Luận văn thạc sĩ tích có hướng của hai vectơ trong dạy học toán và vật lí ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRONG DẠY HỌC TỐN VÀ VẬT LÍ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Minh Nguyệt

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRONG DẠY HỌC TỐN VÀ VẬT LÍ
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số

: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn
được trình bày trong luận văn hồn tồn chính xác và đáng tin cậy.
Tác giả

Nguyễn Thị Minh Nguyệt


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, người
đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và động viên tơi trong suốt q trình học tập khóa
học cũng như thực hiện luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lê Văn Tiến, cơ Lê Thị Hồi Châu,
thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Tăng Minh Dũng đã giảng
dạy cho tôi những bài học Didactic hết sức bổ ích.
Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy, cô trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh đã tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 27 để tơi có những hướng
đi tốt cho nghiên cứu của mình.
Tơi chân thành cảm ơn GS.TS. Annie Bessot và GS.TS Hamid Chaachoua về
những lời góp ý tuyệt vời để tơi tìm ra được hướng đi tốt cho phần thực nghiệm của
luận văn.
Tơi tỏ lịng biết ơn đến:
- BGH cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, Bình Dương
đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt thời gian tơi theo học khóa cao học tại
trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
- BGH, đồng nghiệp cùng các em học sinh lớp 12A2 trường THPT An Mỹ, Bình
Dương đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm tại q trường.

- Các bạn cùng lớp Didactic Tốn khóa 27 về những chia sẻ, giúp đỡ và động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
- Gia đình tôi, nơi luôn là chỗ dựa và là nguồn động viên lớn nhất để tơi có thể
hồn thành tốt việc học và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng cho tơi xin được dành vài dòng để gửi lời cảm ơn đến người cha quá
cố của tôi, người luôn yêu thương và động viên tơi. Niềm mơ ước của người là được
nhìn thấy tôi trong ngày tôi nhận bằng Thạc sĩ. Tuy nhiên niềm mơ ước của người
không thể thực hiện được vì người đã ra đi mãi mãi trong khoảng thời gian tơi đang
học khóa học. Nhờ tình u thương của người mà tơi đã quyết tâm hồn thành tốt
khóa học và luận văn này.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Minh Nguyệt


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chương 1. KHÁI NIỆM TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ở BẬC
ĐẠI HỌC ............................................................................................... 7
1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong giáo trình Hình học bậc
đại học ........................................................................................................... 7
1.1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ. ............................................ 7
1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của
hai vectơ. ........................................................................................ 10
1.2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong một số giáo trình Vật lí

bậc đại học ................................................................................................... 16
1.2.1. Khái niệm tích có hướng và khái niệm momen lực trong giáo
trình Vật lí ...................................................................................... 16
1.2.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của
hai vectơ và khái niệm momen lực. ............................................... 24
Tiểu kết chương 1 .............................................................................................. 29
Chương 2. KHÁI NIỆM TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG
THỂ CHẾ DẠY HỌC TỐN VÀ VẬT LÍ Ở THPT ...................... 30
2.1. Chương trình và SGK Tốn 12 hiện hành ................................................... 30
2.1.1. Chương trình và SGK Hình học 12 ................................................ 30
2.1.2. Chương trình và SGK Hình học 12 NC .......................................... 44
2.2. Khái niệm momen lực trong SGK Vật lí 10 hiện hành. .............................. 59
2.2.1. Khái niệm momen lực trong SGK Vật lí 10 hiện hành .................. 60


2.2.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng và
khái niệm momen lực ................................................................... 65
Tiểu kết chương 2 .............................................................................................. 67
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................... 69
3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 69
3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 70
3.2.1. Hình thức – Đối tượng thực nghiệm ............................................... 70
3.2.2. Xây dựng tình huống thực nghiệm ................................................. 70
3.2.3. Phân tích tiên nghiệm...................................................................... 82
3.2.4. Phân tích kịch bản ........................................................................... 84
3.3. Diễn tiến thực nghiệm ................................................................................. 88
Tiểu kết chương 3 ............................................................................................ 100
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 101
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 102
PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT : Trung học phổ thông
SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

