ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009
Môn Toán (dành cho mọi thí sinh)
Ngày thi 25 tháng 6 năm 2008
Câu 1: a) Giải hệ phơng trình:
2 5
1
x y
x y
+ =


=

b) Giải phơng trình : x
4
-10 x
2
+ 9 =0
Giải
a)
2 5 3 6 2
1 1 1
x y x x
x y y x y
+ = = =



= = =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)
=(2;1)
b) đặt x
2
=t (t

0) ta có x
4
-10 x
2
+ 9 =0

t
2
-10t+9=0
Nhẩm Vi-ét a+b+c=1+(-10)+9 =0 ta có t
1
=1; t
2
=9
Vậy phơng trình x
4
-10 x
2
+ 9 =0 có 4 nghiệm x
1
=-1;x
2
=1;x
3

=-3;x
4
=3
Câu 2: Cho phơng trình bậc 2 : x
2
-2(m+1)x+m
2
-1=0 (1) m là tham số
a) Giải phơng trình (1) khi m=7
b) Tìm tất cả các giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm (1)

tìm hệ thức liên hệ x
1
;x
2
không phụ
rhuộc m
Giải
a) Thay m=7 ta có x
2
-2(m+1)x+m
2
-1=0

x

2
-16x+ 48=0
/

=16>0 ; x
1
=12;x
2
=4
b)Để phơng trình (1) có nghiệm
/
0
;
/

=(m+1)
2
-(m
2
-1)=m
2
+2m+1-m
2
+1=2m+2

0
1m


vậy

1m

thì phơng trình (1) có nghiệm
c)Với
1m

theo Vi-ét ta có
1 2
1 1
2
2
1 2
1 2
1 2
1
2( 1)
2
1
1 1(*)
2
x x
m
x x m
x x
x x m
x x
+

=

+ = +




+
=



=
ữ



2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
(*) 4 ( 2) 4 ( ) 4( ) 0x x x x x x x x m
= + + =
Câu3
d
K
I
N
M
D
A
O
B
C

a)Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp
b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh AI vuông góc với CD
c)Xác định vị trí C sao cho MN nhỏ nhất
Giải
a)
1 1 1
; ( ) ;
2 2 2
ACD SdcungCD DNM sd cungAB cungBD sdcungCD = = =
vậy
ACD DNM
=
mà
0 0
180 180ACD DCM DNM DCM
+ = + =
Nên tứ giác CDNM nội tiếp ( theo định lý đảo)
b)Vì tứ giác CDNM nội tiếp nên
ADK AMN
=
mà do I là trung điểm MN
nên

AIN cân suy ra
AND DAK
=
mà
0 0
90 90ANM AMN DAK ADK
+ = + =

trong

ADK có
0
90DAK KDA
+ =
nên
0
90AKD
=
hay
AI CD


(đpcm)
c)Ta có

AMN vuông tại A có AI là trung tuyến MN=2AI MN nhỏ nhất
khi AI nhỏ nhất ta có
2 2MN AI AB
=

Vậy MN nhỏ nhất khi MN=2AB khi
I B

khi CD vuông góc với AB
Câu 4:Cho x,y thoả mãn x>0,y>0. x+y

1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2
1 1
P xy
x y xy
= + +
+
Ta cã
2 2 2 2
1 1 1 1 1
8 7
2 2
P xy xy xy
x y xy x y xy xy
   
= + + = + + + −
 ÷  ÷
+ +
   
¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc
2
1 1 4
; 2 ;
2
A B
A B AB AB
A B A B
+
 

+ ≥ + ≥ ≤
 ÷
+
 
2
2
4 1 7 25
2 .8 7 4 4
( ) 2 2 4 4
x y
P xy
x y xy
+
 
≥ + − ≥ + − =
 ÷
+
 
VËy
25
( )
4
Min P
=
Khi
1
1
2
1
8

2
x y
x y x y
xy
xy


=


+ = ⇔ = =



=


C¸ch kh¸c
2 2 2 2
1 1 1 1 1 15
2 16 16
P xy xy
x y xy x y xy xy xy
   
= + + = + + + +
 ÷  ÷
+ +
   
2 2
4 1 15 1 15 2 5

2 . 4
( ) 16 4( ) 2 4 4
P xy
x y xy x y
≥ + + ≥ + + =
+ +
Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009
Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Ngày thi 26 tháng 6 năm 2007
Câu 1 Cho phơng trình bậc 2 : x
2
+2(m+1))x+m
2
+m+2 =0 (1) ( x là ẩn)
a)Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của (1) tìm m để P= x
1
x
2
+ 2(x
1
+x
2
)có giá trị
nhỏ nhấ

