Ứng dụng phương pháp tối ưu hóa trong xử lý một số bài toán về lịch trình giao thông và khả năng áp dụng cho mạng giao thông thành phố hà nội

...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PHẠM XUÂN HINH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA
TRONG XỬ LÝ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ LỊCH
TRÌNH GIAO THƠNG VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
CHO MẠNG GIAO THÔNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số: 62.46.20.01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HÓA TRONG
XỬ LÝ MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ LỊCH TRÌNH GIAO
THƠNG VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CHO MẠNG
GIAO THÔNG THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số: 62462001.

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TỐNG ĐÌNH QUỲ
PGS. TSKH. PHẠM HUY ĐIỂN

HÀ NỘI - 2012
1


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tơi, các kết quả trình
bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và luận án hoàn toàn không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác.

Phạm Xuân Hinh

2


LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, dưới sự
hướng dẫn của PGS.TSKH. Phạm Huy Điển và PGS.TS. Tống Đình Quỳ. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận án này.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Trần Vũ Thiệu
đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và góp nhiều ý
kiến q báu trong q trình viết luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Bách Khoa Hà
Nội, Lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cùng tập thể các thầy cô giáo của trường

Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện Toán học đã động viên giúp đỡ, tạo nhiều
điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới TS. Nguyễn Phương Anh, TS. Nguyễn Cảnh
Nam và các thầy cơ giáo thuộc bộ mơn Tốn ứng dụng – Viện Toán ứng dụng
và Tin học, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã dành thời gian đọc luận án
và cho những nhận xét quý báu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thạc sỹ Trịnh Đình Hồn và Kỹ sư
Nguyễn Hồng Vũ đã nhiệt tình hỗ trợ trong việc triển khai các tính tốn thử
nghiệm.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Lãnh đạo trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội,
khoa Tự nhiên, bộ mơn Tốn thuộc trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội, gia đình,
người thân và bạn bè đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi, ủng hộ, động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Phạm Xuân Hinh

3


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN ........ 7
DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN ................................................. 8
DANH MỤC ....................................................................................................... 10
CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN ÁN ................................................................ 10
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH TRÊN
MẠNG GIAO THƠNG VÀ MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA CHÚNG .............. 15
I. CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT LẬP HỆ THỐNG LỊCH TRÌNH CHO MẠNG
GIAO THƠNG CƠNG CỘNG ......................................................................... 15
1.1. Bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thơng có một trung
tâm điều hành............................................................................................... 15

1.2. Bài tốn thiết lập lịch trình với ràng buộc khoảng thời gian................... 18
1.3. Bài tốn cực tiểu hóa số lượng lịch trình chạy xe trên mạng .................. 19
1.4. Bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thơng với nhiều trung
tâm điều hành............................................................................................... 21
II. CÁC BÀI TOÁN VỀ LỊCH TRÌNH THU GOM VÀ PHÂN PHỐI CĨ RÀNG
BUỘC............................................................................................................... 23
2.1. Bài tốn thu gom hàng hóa với ràng buộc khoảng thời gian................... 23
2.2. Bài tốn lịch trình thu gom và phân phối hàng hóa ................................ 25
Bài tốn thu gom và phân phối bằng một xe............................................. 26
Bài tốn lịch trình thu gom và phân phối của nhiều xe ............................. 28
2.3. Bài toán thu gom và phân phối với ràng buộc 2 phía ............................. 30
III. CÁC BÀI TỐN VỀ TÌM ĐƯỜNG ĐI VỚI RÀNG BUỘC ...................... 31
3.1. Bài tốn tìm đường đi............................................................................ 31
Bài tốn người du lịch.............................................................................. 31
Bài tốn tìm đường đi với ràng buộc khoảng thời gian ............................. 32
3.2. Bài toán tìm đường đi với ràng buộc tài nguyên .................................... 34
3.3. Bài tốn tìm lịch trình tối ưu với ràng buộc địa hình.............................. 36
IV. BÀI TỐN DỰ BÁO GIAO THƠNG LIÊN TỈNH ĐA THÀNH PHẦN ... 37
4.1. Đặt vấn đề ............................................................................................. 37
4.2. Mơ hình tốn học .................................................................................. 38
4.3. Nhận xét................................................................................................ 41

4


CHƯƠNG II. MỘT GIẢI PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN THIẾT LẬP HỆ
THỐNG LỊCH TRÌNH VẬN TẢI ĐỐI VỚI MẠNG GIAO THƠNG CĨ
NHIỀU TRUNG TÂM ĐIỀU HÀNH VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG CHO
MẠNG XE BUS HÀ NỘI................................................................................... 43
I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................................... 43

II. MƠ HÌNH TỐN HỌC VÀ CÁC GIẢI PHÁP XỬ LÝ BAN ĐẦU ............ 43
2.1. Mơ hình tốn học .................................................................................. 43
2.1.1. Một số khái niệm và ký hiệu........................................................... 43
2.1.2. Bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình vận tải trong mạng giao thông
với nhiều trung tâm điều hành.................................................................. 51
2.2. Giải pháp xử lý ban đầu......................................................................... 59
2.2.1. Tháo gỡ điều kiện ràng buộc về chủng loại xe................................ 59
2.2.2. Bài toán với điều kiện thuần nhất về chủng loại xe ......................... 61
2.3. Giải pháp phân rã và lặp đan xen........................................................... 63
2.3.1. Phương án khởi tạo......................................................................... 63
2.3.2. Giải pháp phân rã ........................................................................... 64
2.3.3. Khả năng làm tốt dần qua các vòng lặp .......................................... 65
2.3.4. Bài tốn cho mạng giao thơng với một TTĐH ................................ 67
2.4. Sơ đồ nguyên tắc của thuật toán ............................................................ 69
2.4.1. Sơ đồ thuật tốn.............................................................................. 69
2.4.2. Nhận xét về tính hữu hạn và tính khả thi của thuật tốn.................. 69
III. TRIỂN KHAI TÍNH TỐN CHO MƠ HÌNH MẠNG XE BUS THÀNH
PHỐ HÀ NỘI ................................................................................................... 70
3.1. Mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội và giải pháp thiết lập dữ liệu mô
phỏng........................................................................................................... 70
3.1.1. Thông tin sơ bộ về mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội ................. 70
3.1.2. Tổ chức cơ sở dữ liệu ..................................................................... 74
3.2. Kết quả triển khai tính tốn thử nghiệm................................................. 76
3.2.1. Tính tốn từ phương án khởi tạo..................................................... 76
3.2.2. Tính tốn từ phương án hiện có ...................................................... 84
IV. KẾT LUẬN ................................................................................................ 87
CHƯƠNG III. MỘT PHƯƠNG PHÁP MỚI GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI VỚI
RÀNG BUỘC HAI PHÍA VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHÂN BỔ TUYẾN CHO
CÁC TTĐH CỦA MẠNG XE BUS HÀ NỘI .................................................... 88
I. NỘI DUNG BÀI TOÁN................................................................................ 88

