Hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG I – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG </b>

<b>CHỦ ĐỀ 1 – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM </b>

<b>GIÁC VUÔNG </b>

<b>A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT </b>

<b>1. Hệ thức giữa cạnh góc vng và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: </b>

<b>Giả thiết </b>

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

<b>Kết luận </b>

AB2 = BH. BC
AC2 = CH. BC

<b>Chứng minh: </b>

AB2 _{= BH. BC ⟺}AB BH

BC= ABTa chứng minh AHB ∽ CAB
Xét



AHB

&



CAB

có { ABĤ = CBÂ

AHB̂ = CAB̂ = 90o<b></b>

Suy ra AB BH 2

AHB CAB AB BH.BC

BC AB

 ∽   =  =

<b> </b>
Tương tự đối với AC2 _{= CH. BC}

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao: </b>

<b>Giả thiết </b>

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

<b>Kết luận </b> AH2 _{= BH. HC}

<b>Chứng minh: </b>

AH2 = BH. HC ⟺AH HC

BH = AHTa chứng minh AHC ∽ BHA
Xét AHC và BHA có {Â = Ĉ (cùng phụ A1 ̂)2

AHĈ = BAĈ = 90o

Suy ra AHC BHA AH HC AH2 BH.HC
BH HA

 ∽   =  =

<b>Giả thiết </b>

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

<b>Kết luận </b> AH. BC = AB. AC

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>Định lý 2:</b> Trong một tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích
hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Chứng minh: </b>

<b>Cách 1: </b>

AH. BC = AB. AC ⟺AH AC

AB =BC Ta chứng minh AHC ∽ BAC
Xét



AHC

và BAC có { ACĤ = BCÂ

AHC

̂ = BAĈ = 90o

Suy ra AHC BAC AH AC AH.BC AB.AC
AB BC

 ∽   =  =

<b>Cách 2: </b>

Ta có

( )

ABC

1

AH.BC 1
2

<i>S</i>_ =

Mặt khác:

( )

ABC

1

AB.AC 2
2

<i>S</i>

 =

Từ (1)(2) suy ra 1AH.BC 1AB.AC
2 = 2
hay AH. BC = AB. AC

<b>Giả thiết </b>

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

<b>Kết luận </b> 1 1 1

2 2 2

AH AB AC

= +

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Chứng minh: </b>

(

) (

)

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 1 AB +AC BC BC 1
AB +AC = AB .AC = AB.AC = BC.AH =AH

<b>3. Công thức cần ghi nhớ: </b>

Cho tam giác ∆ABC vuông ở A (AB < AC), dựng AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Khi đó, ta có:

1) AB2 = BH. BC; AC2 = CH. BC 2) AH. BC = AB. AC

3) AH2

2 2 2
AH AB AC

= +

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG </b>

<b>DẠNG 1 – TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG TRONG TAM GIÁC VNG </b>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Trong ∆ABC vng ở A có:

BC = √AB2_{+ AC}2 _{= √5}2 _{+ 12}2 _{= 13 cm}_.
AB2 _{= BH. BC ⇔ 5}2 _{= BH. 13}

⇒ BH = 25
13 cm

⇒ CH = BC − BH = 13 −25
13=

144
13 cm

<b>Phương pháp giải: </b>

• Xác định vị trí của cạnh huyền, cạnh góc vng.

• Vận dụng hệ thức về cạnh, về đường cao.

• Sử dụng kỹ thuật đại số hình học.

