Áp dụng các phương pháp ngẫu nhiên để ước lượng xác suất rủi ro trong mô hình bảo hiểm có lãi xuất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------------------

NGUYỄN CÔNG NHÂN

ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP NGẪU
NHIÊN ĐỂ ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT RỦI RO
TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM CĨ LÃI SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUN NGÀNH: TỐN CÔNG NGHỆ

Hà Nội - 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------

NGUYỄN CÔNG NHÂN

ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN
ĐỂ ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT RỦI RO TRONG
MƠ HÌNH BẢO HIỂM CĨ LÃI SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUN NGÀNH: TỐN CÔNG NGHỆ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI KHỞI ĐÀM

Hà Nội - 2008


Luận Văn Thạc Sĩ

1

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Bùi Khởi Đàm, người đã
tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này.
Tơi xin cảm ơn các thầy cơ giáo khoa Tốn Tin Ứng Dụng đã dạy dỗ và
giúp đỡ tơi tận tình trong suốt những năm qua.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Tốn Cơng Nghệ
2006-2008 cũng như các bạn bè đồng nghiệp đã góp ý để luận văn này hồn
thành tốt hơn.

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


Luận Văn Thạc Sĩ

2

Mục lục
Lời nói đầu ........................................................................................................ 3
Chương 1 Q trình bồi hồn ............................................................................ 5

1.1 Mơ hình ...................................................................................................................... 5
1.2 Trường hợp Erlang................................................................................................... 11
1.3 Đặc tính của phân phối mũ ...................................................................................... 14

Chương 2 Q trình số vụ bồi hồn ................................................................ 19
2.1 Mơ hình .................................................................................................................... 19
2.2 Trường hợp Erlang................................................................................................... 24
2.3 Một đặc điểm của quá trình Poisson ........................................................................ 26

Chương 3 Quá trình bồi hồn tổng thể và q trình rủi ro trong tái bảo hiểm
......................................................................................................................... 48
3.1 Mơ hình q trình tổng bồi hồn ............................................................................. 48
3.2 Mơ hình của q trình rủi ro trong tái bảo hiểm ...................................................... 54

Chương 4 Quá trình dự trữ và vấn đề phá sản ............................................... 56
4.1
4.2
4.3
4.4

Mơ hình .................................................................................................................... 56
Bất đẳng thức Kolmogorov về các supermartingale dương .................................... 62
Bất đẳng thức Lundberg........................................................................................... 67
Xét về sự tồn tại của hệ số siêu điều chỉnh .............................................................. 69

5.1
5.2
5.3
5.4
5.5

5.6

Giới thiệu ................................................................................................................. 74
Mô hình rủi ro Annuity-Due và mơ hình rủi ro Annuity-Immediate....................... 75
Các supermartingale và những bất đẳng thức cho những xác suất phá sản ............. 77
Các kỹ thuật đệ quy phục hồi và các bất đẳng thức cho xác suất rủi ro .................. 82
Mô phỏng số ............................................................................................................ 89
Nhận xét ................................................................................................................... 93

Chương 5 Mơ hình rủi ro rời rạc theo tỷ lệ lãi suất ........................................ 74

Kết luận ........................................................................................................... 94
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 96
Phụ lục ............................................................................................................. 97
Tóm tắt luận văn ............................................................................................ 104

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


Luận Văn Thạc Sĩ

3

Lời nói đầu

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành khoa học quan
trọng nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng vào thực tế. Lý
thuyết xác suất thống kê cũng là cơ sở để nghiên cứu nhiều môn khoa học

khác. Sự hiểu biết các hiện tượng hay vấn đề ngẫu nhiên trong các phân tích
và xử lý thơng tin là đặc biệt quan trọng. Vì vậy cùng với sự phát triển của
khoa học và công nghệ, lý thuyết xác suất thống kê cũng đang giữ một vai trò
quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng.
Ngày nay, nhờ sự hỗ trợ của máy tính và cơng nghệ thơng tin, lý thuyết
xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi
lĩnh vực đời sống, tự nhiên, xã hội và đặc biệt là kinh tế. Vấn đề toán học
trong bảo hiểm là một mảng quan trọng của lý thuyết xác suất thống kê trong
lĩnh vực tài chính. Lý thuyết rủi ro sẽ đóng vai trị nền tảng mà trong đó sẽ sử
dụng những mơ hình xác suất để phân tích và đánh giá rủi ro, sau đó có thể
ứng dụng vào một lĩnh vực tài chính mà cụ thể là trong ngành bảo hiểm.
Trong phạm vi luận văn này chúng tơi xin trình bày kiến thức tổng
quan nhất về lý thuyết rủi ro trên cơ sở xây dựng mơ hình phát triển theo thời
gian của ngành kinh doanh bảo hiểm. Qua đó sẽ tập trung vào nghiên cứu các
quá trình ngẫu nhiên như quá trình số vụ bồi hồn, q trình bồi hồn, q
trình bồi hồn tổng thể, quá trình rủi ro và quá trình dự trữ. Trong luận văn
này chúng tơi cũng trình bày một số phương pháp để tỉm ra giới hạn trên của
xác suất mà một công ty bảo hiểm bị phá sản.
Nội dung luận văn gồm năm chương sau :