Giải
a) Xét phơng trình (1): Điều kiện có nghiệm
/
0


( )
2
' 2
1 ( 2) 1 0 1m m m m m = + + + =

Vậy với
1m

thì PT ( 1) có nghiệm
b) với
1m

Gọi các nghiệm là
21
, xx
Theo Viét ta có

( )
1 2
2
1 2
2 1
. 2
x x m

x x m m
+ = +



= + +



( )
2
2
1 2 1 2
3 17 17
2 3 2
2 4 4
P x x x x m m m

= + + = =
ữ

Vậy Min (P) =
17 3
; :
4 2
khi m
=
thoả mãn
/
0

Câu 2: Giải phơng trình
2
2 4 1x x x+ =
ĐKXĐ :
1x

Giải
2 2
2
2 4 1 2 1 3 3 4 1
( 1) 3( 1) 4 1 0(*)
x x x x x x x
x x x
+ = + + =
+ =
đặt
1 ( 0)x t t
=

(*)

t
4
+3t
2
-4t =0

t(t-1)(t
2

+t+4)=0

t=0 hoặc t=1
Vì t
2
+t+4 >0 mọi t
*Với t=0 thì x=1(t/m)
* Với t=1 thì x=2 (t/m)
Vậy PT có 2 nghiệm x
1
=1;x
2
=2
Câu3: Giải hệ phơng trình
3
3
3 2 (1)
3 2 (2)
x x y
y y x

= +


= +


Giải
Lấy PT(1) trừ PT 2 ta đợc PT : 3(x
3

-y
3
)=y-x

(x-y)(3x
2
+3xy+3y
2
+1)=0(*)
Ta có 3x
2
+3xy+3y
2
+1=
2
2 2 2
2
3 3
3 2 1 3 1 0, : ,
2 4 4 2 4
y y y y y
x x x voi x y



+ + + + = + + + >

ữ

(*)
0x y x y
= =
thay vào (1) ta đợc
3x
3
=x+2x

3x(x-1)(x+1)=0 vậy PT có 3 nghiệm (x;y)=(0;0);(1;1);(-1;-1)
Câu 4
R/
R
I'
2
2
1
1
Q
P
H
C
A
J
F
E
N
I

B
O
M
a)MN//NF và MF,NE,OI đồng quy
do

MBN=90
0
nên

EBF =90
0
suy ra E,I,F thẳng hàng
ta có

OMB=

OBM=

IBE=

IEB nên MN//EF ( đpcm)
gọi giao điểm MF,NE là J nối JO cắt EF tại I

áp dụng hệ quả định lý Ta-
lét ta có:
, , .
OM JO ON
I F JI I E
= =

mà OM=ON suy ra I
/
F=I
/
E mà I

EF nên I
/


I hay
MF,NE,OI đồng quy mặt khác do
JO OM OB
JI IF IB
= =
không đổi mà B,O,I cố
định nên J cố điịnh (đpcm)
b) Chứng minh tổng ME
2
+NF
2
không đổi
Đặt OB=R,BI=R
/
Ta có
ME
2
+NF
2
=(MB+BE)

2
+(NB+BF)
2
=MB
2
+2MB.BE+BE
2
+NB
2
+2NB.BF+BF
2
=( MB
2
+NB
2
)+( BE
2
+ BF
2
)+2(
2 2
. . )
MB NB
BE BF
BE BF
+
(*)
Mà: MB
2
+NB

2
= MN
2
=4R
2
; BE
2
+ BF
2
=EF
2
=4R
/2
;
/
MB NB OB R
BE BF BI R
= = =
thay vào
(*)
ME
2
+NF
2
=4R
2
+4R
/2
+
/

2.
R
R
.4R
/2
=4R
2
+4R
/2
+8RR
/
=4(R+R
/
)
2
không đổi
(đpcm)
c)Gọi H là hình chiếu của B trên MF chứng minh HB là phân giác góc
OHI
qua O và I kẻ hai đờng thẳng vuông góc với AC cắt MF tại P và Q
ta có tứ giác POBH,QIBH nội tiếp nên

H
1
=

B
1
;

H
2
=

B
2

(1)
mặt khác ta có
OP JO OM OB
IQ JI IF BI
= = =
nên

POB đồng dạng với

QIB
(c.gc.c)
nên

B
1
=

B
2
(2)
từ (1) và (2) ta có

H

1
=

H
2
;suy ra

OHB=

IHB
Hay HB là phân giác góc OHI ( đpcm)
Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh bất đẳng
thức

3
2 2 2 2 2 2
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ + +
Giải
Ta có
2 2 2
3 3 3
3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 )
3 3 3
(*)
3 (2 2 ) 3 (2 2 ) 3 (2 2 )
a b c
VT

a b c a b a c b c a b c
a b c
VT
a b c a b a c b c a b c
= + +
+ + +
= + +
+ + +
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B
2
A B
AB
+

