CĐ phương trình bậc 2 toán 9

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
1. cơng thức nghiệm
Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng :ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0), trong đó x là ẩn,a,b,c là các số cho
trước(hay còn gọi là hệ số).
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
∆ = b − 4ac
∆ ' = b '2 − ac

∆ ' > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt

∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
−b + ∆
x1 =
;
2a

x2

−b − ∆
=
2a

∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép

x1 =

x1 = x 2 =

−b
2a

− b '+
a

∆'

;

x2 =

− b '−
a

∆ ' = 0 : phương trình có nghiệm kép x

∆ < 0 : phương trình vơ nghiệm

∆'

1

= x2 =

−b '
a

∆ ' < 0 : phương trình vơ nghiệm

b

S = x1 + x 2 = −


a

P = x x = c
1
2

a


2. Định lí Vi –ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
*Chú ý: Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm, ta kiểm tra một trong hai cách sau:
1) a.c<0 thì PT có hai nghiệm phân biệt.
2) ∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0 thì PT co hai nghiệm.
u + v = S

 uv = P

(
) thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
2. Định lí Vi –ét đảo: Nếu có hai số u và v sao cho
2
3. Cách tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 =

c
a
−

S2 ≥ 4P

.

c
a.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Giải pt bậc 2
-c1: dùng p2 cơng thức nghiệm
a) * Phương trình trùng phương có dạng: ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* Cách giải: Đặt t = x2 với t ≥ 0, ta có phương trình bậc hai theo ẩn t: at2 + bt + c = 0
-> giải phương trình tìm t ≥ 0 => x
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ
- Bước 2: Quy đồng và khử mẫu
- Bước 3: Giải PT vừa tìm được
- Bước 4: Kết luận.(Chú ý đối chiếu với ĐKXĐ)
c) * Phương trình tích có dạng: A.B.C = 0. * Cách giải: A.B.C = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0
B. Các dạng bài hay gặp trong bộ mơn Tốn
I. (Bài tập về giải phương trình)
1.. Phương trình bậc hai đầy đủ : c / −2x + 3x + 5 = 0
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm theo hệ số hoặc theo viet
3. Phương trình đưa được về phương trình bậc hai :
2

a/ Phương trình trùng phương : ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Phương pháp giải : Đặt t = x2( t ≥ 0 ) đưa về dạng : at + bt + c = 0
b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Phương pháp giải :
- Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là
4

nghiệm của phương trình đã cho.

f /

2

2

x+2
6
+3=
x −5
2− x

II. Phương trình bậc hai có tham số x + mx + m + 3 = 0 (1)
1. Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.
2. Tìm tham số biết số nghiệm của phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm hoặc vơ nghiệm).
- tính
- cho
> 0, = 0, <0 rồi giải tìm m

Vd:tìm m để pt có 1nghiệm , 2 nghiệm ,vơ nghiệm
3. Tìm tham số khi biết nghiệm của phương trình:
2

1

Phạm Thị Tuyết Lan


-thay nghiệm vào pt :vd Tìm m biết pt có 1 nghiệm = 2
4. dấu nghiệm
a) Có 2 nghiệm cùng dấu khi

∆ ≥ 0

P > 0

g) Có 2 nghiệm trái dấu ac < 0.

∆ ≥ 0

e) Có 2 nghiêm duong khi  P > 0
S > 0


f)

Có 2 nghiêm âm khi

∆ ≥ 0


P > 0
S < 0


5.Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.
- điều kiện pt có nghiệm
- tìm viet
- thay viet vào biểu thức
*)

x12 + x 22 = (x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2 = (− m) 2 − 2(m + 3) = m 2 − 2m − 6

* x21 – x22

x 3 + x 3 = (x + x )3 − 3x x (x + x ) = ( −m)3 − 3(m + 3)( −m) = −m 3 + 3m 2 + 9m

2
1
2
1 2
1
2
*) 1
6. Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :

x ;x ⇔ ∆ ≥ 0

- điều kiện pt có nghiệm 1 2
- tìm viet

* Hệ thức đối xứng: biến đổi về thành viet để thay viet vào
Vd. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn :
* Hệ thức không đối xứng.:
-kết hợp với 1 trong 2 pt của viet để giải hệ
- thay nghiệm tìm được vào pt viet cịn lại để tìm m
- đối chiếu điều kiện => KL

x12 + x 22 = 9

. đ/a: m = - 3

Vd: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5
7. Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình khơng phụ vào tham số.
- Từ viet rút tham số m ra
- Trừ 2 pt cho nhau để mất m. Ta có hệ thức cânf tìm
Vd:Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

. đ/a:

m = −2; m = −

7
3

 x1 + x 2 = − m
 m = − x1 − x 2
⇔
⇔ − x1 − x 2 = x1 x 2 − 3

 x1 x 2 = m + 3

 m = x1 x 2 − 3

8.Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình.

u + v = S

 uv = P

(S

2

≥ 4P )