Nguyễn Công Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008


Luận Văn Thạc Sĩ

4

- Chương 1 : Trình bày về q trình bồi hồn và các đặc tính của

hàm mũ.
- Chương 2 : Trình bày về quá trình số vụ bồi hồn và đặc điểm của
q trình Poisson.
- Chương 3 : Trình bày về q trình bồi hồn tổng thể và quá trình rủi
ro trong tái bảo hiểm.
- Chương 4 : Trình bày về quá trình dự trữ và vấn đề phá sản
- Chương 5 : Trình bày về mơ hình rủi ro rời rạc theo tỷ lệ lãi suất
Do một số nguyên nhân khách quan cũng như sự hạn chế về năng lực
và thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi những sai sót, tơi rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để hoàn thiện hơn
trong những nghiên cứu tiếp theo. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Nguyễn Công Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008


THESIS SUMMARY
Thesis:

Applying stochastic methods to estimate the risk probability of
insurance model under rate of interest.

Supervisor : Associate Professor.PhD. Bui Khoi Dam
Student

: Nguyen Cong Nhan

Today the mathematical models in theoretical probability statistics are
applied widely in many fields of life, especially in the fields of finance and

insurance. One of the key issues should be interested in a company is assessing
the ruin probability in business strategy. This problem will be solved through
applying some risk models in theoretical probability statistics.
The present book is entirely devoted to a single topic of risk theory: Its
subject is the development in time of insurance company. The book thus
concentrates to research stochastic processes in model, that the heart is the claim
number process and its relatives, the claim arrival process, the aggregate claims
process, the risk process, and the reserve process and ruin problem. Particular
emphasis is laid on characterizations of various classes of claim number
processes, which provide alternative criteria for model selection. Special
attention is also paid to the Poisson process, which is a useful model in many
applications, especially in the risk processes, which are important with regard to
reinsurance, and to the role of martingales. Of course, Thesis present about ruin
theory,too, which is a part of risk theory.


Key words : risk theory, ruin theory, claim arrival process, claim
interarrival process, claim number process, aggregate claims process, the reserve
process and the ruin problem, interest, rates of interest, Lundberg’s inequality,
supermartingale .


TÓM TẮT LUẬN VĂN

Tên đề tài: Áp dụng các phương pháp ngẫu nhiên để ước lượng xác suất rủi
ro trong mơ hình bảo hiểm có lãi suất.
GVHD : PGS.TS. Bùi Khởi Đàm
Học viên : Nguyễn Công Nhân
Ngày nay các mô hình tốn học trong lý thuyết xác suất thống kê đang
được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực cuộc sống, đặc biệt là trong lĩnh vực

tài chính và bảo hiểm. Một trong những vấn đề chính yếu cần được quan tâm của
một công ty là đánh giá được xác suất thiệt hại trong chiến lược kinh doanh. Vấn
đề này sẽ được giải quyết nhờ áp dung một số mô hình rủi ro trong lý thuyết xác
suất thống kê.
Luận văn nà sẽ trình bày một nội dung trong lý thuyết rủi ro, và vấn đề
này được tìm hiểu thơng qua mơ hình phát triển theo thời gian của cơng ty bảo
hiểm. Luận văn này tập trung nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên trong mơ hình
mà trung tâm là q trình số vụ bồi hồn (claim number process), và các q
trình khác liên quan đến nó như q trình bồi hồn (claim arrival process), q
trình bồi hồn tổng thể (aggregate claims process), quá trình rủi ro (risk process)
, quá trình dự trữ và vấn đề phá sản (reserve process and ruin problem). Nhấn
mạnh đặc biệt vào mơ tả đặc tính của các lớp khác nhau của quá trình số vụ bồi
hồn, mà nó cung cấp các tiêu chuẩn thích hợp cho sự lựa chọn mơ hình. Thêm
vào đó phải quan tâm đến q trình Poisson, nó là một mơ hình rất hữu ích trong
nhiều ứng dụng và đặc biệt là trong những quá trình rủi ro, một quá trình quan
trọng có liên quan đến sụ tái bảo hiểm, và đề cập tới vai trò của martingale. Luận