Tp

: Thành phố

Nxb

: Nhà xuất bản

NC

: Nâng cao

TVH

: Tích vơ hướng


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Bài làm trên phiếu 1.2 của HS (vẽ vectơ 𝐜 theo tinh thần chủ quan) ....... 89
Hình 3.2. Sản phẩm của N3 (Đặt được mũi tên đỏ đúng hướng) ............................. 91
Hình 3.3. Sản phẩm của N6 (Bộ sản phẩm gần hình vẽ) ......................................... 91
Hình 3.4. Sản phẩm của N3 (Đặt mũi tên xanh sai chiều, phương ) ........................ 92
Hình 3.5. Sản phẩm của N2 (Đặt mũi tên xanh đúng yêu cầu) ................................ 92
Hình 3.6. Sản phẩm của N6 (bổ sung vào hình vectơ momen) ................................ 93
Hình 3.7. Sản phẩm của N5 (xác định vectơ 𝐫) ........................................................ 94
Hình 3.8. Sản phẩm của N4 (mơ tả đủ các vectơ) .................................................... 94
Hình 3.9. Sản phẩm của N1(Nhận xét về phương của vectơ momen) ..................... 95
Hình 3.10. Sản phẩm của N4 (nêu cách xác định chiều của momen) ...................... 95
Hình 3.11. Sản phẩm của N2 (sử dụng chiến lược 𝐒𝐂𝐓Đ ) ...................................... 97
Hình 3.12. Sản phẩm của N4 .................................................................................... 97
Hình 3.13. Sản phẩm của N1 .................................................................................... 98
Hình 3.14. Sản phẩm của N1(trong phiếu 2) ............................................................ 98
Hình 3.15. Sản phẩm của N1 .................................................................................... 99


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài báo có tựa đề “Khái niệm vectơ trong dạy học Toán và Vật Lí ở trường phổ

thơng”, các tác giả Nguyễn Thị Nga, Trần Thị Túy Phượng nói về sự tồn tại đồng
thời của khái niệm vectơ trong Tốn và Vật lí ở phổ thông và sự cần thiết nghiên cứu
khái niệm vectơ trong mối liên hệ Tốn – Vật lí:
“Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học. Lí thuyết
vectơ có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt là trong Vật lí và Kĩ
thuật.
Vectơ được đưa đồng thời vào chương trình sách giáo khoa Hình học và Vật lí ở
phổ thơng tạo điều kiện thuận lợi cho việc liên môn giữa hai ngành khoa học này.
Với học sinh lớp 10, vectơ không chỉ là một khái niệm toán học mới mà đây là lần
đầu tiên tiếp xúc với yếu tố định hướng của một đối tượng. Điều này gây ra ít nhiều
khó khăn cho học sinh trong việc học tập khái niệm này.
Hơn thế nữa sự trình bày của sách giáo khoa cùng với việc giảng dạy vectơ trong
Tốn và Vật lí ở phổ thơng có nhiều nối tiếp nhưng cũng có một số ngắt quãng.
Điều này dẫn đến khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp thu và vận dụng kiến
thức. Do đó, việc nghiên cứu khái niệm vectơ trong mối liên hệ Tốn – Vật lí là thật
sự cần thiết.”
(Nguyễn Thị Nga & Trần Thị Túy Phượng, 2015)

Cùng nghiên cứu về khái niệm vectơ có luận văn thạc sĩ giáo dục học với đề tài
“Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thơng: Vectơ hình học và
vectơ Vật lí” của tác giả Ngơ Thị Hồng Hạnh:
Ở nghiên cứu này, tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ
với các thể chế dạy học Tốn trung học phổ thơng và Vật lí phổ thơng hiện hành. Từ
đó tác giả đưa ra các nhận định:


2
Vectơ trong hình học là đối tượng nghiên cứu chính thức trong chương trình
Hình học 10, vectơ đóng vai trị là công cụ để nghiên cứu một số vấn đề trong hình
học phẳng và hình học khơng gian, cho phép trình bày kiến thức của hình học một

cách ngắn gọn, rõ ràng và là cái cầu chuyển qua phương pháp giải tích trong nghiên
cứu hình học.
Vectơ trong Vật lí đóng vai trị là cơng cụ cho phép thu gọn các định luật Vật lí
dưới dạng một hệ thức vectơ.
Sau đó tác giả nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ làm
cơng cụ trong Vật lí.
Trong luận văn thạc sĩ giáo dục học có tựa đề “Một nghiên cứu didactic về khái
niệm tích vơ hướng trong chương trình Trung học phổ thơng”, tác giả Trần Thị Thu
Hiền đã chỉ ra mối liên hệ còn rất yếu giữa Tốn 10 và Vật lí 10 đối với tri thức tích
vơ hướng của hai vectơ:
TVH là một cơng cụ đắc lực để giải quyết các bài toán Toán học cũng như cácbài
tốn Vật lý. Bài tốn tính cơng cũng áp dụng công cụ TVH để giải quyết,nhưng mối
quan hệ này chưa được tính đến một cách cẩn thận trong chương trình lớp 10. Đó
là sự nhầm lẫn của SGK Vật lý lớp 10 khi cho rằng HS chưa được học khái niệm
TVH nên chỉ định nghĩa A=Fs.cosα.
(Trần Thị Thu Hiền, 2013)

Tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm tích vơ hướng của hai
vectơ với thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 thơng qua việc phân tích chương
trình và SGK Hình học 10 và Vật Lí 10 hiện hành và đưa ra kết luận: tích vơ hướng
của hai vectơ là cơng cụ đắc lực để giải quyết các bài toán Toán học cũng như bài
tốn Vật lí, tuy nhiên mối quan hệ này chưa được tính đến một cách cẩn thận trong
chương trình lớp 10.
Những ghi nhận ban đầu cho chúng tơi thấy rằng các khái niệm xoay quanh
vectơ đều có thể nghiên cứu trên cả hai lĩnh vực: Toán và Vật lí, và các cơng trình
đều nghiên cứu các khái niệm vectơ và khái niệm tích vơ hướng, tuy nhiên chúng tôi


3
chưa tìm thấy cơng trình nào nghiên cứu về khái niệm tích có hướng của hai vectơ,

điều này đã giúp chúng tơi ý tưởng đến với khái niệm tích có hướng của hai vectơ.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi ban đầu sau:
- Nếu như tích vơ hướng là “cơng cụ đắc lực” để giải quyết một số bài toán trong
Toán cũng như trong Vật Lí thì tích có hướng của hai vectơ có vai trị gì trong cả hai
lĩnh vực này?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày như thế nào trong
chương trình và SGK Tốn ở THPT? Khái niệm này được đưa vào nhằm giải quyết
các vấn đề gì?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có vai trị gì trong Vật lí ở THPT? Nó
hiện diện như thế nào trong chương trình và SGK Vật lí THPT?
- Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì trong Tốn và Vật lí?
Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Tích có hướng
của hai vectơ trong Tốn và Vật lí ở trung học phổ thơng”.
2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố cơng cụ của lí thuyết
Didactic Toán, bao gồm: thuyết nhân học trong dạy học Toán (cụ thể là các khái niệm
quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức tốn học của lí thuyết
nhân chủng học), lí thuyết tình huống và khái niệm đồ án dạy học.
3. Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu là: Xây dựng một tiểu đồ án dạy học để có thể kết nối
khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và khái niệm liên quan đến tích có
hướng của hai vectơ trong Vật lí.
Để thực hiện được mục tiêu chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau:
CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các giáo
trình Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong hai
lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì?
CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể chế
dạy học Tốn và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so với

4
thể chế dạy học Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Nhằm giải quyết vấn đề gì? Mối liên
hệ (nếu có) ở CH1 thì có tồn tại ở bậc THPT không?
CH3: Để xây dựng một tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ mối liên hệ của khái niệm
tích có hướng trong Tốn và khái niệm liên quan đến tích có hướng trong Vật lí, cần
tính đến những yếu tố nào?
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau
Nghiên cứu so sánh hai thể chế tham chiếu ở bậc Đại học
(giáo trình Hình học cao cấp, Vật lí đại cương đại học)

Nghiên cứu so sánh hai thể chế ở bậc THPT
(các bộ sách Hình học 12 và Vật lí THPT hiện hành)

Tiểu đồ án dạy học
(nghiên cứu thực nghiệm)
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Chúng tôi nghiên cứu hai phương diện đối tượng và cơng cụ của khái niệm
tích có hướng của hai vectơ bằng cách chọn phân tích các giáo trình Hình học Cao
cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy và Vật lí đại cương –
tập 1, tập 2 do tác giả Lương Duyên Bình làm chủ biên, Cơ sở Vật lí tập 1, 2 – Cơ
học I, II của nhóm tác giả David Halliday cùng các cộng sự được dịch bởi nhóm tác
giả Ngơ Quốc Quýnh, hướng đến trả lời cho câu hỏi:
CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các
giáo trình Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong
hai lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì?