5


II. TRƯỜNG HỢP CÁC NHU CẦU LÀ CỐ ĐỊNH: bj  b j  b j ................. 90
2.1. Một số tính chất cơ sở ........................................................................... 91
2.2. Thuật tốn giải bài tốn Q ..................................................................... 95
III. THUẬT TỐN GIẢI BÀI TỐN TỔNG QUÁT..................................... 102
3.1. Bài toán biến thể.................................................................................. 102
3.2. Thuật toán giải Bài toán P ................................................................... 106
IV. MỘT ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN PHÂN BỔ CÁC TUYẾN XE CHO
CÁC TTĐH CỦA MẠNG XE BUÝT HÀ NỘI .............................................. 114
4.1. Cấu trúc mạng lưới giao thông xe buýt của Thành phố Hà Nội............ 115
4.2. Mơ hình tốn học ................................................................................ 118
4.3. Hiện trạng của mạng xe buýt thành phố Hà Nội .................................. 120
4.4. Giải pháp cải tiến ................................................................................ 120
V. KẾT LUẬN ............................................................................................... 122
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................... 124
I. KẾT LUẬN................................................................................................. 124
II. KIẾN NGHỊ............................................................................................... 125
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 127
Phần tiếng Việt........................................................................................... 127
Phần tiếng Anh........................................................................................... 128

6


DANH MỤC
CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
BX

Bến xe

CV

Côngviên

ĐH Mỏ

Đại Học Mỏ

ĐH.NN

Đại Học Ngoại Ngữ

ĐH. NN1

Đại học Nơng Nghiệp I

H. Q. Việt

Hồng Quốc Việt
Hành trình bắt buộc

HTBB
N.C.Trứ

Nguyễn Công Trứ

N. T. Long

Nam Thăng Long

T. K. Dư

Trần Khánh Dư
Trung tâm điều hành

TTĐH
TT. Hồ (BN)

Thị trấn Hồ (Bắc Ninh)
Thường Tín

T. Tín
SVĐ

Sân vận động
Xí nghiệp xe buýt

XN.XB

7


DANH MỤC
CÁC BẢNG TRONG LUẬN ÁN

Tên bảng

Trang

Bảng 2.1. Danh mục các TTĐH của mạng xe bus Hà Nội

70

Bảng 2.2. Bảng thống kê các nút ven nội và ngoại thành Hà Nội

72

Bảng 2.3. Minh họa một phần cơ sở dữ liệu thơng tin về các HTBB

73

Bảng 2.4. Một góc của ma trận số đo quãng đường đi giữa các điểm
đầu (cuối) của các hành trình (theo đơn vị km).

75

Bảng 2.5. Thơng tin về khoảng cách (đường đi) từ các nút giao
thông về các TTĐH (đơn vị : km)

76

Bảng 2.6. Một phần của tập lịch trình khởi tạo (3 trong số 334 lịch
trình tìm được).

78

Bảng 2.7. Biểu diễn lịch trình đầu tiên và lịch trình cuối cùng

79

Bảng 2.8. Kết quả phân bổ lịch trình khởi tạo về cho các TTĐH

80

Bảng 2.9. Kết quả phân bổ lịch trình khởi tạo về cho các TTĐH, với
ràng buộc mỗi trung tâm không chứa quá 150 xe.

80

Bảng 2.10. Tập lịch trình khả thi nhận được sau kết quả tính tốn tới
vịng thứ 9

83

Bảng 2.11. Bảng giá trị hàm mục tiêu trong 30 vịng tính tốn

84

Bảng 3.1. Tập ô chọn G và phương án tối ưu ở Bước 0

100

Bảng 3.2. Tập ô chọn & Phương án cực biên 1

100

Bảng 3.3. Tập ô chọn & Phương án cực biên 2

101

Bảng 3.4. Tập ô chọn & Phương án cực biên 3

101

Bảng 3.5. Phương án tối ưu (fmin = 500)