văn cũng trình bày về lý thuyết phá sản, đó cũng là một nội dung trong lý thuyết
rủi ro.
Từ khoá: lý thuyết rủi ro, lý thuyết phá sản, quá trình bồi hồn, q trình
chờ bồi hồn, q trình số vụ bồi hồn, q trình bồi hồn tổng thể, q trình dự
trữ và vấn đề phá sản, lãi suất, tỷ lệ lãi suất, bất đẳng thức Lundberg,
supermartingale.


Luận Văn Thạc Sĩ

5

Chương 1
Q trình bồi hồn
Để mơ hình hoá sự phát triển của ngành kinh doanh bảo hiểm, chúng ta
sẽ tiến hành nghiên cứu những quá trình sau:
- Q trình bồi hồn (claim arrival process)
- Q trình số vụ bồi hồn (claim number process)
- Q trình bồi hồn tổng thể (aggregate claim process)
- Quá trình dự trữ (reserve process)
Chúng ta sẽ thấy rằng q trình bồi hồn và q trình số vụ bồi hồn
xác định lẫn nhau, và q trình số vụ bồi hồn là vấn đề trung tâm trong mơ
hình.
Chương này sẽ tập trung trình bày về q trình bồi hồn.
Đầu tiên chúng ta đề cập đến mơ hình chung. Sau đó chúng ta nghiên
cứu các trường hợp đặc biệt của q trình bồi hồn với thời gian chờ (waiting
times) giữa hai lần bồi hoàn là độc lập và có cùng phân phối mũ. Sau cùng
chúng ta chỉ ra rằng phân phối mũ là một phân phối đặc biệt quan trọng,vì nó
là phân phối duy nhất qn q khứ trong khoảng (0,∞).

1.1

Mơ hình
Chúng ta quan tâm đến một danh mục các rủi ro được bảo hiểm bởi

một cơng ty bảo hiểm. Những rủi ro đó làm nảy sinh các vụ bồi hồn và trả
phí cho cơng ty bảo hiểm, ngược lại công ty bảo hiểm sẽ giải quyết các vụ bồi

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008

Luận Văn Thạc Sĩ

6

hồn. Danh mục này có thể bao gồm một vài rủi ro hoặc chỉ có một rủi ro đơn
lẻ.
Chúng ta cho rằng công ty bảo hiểm chỉ quan tâm đến hiệu suất tổng
thể của danh mục đầu tư, nghĩa là số tiền cịn lại của phí bảo hiểm sau khi trừ
đi tổng số tiền trả cho tất cả các vụ bồi hoàn rủi ro. (tất nhiên con số thặng dư
vượt quá hiệu của phí bảo hiểm trừ đi các vụ bồi thường thì càng tốt). Trong
trường hợp mà danh mục bao gồm một vài rủi ro, thì công ty bảo hiểm không
quan tâm đến rủi ro loại nào trong danh mục đã gây nên một vụ bồi hoàn cụ
thể. Đây là điểm chung nhất trong tổng quan của thuyết rủi ro.
Chúng ta cũng giả định rằng trong danh mục các vụ bồi hoàn xảy ra
một cách ngẫu nhiên trong thời gian vô hạn bắt đầu từ thời điểm t = 0.
-

Khơng có vụ bồi hồn nào xảy ra tại thời điểm t = 0.

-

Khơng có hai vụ bồi hồn xảy ra đồng thời.
Giả sử rằng khơng có hai vụ bồi hoàn xảy ra đồng thời là chấp nhận

được. Thực vậy, nó khơng thể hiện một vấn đề nghiêm trọng khi danh mục
nhỏ; tuy nhiên khi danh mục lớn, nó phụ thuộc vào các loại bảo hiểm, trên cơ
sở cân nhắc liệu giả định này có thực sự được chấp nhận hay không.
Nhận xét: Khi giả định không có 2 vụ bồi hồn xảy ra đồng thời khơng được
chấp nhận, thì ta có thể thay đổi một chút quan điểm, cụ thể là ta sẽ quan tâm

đến các sự kiện bồi hoàn (như tai nạn xe hơi) thay thế cho các vụ bồi hoàn
đơn lẻ. Số lượng các vụ bồi hoàn đơn xảy ra trong một sự kiện bồi hồn tiền
có thể được hiểu là giá trị của sự kiện bồi hoàn.
Chúng ta hãy chuyển đổi quan điểm trên thành mơ hình xác suất:

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008


7

Luận Văn Thạc Sĩ

Một chuỗi biến ngẫu nhiên {Tn }n∈N là một q trình bồi hồn nếu tồn
0

tại một tập null ΩT ∈ F sao cho với mọi ω ∈ Ω \ ΩT , ta có:
-

T0 (ω ) = 0 và

-

Tn−1 (ω ) < Tn (ω ) với mọi n ∈ N .