5
 Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm tích có hướng của

hai vectơ trong các thể chế dạy học Tốn và Vật lí ở bậc THPT hiện hành thơng qua
việc phân tích chương trình, các bộ sách giáo khoa Hình học 12 và Vật lí 10 hiện
hành ở Việt Nam để trả lời cho các câu hỏi:
CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể
chế dạy học Tốn và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so
với thể chế dạy học Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Nhằm giải quyết vấn đề gì? Mối
liên hệ (nếu có) ở CH1 thì có tồn tại ở bậc THPT khơng?
 Xây dựng và thực nghiệm tiểu đồ án dạy học nhằm giúp học sinh thấy rõ mối
liên hệ khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Tốn và khái niệm liên quan đến
khái niệm tích có hướng trong Vật lí.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 3 chương khơng kể phần mở đầu và phần kết luận.
Chương 1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở bậc Đại học
Trong chương này, chúng tơi trình bày các phân tích về khái niệm tích có hướng
của hai vectơ với hai phương diện là đối tượng và công cụ trong một số giáo trình
Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán học và sư
phạm Vật lí (cụ thể là giáo trình Hình học Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác
giả Nguyễn Mộng Hy; Vật lí đại cương – tập 1, tập 2 do tác giả Lương Duyên Bình
làm chủ biên; Cơ sở Vật lí tập 1, 2 của nhóm tác giả David Halliday được dịch bởi
nhóm tác giả Ngơ Quốc Qnh). Đồng thời chúng tơi tìm kiếm các kiểu nhiệm vụ
liên quan đến khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở cả trong hai lĩnh vực Tốn và
Vật lí trong các giáo trình chúng tơi chọn phân tích, từ đó đi đến nhận xét khái niệm
tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì giữa Tốn và Vật lí.
Chương 2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong thể chế dạy học Tốn
và Vật lí ở THPT
Chúng tơi tập trung trình bày những phân tích về khái niệm tích có hướng của
hai vectơ ở hai phương diện là đối tượng và cơng cụ trong chương trình, SGK Hình
học 12 và Vật lí bậc THPT hiện hành ở Việt Nam. Đồng thời chúng tôi xem xét các

6
kiểu nhiệm vụ nào ở chương thứ nhất còn được giữ lại, kiểu nhiệm vụ nào bị mất đi
và kiểu nhiệm vụ nào mới được đưa vào ở bậc THPT, và các kiểu nhiệm vụ đó đưa
ra nhằm giải quyết các vấn đề gì? Từ đó đưa ra nhận xét về mối liên hệ của khái niệm
này trong hai lĩnh vực Tốn và Vật lí.
Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm
Dựa trên các kết quả thu được ở chương thứ nhất và thứ hai, chúng tôi xây dựng
một thực nghiệm dưới dạng tiểu đồ án dạy học nhằm giúp học sinh thấy rõ mối liên
hệ khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Tốn và Vật lí.


7

Chương 1. KHÁI NIỆM TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Ở BẬC ĐẠI HỌC
Mục đích nghiên cứu ở chương này nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên
cứu thứ nhất:
CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong
các giáo trình Tốn và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau
trong hai lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề
gì?
1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong giáo trình Hình học bậc
đại học
Chúng tơi tiến hành nghiên cứu các giáo trình: Hình học cao cấp, Bài tập Hình
học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy biên soạn và được xuất bản năm 2006. Đây
là giáo trình được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo cho sinh viên Toán
ngành sư phạm ở các trường cao đẳng, đại học Việt Nam. Tác giả Nguyễn Mộng Hy
cũng chính là chủ biên của bộ sách Hình học 12 cơ bản và nâng cao hiện hành.
1.1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ
Khái niệm tích có hướng của hai vectơ xuất hiện trong chương II: “ Không gian

ơclit và hình học ơclit” và ngay bài đầu tiên, bài 1: “ Bổ sung về các phép tốn trên
khơng gian vectơ”. Tích có hướng của hai vectơ được định nghĩa ngay sau phần tích
vơ hướng, và được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Trong 𝑉𝐸3 tích có hướng của hai
vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là một vectơ 𝑐⃗ thoả mãn các điều kiện
sau đây:
i.

𝑐⃗ ⊥ 𝑎⃗ và 𝑐⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗

ii.

̂⃗⃗
|𝑐⃗| = |𝑎⃗|. |𝑏⃗⃗|. 𝑠𝑖𝑛 (𝑎⃗,
𝑏) = dt hình bình

hành dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗.


8
Tam diện tạo bởi ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ là tam diện thuận (nếu vặn nút chai theo

iii.

chiều từ 𝑎⃗ đến 𝑏⃗⃗ thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ 𝑐⃗. – xem hình 6).
Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗.
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Ta nhận thấy rằng điều kiện (i) tác giả muốn xác định phương của vectơ tích có
hướng, điều kiện (ii) xác định độ dài của vectơ tích có hướng và cuối cùng điều kiện

(iii) là xác định hướng của vectơ tích có hướng. Giáo trình định nghĩa tích có hướng
của hai vectơ là một vectơ được xác định đủ ba yếu tố phương, hướng, độ dài theo ba
điều kiện rõ ràng.
Định nghĩa tích hỗn hợp của ba vectơ trong VE3 được phát biểu:
Tích hỗn hợp của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ trong 𝑉𝐸3 là một số, bằng cách nhân tích
có hướng hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ ta được 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ rồi vô hướng vectơ ấy với 𝑐⃗. Tích hỗn hợp
của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ được kí hiệu như sau: (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ ). 𝑐⃗
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Ngay sau định nghĩa tích hỗn hợp thì ý nghĩa hình học của nó cũng được giáo
trình đề cập đến:
Tính thể tích hình hộp dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ :
𝑉 = (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) với 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo nên một tam diện thuận
− 𝑉 = (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ , 𝑐⃗) với 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo nên một tam diện nghịch
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là tích hỗn hợp của chúng
bằng 0
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là tích hỗn hợp của
chúng bằng 0
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Biểu thức tọa độ tích có hướng của hai vectơ trong khơng gian VE3 được trình
bày trong bài 3: “Mục tiêu trực chuẩn – tọa độ trực chuẩn” và được trình bày thành
hai phần nhỏ:


