AD. Giá trị
<i>DC</i><i>DB</i>bằng:
A. 1
7 B.
3
7 C.
4
7 D.
5
7
<b>Câu 9. </b>Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình
2
1 ... 2019 2019 2020
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> là:
A. 2 B. 4 C. 2019 D. 2020
<b>Câu 10. </b>Biết <i>x</i> 3 2 3 3 2 3là một nghiệm của phương trình <i>x</i>3
Giá trị <i>a</i> <i>a</i>2 1bằng:
A. 3 1
2
B. 3 1 C. 6 2
2
D. 3 1
<b>Câu 11. </b>Cho tam giác <i>ABC</i>vng tại A có đường cao <i>AH</i>,trung tuyến AM. Biết
24
25
<i>AH</i>
A. 3,5 B. 7 C. 8,75 D. 14
<b>Câu 12. </b>Cho tam giác <i>ABC</i>vng tại A có <i>AB</i> 5, đường cao <i>AH</i> 2.Kẻ HK vng
góc <i>AC K</i>( thuộc AC). Độ dài CK bằng:
A. 3 5
2 B.
8 5
2 C.
5 5
2 D.
16 5
5
<b>Câu 13. </b>Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m. Biết rằng học sinh đó nhìn
thấy đỉnh tháp ở góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 0
1,5 .<i>m</i> Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:
A. 34 B. 35 C. 36 D. 38
<b>Câu 14. </b>Tỉ số giữa bán kính đường trịn nội tiếp và bán kính đường trịn ngoại tiếp của một
tam giác đều là:
A. 1
4 B.
1
3 C.
1
2 D.
2
3
<b>Câu 15. </b>Cho tam giác ABC vng tại A, đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC tại D. Biết <i>BD</i>2<i>DC</i>10.Diện tích tam giác <i>ABC</i>bằng:
A. 25 B. 50 C. 50 2 D. 100
<b>Câu 16. </b>Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành một
hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau.
A. 48 B. 72 C. 96 D. 118
<b>B. Tự luận (12 điểm) </b>
<b>Câu 1. (3,0 điểm) </b>
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt ln tồn tại 4 số có
b) Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 rồi viết ra 2018 số dư tương
ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 rồi viết ra 2019 số dư tương
ứng. Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu.
<b>Câu 2. (3,0 điểm) </b>
a) Giải hệ phương trình:
3 3
2 1 0
3 32 0
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
b) Giải phương trình:
1
10 11 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Câu 3. (5,0 điểm) </b>
Cho tam giác <i>ABC</i>nội tiếp
a) Chứng minh rằng <i>MN</i> / /<i>EF</i>
b) Chứng minh rằng <i>MC</i>tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>KFC</i>
c) Chứng minh <i>EF</i> luôn đi qua điểm cố định khi <i>D</i>chạy trên BC.
<b>Câu 4. (1,0 điểm) </b>Cho các số thực <i>x x</i><sub>1</sub>, <sub>2</sub>,...,<i>x<sub>n</sub></i>
<b>ĐÁP ÁN </b>
<b>Câu 1, </b>
a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ. Xét các trường hợp sau:
Ta có <i>a b c</i>, , cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có <i>a b c</i>, , củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.
Ta có <i>a b c</i>, , có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2.
, ,
<i>a b c</i>có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2.
Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài. Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa
mãn đầu bài. Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp
số.
Áp dụng quy tắc số dư. Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 ,3,4, Xét các
trường hợp:
*Cả 4 số có số dư khác nhau
*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đơi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5.
*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5.
Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5. Hay trong 5
số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số.
b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt. Gọi <i>t</i><sub>1</sub>;....<i>t</i><sub>2018</sub>là số
dư chia 2018cho 1,2,....,2018; gọi <i>v</i><sub>1</sub>;...<i>v</i><sub>2019</sub>là số dư chia 2019 cho 1,2...2019.Ta
thấy rằng: <i>T</i> <i>t</i><sub>1</sub> <i>t</i><sub>2</sub> ....<i>t</i><sub>2018</sub>;<i>V</i> <i>v</i><sub>1</sub> <i>v</i><sub>2</sub> ... <i>v</i><sub>2019</sub> với <i>i</i>1,2,3,...2018. Nếu
1
2019 <i>i</i> <i>v</i> 0 <i>t<sub>i</sub></i> <i>i</i> 1. Nếu <i>v</i><sub>1</sub> <i>i</i> 1 <i>v</i><sub>1</sub> <i>t<sub>i</sub></i> 1
<i>V</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>S</i> <i>T</i> <i>S</i>
. Trong đó
<i>S</i> là tổng các ước khơng vượt q 2018của 2019. Ta có 2019 1.3.773 . Suy ra
<i>S</i> nên ta có <i>V</i> <i>T</i> 2018 677 <i>T</i> 1341.Suy ra <i>V</i> <i>T</i>
Và <i>V</i> <i>T</i> 1341
<b>Câu 2. </b>
a) Ta có:
3 3
2 1 0
2 1 0
3 32 0 3 3 32 0
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
Ta đặt
, 4 .
<i>x</i> <i>y</i> <i>s xy</i> <i>p s</i> <i>p</i> Khi đó hệ tương đương với :
3
2 1 0
3 3 32 0
<i>s</i> <i>p</i>
<i>s</i> <i>ps</i> <i>s</i>
b) Điều kiện xác định: <i>x</i>0
2
2 2 <sub>4</sub> <sub>3</sub> <sub>2</sub>
2
2 2
2
1
9 1 21 1 1 12 8 1 0
1 17
4 1 0 <sub>8</sub>
4 1 3 1 0
3 1 0 1 13
6
1 17 1 13
;
8 6
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>S</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Câu 3. </b>
a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung
<i>KEF</i> <i>FKH</i> <i>MNK</i> <i>MN</i> <i>EF</i>
b) Ta có tam giác <i>HKF</i>cân tại H suy ra <i>HKF</i> <i>HFK</i> <i>MB</i><i>MC</i>suy ra <i>AM</i>là phân
giác <i>BAC</i>.Suy ra <i>BCM</i> <i>MKC</i>nên ta có <i>MC</i>là tiếp tuyến
c) Gọi <i>AM</i>cắt <i>EF</i> tại I. Ta chứng minh I cố định. Thật vậy, ta có <i>AKN</i> <i>AMN</i> <i>AIE</i>
nên tứ giác <i>AEIK</i>nội tiếp
Suy ra <i>DEF</i> <i>EKF</i> <i>EAI</i><i>EIA</i><i>EKI</i> <i>IKE</i><i>EIA</i><i>IKF</i>hay <i>MIF</i> <i>IKF</i>
Suy ra <i>MIF</i> <i>MKI g g</i>( . )<i>MI</i>2 <i>MK MF</i>. (1)
Ta có <i>MC</i>là tiếp tuyến
<i>MIC</i><i>MCI</i> <i>IAC</i><i>ICA</i><i>MCB</i><i>BCI</i> <i>ICA</i><i>BCI</i>
Nên CI là phân giác <i>ABC</i>,mà AM là phân giác BAC nên I cố định
<b>Câu 4. </b>
Áp dụng BĐT
1 2 3 1 2 3
1 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> ...<i>x<sub>n</sub></i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> ...<i>x<sub>n</sub></i> với <i>x x</i><sub>1</sub>, <sub>2</sub>,....<i>x<sub>n</sub></i>
2 2 2 2 2 2
2 2;...; <i>n</i> <i>n</i> 1 2 3 ... <i>n</i> 1 2 3 ... <i>n</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Suy ra