Vì vậy ta có Tn (ω ) > 0 với mọi n ∈ N và với mọi ω ∈ Ω \ ΩT . Tập ΩT gọi
là tập null ngoại lệ của q trình bồi hồn {Tn }n∈N .
0

Cho q trình bồi hồn {Tn }n∈N và với mọi n ∈ N , định nghĩa một số gia
0

(1.1)

Wn = Tn − Tn−1 .

Ta có Wn (ω ) > 0 với mọi n ∈ N và mọi ω ∈ Ω \ ΩT , và vì vậy nên

(1.2)

E [Wn ] > 0 ,

với mọi n ∈ N .
Vậy ta có
Tn =

(1.3)

n

∑W
k =1

k

,

với mọi n ∈ N .
Chuỗi {Wn }n∈N được gọi là q trình chờ bồi hồn được bao gồm trong

q trình bồi hoàn {Tn }n∈N .
0

Chú giải:
-

Tn là thời gian xẩy ra của vụ bồi hoàn thứ n

-

Wn là thời gian chờ giữa hai vụ bồi hoàn xảy ra tại thời điểm n-1 và thời

điểm n
- Với 1 xác suất, không có vụ bồi hồn nào xảy ra tại thời điểm 0 và
khơng có hai vụ bồi hồn diễn ra đồng thời.

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


8

Luận Văn Thạc Sĩ

Giả sử {Tn }n∈N là một quá trình bồi hồn và {Wn }n∈N là một q trình chờ
0

bồi hồn được tạo ra bởi {Tn }n∈N .Khơng mất tính tổng quát ta giả định rằng
0

tập null ngoại lệ của q trình bồi hồn là rỗng.
Bởi vì Wn = Tn − Tn−1 và Tn =

n

∑W

k

k =1

với mọi n ∈ N , chúng ta có thể thấy

một cách hiển nhiên q trình bồi hồn và q trình chờ bồi hồn xác định lẫn
nhau. Đặc biệt chúng ta có những kết quả hiển nhiên sau đây:
1.1.1 Bổ đề
Đẳng thức

σ ({Tk }k∈{0,1,...,n} ) = σ ({Wk }k∈{1,...,n} )

(1.4)

luôn đúng với mọi n ∈ N .
Ngoài ra , với mọi n ∈ N , giả sử Tn và Wn là ký hiệu các vector ngẫu
nhiên Ω → R n với các tọa độ tương ứng là Ti và Wi , và giả sử Mn là một ma
trận cỡ (n× n ) với các phần tử
khi i ≥ j
khi i < j

1,
mij = 
0,

(1.5)

Vậy ma trân Mn là ma trận khả đảo và có det Mn = 1, hơn nữa ta có

(1.6)

Tn = Mn ○ Wn và Wn = Mn-1○ Tn
Từ đó ta có thể có được những kết quả sau:
1.1.2 Bổ đề
Với mọi n ∈ N , phân phối xác suất của Tn và Wn sẽ thỏa mãn:

( )

PΤn = PWn

Μn

và PW = (PΤ
n

n

)

(1.7 )

Μ −n1

Giả sử rằng trong mơ hình của chúng ta khơng loại trừ khả năng sẽ có
vơ hạn vụ bồi hoàn xảy ra trong một thời gian hữu hạn.

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


9

Luận Văn Thạc Sĩ

Sự kiện

(1.8)

{sup n∈N Tn < ∞}
được gọi là sự bùng nổ (explosion).
1.1.3 Bổ đề
Nếu {sup n∈N E (Tn ) < ∞} thì xác suất xảy ra sự bùng nổ bằng môt.
Điều này là hiển nhiên theo định lý hội tụ đều.
1.1.4 Hệ quả
Nếu

∑

∞
n =1

E[Wn ] < ∞ thì xác suất xảy ra sự bùng nổ bằng một.

