skkn vận dụng bài toán điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng để giải bài toán về đường phân giác trong hình tọa độ phẳng (toán 10)

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
Chương trình tốn THPT, mà cụ thể là phân mơn Hình học 10, học sinh đã được
làm quen với các dạng toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và đặc biệt là
các bài toán liên quan đến đường phân giác trong tam giác và tứ giác.
Thực tế bài toán về đường phân giác trong tam giác và tứ giác rất phong phú và
đa dạng, các đề thi Đại học - Cao đẳng chúng ta thường gặp một lớp các bài toán về
đường phân giác trong tam giác và tứ giác học sinh thường lúng túng trong việc
lựa chọn phương pháp giải, cịn mắc một số sai lầm khơng đáng có.
Sách giáo khoa và sách bài tập Hình học lớp 10 hiện hành, bài tập liên quan
đến đường phân giác cũng rất hạn chế. Mặt khác, do thời lượng cho phần này q
ít nên trong q trình giảng dạy, các giáo viên chưa thể đưa ra nhiều bài tập cho
nhiều dạng tốn để hình thành kỹ năng giải tốn cho học sinh.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ “ Vận dụng bài
toán điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng để giải bài tốn về đường phân
giác trong hình tọa độ phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng thêm một phương pháp giải các
bài toán liên quan đến đường phân giác trong hình tọa độ phẳng . Trên cơ sở đó,
học sinh có thể tự tìm tịi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều
bài toán khác.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Một số bài toán về đường phân giác trong hình giải tích phẳng ở chương trình
Hình học lớp 10 .

II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1


1. Cơ sở lý luận.
Đường phân giác là một trong những đường đặc trưng của hình học, những bài

tốn liên quan đến nó đặc biệt là phần hình giải tích phẳng cũng rất đa dạng và
phức tạp.
Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả
cũng đã tiếp cận về vấn đề nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để .
Thông qua quá trình giảng dạy những bài tốn về đường phân giác trong hình
giải tích phẳng, tơi thấy việc sử dụng bài toán điểm đối xứng của một điểm qua một
đường thẳng để giải quyết bài toán rất hiệu quả.
Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn
Tốn nói chung và phân mơn Hình học nói riêng tôi đã nghiên cứu đề tài “ Vận
dụng bài toán điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng để giải bài tốn về
đường phân giác trong hình tọa độ phẳng”.
2. Thực trạng của vấn đề.
Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn và luyện thi Đại học, cao đẳng nhiều năm ở
trường THPT Tĩnh Gia 3 – Thanh Hóa cũng như trường THCS và THPT Nghi Sơn
tơi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình , mức độ tư duy vừa phải ,
các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này .
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ
trách rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 10A1, 10A2
và các lớp 12B1 cùng các lớp ôn thi đại học của trường THCS và THPT Nghi Sơn ,
kết quả thu được tương đối tốt. Các em thấy rất khó khăn khi giải các bài tốn dạng
này, sau khi được hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Bài toán : Cho góc xOy gọi Oz là tia phân giác của góc xOy . M là một điểm bất kỳ
trên Ox , M’ là điểm đối xứng với M qua Oz thì M’ nằm trên Oy.

2


x
M

z

I

O

M'
y

Sử dụng nội dung của bài tốn trên tơi đi sâu vào giải quyết một số ví dụ sau :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1 ;-2), phân
giác trong BN : 2 x + y + 5 = 0 và đường cao CH có phương trình x − y + 1 = 0 .Tìm
tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

A
j
H
N
I

B

A'

C

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BN ⇒ A ' ∈ BC .
Đường thẳng AA’ đi qua A và vng góc với BN nên AA ' : x − 2 y − 5 = 0 .
Gọi I = BN ∩ AA ' ⇒ I ( −1;3) và I là trung điểm của AA ' ⇒ A ' ( −3; −4 )

Phương trình AB qua A vng góc với CH nên có phương trình: x + y + 1 = 0
B = BN ∩ AB ⇒ B ( −4;3) phương trình BC là đường thẳng BA’: 7x + y + 25 = 0
3


 −13 −9 
C = CH ∩ BC ⇒ C 
; ÷.
4
4 

Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(0;5) , đường phân giác và
trung

tuyến

xuất

phát

từ

đỉnh

B

có

phương

trình

lần

lượt

là

(d1 ) x − y + 1 = 0,(d 2 ) x − 2 y = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh B,C của tam giác ABC.
Lời giải:
A
d1
d2