<b>Bài 1:</b> Cho ∆ABC vng ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

AH. BC = AB. AC ⇒ AH =AB. AC

BC =

5.12
13 =

60
13 cm

Vậy BH = 25

13 cm; CH =
144

13 cm; AH =
60
13 cm

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Trong ∆ABC vuông ở A có:

AC = √BC2_{− AB}2 _{= √10}2 _{− 8}2 _{= 6 cm}_.
AB2 = BH. BC ⇔ 82 = BH. 10

⇒ BH = 8
2

10= 6,4 cm

⇒ CH = BC − BH = 10 − 6,4 = 3,6 cm

AH. BC = AB. AC ⇒ AH =AB. AC

BC =

6.8

10 = 4,8 cm
Vậy BH = 6,4 cm; CH = 3,6 cm; AH = 4,8 cm

<b>Bài 2:</b> Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>8cm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Trong ∆ABC vng ở A có:

AC = √BC2_{− AB}2 _{= √10}2 _{− 8}2 _{= 6 cm}_.
AC2 _{= CH. BC ⇔ 20}2 _{= CH. 25}

⇒ CH =20
2

25 = 16 cm

⇒ BH = BC − CH = 25 − 16 = 9 cm

AH = √AC2 _{− HC}2 _{= √20}2_{− 16}2 _{= 12 cm}
Vậy BH = 9 cm; CH = 16 cm; AH = 12 cm

<b>Bài 3:</b> Cho ∆ABC vuông ở A có AC = 20 cm, BC = 25 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

<b>25cm</b>

<b>20cm</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Trong ∆ABC vng ở A có:

BC = BH + HC = 1,8 + 3,2 = 5 𝑐𝑚.

AB2 = BH. CH = 1,8 . 3,2
⇒ AH = 2,4 cm

AC2 = CH. BC = 3,2 . 5 = 16
⇒ AC = 4 cm

AB2 = BH. BC = 1,8 . 5 = 16
⇒ AB = 3 cm

Vậy AH = 2,4 cm; AB = 3 cm; AC = 4 cm

<b>Bài 4:</b> Cho ∆ABC vuông ở A , đường cao AH với H ∈ BC. Có BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.
Tính AH, AB, AC.

<b>3,2 cm</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Đặt BH = 𝑥 (0 < 𝑥 < 6,4)
suy ra BC = 𝑥 + 6,4

Trong ∆ABC vng ở A có:

AB2 _{= BH. BC}_.
⇔ 62 = 𝑥(𝑥 + 6,4)
⇔ 𝑥2 + 6,4𝑥 − 36 = 0
⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 + 10) = 0

⇔ [ 𝑥 = 3,6
𝑥 = −10

⇔ 𝑥 = 3,6 (vì 0 < 𝑥 < 6,4)

Suy ra BH = 3,6 cm

Vậy AH = 4,8 cm; BC = 10 cm; AC = 8 cm

<b>Bài 5:</b> Cho ∆ABC vuông ở A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC. Có AB = 6 cm, CH = 6,4 cm.
Tính AH, BC, AC.

<b>6 cm</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

Đặt BH = 𝑥 (𝑥 > 0) suy ra CH = 10 − 𝑥

Trong ∆ABC vuông ở A có:

AH2 = BH. CH.

⇔ 4,82 _{= 𝑥(10 − 𝑥) ⇔ 𝑥}2_{− 10𝑥 + 23,04 = 0}

⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 − 6,4) = 0 ⇔ [𝑥 = 3,6
𝑥 = 6,4

Ta có AB < AC ⇒ BH < CH ⇔ 𝑥 < 10 − 𝑥 ⇔ 𝑥 < 5 ⇒ Chọn 𝑥 = 3,6 𝑐𝑚

Suy ra BH = 3,6 cm⇒ CH = 10 − 3,6 = 6,4 cm

Ta có:

AH2 = BH. CH = 3,6 . 6,4 = 23,04 ⇒ AB = 4,8 cm
AB2 _{= BH. BC = 3,6 . 10 = 36 ⇒ AB = 6 cm}
AC2 = CH. BC = 6,4 . 10 = 64 ⇒ AC = 8 cm
Vậy AB = 6 cm; AC = 8 cm

<b>Bài 6:</b> Cho ∆ABC vuông ở A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC. Có AH = 4,8cm, BC = 10cm.
Tính AB, AC.

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>4,8 cm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>3</b>

<b>2</b>

<b>1</b>

<b>L</b>

<b>K</b>

<b>D</b>

<b>A</b>

<b>_B</b>

<b>C</b>

<b>I</b>

<b>Hướng dẫn giải: </b>

 a) Tam giác DIL là một tam giác cân.