102

Bảng 3.6. Tập ô chọn G và phương án tối ưu ở Bước 0

111

8


Bảng 3.7. Tập ô chọn & Phương án cực biên 1

112

Bảng 3.8. Tập ô chọn & Phương án cực biên 2

112

Bảng 3.9. Tập ô chọn & Phương án cực biên 3

113

Bảng 3.10. Tập ô chọn & Phương án cực biên 4

113

Bảng 3.11. Phương án tối ưu

114

Bảng 3.12. Các TTĐH của mạng lưới xe bus thành phố Hà Nội

115

Bảng 3.13. Thông tin chi tiết về phân bổ các tuyến xe cho từng
TTĐH

118

Bảng 3.14. Thông tin chi tiết về số lượng xe trên từng tuyến

118

Bảng 3.15. Thông tin về quãng đường không tải của từng TTĐH

120

Bảng 3.16. Phương án cải tiến

122

9

DANH MỤC
CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN ÁN

Tên hình

Trang

Hình 2.1. Sơ đồ các điểm nút giao thông (giả định) vùng nội đơ

73

Hình 2.2. Biểu đồ minh hoạ giá trị hàm mục tiêu qua từng vịng lặp

81

Hình 2.3. Biểu đồ minh hoạ giá trị hàm mục tiêu qua từng vịng lặp

85

Hình 2.4. Kết quả tính tốn sau 100 vịng lặp

86

10


MỞ ĐẦU
Việc xây dựng và quản lý hệ thống giao thông là một trong những vấn

đề then chốt đối với một quốc gia đang phát triển như nước ta hiện nay. Song
song với công tác đầu tư phát triển hạ tầng, bài toán quy hoạch và quản lý hệ
thống giao thông đang được đặt ra một cách cấp bách. Thực tiễn nước ta
trong mấy năm qua đã cho thấy rằng, dù có tập trung đầu tư cho phát triển cơ
sở hạ tầng đến mức nào đi chăng nữa, nhưng nếu không biết quản lý hệ thống
giao thông một cách hợp lý thì những đầu tư này cũng khơng thể phát huy
được hiệu quả và vấn đề ách tắc giao thông vẫn không sao giải quyết được.
Điều này dĩ nhiên không chỉ là vấn đề của riêng nước ta, mà là của mọi quốc
gia, cho nên những bài toán liên quan đến quy hoạch và quản lý mạng lưới
giao thông luôn nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng Toán học trên
khắp thế giới. Nét đặc trưng của các bài tốn quy hoạch và quản lý giao thơng
là ở chỗ chúng thường có mơ hình tốn học là những bài tốn quy hoạch
ngun, phi tuyến và có số lượng biến rất lớn, cho nên thường thuộc lớp NPkhó và khơng có được giải pháp tổng qt cho việc tìm lời giải. Việc giải
quyết những bài toán này thường phải dựa vào việc khai thác các đặc điểm
riêng của từng thành phố, và do vậy lời giải chỉ có thể áp dụng được cho từng
trường hợp cụ thể. Ta hiểu vì sao mà những bài tốn giao thơng đã được đặt
ra từ lâu, đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và đã thu được rất nhiều
kết quả (xem trong [10], [22], [23], [34]), nhưng vấn đề vẫn ln có tính thời
sự thu hút được sự quan tâm của giới toán học đương thời, như người bạn
đồng hành của quá trình phát triển và mở mang đơ thị trên thế giới. Những
kết quả gần đây thuộc loại này có thể xem, chẳng hạn như, trong các cơng
trình [27] của Gabor và Salhib (2005), [35] của Lim và Wang (2005), [28]
của Hadjar, Marcotte và Soumis (2006), [29] của Hoa, Hob, Jib và Laub
(2008) và các tài liệu dẫn trong đó.
Những bài tốn liên quan đến mạng lưới giao thơng là vơ cùng đa dạng,
vượt ra ngồi khn khổ của bất kỳ một chương trình nghiên cứu nào, cho
nên mỗi nhóm tác giả, mỗi “trường phái” nghiên cứu thường chỉ đề cập đến
một số vấn đề cụ thể. Trong luận án này, chúng tơi cũng chỉ có thể đề cập đến
những bài tốn liên quan đến vấn đề thiết lập lịch trình trong mạng giao
thơng và các ứng dụng có ý nghĩa thiết thực đối với thực tiễn nước ta hiện

nay.
11


Một trong những vấn đề “nổi cộm” nhất của ngành giao thơng nước ta
hiện nay chính là vấn đề tổ chức và quản lý mạng lưới giao thông đô thị tại
các thành phố lớn. Mục tiêu cao nhất của một mạng giao thông công cộng
thành phố là đáp ứng được các yêu cầu đi lại của cư dân thành phố. Yêu cầu
này thường được thể hiện dưới dạng một tập hợp các hành trình chạy xe nối
các nút giao thơng chính trong thành phố (với tần suất xác định và trong
những khoảng thời gian nhất định, căn cứ trên kết quả khảo sát và điều tra kỹ
lưỡng của cơ quan quản lý giao thơng thành phố). Trong q trình thực hiện
các hành trình này, xe thường phải thực hiện một số hành trình phụ trợ khơng
có trong u cầu (ví dụ như đoạn đường từ trung tâm điều hành của đồn xe
cho đến điểm đầu của hành trình phục phụ đầu tiên, hay là đoạn đường xe
chạy từ điểm cuối của một hành trình vừa thực thi xong cho đến điểm đầu
của hành trình khác cần thực thi tiếp theo,v.v...). Đây là phần chi phí khơng
sinh lợi, mà một trong những mục tiêu quan trọng của ngành giao thông là
giảm thiểu các chi phí này. Điều này được thực hiện dựa trên việc sắp xếp
hợp lý các hành trình vào thành một số tuyến (mỗi tuyến được phân cho một
xe thực hiện trong ngày, được gọi là một lịch trình chạy xe), và cùng với đó
là phân bổ tối ưu tập các lịch trình chạy xe về chịu sự quản lý của một số
trung tâm điều hành (được ấn định trước trong mạng giao thơng thành phố).
Bài tốn này được gọi là bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình tối ưu cho
mạng lưới giao thông công cộng. Việc giải quyết tốt bài toán này sẽ là cơ sở
cho việc giải quyết hàng loạt vấn đề khác liên quan đến mạng lưới giao thông
công cộng (như phân công tối ưu các đội lái, sử dụng tối ưu số đầu xe,v.v...).
Cho nên, mặc dù nó là một bài tốn rất khó (thuộc lớp NP-khó, như sẽ thấy
sau này) người ta vẫn cứ phải tập trung giải quyết.
Trong thực tế, mạng lưới xe bus của một thành phố được hình thành và

phát triển qua nhiều giai đoạn, song song với sự phát triển của chính thành
phố đó. Cho dù ngay từ ban đầu nó có thể được thiết kế một cách "tối ưu",
nhưng trong quá trình vận hành, với sự mở rộng của đô thị và sự tăng trưởng
không ngừng của các lực lượng tham gia giao thông, mạng sẽ không thể giữ
nguyên cấu trúc "tối ưu" ban đầu, do việc phải bổ sung thêm các hành trình
mới (xuất phát từ yêu cầu thực tế). Khi ấy, một yêu cầu tự nhiên được đặt ra
là cần tái cơ cấu lại lịch trình (và kèm theo là phân bố lại chỉ tiêu phục vụ của
các trung tâm điều hành) để tiếp tục có được tính tối ưu ở mức hợp lý. Như
vậy, song song với việc đưa ra giải pháp thiết lập hệ thống các lịch trình tối