I
M

B

A'

C

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d1 ) ⇒ A ' ∈ BC .
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (d1 ) nên AA ': x + y − 5 = 0 .
Gọi I = d1 ∩ AA ' ⇒ I ( 2;3) và I là trung điểm của AA ' ⇒ A '(4;1)
B = d1 ∩ d 2 ⇒ B (−2; −1) phương trình BC là đường thẳng BA’: x − 3 y − 1 = 0
Lấy C (3t + 1; t ) ∈ BC . Gọi M là trung điểm của AC suy ra điểm M (
Mặt khác M (

3t + 1 t + 5
;
)
2
2

3t + 1 t + 5
;
) ∈ (d 2 ) ⇒ t = 9 ⇒ C (28;9) .
2
2

Bài 3 (Khối B- 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh
C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vng góc của C trên đường thẳng AB là
điểm H(-1 ;1), đường phân giác trong góc A có phương trình (d1 ) x − y + 2 = 0 và
đường cao xuất phát từ B có phương trình (d 2 ) 4 x + 3 y − 1 = 0 .
4


Lời giải:
C

d2

d1

H'
I

A

H

B

Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua (d1 ) ⇒ H ' ∈ AC .
Đường thẳng HH’ đi qua H và vng góc với (d1 ) nên HH ': x + y + 2 = 0 .
Gọi I = d1 ∩ HH ' ⇒ I ( −2;0 ) và I là trung điểm của HH ' ⇒ H '(−3;1)
Đường thẳng AC đi qua H’ và vng góc với (d 2 ) nên có phương trình
3 x − 4 y + 13 = 0 . Suy ra A = d1 ∩ AC ⇒ A ( 5;7 )
Đường thẳng CH đi qua H và vng góc với AB nên có phương trình
3x + 4 y + 7 = 0
 10 3 
; ÷
 3 4

Suy ra tọa độ của C = CH ∩ AC ⇒ C  −

Bài 4 : (DB Khối A-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC
các đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương
trình là (d1 ) 4 x + 3 y + 10 = 0 và (d 2 ) x − y + 1 = 0 điểm M(0;2) thuộc đường thẳng
AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 .Tìm tọa độ các đỉnh cuả tam giác
ABC.
Lời giải:

5


B
d2

M
I

A

M'

H

C
d1

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua (d 2 ) ⇒ M ' ∈ AC .
Đường thẳng MM’ đi qua M và vng góc với (d 2 ) nên MM ': x + y − 2 = 0 .
1 3
Gọi I = d 2 ∩ MM ' ⇒ I  ; ÷ và I là trung điểm của MM ' ⇒ M '(1;1)
2 2
r
Đường thẳng AC đi qua M’ và vng góc với (d1 ) nên nhận u = (3;4) làm véc tơ
 x + 1 + 3t
chỉ phương , vậy AC : 
và A = d 2 ∩ AC ⇒ A(4;5)
 y = 1 + 4t
Đường thẳng AB đi qua A và M nên AB : 3x − 4 y + 8 = 0
1

Có B = d1 ∩ AB ⇒ B  −3; − ÷
4


Điểm C (1 + 3t ;1 + 4t ) ∈ AC ,do MC = 2 ⇒ ( 1 + 3t ) + ( 4t − 1) = 2
2

2

t = 0 ⇒ C (1;1)
⇔
t = 2 ⇒ C  31 ; 33 ÷
 25
 25 25 


1

 31 33 

Vậy các đỉnh của tam giác là A(4;5), B  −3; − ÷; C (1;1) hoặc C  ; ÷
4

 25 25 

6


Bài 5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, biết
B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . Đường phân giác trong góc B là
(d ) : x + 2 y − 5 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua

K(6;2).
Lời giải:

O'

