Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
VĨNH LINH MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (2,0 đ):
Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì
chia hết cho số kia.
Bài 2 (1,75 điểm):
Giải phương trình:
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − =
Bài 3 (1,75 điểm):
Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
bc + ac + ab 9
abc a + b + c
≥
Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:
1 1 4
x y x + y
+ ≥
Bài 5 (3,0 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm
của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì
chia hết cho số kia.
Theo giả thiết ta có:
( )
( )
x + 1 y
y + 1 x






M
M
(0,125 đ)
Do đó ta có:
( ) ( )
x + 1 . y + 1 xyM
(0,125 đ)
( )
xy + x + y + 1 xy
 
⇒
 
M
(0,125 đ)
( )
x + y + 1 xy⇒ M
(0,125 đ)
x + y + 1 = nxy⇒
(n
Z∈
) (*) (0,125 đ)
1 1 1
n
x y xy
⇒ + + =
(1) (0,125 đ)
Giả sử

1 1 1 1
x y 1 khi ®ã ta cã ;
x y xy y
≥ ≥ ≤ <
Do đó:
1 1 1 1 1 1 3
x y xy y y y y
+ + ≤ + + =
(0,125 đ)
Hay:
1 1 1 3
x y xy y
+ + ≤
(2) (0,125 đ)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
3
n y 3
y
≤ ⇒ ≤
(0,125 đ)
Vậy y = 1; 2; 3 (0,125 đ)
+ Với y = 1, thay vào (*) ta có x + 2 = nx
x(n - 1) = 2⇔
(0,125 đ)
Do đó: x = 1; 2 (0,125 đ)
+ Với y = 2, thay vào (*) ta có x + 3 = 2nx
x(2n - 1) = 3⇔
(0,125 đ)
Ta có x
n; y = 2 nªn x n x = 3≥ ≥ ⇒

(0,125 đ)
+ Với y = 3 => x > 3 =>
1 1 1
1 Do ®ã n < 1 (lo¹i)
x y xy
+ + <
(0,125 đ)
Vậy bộ các số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3) (0,125 đ)
Bài 2 (1,75 điểm):
Giải phương trình:
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ − − + + − − =
Ta có: *
x 3 4 x 1 (x - 1) - 4 x - 1 4+ − − = +
(0,125 đ)
( )
2
x - 1 2 x - 1 2= − = −
(0,125 đ)
*
( )
x 8 6 x 1 x - 1 6 x - 1 9+ − − = − +
(0125 đ)
( )
2
x - 1 3 x - 1 3= − = −
(0,125 đ)
Phương trình đã cho trở thành:
x - 1 2 x - 1 3 1− + − =
(0,25 đ)
2 x - 1 3⇔ ≤ ≤

(0,25 đ)
5 x 10⇔ ≤ ≤
(0,50 đ)
Vậy nghiệm của PT đã cho là:
5 x 10⇔ ≤ ≤
(0,25 đ)
Bài 3 (1,75 điểm): Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
bc + ac + ab 9
abc a + b + c
≥
Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0.
Chứng minh rằng:
( )
bc + ac + ab
a + b + c 9 0
abc
× − ≥
Tacó:
( )
bc + ac + ab
a + b + c 9
abc
× −
( ) ( )
bc + ac + ab a + b + c
9
abc
×
= −
(0,25 đ)

2 2 2 2 2 2
abc + b c + bc a c +abc + ac a b + ab abc
9
abc
+ + +
= −
(0,125 đ)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
c a b b c a a b c 3abc
9
abc
+ + + + + +
= −
(0,25 đ)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a b a c
6
ab ac bc
c b+ + +
= + + +
(0,125 đ)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
a b a c
2 2 2
ab ac bc
c b
     

+ + +
= + + + + +
     
     
     
(0,125 đ)
=
2 2 2 2 2 2
a b 2ab a c 2ac b c 2bc
ab ac bc
+ + + + + +
+ +
(0,125 đ)
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
a + b a + c b + c
ab ac bc
+ +
(0,125 đ)
Vì
( )
2
a + b
0
ab
≥
;
( )
2

a + b
0
ab
≥
;
( )
2
a + b
0
ab
≥
(0,125 đ)
Nên: =
( ) ( ) ( )
2 2 2
a + b a + c b + c
0
ab ac bc
+ + ≥
(0,125 đ)
Suy ra
( )
bc + ac + ab
a + b + c 9 0
abc
× − ≥
(0,125 đ)
Hay
bc + ac + ab 9
abc a + b + c

≥
(0,25 đ)
Bài 4 (1,50 điểm): Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:
1 1 4
x y x + y
+ ≥
Ta có:
( ) ( )
x + y y + x + y x - 4xy
1 1 4
x y x + y xy(x + y)
+ − =
(0,25 đ)
2 2
xy + y + x + xy - 4xy

xy(x + y)
=
(0,25 đ)
2 2
x - 2xy + y

xy(x + y)
=
(0,25 đ)
( )
2
x - y
0
xy(x + y)

= ≥
(0,25 đ)
Do đó:
1 1 4
0
x y x + y
+ − ≥
hay
1 1 4
x y x + y
+ ≥
(0,25 đ)
Bài 5 (3,0 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH,
K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?
Vẽ hình và ghi được GT,KL (0,5 đ)
Gọi N là trung điểm của BH; Tia MN cắt BC
tại E, ta có MN là đường trung bình của
ABH ∆
=>
MN // AB và MN =
1 1
AB = CD (v× AB = CD)
2 2
(0,5 đ)
Do đó
MN // CK
MNCK lµ h b×nh hµnh
MN = CK


⇒


(0,5 đ)
=> MK // CN (1) (0,25 đ)
Tam giác BMC có BH
MC BH lµ ®­êng cao⊥ ⇒
(0,25 đ)
Mặt khác ME // AB mà AB
BC nªn ME BC⊥ ⊥
hay ME là đường cao của tam
giác BMC. (0,5 đ)
Như vậy N là trực tâm của tam giác MBC. Do đó CN
BM⊥
(2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra MK
·
0
BM t¹i M hay BMK 90⊥ =
(0,25 đ)
K
E
N
M
H
C
B
D
A