12


ưu cho mạng tại một thời điểm nào đó, người ta còn phải quan tâm đến vấn
đề “tái cấu trúc mạng” sau một khoảng thời gian nào đó. Thơng thường, một
phương án tối ưu thực sự cho giai đoạn mới thường khác biệt rất xa so với
phương án trước đó, và do vậy sẽ địi hỏi có những thay đổi đáng kể trong
công tác điều hành và quản lý hoạt động của mạng, và sự thay đổi này
thường kéo theo các khoản chi phí khơng hề nhỏ. Một phương án mới sẽ chỉ
là khả thi khi "tính tối ưu lý thuyết" của nó mang lại hiệu quả kinh tế vượt
trội so với cái giá phải trả cho việc làm xáo trộn nền nếp quản lý và vận hành
(do sự thay đổi gây ra). Có lẽ đây là một trong những nguyên nhân chính làm
cho các "phương án tối ưu lý thuyết” không phải lúc nào cũng được triển khai
trong thực tiễn, cho dù việc tìm ra được một lời giải tối ưu như vậy là một
công việc vô cùng gian nan. Với các đơ thị đang trong tiến trình thay đổi như
ở nước ta, đặc biệt là khi khả năng dự báo về giao thơng cịn rất hạn chế, việc
tìm một lời giải áp dụng cho vận hành mạng ổn định trong thời gian dài (như
là ở các nước phát triển) có lẽ chưa khả thi, mà vấn đề thực tế hơn có lẽ là tìm
các phương án vận hành mạng trong khoảng thời gian vừa phải, để rồi tiếp
tục có những thay đổi mới. Rõ ràng, các phương án đưa ra, bên cạnh việc làm

giảm các chi phí khơng sinh lợi trong q trình vận hành mạng, cịn phải ít
gây xáo trộn nhất có thể trong cơng tác quản lý và điều hành hệ thống (để ít
phải trả giá cho việc xáo trộn này). Mục tiêu chính của Luận án là nhằm đề
xuất một giải pháp khả thi cho việc tìm ra lời giải có khả năng dung hịa được
hai mục tiêu đó.
Bên cạnh việc nghiên cứu về giao thơng nội đơ, chúng tơi cịn đề cập
đến một số bài tốn về vận tải và thiết kế giao thơng đặt ra trong tình hình
thực tiễn nước ta. Những nghiên cứu của luận án được thực hiện trên cơ sở
nghiên cứu lý thuyết các mơ hình tốn học về mạng lưới giao thơng và các
phương pháp tối ưu hóa trong việc giải các bài toán quy hoạch phi tuyến với
số biến lớn. Nội dung của luận án bao gồm 3 chương.
Trong Chương I, chúng tơi trình bày tổng quan về những mơ hình tốn
học của một số lớp các bài tốn liên quan đến lịch trình mạng giao thơng.
Mỗi phần của chương được dành cho việc trình bày một nhóm bài tốn, làm
cơ sở cho chúng tơi phát triển một chủ đề nghiên cứu của mình, riêng phần
cuối cùng đề cập đến vấn đề quy hoạch mạng lưới giao thông liên tỉnh (ngoại
vi thành phố), là chủ đề mà chúng tôi dự kiến theo đuổi trong tương lai.

13


Trong Chương II chúng tôi nghiên cứu về một giải pháp tiếp cận bài
tốn thiết lập hệ thống lịch trình vận tải đối với mạng giao thơng có nhiều
trung tâm điều hành và khả năng ứng dụng cho mạng xe bus thành phố Hà
Nội. Sau khi đưa ra một số giải pháp chuyển bài toán tổng quát với độ phức
tạp cao về bài tốn có độ phức tạp thấp hơn, dựa trên một số giả thiết về điều
kiện triển khai mang tính thực tế, chúng tơi sử dụng giải pháp kết hợp đan
xen hai quá trình lặp và phân rã. Mỗi bước trong quá trình lặp cho ra một
mức cải thiện hàm mục tiêu. Quá trình phân rã chuyển bài toán này thành 2
bài toán tối ưu khác dễ giải hơn, mỗi bài tốn là một cơng đoạn làm giảm giá

trị của hàm mục tiêu, mà kết quả cho ra là một phương án chấp nhận được có
tính khả thi (khơng địi hỏi sự xáo trộn q nhiều trong cơng tác quản lý và
điều hành hệ thống, so với phương án hiện tại). Các tính tốn thử nghiệm, với
một mạng giao thông với cấu trúc và tầm cỡ tương tự như mạng xe bus Hà
Nội, cho thấy rằng thuật toán có khả năng đem lại phương án mà giá trị hàm
mục tiêu giảm tới trên 24% so với phương án hiện tại. Kết quả của chương
này đã được công bố trong các cơng trình [3], [4], [5] (Danh mục các cơng
trình đã cơng bố của luận án).
Nội dung Chương III nghiên cứu và đưa ra một phương pháp giải mới
cho bài tốn vận tải với ràng buộc hai phía. Do bài tốn này có cấu trúc khá
đặc thù (gần với cấu trúc bài toán vận tải quen thuộc, chỉ khác ở chỗ có thêm
các biến bị chặn trên), nên nếu chỉ sử dụng đơn thuần thuật toán xử lý biến bị
chặn trên đối với qui hoạch tuyến tính tổng quát thì sẽ khơng hiệu quả, do số
biến trong bài tốn tăng theo tích của số lượng điểm thu và điểm phát. Vì thế,
khai thác cấu trúc đặc biệt của bài tốn để tìm ra thuật tốn giải hiệu quả là
rất cần thiết và có ý nghĩa cả về khoa học lẫn ứng dụng thực tiễn. Chúng tôi
đã áp dụng phương pháp thế vị để đề xuất một thuật toán, với các thao tác
tương tự như khi giải một bài toán vận tải thông thường, nhưng điểm mới là ở
chỗ thuật toán đã khai thác cấu trúc đặc biệt của bài tốn để có được các tính
tốn đơn giản, đặc biệt trong xây dựng phương án cực biên ban đầu, lập và xử
lý chu trình, tìm phương án cực biên mới. Thuật toán thu được đã được áp
dụng để giải bài tốn phân lịch trình cho các trung tâm điều hành của mạng
lưới xe bus của thành phố Hà Nội. Kết quả của chương này được công bố
trong [1], [2], [6], (Danh mục các cơng trình đã cơng bố của luận án).