A

d

I
K

B

O

C

Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua (d ) ⇒ O ' ∈ AB .
Đường thẳng OO’ đi qua O và vng góc với (d ) nên OO': 2 x − y = 0 .
Gọi I = d ∩ OO' ⇒ I ( 1;2 ) và I là trung điểm của OO' ⇒ O '(2;4)
Giả sử B (5 − 2b; b) ∈ d ⇒ C (2b − 5; −b)
uuuu
r
uuur
Tam giác ABC vuông tại A nên BO '(2b − 3;4 − b) vng góc với CK (11 − 2b;2 + b)
b = 1
⇔ (2b − 3)(11 − 2b) + (4 − b)(2 + b) = 0 ⇔ −5b 2 + 30b − 25 = 0 ⇔ 
b = 5
Với b = 1 ⇒ B (3;1), C (−3; −1) ⇒ A(3;1) ≡ B (loại)
Với b = 5 ⇒ B (−5;5), C (5; −5) ⇒ A(

31 17

31 17
; ) Vậy B (−5;5), C (5; −5), A( ; )
5 5
5 5

Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh B(1;5) , đường cao AH với H nằm trên
CD có phương trình (d1 ) : x + 2 y − 2 = 0 ,phương trình đường phân giác góc C là
(d 2 ) : x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ 3 đỉnh A,C,D.
7


Lời giải:

A

B
I

D

H

B'

C

Gọi B’ là điểm đối xững với B qua (d 2 ) ⇒ B ' ∈ CD .
Đường thẳng BB’ đi qua B và vng góc với (d 2 ) nên BB ': x + y − 6 = 0 .
1 3
Gọi I = d 2 ∩ BB ' ⇒ I  ; ÷ và I là trung điểm của BB ' ⇒ B '(1;1)

2 2
Phương trình AB đi qua B vng góc với AH nên có phương trình:
Phương trình CD đi qua B’ vng góc với AH nên có phương trình:
A = AH ∩ AB ⇒ A
C = CD ∩ d 2 ⇒ C
uuur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC ⇒ D
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có đường chéo
BD nằm trên đường thẳng (d ) x − y + 2 = 0. Điểm M(4 ;- 4) nằm trên đường thẳng
chứa cạnh BC , điểm N(-5 ;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD = 8 2
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết đỉnh D có hồnh độ âm.
Lời giải :

8


A
M'
N(-5;1)
B

I

D
d

M(4:-4)
C

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua BD ⇒ M ' ∈ AB .

Đường thẳng MM’ đi qua M và vng góc với BD nên MM ' : x + y = 0 .
Gọi H = BD ∩ MM ' ⇒ H ( 1; −1) và H là trung điểm của MM ' ⇒ M '(−2;2)
Đường thẳng AB qua N (−5;1), M '(−2;2) nên có phương trình : AB : x − 3 y + 8 = 0
x − y − 2 = 0
⇒ B ( 7;5 )
Tọa độ B = BD ∩ AB ⇒ 
x
−
3
y
+
8
=
0

2
2
Lấy D(t; t − 2) ∈ ( d ) , do BD = 8 2 ⇔ ( t − 7 ) + ( t − 7 ) = 128

t = 15 ⇒ D(15;13)( L)
⇔
t = −1 ⇒ D(−1; −3)
Gọi I là tâm của hình thoi ⇒ I (3;1) khi đó AC qua I và vng góc với BD nên có
phương trình : x + y − 4 = 0 .
x + y − 4 = 0
⇒ A ( 1;3) ⇒ C (5; −1).
Tọa độ điểm A = AC ∩ AB ⇒ 
x
−
3

y
+
8
=
0

Sử dụng bài toán điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng để giải quyết
bài toán về đường phân giác trong hình tọa độ phẳng rất thuận lợi . Tuy nhiên
phương pháp vận dụng ở trên không phải là phương pháp tối ưu cho bài toán về

9


đường phân giác trong hình tọa độ phẳng nên khi đứng trước bài toán cụ thể ta cần
linh hoạt trong cách chọn hướng giải bài tốn.
Thơng qua các ví dụ trên nhận thấy rằng : Khi sử dụng bài toán điểm đối xứng
với điểm qua một đường thẳng để giải bài tốn về đường phân giác trong hình tọa
độ phẳng, ta đã đưa bài toán về một dạng toán đơn giản và quen thuộc hơn với học
sinh.
Sau đây là các bài tập tương tự để chúng ta luyện tập thêm cho học sinh , giúp
cho các em thành thạo cách giải này.
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(−1;3) ,phương trình đường phân giác
góc A là x − y + 6 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh B biết diện tích hình chữ nhật là 18 và đỉnh
A có tọa độ thỏa mãn x A = y A .
Bài 9: ( HV Hàng không 2001) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác
ABC với B(2 ;-1), phân giác trong góc C có phương trình (d1 ) x + 2 y − 5 = 0 và
đường cao cùng xuất phát từ A có phương trình (d 2 )3x − 4 y + 27 = 0 .Viết phương
trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 10: (CĐSP Hà nội 2005)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1 ;2)