Ta có: D̂ + D₁ ̂ = 90°₂ & D̂ + D₂ ̂ = 90°₃

Suy ra D̂ = D1 ̂3

Xét ∆DAI & ∆DCL có:

+ D̂ = D₁ ̂₃
+ AD = DC

+ Â = D̂ = 90°

Suy ra ∆DAI = ∆DCL ⇒ DI = DL
Suy ra ∆DIL cân ở D.

 b) Tổng 1₂ 1 ₂

DI +DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

DI = DL ⇒ 1
DI2+

1
DK2 =

1
DL2+

1
DK2

Trong ∆LDK vng ở D có đường cao DC, ta có

1
DL2+

1
DK2 =

1

DC2 (Ko đổi)

<b>Bài 7: (9/tr70/SGK)</b> Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và
tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI. Đường thẳng này cắt đường
thẳng BC tại L.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tổng 1₂ 1 ₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>



<b> BÀI TẬP TỰ ƠN TẬP </b>

<b>Câu 1. </b>Hãy tìm 𝑥, 𝑦, 𝑧 trong các hình sau

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

Hình 5 Hình 6

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>5cm</b>

<b>20cm</b>

<i><b>x</b></i>

<i><b>y</b></i>

<i><b>x</b></i>

<i><b>y</b></i>

<b>8cm</b>

<b>6cm</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>1cm</b>

<b>4cm</b>

<i><b>x</b></i>

<i><b>y</b></i>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>5cm</b>

<i><b>_x</b></i>

<b>7cm</b>

<i><b>y</b></i>

<i><b>y</b></i>

<i><b>x</b></i>

<b>1cm</b>

<b>2cm</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

<i><b>y</b></i>

<b>6,4cm</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>6cm</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Hình 7 Hình 8

Hình 9 Hình 10

<b>Câu 2. </b>Cho ∆ABC (Â = 90°) , AB = 12 cm, BC = 13cm. Tính AC, đường cao AH, các đoạn thẳng
BH, CH và diện tích của tam giác.

<b>Câu 3. </b>Cho ∆ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH
và HB với HB = 16. Tính diện tích tam giác vuông ABC.

<b>Câu 4. </b>Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh đáy bằng 18cm. Tính độ dài các
đường cao.

<b>Câu 5. </b>Tính diện tích của một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10cm, chiều cao ứng
với cạnh bên bằng 12cm.

<b>Câu 6. </b>Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong BE, biết EC = 3, BC = 6. Tính độ dài
các đoạn thẳng AB, AC.

<b>15cm</b>

<i><b>x</b></i>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>AB</b>
<b>AC = </b>

<b>3</b>
<b>4</b>

<i><b>y</b></i>

<b>5cm</b>

<i><b>z</b></i>

<b>2cm</b>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<i><b>x</b></i>

<i><b>y</b></i>

<b>H</b>

<b>C</b>

<b>B</b>

<b>A</b>

<b>30cm</b>

<i><b>x</b></i>

<i><b>y</b></i>

<b>AB</b>
<b>AC = </b>

<b>5</b>
<b>6</b>

<i><b>y</b></i>

<i><b>x</b></i>

<b>125cm</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>H</b>

<b>AB</b>
<b>AC = </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Câu 7. </b>Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 10cm, 17cm, 21 cm.
<b>Câu 8. </b>Cho tam giác ABC cân tại A (𝐴̂ < 90°), kẻ BM ⊥ CA. Chứng minh

2

AM AB

2 1

MC AC

 

= _ _ −

 

<b>Câu 9. </b>Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm
A lấy điểm D sao cho DB = DC = AB

2 . Chứng minh rằng BD, DH và HA là độ dài ba cạnh của một
tam giác vuông.

<b>Câu 10. </b>Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên
AB và AC. Hãy chứng minh các hệ thức sau:

1)

3

CE CA
BD AB

 

= _ _ 2) AH3 = BC. BD. CE

</div>

<!--links-->
Chương I - Bài 4: Hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông

• 7
• 5
• 9