14


CHƯƠNG I.
TỔNG QUAN MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ LỊCH TRÌNH

TRÊN MẠNG GIAO THƠNG VÀ MƠ HÌNH TỐN HỌC
CỦA CHÚNG
I. CÁC BÀI TỐN VỀ THIẾT LẬP HỆ THỐNG LỊCH TRÌNH CHO
MẠNG GIAO THƠNG CƠNG CỘNG
1.1. Bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thơng có
một trung tâm điều hành
Giả sử một xí nghiệp vận tải cần điều xe để thực hiện n hành trình đã
định trước, ký hiệu là T1,T2,...,Tn  . Với xí nghiệp vận tải xe bus thì đây là
những hành trình được đặt ra từ phía cơ quan quản lý giao thơng (gọi là
những hành trình bắt buộc – HTBB), dựa trên kết quả khảo sát kỹ lưỡng nhu
cầu đi lại thực tế của cư dân trong thành phố. Mỗi hành trình Ti ,

 i  1, 2,..., n  , được ứng với một cung đường nhất định (có điểm đầu, điểm
cuối) và một khoảng thời gian thực thi nhất định cùng với thời điểm khởi
hành cũng được ấn định trước, ký hiệu là ai ,  i  1, 2,..., n  . Nói chung, các
cặp (điểm đầu, điểm cuối) của các hành trình khác nhau là độc lập với nhau,
bởi vậy nếu một xe đi thực hiện hai hành trình thì cần phải có một khoảng
thời gian để xe đi từ điểm cuối hành trình trước sang điểm đầu của hành trình
sau.
Ký hiệu tij là thời gian thực hiện hành trình Ti cộng với thời gian
chuyển tiếp từ Ti sang Tj , (chẳng hạn nếu Ti kết thúc ở điểm E, Tj bắt đầu ở
điểm F thì thời gian đi từ E đến F là thời gian chuyển tiếp từ Ti sang Tj ).
Ký hiệu N   1, 2,..., n  . Một cặp hành trình Ti ,Tj  , i, j  N được xem là
tương thích nếu thoả mãn mối quan hệ ai  tij  a j , nghĩa là sau khi thực
hiện hành trình Ti thì xe phải có mặt ở điểm bắt đầu hành trình Tj vào trước
thời điểm khởi hành của nó). Ký hiệu I là tập hợp các cặp chỉ số  i, j  mà
cặp hành trình Ti ,Tj  là tương thích, ta có I  N  N . Một lịch trình là

15

một chuỗi các hành trình bắt buộc, trong đó hai hành trình liên tiếp nhau thì
thỏa mãn điều kiện tương thích.
Trong mục này, ta xét trường hợp xí nghiệp vận tải chỉ có một trung tâm
điều hành (TTĐH), là nơi bảo dưỡng, duy tu và cũng là nơi lưu trú của các xe
thuộc xí nghiệp ngồi thời gian đi phục vụ. Theo quy định, xe xuất phát từ
TTĐH đi thực hiện một lịch trình được phân cơng rồi cuối cùng phải quay trở
về TTĐH để lưu trú (sau thời gian phục vụ).
Giả sử xí nghiệp cần thực thi n hành trình bắt buộc (HTBB). Nếu
TTĐH có đủ n xe thì một phương án khả thi là giao cho mỗi xe thực hiện
một HTBB. Tuy nhiên, trong thực tế số lượng các HTBB là rất lớn, cịn số
đầu xe của xí nghiệp thường là rất hạn chế, cho nên cách phân cơng này là
nói chung là khơng phù hợp.
Một cách phân công hợp lý hơn là nên ghép một số HTBB với nhau
thành các lịch trình (như đã nói ở trên) và giao cho một xe thực hiện. Vấn đề
đặt ra là nên ghép những hành trình nào với nhau để TTĐH sử dụng số đầu
xe là ít nhất có thể và chi phí tổng thể cho việc thực hiện tồn bộ các HTBB
là nhỏ nhất có thể.
Ký hiệu cij ,  i, j   I , là chi phí chạy xe kể từ khi bắt đầu thực hiện
hành trình Ti cho đến khi sẵn sàng thực hiện hành trình Tj , còn cn 1, j

j

 N  là chi phí cho xe rời TTĐH đi thực hiện hành trình đầu tiên là Tj

(chi phí đi từ TTĐH đến nơi xuất phát của hành trình Tj ), và tương tự c j ,n 1
là chi phí để xe trở về TTĐH sau khi kết thúc hành trình Tj (chi phí đi từ nơi
kết thúc hành trình Tj về đến TTĐH). Để giải quyết bài tốn đặt ra, ta đưa ra
mơ hình tốn học như sau.
Ta lập đồ thị G gồm n  1 đỉnh, mỗi đỉnh từ 1 đến n biểu thị một hành

trình bắt buộc (đỉnh i biểu thị hành trình Ti ), cịn đỉnh n  1 biểu thị TTĐH
của xí nghiệp. Các cạnh của đồ thị G là tập hợp

A  I    n  1, j ,  j, n  1  : j  N  .
Mỗi cạnh (i, j ) , với i, j  I , biểu thị cặp hành trình Ti ,Tj  tương
thích, có thể giao cho một xe đảm nhận (sau khi thực hiện hành trình Ti thì
16


thực hiện tiếp hành trình Tj ), mỗi cạnh ( j, n  1) biểu thị hành trình khi xe
quay về TTĐH sau khi thực hiện hành trình Tj .
Với tập các đỉnh của đồ thị là V  N   n  1 , ta có thể viết

G  (V , A) , trong đó A là tập hợp các cạnh (đã nói ở trên).
Đồ thị con của G , có tập đỉnh là N và tập cạnh là I , được ký hiệu là