Ta có
3 2 2 3 3
3 (2 2 ) (1)
2
3 (2 2 )
a b c a a a
a b c a a b c
a b c
a b c a
+ +
+ = + +
+ +
+
Tơng tự
3 2 2 3 3
3 (2 2 ) (2)

2
3 (2 2 )
b a c b b b
b a c b a b c
a b c
b a c b
+ +
+ = + +
+ +
+
3 2 2 3 3
3 (2 2 ) (3)
2
3 ( 2 2 )
c a b c c c
c a b c a b c
a b c
c a b c
+ +
+ = + +
+ +
+
Từ (1),(2),(3) ta có

3
2 2 2 2 2 2
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ + +

Dấu = xảy ra khi
3 2 2
3 2 2
3 2 2
a b c a
b a c b a b c
c a b c
= +


= + = =


= +

Hay tam giác đó đều
Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên hùng vơng
Năm học 2008-2009
Môn Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Tin)
Ngày thi 26 tháng 6 năm 2008
Câu 1,2,3 Nh đề thi vào chuyênToán
Câu 4:
a) Chứng minh K thuộc (O) và K thuộc đờng thẳng cố định
2
1
2
1
2
1
Q

P
I
K
N
M
D
B
C
A
O
xét tứ giác KMDN có

KMD+

KND=90
0
+90
0
=180
0
nên tứ giác KMDN
nên K thuộc đờng tròn đi qua MDNA
ta có

KMD=90
0
nên KD là đờng kính của (O) suy

KAD=90
0

,AD cố
định nên KA vuông góc với AD vậy K thuộc tia AK cố định
b)Gọi I là trung điểm MN chứng minh I thuộc đờng thẳng cố định
Kẻ DP

AB, DQ

AC thì PQ cố định ta chứng minh I

PQ
Ta có K,O,I,D thẳng hàng nên DI

MN. Ta chứng minh đợc 2 tứ giác
MPDI,NQID nội tiếp suy ra

I
1
=

D
1
;

I
2
=

D
2
(1)

Mà

PDQ+

BAC=180
0
=

MDN+

BAC suy ra

PDQ=

MDN
Suy ra

D
1
=

D
2
(2) .Từ (1) &(2) ta có

I
1
=

I

2
mà

I
1
+

PIN=180
0
Suy ra I
2
+

PIN=180
0
hay P.I,Q thẳng hàng hay I

PQ cố định
c)Xác định (O) để MN nhỏ nhất
Ta có

PDQ=

MDN ,

NMD=

QPD
suy

MDN đồng dạng với

PDQ nên
1
MN MD
MN PQ
PQ PD
=
( không đổi)
Giá trị nhỏ nhất MN=PQ khi
;M P N Q

Khi đó AMN cân tại A
và I

AD
Vậy O

AD hay đờng tròn (O) nhận AD là đờng kính
Câu 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác .Chứng minh bất đẳng
thức

3
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ + +
Giải
Ta có
2 2 2

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a b c a b a c b c a b c
a b c
VT
a b c a b a c b c a b c
= + +
+ + +
= + +
+ + +
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng A,B
2
A B
AB
+

Ta có
2
( ) (1)
2 2
( )
a b c a b c a a
a b c a
b c
a b c a
+ + +
+ =
+

+
Tơng tự
( ) (2)
2 2
( )
b a c b a c b b
b a c b
a c
b a c b
+ + +
+ =
+
+
( ) (3)
2 2
( )
c a b c a b c c
c a b c
a b
c a b c
+ + +
+ =
+
+
Từ (1),(2),(3) ta có
2
a b c a b c
b c a a c b a b c b c a c a b

+ + + +

ữ
+ + + + + +

Ta chứng minh đợc
3
2
a b c
b c a c a b

+ +
ữ
+ + +

nên
3
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ + +
Dấu - xảy ra khi
a b c a
b a c b a b c
c a b c
= +


= + = =


= +

Hay tam giác đó đều
Cách khác đặt b+c-a=x;c+a-b=y;a+b-c=z thì x+y=2c;y+z=2a;x+z=2b
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
3
2 2 2
y z x z x y
x y z
+ + +
+ +
áp dụng bất đẳng thức
3
3 ; 2A B C ABC A B AB
+ + +
6
3
2 .2 .2
( )( )( )
3 3 3
2 2 2 8 8
yz xz xy
y z x z x y y z x z x y
x y z xyz xyz
+ + + + + +
+ + =
Dấu = xảy ra khi x=y=z hay a=b=c
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141
gmail:
Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP;

ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến
nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và
cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc
với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về