9
- Phần a) là định nghĩa tích có hướng của hai vectơ bằng cơng thức tính thơng
qua tọa độ các vectơ với hình thức bước đầu cho bài tốn để người đọc tự giải, rồi
đưa ra biểu thức tính tích có hướng của hai vectơ như sau:
Trong hệ tọa độ Đề - Các vng góc Oxyz, cho hai vectơ 𝑎⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )

và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ). Hãy tìm tọa độ vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗. Ta dễ dàng tính được tọa
độ của 𝑐⃗ như sau:

𝑎2
𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (|𝑏
2

𝑎3 𝑎3
𝑏3 | , |𝑏3

𝑎1 𝑎1
𝑏1 | , |𝑏1

𝑎2
𝑏2 |)

(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

- Phần b) trình bày hệ quả của biểu thức hay nói cách khác đi đó chính là ý nghĩa
hình học tích có hướng của hai vectơ theo hướng Giải tích.
Nếu 𝜑 là góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ =
(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) ta có cơng
thức:

𝑠𝑖𝑛𝜑 =

⃗⃗|
|𝑎⃗⃗∧𝑏
± |𝑎⃗⃗|.|𝑏⃗⃗|

=

𝑎
√| 2
𝑏
2

𝑎3 2 𝑎3
𝑏3 | +|𝑏3

𝑎1 2 𝑎1
𝑏1 | +|𝑏1

𝑎2 2
𝑏2 |

√𝑎12 +𝑎22 +𝑎32 .√𝑏12 +𝑏22 +𝑏32

Gọi S là diện tích hình bình hành được dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ (H. 8):
𝑎2
𝑆 = |𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗| = √|𝑏
2

𝑎3 2
𝑎3
𝑏3 | + |𝑏3

𝑎1 2
𝑎1
𝑏1 | + |𝑏1

𝑎2 2
𝑏2 |
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)

Giáo trình cũng giới thiệu biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong VEn cũng như
chúng tơi có nhắc ở trên thì ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp là tính thể tích của hình
hộp dựng trên các vectơ a⃗⃗, ⃗⃗
b, c⃗
𝑎1
⃗
⃗
(𝑎⃗, 𝑏, 𝑐⃗) = |𝑏1
𝑐1

𝑎2
𝑏2
𝑐2

𝑎3
𝑏3 | = ±𝑉
𝑐3
(Nguyễn Mộng Hy, 2006)


10
1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của hai
vectơ
Hệ thống bài tập được tác giả đưa ra ngay sau phần trình bày lí thuyết của cả
chương. Về cơ bản là các bài tập trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình

học cao cấp là giống nhau. Từ quá trình phân tích các bài tập và lời giải được trình
bày, chúng tơi tìm thấy 7 kiểu nhiệm vụ gắn liền với tích có hướng của hai vectơ.
 𝐓𝟏𝟎 : “Tính diện tích hình bình hành được dựng trên hai vectơ 𝐚⃗⃗, ⃗𝐛”
Kĩ thuật τ10 :
- Tính c⃗ = a⃗⃗ ∧ ⃗⃗
b
1

- Diện tích hình bình hành: S = |c⃗| (hoặc diện tích tam giác: S = |c⃗|
2

Cơng nghệ θ10 : Định nghĩa tích có hướng hai vectơ, biểu thức tọa độ tích có
hướng.
Minh họa cho (T10 , τ10 ):
- Bài tập 2.3 trang 130, lời giải trang 144 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp:
2.3. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ 𝑎⃗ = (8,4,1), 𝑏⃗⃗ =
(2, −3,1) đối với một cơ sở trực chuẩn.
Lời giải:
Ta biết rằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ bằng |𝑐⃗|
trong đó 𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ nên: 𝑆ℎ𝑏ℎ = |𝑐⃗| = √1109 (đvdt)
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

 𝐓𝟐𝟎 : “Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng”
Kĩ thuật τ021 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a2 ; b2 ; c2 )
- Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB = (a1 ; b1 ; c1 ), AC
- Xét tỉ lệ tọa độ tương ứng của hai vectơ
- Nếu :
a1

a2

=

b1
b2

=

c1
c2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng
thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB, AC


11
a1
a2

≠

b1
b2

≠

c1
c2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương nên ba điểm A, B, C khơng thẳng
thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB, AC

hàng
Cơng nghệ θ021 : khái niệm hai vectơ cùng phương.
Kĩ thuật τ022 :
- Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB = (a1 ; b1 ; c1 ), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC = (a2 ; b2 ; c2 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB ∧ AC
- Nếu
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB ∧ AC
AB, AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0
⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khơng cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng
AB ∧ AC
AB, AC
hàng
Công nghệ θ022 : khái niệm hai vectơ cùng phương; Định nghĩa tich có hướng
của hai vectơ; Biểu thức tọa độ tích có hướng.