Trong khi tạo nên một mơ hình kinh doanh cho một công ty bảo hiểm cụ
thể, một trong những quyết định đầu tiên là quyết định cho khả năng bùng nổ
bằng 0 hay không bằng 0. Dĩ nhiên quyết định này sẽ liên quan đến phân phối
xác suất của quá trình bồi hồn.
Chúng ta kết luận phần này với cơng thức mà chương sau sẽ sử dụng
nhiều:
Với mọi n ∈ N , Tn xác định một ánh xạ
Un : Ω → Ω× R

được cho bởi cơng thức

U n (ω ) = (ω , Tn (ω ) )

Như vậy mỗi U n là F − F ⊗ Β(R) - đo được. Định nghĩa một độ đo
µ : F ⊗ Β( R) → [0, ∞]

Cho bởi
µ [C ] : =

∞

∑ P [C ] .
n =1

Un

(1.9)

Độ đo µ được gọi là độ đo bồi hồn được tạo bởi q trình bồi hồn {Tn }n∈N .
0

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


10

Lun Vn Thc S

1.1.5

B
ng thc






à [A ì B ] = ∫  ∑ χ {Tn ∈ B}dP
A

 n=1



(1.10)

đạt được với mọi A∈ F và B ∈ Β(R) .

Chúng minh.
Vì U n−1 ( A × B) = A ∩ {Tn B} nờn ta cú


à [A ì B ] = ∑ PU [A × B ]
n

n =1
∞

= ∑ P [ A ∩ {Tn ∈ B}]
n =1
∞

= ∑ ∫ χ {Tn ∈ B}dp
n =1

A

 ∞

= ∫  ∑ χ {Tn ∈ B}dp
A
 n=1


ta được kết quả như đã nêu.
■
Kết quả trên liên kết độ đo bồi hồn với q trình số vụ bồi hồn, sự kết
nối này sẽ được trình bày kỹ trong chương sau.
Hầu hết các kết quả được trình bày trong luận văn này đều bao gồm
những phân phối xác suất đặc biệt liên quan đến trường hơp mà phân phối xác
suất của số lần bồi hoàn là hoàn toàn liên tục theo độ đo Lebesgue; trường hợp
này thường được dùng trong mơ hình thời gian liên tục. Tuy nhiên, rất thú vị khi
so sánh những kết quả của mơ hình thời gian liên tục với những trường hợp phân
phối xác suất của số lần bồi hoàn là hoàn toàn liên tục theo độ đo tập trung tại
N o . Trong trường hợp sau, khơng mất đi tính tổng quát nếu ta cho rằng thời

điểm xảy ra vụ bồi hoàn mang giá trị nguyên, và trường hợp này được gọi là mơ
hình rời rạc. Mơ hình rời rạc đơi khi được coi là sự sấp xỉ của mơ hình liên tục
Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


Luận Văn Thạc Sĩ

11

nếu trong đơn vị thời gian nhỏ, nhưng chúng ta sẽ thấy rằng những đặc tính của
mơ hình rời rạc có thể khác hồn tồn đối với những đặc tính của mơ hình liên
tục. Nói một cách khác, mơ hình rời rạc có thể đóng vai trị như là một mơ hình
đơn giản với danh mục đầu tư nhỏ và nếu công ty bảo hiểm muốn phân biệt thời
kỳ khơng có vụ bồi hồn nào với những thời kỳ số vụ bồi hồn lớn hơn khơng.
Những kết quả cho mơ hình rời rạc sẽ bắt đầu như những vấn đề trong chương
này và những chương sau.

Một vấn đề khác có liên quan đến mơ hình của chúng ta là bảo hiểm tính
mạng (life insurance). Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta nghĩ đến một
biến ngẫu nhiên đơn lẻ thoả mãn P[{T > 0}]= 1 , biểu thị cho thời gian chết (time of
death) hay thời gian sống (lifetime) của một cá nhân tham gia bảo hiểm ; vì vậy,
mơ hình này được gọi là bảo hiểm tính mạng đơn lẻ (single life insurance).
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta quan tâm đến chuỗi hữu hạn biến ngẫu
nhiên {Tn }n∈0,1,...., N thoả mãn P[{T > 0}]= 1 và P[{Tn−1 < Tn }]= 1 với mọi n ∈ {1,...., N }, ở
đây Tn biểu thị cho thời gian chết thứ n trong một danh mục đầu tư của N người
được bảo hiểm, vì vậy, mơ hình này được gọi là bảo hiểm nhiều tính mạng
(multiple life insurance). Mặc dù bảo hiểm tính mạng sẽ khơng được nghiên cứu
cụ thể trong những trang sách này, nhưng vài khía cạnh của những dạng bảo
hiểm tính mạng này sẽ được nói tới trong chương này và nhưng chương sau.

