Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên TPHCM năm 2020 và đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.68 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

(Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
 NĂM HỌC: 2020- 2021

MƠN THI: TỐN CHUN 
 Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2020

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1. (1,0 điểm)

Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c 2020.
bccaab

Tính giá trị của biểu thức:





2 2 2

: .

a b c

P a b c

b c c a a b

 

 

     

   

 

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2  x 9 2x2   x 1 x 4.

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2

2 8 6 1

8 1

y xy x x
y x x x

    



    


Câu 3. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC AB



BCCA



nội tiếp đường tròn

 

O . Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt

 

O tại A1. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt

 

O tại B1. Từ C kẻ đường thẳng song song với
AB cắt

 

O tại C1. Chứng minh rằng các đường thẳng qua A B C1, 1, 1 vng góc với BC CA AB, , đồng quy.
Câu 4. (2,0 điểm)

a) Cho hai số thực dương , .a b Chứng minh rằng:





2 2

2 2 .

2 2

a b
a b

ab

a b



 

 

b) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn a b 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
20 7

.
Q b a

a b

   

Câu 5. (2,0 điểm)

Đường tròn

 

I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh AB BC CA, , lần lượt tại D E F, , . Kẻ đường kính
EJ của đường trịn

 

I . Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC. Đường thẳng JD cắt ,d BC lần
lượt tại ,L H.

a) Chứng minh rằng ,E F L, thẳng hàng.

b) JA JF, cắt BC lần lượt tại M K, . Chứng minh MH MK.
Câu 6. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương

x y

,

thỏa mãn

3

x



y



1.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021 
TP HỒ CHÍ MINH.

THUVIENTOAN.NET

Câu 1.

Ta có:









2
2

.
a a b c a a b c
a

a a

b c b c b c

   

   

  

Viết hai đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có:
Suy ra:







































2 2 2

2020 1 2019

a a b c b a b c c a b c

a b c

b c c a a b b c c a a b

a b c

a b c a b c

b c c a a b

a b c

b c c a a b

a b c a b c

     
       
     
 

           
 

          
      

Do đó: P2019



a b c

 

: a  b c



2019.
Câu 2.

a) Điều kiện xác định x.
Ta có:



 









2 2
2 2
2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 9 2 1 4

2 9 2 1

2 9 2 1 2 9 2 1

2 9 2 1

2 9 2 1 2

2 9 2 2 1

2 9 4 4 2 1 2 1

2 2 1 2

7 8 0

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x
x x x

x x
x
      
    
      

         
      
      
      
         
 

      
 



 8.

7
x



 

Vậy 0; 8 .

7
S  

 

 

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









2 2 2 9 2 6 1 3 1

3 1 4 1

1 3 1 2

y xy x x x y x x

y x x y x

        

      

 

 

    

 

Với y4x1, thay vào phương trình thứ hai và thu gọn ta được:

3 2

0 1

8 7 0 1 3 .

7 27

x y

x x x x y

x y

    




      

   


Với y 1 2 ,x thay vào phương trình thứ hai và thu gọn ta được:

3 2

0 1

4 3 0 1 3 .

3 7

x y

x x x x y

x y

   




       

    


Vậy hệ cho có 6 nghiệm



x y;

 

 0; 1 , 1;3 , 7; 27 , 0;1 ,

   

1;3 ,

 

3; 7 .



Câu 3.

Gọi

H

là trực tâm của tam giác

ABC

và

OH

cắt đường thẳng qua

A

1

,

vng góc với

BC

ở điểm

K

.

Gọi

M

là trung điểm

AA

1 thì

OM



AA

1. Suy ra

OM



BC

.

Mặt khác, tứ giác

AHKA

1 là hình thang vì

AH



A K

1 nên ta có

OM

là đường trung bình, kéo theo

O

là
trung điểm

HK

hay nói cách khác, đường thẳng qua

A

1

,

vng góc với

BC

sẽ đi qua điểm đối xứng với
trực tâm

H

của tam giác

ABC

qua

O

.

Rõ ràng điểm này bình đẳng với

B C

,

nên hai đường qua

B C

1

,

1 lần lượt vng góc với

CA AB

,

cũng đi qua

.

K

Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở

K

.

Câu 4.

a) Ta có:

M

K
O

H

A1

C
B

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>





































2 2

2
2

2 2

2
2

2 2

0
a b
a b

ab

a b
a b
a b ab

a b
a b
a b

a b

a b a b a b

a b a b


  

 



   

 



  

 

     

   

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab.

b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

20 20

5a 20 20 5 .a

a a

    

7 7

7b 14 14 7 .b

b b

    

Do đó: Q  b a 205a 14 7b346



a b



34  6 3 16.
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a2,b1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 16 đạt được a2,b1.
Câu 5.

a) Ta có

JE

là đường kính của

( )

I

nên

JDE





90 

và tam giác

HDE

vuông ở

D

.

Chú ý rằng

BD



BE

, do cùng là tiếp tuyến kẻ từ

B

đến

( )

I

nên

BD



BH

(tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền). Do đó
tam giác

BHD

cân ở

B

.

Vì

AL BH



nên hai tam giác

ADL

và

BDH

đồng dạng, kéo theo

ADL

cân ở

A

hay

AL



AD



AE

.

T

K
M

L

H

J

I

F

E
D

C
B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vì

AL CE



nên

LAF





FCE



, mà hai tam giác

ALF CEF

,

đều cân có các góc ở đỉnh bằng nhau nên chúng
đồng dạng. Suy ra

Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên TPHCM năm 2020 và đáp án









 

 

 

 





 

 

<i>x y</i>

,

3



<i>y</i>



1.





















<sub></sub>

<sub></sub>

























 





 



















 

   

   

 



<i>H</i>

<i>ABC</i>

<i>OH</i>

<i>A</i>

,

<i>BC</i>

<i>K</i>

.

<i>M</i>

<i>AA</i>

<i>OM</i>



<i>AA</i>

<i>OM</i>



<i>BC</i>

.

<i>AHKA</i>