97 SKKN toán 9 phuong trinh quy ve pt bac hai

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Mục lục
Trang

Phần I : phần mở đầu
I. Đặt vấn đề
II.Nhiệm vụ và ph-ơng pháp nghiên cứu
Phần II: Nội dung đề tài
Ch-ơng I :Lý luận chung
Ch-ơng II: ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai
I . Ph-ơng trình bậc hai có 1 ẩn số
II. Ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai
1. Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu
2. Ph-ơng trình đ-a về dạng tích
3. Ph-ơng trình bậc bốn
3.1 Ph-ơng trình trùng ph-ơng
3.2 Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
3.3 Ph-ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
3.4 Ph-ơng trình chứa ẩn d-ới dấu căn
3.5 Ph-ơng trình hồi quy

1
2
4
6
10
13

16
18
20
21
22
22

3.6 Ph-ơng trình dạng af2(x)+bf(x)+c=0

24

3.7 Ph-ơng trình dạng (x+a)4+(x+b)4=0

26

3.8 Ph-ơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m

29

4. Vài ph-ơng trình bậc cao khác

32

5. Một số bài đề nghị

35

Phần III: Thùc nghiƯm
TiÕt 1

36

TiÕt 2

39

PhÇn IV : KÕt ln

44

PhÇn V: Tài liệu tham khảo

45

Ng-ời thực hiện: Mc Tun Tỳ

1


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
******************************************
I - ĐẶT vÊn ®Ị
- Trong thời kì cả nƣớc đang tiến nhanh trên con đƣờng cơng nghiệp hố, hiện đại
hố đất nƣớc. Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã
hội, công nghệ thông tin,… Sự nghiệp giáo dục cũng đang đƣợc đổi mới và phát

triển không ngừng, nhất là đổi mới về phƣơng pháp dạy học (PPDH). Là một vấn
đề đang đƣợc đề cập, nghiên cứu và bàn luận sơi nổi. Đặc biệt đối với bộ mơn
tốn là một bộ mơn khoa học trừu tƣợng song có ý nghĩa vơ cùng quan trọng
trong việc đổi mới PPDH nói chung và dạy tốn trong nhà trƣờng THCS nói riêng
đã đƣợc định hƣớng pháp chế hoá trong luật giáo dục đó là: “Phƣơng pháp dạy
học phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với
đặc điểm của từng lớp, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú
học tập cho học sinh,…”. Giúp học sinh hƣớng tới học tập chủ động sáng tạo
chống lại thói quen học tập thụ động vốn có của đa số học sinh trong nhà trƣờng
THCS.
- Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lƣợng, năng lực tƣ duy,hay khả
năng tiếp thu kiến thức của học sinh đối với bộ mơn tốn chủ yếu thơng qua giải
bài tập. Thơng qua việc giải bài tập nhằm củng cố hồn thiện kh¾c sâu nâng cao (
mức độ cho phép ) những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, thuật giải
, ngun t¾c giải tốn. Đối với học sinh lớp 9 ngoài việc truyền cho học sinh
những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chƣơng trình giáo
khoa đại trà chúng ta cịn rất cần đầu tƣ bồi dƣỡng cho một bộ phận học sinh khá,
giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải đƣợc tiến hành thƣờng xuyên ở trong các
nhà trƣờng thcs. Nhằm tạo điều kiện để cho học sinh phát huy đƣợc năng lực
trí thơng minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lƣợng mũi nhọn, bồi dƣơng đội ngũ
học sinh giỏi các cấp, phát triển nhân tài cho đất nƣớc.

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

2


SKKN:

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

- Một trong những chuyên đề kiến thức quan trọng đối với học sinh lớp 9 cần nắm
vững đó là giải bài tập về “Giải phƣơng trình” nhƣng nội dung chƣơng trình sách
giáo khoa lớp 9 mơn đại số mới chỉ quan tâm hƣớng dẫn kĩ học sinh cách giải
phƣơng trình bậc hai,những phƣơng trình có thể quy về phƣơng trình bậc hai để
giải cịn ít dạng, bài tập cịn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chƣơng trình
khung của Bộ giáo dục đã đề ra. Chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu học tập nâng cao tri
thức kĩ năng của nhƣng em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi . Vì vậy chúng
ta cần quan tâm đến việc hƣớng dẫn, bồi dƣỡng cho học sinh lớp 9 cách giải các
phƣơng trình có thể quy về phƣơng trình bậc hai. Những phƣơng trình quy về
phƣơng trình bậc hai này khơng mới, nhƣng nó có thể mới với nhiều thầy cô, nhất
là đối với các em học sinh. Bởi vì những phƣơng tr×nh quy về phƣơng trình bậc
hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phƣơng
trình bậc hai nhƣng ở đây dạy giải những phƣơng trình ở những dạng khác có thể
đƣa về phƣơng trình trung gian là những phƣơng trình bậc hai thƣờng gặp trong
chƣơng trình lớp 9 những bài tốn hay và khó đặc biệt thƣờng gặp trong việc thi
chọn HSG, thi vào trƣờng chuyên.
- Về hệ thống bài tập phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai trong SGK và
SBT có nhiều đề cập tới song chƣa nhiều, chƣa đa dạng, chƣa có sự hƣớng dẫn cụ
thể nên chƣa thực sự thuận lợi cho ngƣời dạy và ngƣời học tiếp thu và nghiên cứu.
- Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chƣơng trình dạy học của mơn Đ¹i
số 9. Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, kinh nghiệm của các
đồng chí có trình độ chun mơn vững vàng và nhiều năm làm công tác giảng
dạy, và kết quả đánh giá, cũng nhƣ kinh nghiệm của bản thân sau một số năm
tham gia giảng dạy bộ môn Tốn 9 cịng nhƣ ơn luyện cho học sinh khá giỏi, đã
mạnh dạn đi sâu và nghiên cứu lựa chọn một số dạng bài tập về giải phƣơng trình
và cách giải các phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai. Hệ thống bài tập này
có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy và học sinh học để chuẩn bị