 𝐓𝟑𝟎 : “Tính diện tích tam giác ABC khi biết tọa độ ba điểm A, B, C”
Kĩ thuật τ03 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a2 ; b2 ; c2 )
- Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB = (a1 ; b1 ; c1 ), AC
- Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
- Diện tích tam giác ABC là: S = |AB
2

Công nghệ θ03 : Định nghĩa tích có hướng hai vectơ, biểu thức tọa độ tích có
hướng.
Để minh họa cho hai kiểu nhiệm vụ trên chúng tôi chọn bài 2.10 trang 131, lời
giải trang 149 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp.
2.10. Với hệ tọa độ trực chuẩn trong 𝐸 3 , cho ba điểm 𝐴(3,4, −1), 𝐵(2,0,3),
𝐶(−3,5,4). Hãy chứng tỏ ba điểm không thẳng hàng và tính diện tích của
tam giác ABC đó.
Lời giải
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (−1, −4,4); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (−6,1,5)


12
Ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng vì hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐶 khơng cùng phương.
−1

Ta có: −6 ≠

−4
1

4

≠ 5. Nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng

1
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi S là diện tích tam giác ABC. Ta có 𝑆 = 2 |𝐴𝐵
𝐴𝐶 | = 2 √1562

(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

Giáo trình đã chọn kĩ thuật τ021 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T20 .
 𝐓𝟒𝟎 : “Tính biểu thức vectơ”
Kĩ thuật τ04 :
- Sử dụng công thức để tính tốn
Cơng nghệ θ04 : Biểu thức tọa độ của tích có hướng, tích vơ hướng,…..
Minh họa cho (T40 , τ04 ): Bài 2.4 trang 130, lời giải trang 145 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
Đối với một cơ sở trực chuẩn cho ba vectơ 𝑎⃗ = (3,2,1), 𝑏⃗⃗ = (2,7,4), 𝑐⃗ =
(1,2,1). Tính tích hỗn hợp (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗). 𝑐⃗
Lời giải:

Ta có: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (−10, −8,19) nên (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ ). 𝑐⃗ = −17
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

 𝐓𝟓𝟎 : “Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến tích có hướng”
Kĩ thuật τ05 :
- Từ biểu thức ở vế trái sử dụng các cơng thức, tính chất biến đổi về biểu thức
vế phải (hoặc ngược lại hoặc biến đổi hai vế về cùng một biểu thức)
Công nghệ θ05 : Định nghĩa và các tính chất của tích có hướng, tích vơ hướng,…..
Minh họa cho (T50 , τ05 ): Bài 2.7 trang 131, lời giải trang 146 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
2.7. Chứng minh rằng
2

2

(𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2


13

Lời giải
2
2
̂
̂
Trong 𝑉𝐸3 ta có:(𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2 [𝑠𝑖𝑛2 (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗)]
2

2

Vậy: (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗ ) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

 𝐓𝟔𝟎 : “Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d”
Kĩ thuật τ06 :
- Chọn điểm M0 thuộc d và a⃗⃗ là vectơ chỉ phương của d
- Tính tọa độ vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
M0 M
- Gọi MH là khoảng cách từ M đến d. Khi đó ta có cơng thức
MH =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗|
|M
0 M∧a
|a
⃗⃗|

Cơng nghệ θ06 : Định nghĩa của khái niệm tích có hướng, cơng thức tính diện tích
tam giác.
Minh họa cho (T60 , τ06 ): Bài 2.5 trang 131, lời giải trang 145 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
2.5. Tính khoảng cách từ một điểm 𝑀1 đến
đường thẳng d. Cho biết các tọa độ trực
chuẩn của điểm 𝑀1 là (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), của
điểm 𝑀0 thuộc đường thẳng d là
(𝑥10 , 𝑥20 , 𝑥30 ) và đường thẳng d có phương
𝑎⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
Lời giải
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑀0 𝑀1 = (𝑥1 − 𝑥10 , 𝑥2 − 𝑥20 , 𝑥3 − 𝑥30 )
Gọi 𝑀1 𝐻 là khoảng cách từ 𝑀1 đến đường thẳng d. Ta có cơng thức
𝑀1 𝐻 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝑀
⃗⃗|
0 𝑀1 ∧𝑎
|𝑎⃗⃗|