Các đường phân giác trong CD có phương trình (d1 ) x + y − 1 = 0 và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh BM có phương trình lần lượt là (d 2 ) 2 x + y + 1 = 0 .Viết phương
trình đường thẳng BC.
Bài 11 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1 :-3 ), phân
giác trong góc B có phương trình (d1 ) x + y − 2 = 0 và đường trung tuyến xuất phát
từ C có phương trình (d 2 ) x + 8 y − 7 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh B,C.

10


Bài 12 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(-3; 1), phân
giác trong và đường cao cùng xuất phát từ B lần lượt có phương trình
(d1 ) x + 3 y + 12 = 0,(d 2 ) x + 7 y + 3 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
Bài 13 : ( ĐH Thương mại 2000) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam
giác ABC với A(2 ;-1), phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình
(d1 ) x − 2 y + 1 = 0,( d 2 ) x + y + 3 = 0 .Viết phương trình đường thẳng BC của tam giác
ABC.
Bài 14 : ( ĐH khối B – 2010) Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác
ABC vng tại A có đỉnh C(-4 ;1) phương trình đường phân giác trong góc A là
x + y − 5 = 0 . Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC, biết diện tích của tam
giác ABC bằng 24 và điểm A có hoành độ dương.
4. Kiểm nghiệm .
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất
lượng tương đương nhau là học sinh lớp 10A1 và lớp 10A2 trường THCS và
THPT Nghi Sơn – Tĩnh gia . Trong đó lớp 10A2 chưa được tiếp cận phương pháp
đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức tự luận , thời gian làm bài 45 phút
với đề bài sau :
Đề bài :
Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với C(4; 3), phân
giác trong và đường cao cùng xuất phát từ B lần lượt có phương trình

(d1 ) x + 2 y − 5 = 0,(d 2 ) 4 x + 13 y − 10 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác
ABC.
Câu 2: Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình
đường phân giác trong góc A là x + y + 2 = 0 . Đường cao xuất phát từ đỉnh B có

11


phương trình 2x − y + 1 = 0 . Cạnh AB đi qua điểm M(1 ;1). Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC biết diện tích của tam giác ABC bằng
Kết quả thu được như sau:
Lớp
Sĩ số
Điểm < 5
10A1
10A2

45
45

Số lượng
3
18

%
6.7
40.2

27
.

2

Điểm 5 → <8
Số lượng
17
24

%
37.7
53.1

Điểm ≥ 8
Số lượng
25
3

%
55.6
6.7

III. KẾT LUẬN – ĐỀ XUẤT
1. Kết luận.
Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 10 và 12 trường THCS và THPT Nghi Sơn
.Tôi đã thu được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh nắm vững
kiến thức về đường phân giác trong hình học giải tích phẳng mà con giúp học sinh
tránh được các sai lầm trong việc giải tốn. Ngồi ra, học sinh cịn phát hiện, tìm
tịi các cách giải hay đối với việc giải các bài toán trong sách giáo khoa và sách bài
tập.
2. Kiến nghị và đề xuất.
- Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho

toàn thể cán bộ giáo viên.
- Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được công bố rộng rãi .
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
- Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp có thể
góp phần nhỏ cải tiến , đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn.

12


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 04 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Văn Quý

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tạp chí Tốn học và tuổi trẻ - NXB Giáo dục.
2. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Mơn Tốn – Trần Tuấn Điệp( Chủ
biên)- NXB Hà nội.
3. Sách giáo khoa Hình học 10 – Đoàn Quỳnh ( chủ biên) NXB Giáo dục.
4. Sách bài tập Hình học 10 NC- Văn Như Cương ( chủ biên)-NXB Giáo dục.
5. Những bài toán chọn lọc và phương pháp giải Hình học gải tích trong mặt phẳng
- Hồ Sĩ Vinh ( chủ biên)- NXB Đại học quốc gia Hà nội.
6. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn – Hình học giải tích

- Trần Phương ( chủ biên)-NXB Hà nội.

14