1.2 Trường hợp Erlang
Một vài trường hợp đặc biệt trong mơ hình của chúng ta sẽ được trình bày
cụ thể, những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn được cho là độc lập và
có phân phối mũ. Trong trường hợp này, sự bùng nổ hoặc là không thể hoặc là
chắc chắn.

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


12

Luận Văn Thạc Sĩ

1.2.1

Định lý (luật 0-1 của sự bùng nổ).
Gọi {α n }n∈N là một dãy số thực nằm trong khoảng (0, ∞ ) và giả sử rằng

chuỗi những thời gian chờ {Wn }n∈N là độc lập và thỏa mãn PWn = Exp(α n ) với
mọi n ∈ N
(a)

Nếu chuỗi

∞

∑1 / α
n =1

(b)

Nếu chuỗi

n

là phân kỳ thì khả năng bùng nổ bằng khơng.

n

là hội tụ thì khả năng bùng nổ bằng một.

∞

∑1 / α
n =1

Chứng minh.
Ta có
∞

 ∞
 − W 
E e ∑n =1 n  = E ∏ e −Wn 


 n=1


=

∏ E [e ]
∞

−Wn

n =1

=

∞

∏α
n =1

=

≤

∞



n =1



αn
n

+1

∏ 1 − α
∞

∏e

1
n +



1 

−1 /(α n + 1)

n =1

−
1 /(1+α n )
= e ∑n =1
∞

Vì vậy, nếu chuỗi ∑n=1 1 / α n là phân kỳ thì chuỗi ∑n=1 1/(1+α n ) cũng phân kỳ
∞

}] = 1 và như thế
< ∞}] = P[{∑ W < ∞}] = 0

và ta có xác suất P
P[{sup n∈N Tn

[{∑

∞

∞

Wn = ∞

n =1

∞

n =1

n

Đó là phần chứng minh (a)
Để chứng minh (b) thì được suy trực tiếp từ hệ quả 1.1.4.
■
Trong trường hợp những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hoàn là độc lập

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


13

Luận Văn Thạc Sĩ

thì ta sẽ có thêm các kết quả sau :
1.2.2

Bổ đề.
Giả sử α ∈ (0, ∞) . Nếu chuỗi những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi

hồn {Wn }n∈N là độc lập, thì các kết quả sau là tương đương
(a)

PWn = Exp (α ) với mọi n ∈ N .

(b)

PTn = Ga (α , n) với mọi n ∈ N .

Trong trường hợp, E[Wn ] = 1 / α và E[Tn ] = n / α với mọi n ∈ N , và khả năng bùng
nổ bằng không.
Chứng minh.
Cách đơn giản nhất để chứng minh sự tương đương của (a) và (b) là sử
dụng hàm đặc trưng.
- Giả sử ta đã có (a) , vì Tn = ∑k =1Wk ta có
n

ϕT ( z ) =
n

n

∏ϕ
k =1

=

n

Wk

( z)

α

∏ α − iz
k =1

 α 

= 

 α − iz 

n

Và vì vậy ta có PT = Ga (α , n) , do vậy (a) suy ra (b)
n

- Giả sử ta đã có (b) , vì Tn−1 + Wn = Tn ta có
n −1

 α 

 ϕWn ( z ) = ϕTn −1 ( z )ϕWn ( z )
 α − iz 
= ϕTn ( z )
 α 
= 

 α − iz 

Nguyễn Cơng Nhân

n

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


14

Luận Văn Thạc Sĩ

vì vậy

 α 

 α − iz 

ϕW ( z ) = 
n

Do đó PW = Exp (α ) , vậy (b) suy ra (a)
n

■

1.3

Đặc tính của phân phối mũ
Một trong những vấn đề tinh tế nhất trong việc tạo mơ hình xác suất là sự

chọn lựa những phân phối xác suất của những biến ngẫu nhiên trong mơ hình.
Chính xác hơn, đó là xác định một phân phối xác suất chung cho tất cả những
biến ngẫu nhiên. Để thực hiện được sự lựa chọn này, cần biết những đặc điểm
chung nhất của các phân phối mà ta định lựa chọn.
Trong mơ hình muốn nói ở đây, ta có thể xác định được phân phối của
q trình chờ bồi hoàn. Vấn đề này sẽ giảm đáng kể nếu những khoảng thời gian
chờ giữa hai lần bồi hoàn được cho là độc lập, thậm chí trong trường hợp sự lựa
chọn một phân phối xác suất của một khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi hồn

là khơng chắc chắn. Trong những gì dưới đây chúng tơi sẽ đặc trưng hố phân
phối mũ bằng một tính chất đơn giản giúp quyết định trong kinh doanh bảo hiểm
cụ thể, phân phối này thích hợp với những khoảng thời gian chờ giữa hai lần bồi
hồn hay khơng.
Tạm thời, cho rằng biến ngẫu nhiên W được hiểu là thời gian chờ đợi
(waiting time). Nếu PW = Exp (α ) , thì mơt hàm số R → [0,1] : ω  P[{W > ω}] của
phân phối xác suất của W thỏa mãn P[{W > ω}] = e −αω với mọi ω ∈ R+ và
P[{W > s + t}] = P[{W > s}].P[{W > t}]

