Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (252.18 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO </b>
<b>LONG AN </b>
<b>ĐỀ CHÍNH THỨC </b>
<b>KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH </b>
<b>NĂM HỌC 2018-2019 </b>
<b>MƠN: TỐN 9 </b>
<b>Câu 1. (5,0 điểm) </b>
1. Rút gọn biểu thức : 2 13 3 2 1
5 6 2 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
với <i>x</i>0;<i>x</i>4;<i>x</i>9
2. Giả sử <i>a</i>là nghiệm âm của phương trình 3<i>x</i>2 2<i>x</i> 2 0.Khơng giải
phương trình, tính giá trị biểu thức 4
3 4 2 4 2 3
<i>P</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<b>Câu 2. (5,0 điểm) </b>
1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 7
2 7
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
2. Giải phương trình: 3<i>x</i>2 652 17<i>x</i>
Cho các số thực dương thỏa mãn <i>ab</i>2 <i>bc</i>2<i>ca</i>2 4<i>abc</i>0.Chứng minh:
4.
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Câu 4.(6,0 điểm) </b>
1. Cho hình vng <i>ABCD</i>,lấy điểm E trên cạnh <i>BC E</i>
và AH
a) Chứng minh ba điểm <i>E K M</i>, , thẳng hàng
b) Chứng minh <i>E</i> là tâm đường tròn nội tiếp <i>CHM</i>
2. Cho tam giác <i>ABC P</i>, là điểm trên cạnh <i>BC</i>(P khác <i>B</i>và C); Q, R lần lượt là
hai điểm đối xứng với <i>P</i>qua AC, AB. Lấy điểm M nằm trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác <i>AQR</i>sao cho <i>AM</i> song song với <i>BC</i>.Chứng minh đường thẳng
<i>PM</i> luôn đi qua một điểm cố định khi <i>P</i>thay đổi trên cạnh BC.
<b>Câu 5. (2,0 điểm) </b>
1. Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kỳ trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng;
mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu: đỏ, cam, vàng và lục. Các đoạn thẳng nối
2 trong 21 điểm dó được tơ bởi một trong hai màu chàm và tím. Xét các tam
giác có ba đỉnh thuộc các điểm đã cho, chứng minh tồn tại một tam giác có 3
2. Giả sử <i>n</i> ,<i>n</i>2.Xét các số tự nhiên dạng <i>a<sub>n</sub></i> 11....1được viết bởi <i>n</i>chữ số
1. Chứng minh rằng nếu <i>a<sub>n</sub></i>là một số nguyên tố thì <i>n</i>là ước của <i>a<sub>n</sub></i> 1
<b>Câu 1. </b>
2 13 3 2 1 2 13 3 2 1
1.
5 6 2 3 3 2 2 3
2 13 3 3 2 1 2 <sub>6</sub> <sub>2</sub>
2
3 2 3 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>2.Từ giả thiết ta có </b> 3<i>a</i>2 2 2<i>a a</i>
4 2
3 4 2 4 2 3 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
<i>P</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<b>Câu 2. </b>
1. Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>x</i>
TH1: <i>x</i> <i>y</i> 0 <i>y</i> <i>x</i>,thay <i>y</i> <i>x</i>vào phương trình (1) ta được:
2 0 0
7 0
7 7
<i>x</i> <i>y</i>
TH2: 7 .
3
<i>y</i> <i>x</i> Thay 7 .
3
<i>y</i> <i>x</i> vào phương trình (1) ta được: 9<i>x</i>2 21<i>x</i>980
Phương trình này vơ nghiệm
Vậy
2
<i>x</i>
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
8 2 2 1 <sub>25</sub> <sub>40</sub>
2 1 3 8
9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
Đối chiếu điều kiện phương trình có hai nghiệm 5; 25 40
9
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Câu 3. </b>
Áp dụng BĐT Cơ si ta có :
2 2 2 2 2 2
2 ; 2 ; 2
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>bc ab bc</i> <i>ca</i> <i>ca bc ca</i> <i>ab</i> <i>bc ca</i>
<b>Câu 4. </b>
<b>1)</b> <b> </b>
a) Xét tam giác <i>BDK</i>,ta có: <i>DH</i> <i>BK BC</i>, <i>DK BC</i>, cắt DH tại E. Suy ra E là
trực tâm tam giác <i>BDK</i>.Để chứng minh <i>M E K</i>, , thẳng hàng ta chỉ cần chứng
minh <i>MK</i> <i>BD</i>.