14

0

Vậy: 𝑀1 𝐻 =

√|𝑥2 −𝑥2
𝑎2

2

𝑥3 −𝑥30
𝑥 −𝑥 0
| +| 3 3
𝑎3
𝑎3

2

𝑥1 −𝑥10
𝑥 −𝑥 0
| +| 1 1
𝑎1
𝑎1

𝑥2 −𝑥20
|
𝑎2

2

√𝑎12 +𝑎22 +𝑎32

(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

 𝐓𝟕𝟎 : “Tìm tọa độ đỉnh C, D của hình vng ABCD khi biết tọa độ hai
đỉnh A, B và điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)”
Kĩ thuật τ07 :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
- Tính tọa độ vectơ m
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BA ∧ BM
- Ta có m
⃗⃗⃗⃗ ⊥ (ABC)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (kc1 , kc2 , kc3 ) với k ≠ 0
- Giả sử tọa độ kBC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
- Từ { kBC ⊥ m
giải tìm c1 , c2 , c3

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
kBC
BA
- Xác định k suy ra tọa độ đỉnh C
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra tọa độ đỉnh D
- Từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BD = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BA + BC
Công nghệ θ07 : Định nghĩa của khái niệm tích có hướng, phép cộng vectơ.
Minh họa cho (T70 , τ07 ): Bài 2.6 trang 131, lời giải trang 145 giáo trình Bài tập
Hình học cao cấp.
2.6. Với hệ tọa độ trực chuẩn
{𝑂; ⃗⃗⃗⃗,
𝑒1 ⃗⃗⃗⃗,
𝑒2 ⃗⃗⃗⃗}
𝑒3 cho hai điểm A(2, -1, 3)
và B(1, 1, 5). Hình vng ABCD và
5

điểm 𝑀0 (2 , −3,0) thuộc mặt phẳng
(ABC). Hãy tìm tọa độ điểm C, D
Lời giải
Ta có:
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 = (1, −2, −2) ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 = ( , −4, −5)
2

Đặt 𝑚

⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀


15
−2 −2 −2 13 13
Ta có: 𝑚
⃗⃗⃗ = (|
|,|
|,|
−4 −5 −5 2 2

−2
(2,2, −1)
−4|) =

Vectơ 𝑚
⃗⃗⃗ này cũng vng góc mặt phẳng (ABC) chứa hình vng ABCD.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑘𝑐1 , 𝑘𝑐2 , 𝑘𝑐3 ) với 𝑘 ≠ 0
Giả sử 𝑘𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑚
𝑘𝐵𝐶
⃗⃗⃗ ⇒ 2𝑐1 + 2𝑐2 − 𝑐3 = 0 (vì 𝐵𝐶
⃗⃗⃗ = 0)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑐1 − 2𝑐2 − 2𝑐3 = 0 (vì 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0)

𝑘𝐵𝐶
1

Chọn 𝑐3 = 1. Tính 𝑐1 = 1, 𝑐2 = − 2
1

Vậy (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ) = (1, − 2 , 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −1,2) cùng phương với vectơ 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Ta chọn vectơ 𝑘𝐵𝐶
Cần xác định hệ số k. Hình vng ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √1 + 4 + 4 = √9 = 3 ⟹ 𝑘 = 1 . Vậy 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −1,2).
|𝐵𝐴
Vì tọa độ B(1, 1, 5) nên tính được tọa độ đỉnh C là (3, 2, 7)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, −3,0). Do đó tính tọa độ điểm D là (4, 2, 5).
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐴 + 𝐵𝐶
(Nguyễn Mộng Hy, 2009)

Nhận xét
Trong giáo trình Hình học cao cấp, khái niệm tích có hướng của hai vectơ được
xét trong khơng gian VE3 và được định nghĩa là một vectơ nên giáo trình có chú trọng
đến ba yếu tố (phương, độ dài, và hướng) của vectơ tích có hướng ngay từ định nghĩa.
Đặc biệt vectơ tích có hướng được xem như là một vectơ tự do, tức là không quan
tâm đến điểm đặt của nó.
Bên cạnh đó, giáo trình có xây dựng biểu thức tọa độ của tích có hướng, có
nghĩa là khái niệm này cũng được định nghĩa thông qua tọa độ các vectơ. Giáo trình
trình bày ý nghĩa hình học của khái niệm tích có hướng của hai vectơ (tính diện tích

của hình bình hành, thể tích của hình hộp, điều kiện để ba vectơ đồng phẳng). Các
kiểu nhiệm vụ tìm thấy ở giáo trình cho thấy rằng tác giả quan tâm đến phương của


