Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn năm 2018- 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (242.21 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH LẠNG SƠN 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN 
Ngày thi: 23/3/2019 
Câu 1. (4 điểm)

Cho biểu thức 3 2





3 0
9

2 3 1 3

x x

x x x

A

x

x x x x

   

 

    



     

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Câu 2. (4 điểm)

Cho phương trình 2





2 4 8 9 0

x  m xm  m 

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm mnguyên dương để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1; 2sao cho

2 2

1 2

x x

P

x x

 



 đạt giá trị nguyên

Câu 3. (4 điểm)

a) Giải phương trình : x 4 x 1 4 5 0

x x

    

b) Tìm tất cả các cặp

 

x y; nguyên thỏa mãn



 







2 2

2 2 2 2 2 4 5

x y  x  y  xy  y 

Câu 4. (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB



 AC



nội tiếp trong đường tròn

 

O ,các đường cao
,

BE CF cắt nhau tại H E



AC F, AB



a) Gọi K EFBC L,  AK

 

O với L A.Chứng minh tứ giác AEHFnội tiếp và

HLAK

b) Chứng minh rằng đường thẳng HLđi qua trung điểm của BC

c) Gọi Tlà điểm trên đoạn thẳng FCsao cho ATB90 .0 Chứng minh rằng các đường
tròn ngoại tiếp hai tam giác KLTvà CETtiếp xúc nhau

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có













 



























2
2 3
3 3
1 3
1 3

3 2 3 3 1

1 3

3 8

3 8 24 8

1 3 1 3

x

x x x

A

x x

x x x x x

x x

x x x x x

x

x x x x


 
  
 
 
     

 
 
   
  

   

b) Ta có: 8 1 9 2

1 1
x
A x
x x

    
 

Vì x   1 0, x 0;x9nên áp dụng BĐT Cơ si ta có:





2 1 . 2 4

A x

x

   



Đẳng thức xảy ra khi 1 9 4
1

x x

x

   

 . Vậy Amin   4 x 4

Câu 2.

a) Ta có:  '



m4



2 



m2 8m 9



25 0 Phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m

b) Áp dụng định lý Vi-et ta có: 1 2





1 2

2 4 2 8

8 9

x x m m

x x m m

    




  







2 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

2 60
60 x x x x
x x

P

x x x x

  

 

 

 







2



2 8 2 8 9 60 8 11 5

2 8 4 4

m m m m m

P m

m m m

      

    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Pnguyên 5
4

m



 nguyên  m 4là ước của 5





4 1; 5 .

m

     Mà mnguyên dương nên m1
Câu 3.

a) Điều kiện :x0

Đặt 1 1 2

2 2

t x x t

x
x

       đi đến phương trình:

2 1( )

4 3 0

3( )
t ktm
t t
t tm


     

Do đó

3 5 7 3 5

1 2 2

3 3 1 0

3 5 7 3 5

2 2

x y

x x x

x
x y
  
  


      
  
  


Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 7 3 5; 7 3 5

2 2

x  x 

b) Ta có:



 









 















 



2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 4 5

4 4 4 8 4 2 4 8 5

4 4 4 4 2 4 4 1

4 4 1 2 1 2 1 1

x y x y xy x y

x y x x y y x y xy xy

x y xy x x y x x

x x y y x y

       
          

         
         



 





 





 





 



1: 2 1 1 3; 2

2 : 2 1 1 1; 0

3 : 2 1 1 3; 0

4 : 2 1 1 1; 2

TH x y x y

      

       

       

        

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 4.

a) Ta có: AFH AEH 900suy ra tứ giác AEHFnội tiếp đường trịn đường kính
.

AH

Ta có tứ giác ALBCnội tiếp KB KC. KL KA. (1)
Vì tứ giác BFECnội tiếp KB KC. KF KE. (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác ALFEnội tiếp đường trịn đường kính AH
b) Gọi M HL

 

O .Vì LH AKAM là đường kính.

M

T

I

L

K

H

F

E

A

B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Ta có: MC AC MC/ /BH(3)
BH AC



 

 



Ta có: CH AB CH / /MB(4)
MB AB






 



Từ (3) và (4) Tứ giác BHCMlà hình bình hành HLđi qua trung điểm của BC

c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABTthì AT2  AF AB. và chú ý BFECnội
tiếp nên AF AB. AE AC.

Do đó, 2

AT  AE AChay AT là tiếp tuyến của đường tròn (CET)

Hơn nữa, KFB ACBKLBnên suy ra KLFBnội tiếp, do đó AF AB.  AL AK. nên
2

AT  AL AKtức là ATlà tiếp tuyến của



KLT



Vậy



CET



tiếp xúc với



KLT



vì có AT là tiếp tuyến chung

Câu 5.

Ta gọi các cạnh song song với nhau là cùng một hướng. Chú ý rằng hai cạnh hoặc hai
đường chéo song song với nhau tạo thành một hình thang cân .

B

N

M

C

E

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta thấy rằng một đa giác đều ncạnh gồm có nhướng (cụ thể như trên hình vẽ thì

, ,

AB MN CEcùng một hướng, trong khi đó AB AC, khác hướng).
Với mỗi bộ gồm kđỉnh sẽ sinh ra





2
k k

đoạn thẳng, nếu số đoạn thẳng này lớn hơn n

thì sẽ có ít nhất hai cạnh có cùng một hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân
Do đó, điều kiện để kđiểm có thể chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu:





1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 4 4 2

k k

n k n n k n k n

  

            

 

Bây giờ, áp dụng bài toán cho n30ta suy ra 60 1 1 9
4 2

</div>