 N , I  . Đây là một đồ thị có hướng và khơng chứa chu trình. Đặt X ij là biến
chỉ thị trên cung  i, j   A , nghĩa là Xij  1 nếu có hành trình liên kết từ Ti
đến Tj và Xij  0 trong trường hợp ngược lại. Bài tốn đặt ra có mơ hình
tốn học là một bài tốn quy hoạch ngun có ràng buộc sau đây:
min



(i , j )A

cij Xij 

 cXn 1, j

(1.1)

j N

với các điều kiện ràng buộc là

 Xij

 1,

i  N ,

(1.2)

j V

 Xn 1, j

 v,

(1.3)

j N

 Xij   X ji

i V

 0 j  V ,

(1.4)

i V

Xij   0,1 ,   i, j   A ,

(1.5)

trong đó c là tham số phạt cho việc sử dụng mỗi đầu xe (với một xí nghiệp
phải thuê xe để hoạt động thì c có thể xem là giá thuê xe trong ngày), v là số
lượng xe có thể huy động được của TTĐH.
Hàm mục tiêu chính là tổng chi phí thực hiện các hành trình trên mạng
và chi phí sử dụng đầu xe. Ràng buộc (1.2) là điều kiện đảm bảo rằng mỗi
HTBB chỉ thực hiện đúng một lần (mỗi HTBB chỉ thuộc một lịch trình nào
đó). Ràng buộc (1.3) và (1.4) tương ứng là điều kiện giới hạn số lượng xe và
điều kiện bảo toàn ràng buộc luồng.
Từ nghiệm của bài toán (1.1) – (1.5) người ta sẽ xác định ra những hành
trình kế tiếp nhau (có hành trình liên kết giữa hai hành trình đó) và lập ra các
lịch trình (tức là một dãy các hành trình kế tiếp nhau, hành trình đầu tiên có
17


điểm khởi đầu tại TTĐH và hành trình cuối cùng có điểm kết thúc tại
TTĐH). Nói chung, số lượng các lịch trình ít hơn rất nhiều số lượng các hành
trình bắt buộc. Rõ ràng bài tốn nêu trên chính là bài tốn thiết lập hệ thống
lịch trình làm cực tiểu chi phí vận tải trên mạng, hay nói gọn là bài tốn cực
tiểu hố chi phí vận hành mạng. Bài tốn này đã có thuật tốn giải bởi
Bertossi A.A., Carraresi P., Gallo (1987), G. Ahuja, Magnanti & Orlin
(1993), với thời gian đa thức, (xem [10], [12], [17], [25]).
1.2. Bài toán thiết lập lịch trình với ràng buộc khoảng thời gian

Trong mục trên, mỗi hành trình bắt buộc có các mốc thời gian bắt đầu
và kết thúc là những thời điểm (chính xác), cịn trong mục này ta xét trường
hợp các mốc thời gian được cho là những khoảng thời gian nào đó. Ví dụ
trong bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho xe đưa đón khách, thời gian
đón trả khách tại một địa điểm E là từ 6h đến 6h15, tại điểm F là từ 7h đến
7h20. Nghĩa là, xe khơng được đến một điểm nào đó sớm hơn khoảng thời
gian qui định và xe không được đến điểm nào đó muộn hơn khoảng thời gian
qui định.
Mơ hình tốn học của bài tốn này được mơ tả như sau.
Ký hiệu N   1,2,..., n  biểu thị các điểm đến. TTĐH được “phân
tách” thành 2 điểm: điểm xuất phát là o và điểm trở về là d . Xét đồ thị

G  V , A  , ở đây A là tập hợp các cạnh và V  N   o, d  là tập hợp các
đỉnh.
Ký hiệu khoảng thời gian ràng buộc là  ai ,bi  tại mỗi điểm i  V . Một
lịch trình trong đồ thị G được định nghĩa bởi một dãy điểm kế tiếp nhau

i0, i1,..., iH , trong đó mỗi cạnh  ik 1, ik   A . Tất cả các lịch trình bắt đầu từ
điểm i0  o , tại thời điểm a 0 , và kết thúc tại điểm iH  d không muộn hơn
thời điểm bd .
Một lịch trình là sơ cấp nếu nó khơng chứa chu trình. Mỗi một cạnh

 i, j   A

có thể có chi phí dương hoặc chi phí âm và xác định trong khoảng

thời gian tij . Chúng ta qui định thời gian của xe sau khoảng thời gian ràng
buộc tại điểm i là một phần trong giá trị thời gian tij , i  N . Một cạnh

18

 i, j  thuộc tập hợp A

nếu có một lịch trình thực hiện được, chẳng hạn nếu

có một lịch trình thì phải thoả mãn điều kiện: ai  tij  b j . Mơ hình tốn học
của bài tốn có hai tập biến: biến luồng Xij ,  i, j   A và biến thời gian

Ti , i  V . Biến luồng Xij ,  i, j   A , cũng chính là biến chỉ thị, còn biến
Ti , i  V , là thời gian chờ cho phép trước khi đến khoảng thời gian ràng
buộc tại mỗi điểm.
Mơ hình tốn học của bài tốn này như sau:
min



 i, j A

cij Xij

(1.6)

với các điều kiện ràng buộc là

 1, i  o

X

X


 ij  ji  0, i  N ,
j V
j V
 1, i  d


(1.7)

Xij   0,1 ,   i, j   A ,

(1.8)

X ij (Ti  tij  Tj )  0,

ai  Ti  bi ,

  i, j   A ,

  i, j   V .