(1.11)

hay tương đương với
P[{W > s + t}| {W > s}] = P[{W > t}]

(1.12)

với mọi s, t ∈ R+ . Đẳng thức đầu tiên phản ánh hàm phân phối mũ là một hàm
tương tự bản thân nó trên R+ theo nghĩa là với mỗi s ∈ R+ ánh xạ

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


15

Luận Văn Thạc Sĩ

t  P[{W > s + t}] , t  P[{W > t}] chỉ khác nhau một khoảng cách. Hơn nữa nếu

W là thời gian chờ giữa hai vụ bồi hồn thì đẳng thức thứ hai có nghĩa là khoảng
thời gian đã chờ s lần sẽ không cung cấp thông tin cho khoảng thời gian chờ hiện
tại. Nói một cách dễ dãi thì phân phối mũ là một phân phối quên quá khứ. Câu
hỏi đặt ra là liệu có phải chỉ có phân phối mũ là phân phối duy nhất có tính chất
này hay khơng.
Trước khi cơng thức hóa dạng phân phối quên quá khứ, chúng ta thấy
rằng trong trường hợp PW = Exp (α ) thì đẳng thức trên đúng với mọi s, t ∈ R+
nhưng sẽ gây lỗi khi mọi s, t ∈ R chẳng hạn s <0 < s + t , nói cách khác, ta có
PW [R+ ] = 1 . Những quan sát đó sẽ dẫn đến những đinh nghĩa sau:

Một phân phối Q : B(R ) → [0,1] là phân phối quên quá khứ trên S ∈ B(R )
nếu
-

Q [S ] = 1

-

Đẳng thức

(1.13)
(1.14)

Q [(s + t , ∞ )] = Q [(s, ∞ )].Q [(t , ∞ )]

đạt được với mọi s, t ∈ S
Kết quả sau là một thuộc tính tổng quát của phân phối quên quá khứ:

1.3.1

Định lý
Giả sử Q : B(R ) → [0,1] là một phân phối xác suất quên quá khứ trên

S ∈ B(R ) . Nếu 0 ∈ S thì Q thỏa mãn hoặc Q [{0}] = 1 hoặc Q [(0, ∞ )] = 1

Chứng minh.
Giả sử rằng Q [(0, ∞ )] < 1 . Vì 0 ∈ S ta có

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008


16

Luận Văn Thạc Sĩ

Q [(0, ∞ )] = Q [(0, ∞ )].Q [(0, ∞ )]
= Q [(0, ∞ )] ,
2

Vì vậy
Q [(0, ∞ )] = 0

và vì thế ta có
Q [(t , ∞ )] = Q [(t , ∞ )].Q [(0, ∞ )]
= 0

với mọi t ∈ S
Định nghĩa t := inf S và chọn một chuỗi {t n }n∈N ⊆ S giảm dần đến t . Vì vậy ta có

Q [(t , ∞ )] = sup n∈N Q [(t n , ∞ )]
= 0

Vì Q [S ] = 1 nên ta cũng có
Q [(− ∞, t )] = 0

Do đó
Q [{t}] = 1

Vì vậy Q [{ t} ∩ S ] = 1 và vì vậy t ∈ S .
Cuối cùng , do 0 ∈ S , chúng ta có t < 0 hoặc t = 0 . Nhưng t < 0 suy ra t ∈ (2t , ∞ )
và vì vậy ta có
Q [{ t}] ≤ Q [(2t , ∞ )]
= Q [(t , ∞ )].Q [(t , ∞ )]
= Q [(2t , ∞ )] ,
2

Điều này là không thể. Do đó , ta có t = 0 và vì vậy Q [{0}] = 1 .
■
Kết quả sau đây mơ tả phân phối mũ:

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


17

Luận Văn Thạc Sĩ

1.3.2

Định lý
Cho một phân phối Q : B(R ) → [0,1] , các kết quả sau đây là tương đương
(a)

Q là phân phối quên quá khứ trên (0, ∞ )

(b)

Q = Exp(α ) với mỗi α ∈ (0, ∞ ) .

