Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An năm 2018- 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (248.51 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TỈNH NGHỆ AN 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 
Mơn thi: TỐN – BẢNG A

Thời gian: 150 phút
Câu 1. (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 xy x 2y 5 0

b) Chứng minh rằng: A22n 4n 16chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n
Câu 2. (6,5 điểm)

a) Giải phương trình:

8 4

2 3

2 5

x x
x

x

 


b) Giải hệ phương trình:



 









2 2

1 3 1

1 3 3

x y

x y x y

    




     



Câu 3. (2,5 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

a b c

P

a b b c c a

     

     

  

     

Câu 4. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn

 

O .Gọi D E F, , lần lượt là chân
các đường cao kẻ từ 3 đỉnh , ,A B Ccủa tam giác. Đường thẳng EFcắt đường
tròn (O) tại điểm thứ nhất M(M khác phía với O so với đường thẳng AB),
đường thẳng BM cắt đường thẳng DFtại N. Chứng minh rằng:

a) EF OA
b) AM  AN

2. Cho tam giác nhọn ABC D, là điểm trong tam giác đó sao cho

ADB ACB và AC BD.  AD BC. .Chứng minh . 2
.

AB CD
AC BD 

Câu 5. (2,0 điểm) Trong hình vng cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng

minh rằng tồn tại một hình trịn bán kính bằng 1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có: 2 2 2 5 0





2 2 2 5 2 5

y xy x y x y y y x y

y

            


(y1 khơng thỏa mãn phương trình )

Vì ,x ylà các số nguyên nên y1là ước của 5.

1: 1 1 2 9

2 : 1 1 0 5

3 : 1 5 6 13

4 : 1 5 4 9

TH y y x
TH y y x
TH y y x
TH y y x

     
       
     

        

Vậy phương trình có các nghiệm ngun

 

x y; là

  

9;2 ; 5;0 ; 13;6 ;

 

 9; 4



b) Ta có: A22n 4n 16



22n  1





4n  1



Đặt 2 2





2 2

2 n 2 k k * 2 n  1 2 k  1 4k 1 3

Do đó với mọi nnguyên dương, ta có: 22n 1 3;4n 1 3;18 3

2 n 4n 16 3
A

   

Câu 2.

a) Điều kiện : 3
2
x 









 

3 3

8 4

2 3 2 5 2 3 8 4

2 5

2 3 2 2 3 2 2.2

x x

x x x x x

x

x x x x



      



     

Đặt a 2x 3 0,b2x, ta có:





2 2

3 3 3

2 2 2 0

2 4

b b

a  ab  b ab a      a b

 

 

 

Suy ra 2 3 2 2 0 2 1 13

2 3 4

x

x x x

x x



 

    

 


Vậy 1 13

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



 







 



2 2

1 3 1

1 3 1 3 1

x y

x y x y

    




      



Đặt a x 1;b y 3.Ta được hệ phương trình:





2 2

1 2 1

1 1

a b a b ab

ab a b ab a b



      

 

      

 

Đặt S  a b P; ab,điều kiện S2 4 .P Hệ trên trở thành:

2
1
( )
0
2 1
1 3
( )
4
S
tm
P
S P

P S S

ktm
P
  


 
   
 
   
 




1 1 1 0

0 3 0 3

1 1

0 0 0 1 0 1

1 3 1 2

a x x

b y y

S a b

P ab a x x

b y y

        
  
      
    
      
      
   
  
    
        
  
  

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là

   

0;3 ; 1;2
Câu 3.

Ta có: 1 4 1 4 1 4

1 1 1

P

b c a

a b c

  

        

     

     

Đặt x b,y c,z a x y z, , 0,xyz 1

a b c

     



 



1 1 1

P

x y z

   

  

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:



 



2 2 2

1 1 1 1

3 1 1 1

P

x y z

 

    

  

 

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

 







 





2 2

1 1 1

1
1

x y

xy x

y x xy x y

   

         

 

       

Tương tự:



 





1
1

x
xy x y

y   



Từ 2 bất đẳng thức trên ta có:



 



1 1 1

1
1x  1 y  xy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Tương tự:



 







1 1 1 1 1 1

1 1 4

1z  1 1  z  1z  z 



 



1 1 1 1 1 1 1 1 3

1 1 4 1 1 4 4

1 1 1

z

xy z z z

x y z

         

   

  

Ta có: 3 , 3 1

16 16

P P       x y z a b c

Vậy 3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1.

a) Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xyvới đường trịn (O) suy ra OA xy

Xét tứ giác BCEFcó BEC90 ( );0 gt BFC 90 ( )0 gt do đó tứ giác BCEFlà tứ giác
nội tiếp suy ra ACBAFE (1)

Mặt khác 1

BAx sd AB(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
1

ACB sd AB(góc nội tiếp ) do đó BAx ACB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AFEBAxở vị trí so le trong nên EF / /xyhay EF OA
b) Đường thẳng EF cắt (O) tại điểm thứ 2 là ,P BPcắt DF tại Q

, ,

AD BE CFlà các đường cao của tam giác ABCnên BCEF ACDF, nội tiếp, do đó
ACB AFP

Mặt khác: 1 1





; 1





2 2 2

ACB sd AB sd BM MA AFP sd BM  AP

x

y

P

N

M

F

E

D

O

A

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Do đó: sd AM sd APsuy ra BAlà tia phân giác của MBQvà AM  AP

 

Tứ giác BCEFnội tiếp suy ra ACBBFM,tứ giác ACDFnội tiếp nên ACBBFQ
Do đó BFQBFM  ACB,suy ra FBlà tia phân giác của MFQ

,
MFB QFB MB QB BMP BQN BP BN

          

Do đó ABN  ABPnên AN  AP (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM  AN

Dựng tam giác vuông cân BDEtại D sao cho E thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD
khơng chứa C

Ta có: ADE ACBvà DEDB

Từ giả thiết: AC BD. AD BC. AD BD DE
AC BC BC

   

AB AC
ADE ACB

AE AD

    

Mặt khác, BACEADCADBAE.Do đó CAD BAE
.

2
.

AC CD CD AB CD
AB BE BD AC BD

     (ĐPCM)

E

A

B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chia hình vng đã cho thành 2025 hình vng nhỏ có cạnh bằng nhau và bằng 1 .
45
Gọi

   

C1 , C2 ,...,



C2025



là các hình trịn nội tiếp các hình vng nhỏ ở trên, chúng
có bán kính bằng nhau và bằng 1 .

90
Gọi

 





1 , 2' ,..., 2025'

C C C lần lượt là các hình trịn đồng tâm với các hình trịn ở trên
có bán kính là 1 .

91 Khi đó, các hình trịn này nằm trong hình vng và đơi một khơng
có điểm chung (rời nhau)

Trong hình vng đã cho có các hình trịn rời nhau

 





1 , 2' ,..., 2025'

C C C và có 2019

</div>

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An năm 2018- 2019



 









 





 

  

 

 























 







 







 

 







   



 

 





 

 



 







 







 







 





 









 

 











<i><b>x</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>M</b></i>

<i><b>F</b></i>

<i><b>E</b></i>