(1.9)
(1.10)

Hàm mục tiêu (1.6) là cực tiểu chi phí đi lại. Ràng buộc (1.7)-(1.8) là
điều kiện luồng trong đồ thị G. “ Khoảng thời gian phục vụ” xuất hiện trong
ràng buộc (1.10) và điều kiện tương thích giữa biến luồng và biến thời gian
trong ràng buộc (1.9). Có nhiều tác giả đã tham gia nghiên cứu dạng bài toán
này, Joksch (1966), Aneja, Aggarwal & Nair (1983). Jaffe, Martins (1984),
một nghiên cứu của Dror (1994) cho thấy bài toán này thuộc lớp NP- khó

(xem [14], [23]).
1.3. Bài tốn cực tiểu hóa số lượng lịch trình chạy xe trên mạng
Hiện nay, chi phí mua xe (thuê xe) và chi phí cố định của một xí nghiệp
là rất cao, nên các chi phí này có ảnh hưởng lớn đến giá thành và lợi nhuận
của xí nghiệp. Bởi vậy việc làm đầu tiên của xí nghiệp là phải cực tiểu hố số
lượng xe, mà vẫn đảm bảo được việc thực hiện các HTBB được giao. Như đã

19


nói ở trên, mỗi xe có trách nhiệm thực hiện một lịch trình, cho nên việc cực
tiểu hóa số lượng xe cũng là việc tìm phương án khả thi với số lượng các lịch
trình là ít nhất. Đây chính là bài tốn cực tiểu số lượng lịch trình chạy xe.
Một lịch trình trong đồ thị ở Mục 1.1 là một tập hợp các hành trình Ti
thỏa mãn điều kiện tương thích, hành trình Ti gọi là một lịch trình sơ cấp nếu
nó khơng chứa chu trình. Việc tìm cực tiểu số xe cần thiết để phục vụ các
HTBB đã cho là tương đương với việc tìm cực tiểu số lịch trình phủ tồn bộ
các điểm của đồ thị  N , I  .
Nếu Ti ,Tj thuộc một lịch trình thì chúng phải thoả mãn điều kiện

ai  tij  a j , i  N , j  N , từ đó suy ra (i, j ) được sắp thứ tự trong N . Từ
đó chúng ta có thể tìm cực tiểu số lịch trình bằng cách sử dụng kết quả của
Dilworth [1950], nói rằng: Trên tập hợp sắp thứ tự bộ phận số lịch trình nhỏ
nhất bằng số lớn nhất của các điểm khơng có quan hệ với nhau trong N . Để
tìm cực tiểu số lịch trình như ở trên ta dựa vào nhận xét sau: Trong đồ thị
khơng có chu trình người ta có thể tìm được cách đánh số các đỉnh sao cho
mỗi cung  i, j  đều thỏa mãn i  j . Sau đó chúng ta sử dụng thuật tốn của
Ford & Fulkeson để tìm cực tiểu số lịch trình. Năm 1962 Ford & Fulkeson đã
đề ra thuật tốn để tìm cực tiểu số lịch trình: Giả sử rằng với tập hợp các
điểm được đánh số như ở trên ta chọn phần tử nhỏ nhất (ví dụ chọn phần tử

1 ) sau đó đi tới đỉnh tiếp sau đầu tiên j của nó. Cứ tiếp tục đi như vậy cho
đên khi tới một phần tử nào đó mà khơng thể đi tiếp đến đỉnh nào nữa thì
dừng lại, điều đó đã vạch cho ta một lịch trình của một phân hoạch tối thiểu.
Sau đó chúng ta xố các phần tử của lịch trình vừa tìm được và lặp lại quá
trình trên. Độ phức tạp tính tốn của thuật tốn là O(n ) .
Trong trường hợp  i, j   I , i, j  N có thể khơng tạo thành tập sắp thứ
tự (Ti ,Tj nối được với nhau), thì việc tìm cực tiểu số xe có thể dựa vào thuật
tốn luồng cực đại (Ford&Fulkeson). Số xe nhỏ nhất để phủ hết được các
chuyến đi theo bài toán luồng cực đại bằng n 



 i, j I

[23]).

20

Xij (xem [3], [8], [9],


Tuy nhiên, cũng cần lưu ý rằng mục tiêu cực tiểu hóa số lượng đầu xe
có thể kéo theo khơng ít khó khăn cho việc thiết lập hệ thống lịch trình và
thường làm gia tăng các qng đường chạy khơng tải, gây lãng phí xăng dầu,
nhân cơng và chi phí khấu hao xe. Tổng các chi phí này có khi cịn lớn hơn cả
chi phí mua xe, cho nên một cách thực tế hơn là cần đưa tất cả các chi phí này
vào một hàm mục tiêu chung (với trọng số ưu tiên phù hợp) và tìm giải pháp
cực tiểu hóa hàm mục tiêu này. Một giải pháp cho vấn đề này sẽ được chúng
tôi đề xuất trong Chương II.
1.4. Bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng giao thông với

nhiều trung tâm điều hành
Với một thành phố lớn (như Hà Nội hiện nay), việc duy trì chỉ một trung
tâm điều hành (TTĐH) để phục vụ cho tất cả các xe thực hiện các HTBB của
thành phố sẽ là điều bất cập, vì số lượng xe phải phục vụ tại TTĐH là quá
đông, phần lớn các xe phải đi những quãng đường quá xa để đến được điểm
phục vụ của hành trình đầu tiên trong ngày, và khi kết thúc việc phục vụ
HTBB trong ngày lại cũng phải đi những quãng đường rất dài mới trở về
được TTĐH). Chính vì vậy, trong trường hợp này, người ta thường sử dụng
một số TTĐH thay vì chỉ một (mạng xe bus như Hà Nội hiện nay có bốn
TTĐH).
Việc thay đổi từ một TTĐH lên nhiều TTĐH làm cho bài toán thiết lập
hệ thống lịch trình cho mạng giao thơng có những biến đổi về chất, cho dù về
hình thức bên ngồi vẫn có những nét tương tự. Giả sử tập hợp các TTĐH là
K và tại TTĐH thứ k người ta điều hành v k chiếc xe, k  K . Mỗi xe của
TTĐH được sử dụng để thực hiện một số các HTBB rồi cuối cùng quay trở
lại chính TTĐH đó sau mỗi ngày làm việc.