16
vectơ tích có hướng của hai vectơ vì yếu tố phương này phục vụ cho việc tìm vectơ
pháp tuyến, vectơ chỉ phương, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Tác giả
còn quan tâm đến yếu tố độ dài của tích có hướng vì yếu tố này phục vụ cho việc giải
quyết các vấn đề liên quan đến tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, tính
thể tích khối chóp, khối hộp. Đặc biệt tác giả hồn tồn không quan tâm đến yếu tố
hướng, minh chứng là chúng tơi đã khơng tìm thấy kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến
yếu tố hướng của tích có hướng của hai vectơ. Tuy nhiên tích có hướng chưa được
sử dụng như một cơng cụ giải quyết các vấn đề ngồi phạm vi Tốn học. Nghĩa Vật
lí của khái niệm khơng được tìm thấy trong giáo trình.
1.2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong một số giáo trình Vật lí bậc đại
học
Chúng tơi chọn phân tích một số giáo trình Vật lí được sử dụng làm tài liệu tham
khảo của sinh viên cụ thể:
 Vật lí đại cương – tập 1, 2 do Lương Duyên Bình (Chủ biên), giáo trình này
làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. Tác giả này cũng chính là chủ biên của bộ sách
Vật lí các khối lớp của THPT dành cho chương trình chuẩn.
 Cơ sở Vật lí tập 1, 2 – Cơ học I, II của nhóm tác giả David Halliday, Robert
Resnick, Jearl Walker được dịch bởi Ngơ Quốc Qnh, Phan Văn Thích, Đàm Trung
Đồn, Lê Khắc Bình, Đào Kim Ngọc; Giải bài tập và bài tốn cơ sở Vật lí tập 1, 2
của nhóm tác giả Lương Dun Bình và Nguyễn Quang Hậu. Theo chủ trương của
Vụ đào tạo Đại học Bộ giáo dục và Đào tạo thì bộ sách này được dùng làm tài liệu
giảng dạy và học tập ở giai đoạn 1 ( Đại học đại cương) của các trường Đại học và
Cao đẳng trong tồn quốc.
Chúng tơi chỉ tập trung phân tích các khái niệm Vật lí có liên quan đến khái
niệm tích có hướng của hai vectơ.

1.2.1. Khái niệm tích có hướng và khái niệm momen lực trong giáo trình
Vật lí
Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được định nghĩa một cách tường minh
trong giáo trình Vật lí đại cương – tập 1 trong phần 4. Tích của hai vectơ của §2.
Các đại lượng vật lí. Khái niệm được trình bày sau phần: xác định một đại lượng


17
hữu hướng trong Vật lí, tọa độ của vectơ. Phần tích của hai vectơ mà giáo trình trình
bày gồm có hai dạng đó là tích vơ hướng (nội tích) của hai vectơ và tích vectơ (ngoại
tích) của hai vectơ đây chính là tích có hướng của hai vectơ.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và
Người ta gọi tích vectơ của hai vectơ 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một vectơ 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵
-

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Có phương vng góc với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑂𝐵

-

Có chiều là chiều thuận đối với chiều

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (chiều tiến của đinh ốc
quay từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 sang 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ quay theo chiều từ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

nằm dọc theo 𝑂𝐶
𝑂𝐴 sang
⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑂𝐵
-

Có độ dài bằng

𝑂𝐶 = 𝑂𝐴. 𝑂𝐵. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 với 𝛼 là góc nhỏ nhất
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
hợp bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑂𝐵
(Lương Duyên Bình, 2003)

Từ đây chúng ta nhận thấy rằng giáo trình định nghĩa khái niệm tích có hướng
của hai vectơ giống như trong giáo trình Hình học cao cấp đó là quan tâm đến ba yếu
tố phương, chiều, độ dài. So với giáo trình Tốn thì giáo trình Vật lí sử dụng chiều
vectơ thay vì hướng vectơ. Trên thực tế thì chiều và hướng ở đây được quan niệm
như nhau. Trong nghiên cứu của mình chúng tơi sử dụng chiều vectơ thay vì là hướng
vectơ. Giáo trình cịn nhấn mạnh rằng độ dài của vectơ tích có hướng của hai vectơ
chính là diện tích hình bình hành được tạo nên từ hai vectơ ấy.
Dễ dàng nhận thấy 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴. 𝑂𝐵. 𝑠𝑖𝑛 𝛼, về giá trị bằng diện tích hình bình
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc bằng hai lần diện tích tam giác OAB.
hành tạo trên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 và 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta viết 𝑂𝐶
𝑂𝐴 ∧ 𝑂𝐵
(Lương Duyên Bình, 2003)