Nếu có hai số u và v sao cho
thì u, v là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
E. Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những năm gần đây
1. Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10.
Bài 1. Giải các phương trình :
a / x 2 − 2 5x + 4 = 0

Bài 2. Cho phương trình x2 + px - 5 = 0 có nghiệm x1; x2.
Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau :

b / x 4 − 29x 2 + 100 = 0
c / x 2 − 3x − x − 1 + 2 = 0
d / 11x 2 + 2 8x − 9 − 18x + 6 = 0
e / 4x 2 +

a / − x1 và − x 2

b / x12 và x 22

1
4
+ 7 = 8x +
x2
x

Bài 3. Cho phương trình :
a/ Tìm nghiệm (x; y) của phương trình (1) thỏa mãn x2 + y2 = 10.
b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).

x 2 − 3y 2 + 2xy − 2x − 10y + 4 = 0

(x + k − 3)  x 2 + 2(k + 3)x + 3k − 9  = 0

(1)

Bài 4. Cho phương trình :
a/ Giải phương trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm.
Bài 5. Giải phương trình :

2

Phạm Thị Tuyết Lan

(1)

a / x + 2x − 1 + x − 2x − 1 = 2
b / 6x 2 + 15x + 2x 2 + 5x + 1 = 1
c / 8x 2 − 8x + 3 + 12x 2 − 12x + 7 = 2(−2x 2 + 2x + 1)

x 2 − 2(t − 1)x + t 2 − 3 = 0

(1)

mx 2 − 5x − (m + 5) = 0

(1)

Bài 6. Cho phương trình ẩn x, tham số t :
a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình ẩn x, tham số m :
a/ Giải phương trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi giá trị của m.

c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hãy tính theo m giá trị của biểu thức
Tìm m để A = 0.

(m + 3)x 2 − 2(m 2 + 3m)x + m 3 + 12 = 0

(1)

Bài 8. Cho phương trình ẩn x, tham số m :
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho

2. Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh.
Bài 1Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :

x12 + x 22

x 2 − 2(m − 3) x + 2m − 7 = 0

A = −16x1x 2 − 3(x12 + x 22 ).

là một số nguyên.

(1)

a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.

1
1
+
=m
x ;x
x + 1 x2 + 1
b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là 1 2 . Hãy tìm m để 1
Bài 2. 1. Cho

a=

1
1
;b =
2− 3

2+ 3

a/ Hãy tính :

ab và

a+ b.

b/ Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :

x1 =

a
b
; x2 =
b +1
a +1 .

x 2 − 3mx + 3m − 4 = 0

(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ?

x1 = 4 + 2 3 . Khi đó hãy tìm nghiệm x2 của phương trình đó
a
b 
a −b
−
:

÷
÷
ab − b a − ab  a b + b a
a > 0, b > 0, a ≠ b )
(với

b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm


P = 

Bài 3. 1. Cho biểu thức

a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phương trình

x2 − 8x + 4 = 0 .

x2 − 2 x + m = 0

(1)

2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm cùng là số âm.
c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = 5.
Bài 4. Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :

x 2 − 3x − a − 2 = 0

(1)

x + ax + 1 = 0

(2)

2

a/ Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = -1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên ln có ít nhất một trong hai phương trình ln có hai
nghiệm phân biệt
Bài 5. Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :

x 2 + (m + n) x − ( m 2 + n 2 ) = 0 (1)
a/ Giải phương trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) ln có nghiệm.

3

Phạm Thị Tuyết Lan


c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình
Bài 6. Cho phương trình :

x2 − x − 5 = 0 .

x 2 − 2( m + 1) x + 2m + 5 = 0
m=

5
2

a/ Giải phương trình khi
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình bậc hai :

x 2 − 2(m + 1) x + m2 + 3m + 2 = 0

(1)

a/ Tìm các giá trị của m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

x12 + x22 = 12 (Trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình) ?
x 2 − 3x + 2m + 6 = 0 (1)
Bài 8.Cho hai phương trình :
x 2 + x − 2m − 10 = 0 (2)
và
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn

a/ Giải hai phương trình trên với m = - 3.
b/ Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung.
c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Bài 10. Cho phương trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0
1. Giải phương trình với m = 2
2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.
Bài 11. (Bắc Ninh 2005 - 2006)
Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phương trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

3) Với x1, x2 là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1).
Bài 12.Cho phương trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

x 2 − 2(2m − 1) x + 3m2 − 4 = 0

Bài 13. Cho phương trình bậc hai
(x là ẩn) (1)
a/ Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để
Bài 14. Cho phương trình x2 - 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x1, x2.

S=
Tính giá trị của biểu thức :
Bài 15. (Bắc Ninh 2009 - 2010)

x1 + 2 x2 = −2

x2 x1
+
x1 x2

(m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0

Cho phương trình :
a/ Giải phương trình (1) với m = 3.

(1)

(m là tham số).

1 1 3
+ =
x
x2 2 .
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : 1

4

Phạm Thị Tuyết Lan