Cũng như các mục trước đây, ta xét đồ thị gồm n đỉnh, mỗi đỉnh biểu
thị một HTBB và I là tập hợp các cặp hành trình tương thích (tương tự như
ở Mục 1.1).
Với mỗi k  K , chúng ta xét đồ thị G k  V k , Ak  , với

Ak  I    n  k   N    N   n  k   ,
V k  N  n  k  ,

21


trong đó đỉnh n  k biểu thị TTĐH thứ k .
Cho X ijk là biến chỉ thị đối với cạnh  i, j   Ak và chi phí trên cạnh này

là (chi phí này khơng phụ thuộc vào k nếu

 i, j   I , còn các chi phí cn k , j

với j  N và ci,n k với i  N thì có thể phụ thuộc vào k ).
Mơ hình tốn học của bài tốn này là:
min 



k K (i, j )A

cij Xijk

(1.11)

với các điều kiện ràng buộc là

  X ijk

 1,

i  N ,

(1.12)

k K j V k

 Xnk 1, j

 vk ,

k  K ,

(1.13)

j N

 Xijk   X jik

i V

k

i V

 0 ,  j  V k , k  K ,

(1.14)

k

X ijk   0,1 , (i, j )  Ak , k  K .

(1.15)

Hàm mục tiêu (1.11) là tổng chi phí. Ràng buộc (1.12) là điều kiện
đảm bảo rằng mỗi HTBB được thực hiện đúng một lần, còn ràng buộc (1.13)
và (1.14) tương ứng là ràng buộc về số lượng xe và điều kiện cân bằng luồng.
Khi K  1 thì đây là bài tốn thiết lập hệ thống lịch trình cho mạng

giao thơng với một TTĐH duy nhất (đã được nói tới trong Mục 1.1.).
Nếu K  2 thì bài tốn này thuộc lớp NP- khó (như đã chỉ ra trong
[19], [13], [10], [29]). Khi ấy, ngay cả bài tốn tìm nghiệm tối ưu xấp xỉ 
cũng đã là NP-khó. Ngồi ra, người ta cịn chỉ ra rằng bài tốn tìm phương án
chấp nhận được cho bài tốn này khi có ràng buộc về dung lượng của các
trung tâm cũng đã là một bài toán NP đầy đủ. Đây chính là lý do vì sao bài
toán này, mặc dù đã được rất nhiều người quan tâm nghiên cứu (xem [16],
[21], [31], [32]), nhưng cho đến nay vẫn chưa có được giải pháp thỏa đáng.
Trong luận án này, chúng tơi sẽ dành tồn bộ Chương II để nghiên cứu
về chủ đề này.

22


II. CÁC BÀI TỐN VỀ LỊCH TRÌNH THU GOM VÀ PHÂN PHỐI CĨ
RÀNG BUỘC
2.1. Bài tốn thu gom hàng hóa với ràng buộc khoảng thời gian
Đây là bài toán thu gom hàng hóa từ nhiều điểm phân bố rải rác trên một
địa bàn rộng. Thời gian thu gom hàng tại mỗi điểm được ấn định trước. Đó là
bài tốn đặt ra đối với các công ty môi trường đô thị trong việc thu gom rác
thải,... và cũng đặt ra đối với các cơng ty thu mua hàng hóa nơng sản ở nước
ta hiện nay. Mơ hình tốn học của bài toán này như sau.
Ký hiệu:
o

N   1,2, 3,..., n  là tập hợp các khách hàng (nhà máy, xí nghiệp),

o

K là tập hợp các xe có thể tham gia phục vụ.

Xét các đồ thị G k  V k , Ak , k  K , có tập đỉnh là V k và tập cạnh là

Ak . Tập V k chứa tập N  o  k , d  k   , trong đó o  k , d  k  là biểu thị
điểm xuất phát và điểm trở về đối với xe k , k  K . Tập Ak là tập con của

V k V k , bao gồm các cạnh biểu thị các con đường (có thể có) nối giữa các
đỉnh (khách hàng).
Trong dạng bài toán thu gom này, mỗi khách hàng i  N có nhu cầu
thu gom là pi trong khoảng thời gian ràng buộc  ai , bi  , là khoảng thời gian
mà hành khách được phục vụ. Định nghĩa tải trọng của mỗi khách hàng

i  N là li  pi . Với mỗi xe k  K , ký hiệu tải trọng ban đầu là lo(k ) ,
khoảng thời gian ràng buộc tại vị trí khởi hành là  ao(k ), bo(k )  và tại vị trí trở


về là  ad (k ), bd (k )  .


Giả sử mỗi cạnh  i, j   Ak , k  K có chi phí cijk và thời gian đi lại tijk .
Với mỗi i , giả sử thời gian phục vụ tại điểm i được gồm trong thời gian tijk .
Tất cả các khách hàng được phân cho nhiều nhất là v chiếc xe, v  K .
Trọng tải của mỗi xe không được vượt quá Q k . Một cạnh  i, j   Ak , k  K

23


được xem là không thỏa mãn ràng buộc thời gian nếu ai  tijk  bj , hoặc
không thỏa mãn ràng buộc dung lượng nếu li  l j  Q k .
Mơ hình tốn học của bài tốn này sẽ có các biến sau đây:

o Biến luồng Xijk ,  i, j   Ak , k  K , nhận giá trị là 1 nếu cạnh  i, j 
được sử dụng bởi chiếc xe k , bằng 0 trong các trường hợp khác;
o Biến thời gian Tik , i  V k , k  K , chỉ rõ thời điểm bắt đầu sự phục
vụ tại điểm i của chiếc xe k ;
o Biến trọng tải Lki , i  V k , k  K , chỉ rõ tải trọng của xe k sau khi
phục vụ tại điểm i .
Mơ hình tốn học của bài tốn như sau:
min 



k K  i , j Ak

cijk Xijk

(1.16)

với các điều kiện ràng buộc là





k K j N  d  k  

  Xok(k )j

Xijk =1, i  N ,

(1.17)

 v,

(1.18)

k K j N



Xok(k ) j  1; k  K ,



Xijk 

j N d  k  

i N  o k  



i N   d  k  

(1.19)

Xijk  0; k  K ,
j  V k \ o  k , d  k  , (1.20)



i N  o k  

Xik,d (k )  1; k  K ,

X ijk Tik  tijk  Tjk   0,

  i, j   Ak , k  K ,

24

(1.21)
(1.22)