Với α = − logQ[(1, ∞ )] .
Chứng minh.
Chú ý rằng Q = Exp(α ) nếu và chỉ nếu đẳng thức sau
Q [(t , ∞ )] = e −αt

đạt được với mọi t ∈ [0, ∞ ) .
- Giả sử ta đã có (a), ta có
Q [(n, ∞ )] = Q [(1, ∞ )] n

và
Q [(1, ∞ )] = Q [(1 / n, ∞ )] n

với mọi n ∈ N
Vì vậy Q [(1, ∞ )] = 1 là vơ lý vì
0 = Q[φ ]
= inf n∈N Q[(n, ∞ )]
= inf n∈N Q[(1, ∞ )]

n

Do đó, chúng ta có
Q [(1, ∞ )] ∈ (0,1)

Ta định nghĩa α := − log Q [(1, ∞ )] . Vì vậy ta có α ∈ (0, ∞ ) và
Q [(1, ∞ )] = e −α

Và vì vậy ta có

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008


18

Luận Văn Thạc Sĩ

Q [(m / n, ∞ )] = Q [(1, ∞ )]

m/n

=

(e )

−α m / n

= e −α

m/n

với mọi m, n∈ N thì ta có
Q [(t , ∞ )] = e −α t

Với mọi t ∈ (0, ∞ ) ∩ Q . Cuối cùng với mỗi t ∈ [0, ∞ ) chúng ta có thể chọn một
chuỗi {t n }n∈N ⊆ (0, ∞ ) ∩ Q chuỗi này giảm dần tới t, và chúng ta sẽ có
Q [(t , ∞ )] = sup n∈N Q [(t , ∞ )]
= sup n∈N e −α t
= e −α t

Điều đó có nghĩa là Q = Exp(α ) . Do đó (a) suy ra (b).
- Chiều ngược lại từ (b) suy ra (a) là hiển nhiên.
■
1.3.3

Hệ quả
Cho một phân phối Q : B(R ) → [0,1] , các kết quả sau đây là tương đương

(a)
(b)

Q là phân phối quên quá khứ trên R+

Hoặc là Q = δ 0 hoặc Q = Exp(α ) với mỗi α ∈ (0, ∞ ) .

1.3.4 Hệ quả
Khơng có phân phối xác suất nào là qn q khứ trên tồn R

Nguyễn Cơng Nhân

Lớp cao học Tốn CN 2006-2008


19

Luận Văn Thạc Sĩ

Chương 2
Q trình số vụ bồi hồn
Trong chương trước chúng ta đã hình thành nên mơ hình chung cho sự
xảy ra của các vụ bồi hoàn trong ngành kinh doanh bảo hiểm và chúng ta cần
nghiên cứu q trình bồi hồn chi tiết hơn nữa.
Trong chương này chúng ta bắt đầu từng bước sâu hơn việc giới thiệu
q trình số vụ bồi hồn. Chúng ta sẽ chú ý đặc biệt đến quá trình Poisson .
Đầu tiên chúng ta giới thiệu tổng quát về quá trình số vụ bồi hồn và
chỉ ra rằng các q trình số vụ bồi hồn và q trình bồi hồn xác định lẫn
nhau. Sau đó chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa những giả định chắc chắn
liên quan đến phân phối xác suất của thời gian xảy ra các vụ bồi hoàn và phân
bố xác suất của số các vụ bồi hoàn. Cuối cùng chúng ta chứng minh kết quả
chính của chương này, nó mơ tả q trình Poisson trong phạm vi liên quan
đến q trình chờ bồi hồn, độ đo bồi hồn tiền, đo lường các vụ bồi hồn, và
tính chất martingale.

2.1 Mơ hình
Một họ các biến ngẫu {N t }t ∈R là một q trình số vụ bồi hồn nếu như
+

có tồn tại một tập null Ω N ∈ F như thế, với mọi ω ∈ Ω \ Ω N ,

-

N 0 (ω ) = 0

-

N t (ω ) ∈ N 0 ∪ {∞} với mọi t ∈ (0, ∞) ,

-

N t (ω ) = inf s∈(t ,∞ ) N s (ω ) với mọi t ∈ R+ ,

-

sup s∈[0,t ) N s (ω ) ≤ N t (ω ) ≤ sup s∈(t ,∞ ) N s (ω ) + 1 với mọi t ∈ R+ và

Nguyễn Công Nhân

Lớp cao học Toán CN 2006-2008