Tứ giác <i>ABHD</i>có <i>BAD</i><i>BHD</i>900nên nội tiếp. suy ra <i>BHA</i><i>BDA</i>45 .0
Tứ giác <i>DMHK</i>có <i>MDK</i> <i>BHM</i> 450nên nội tiếp
Lại có, <i>DHK</i> 900(gt) nên <i>DMK</i> <i>DHK</i> 900(cùng chắn cung DK). Ta có điều phải
chứng minh.
b) Tứ giác <i>CEHK</i>nội tiếp (<i>ECK</i> <i>EHK</i> 90 )0 <i>ECH</i> <i>EKH</i> (1)
Tứ giác <i>CKBM</i> nội tiếp suy ra <i>EKH</i> <i>BCM</i> <i>ECM</i> (2)
Từ (1) , (2) suy ra <i>ECH</i> <i>ECM</i>.Do đó, EC là đường phân giác của <i>MCH</i>.Chứng
minh tương tự, ta cũng có <i>ME</i>là đường phân giác của <i>CMH</i>
Vì E là giao điểm hai đường phân giác trong góc M và C của tam giác <i>CHM</i> nên ta
có điều phải chứng minh.
2)
Gọi N là giao điểm của <i>RB</i>và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác <i>ABC</i>.
Ta có <i>ARN</i> <i>AQR</i>1800nên <i>N</i>nằm trên đường trịn
Từ <i>RBG</i> <i>QCG</i><i>GP</i>là phân giác <i>BGC</i>
0 0
180 2 180
<i>BNC</i> <i>RNQ</i> <i>BAC</i> <i>BOC</i> nên O nằm trên
Mà <i>OB</i><i>OC</i>nên GO là phân giác <i>BGC</i>và do đó , ,<i>G P O</i>thẳng hàng. Ta cũng có
, ,
<i>N O A</i>thẳng hàng.
Gọi <i>M</i>'là giao điểm thứ hai của <i>GO</i>với
Ta có: <i>AM G</i>' <i>ANG</i><i>ONG</i><i>OPC</i><i>MPC</i><i>AM</i>'/ /<i>BC</i><i>M</i>'<i>M</i>
Do đó , ,<i>G P O</i>và M thẳng hàng. Vậy MP luôn đi qua O cố định
<b>Câu 5. </b>
1) Vì có 21 điểm được tô bởi 4 màu mà 21 4.5 1 nên theo nguyên lý Dirichle sẽ
tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu
Gọi 6 điểm cùng màu đó là <i>A B C D E F</i>, , , , , .Từ điểm A ta kẻ với 5 điểm còn lại được 5
đoạn thẳng, 5 đoạn này được tơ 2 màu thì sẽ có ít nhất 3 đoạn được tô cùng màu.
Không mất tính tổng quát , giả sử các đoạn AB, AC, AD được tơ cùng màu tím.
Trong các đoạn nối ba điểm , ,<i>B C D</i>nếu có một đoạn màu tím, giả sử là BD thì tam
giác <i>ABD</i>là tam giác cần tìm. Nếu trong các đoạn nối ba điểm B, C, D khơng có đoạn
nào màu tím thì tam giác <i>BCD</i>là tam giác cần tìm.
2. Trước hết ta chứng minh : nếu <i>a<sub>n</sub></i>là số nguyên tố thì <i>n</i>là số nguyên tố
Giả sử <i>n</i>là hợp số, <i>n</i><i>bq b q</i>; , ,1<i>b q</i>, <i>n</i>. Khi đó:
.. .. ..1 .. .. ..1
11...1 11...1 10<i>q b</i> 10<i>q b</i> .... 1 11...1
<i>n</i>
<i>bq chu so</i> <i>q chu so</i>
<i>a</i> là hợp số, trái với giả thiết nên
n là số nguyên tố
Tiếp tục ta có: 1 10 1 1 10 10 10 10 9 (1)
9 9
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>a</i>
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10<i>n</i> 10 <i>n</i> (2)
Nếu <i>n</i>3thì <i>a<sub>n</sub></i> 111 3khơng thỏa mãn giả thiết.