cho các kì thi chọn HSG, tuyển sinh vào lớp 10, giúp ngƣời thầy đổi mới PPDH,
giúp các em học sinh lớp 9 tự tin và thêm yêu mơn tốn và học tốn ngày càng có
kết quả hơn.
Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

3


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

II. NHIỆM VỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. NHIỆM VỤ:
Với mục đích là hƣớng dẫn học sinh cách giải phƣơng trình quy về phƣơng
trình bậc hai nên xuyên suốt quá trình nghiên cứu nhiệm vụ đƣợc đề ra nhƣ sau:
- Trên cơ sở những bài tập trong SGK, nghiên cứu tham khảo thêm các tài
liệu, sách bồi dƣỡng để tìm tòi bổ sung thêm một số dạng bài tập để sắp xếp ra
thành hệ thống bài tập cho phần dạy phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai
sử dụng bồi dƣỡng cho học sinh lớp 9 THCS.
- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy
- Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảng
dạy nói chung.
- Nghiên cứu tìm ra phƣơng pháp giải cơ bản, dễ hiểu khoa học, chính xác
mẫu mực cho học sinh noi theo.
- Rèn luyện cho học sinh nề nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện các thao
tác tƣ duy, phƣơng pháp học tập chủ động, tích cực sáng tạo. Cũng thơng qua đó
giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức, tƣ tƣởng lối sống phù hợp với mục tiêu,
giúp trau dồi cho các em các kiến thức phổ thông cơ bản gắn với cuộc sống cộng

đồng và thực tiễn địa phƣơng có kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào thực
tiễn cuộc sống giải quyết một số vấn đề thƣờng gặp trong cuộc sống của bản
thân, gia đình và cộng đồng. Đồng thời giúp các em tự tin giải tốn trong các kì
thi cử.
2. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU :
- Học sinh lớp 9 trƣờng THCS ĐỨC THÀNH – YÊN THÀNH – NGHỆ AN
- Giúp học sinh có các cách giải các phƣơng trình bậc cao và một số phƣơng
trình dạng khác
3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu để tìm ra phƣơng pháp giảng dạy “Giải phƣơng trình
Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

4


SKKN:

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

quy về phƣơng trình bậc hai”có hiệu quả tơi đã sử dụng các phƣơng pháp sau:
- Tham khảo thu nhập tài liệu
- Thông qua các tổ chức hoạt động học tập của học sinh “Cách tốt nhất để hiểu
là làm” _ (Kant). Tự lực khám phá những điều mình chƣa biết làm phát huy
tính tích cực chủ động của học sinh
- Phân tích tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng
dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu
kiến thức của học sinh, từ đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các phƣơng pháp
dạy học.

- Trƣng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những giáo viên
trực tiếp giảng dạy chƣơng trình lớp 9 để trau dồi thêm kiến thức, phƣơng pháp
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Giới hạn ở vấn đề giải các phƣơng trình cơ bản , phƣơng trình bậc cao ( một số
dạng thƣờng gặp ở lớp 9) trong chƣơng trình THCS

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

5


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
***************************************************

LÍ LUẬN CHUNG

Chƣơng I

A- CÁC CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP.

1. Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải bài tập tốn
- Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản một cách có hệ
thống (Về tốn học nói chung cũng nhƣ phần phƣơng trình bậc hai và phƣơng
trình quy về phƣơng trình bậc hai trong chƣơng trình đại số 9…) theo hƣớng tinh
giản vững chắc.

- Bài tập quy về “phƣơng trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực
hành giải toán. Rèn luyện cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ
sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trƣờng THCS, mở rộng khả năng áp dụng
kiến thức vào thực tế.
- Bài tập phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai cịn góp phần rèn luyện cho
học sinh những đức tính cẩn thận sáng tạo…của ngƣời nghiên cứu khoa học.
2. Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập
2.1 Hệ thống bài tập đƣa ra phải đầy đủ, hợp lí, phải làm cho học sinh nắm vững
bản chất các kiến thức đã học, rèn luyện cho học sinh khả năng độc lập trong suy
nghĩ, sáng tạo và khả năng suy luận.
Hệ thống bài tập đầy đủ là hệ thống không những đầy đủ về nội dung mà cịn
phải đầy đủ về loại hình đó là:
+ Bài tập về chứng minh
+ Bài tập về tính tốn
+ Bài tập về rút gọn
+ Bài tập về phân tích
+ Bài tập về giải phƣơng trình, khảo sát hàm số
Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

6


SKKN:

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

- Các bài tập đƣa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần t tốn học và có cả
những bài mang nội dung thực tế.
2.2 Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học.

- Hệ thống bài tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản – vì kiến thức cơ
bản là cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ
bản mới có hƣớng để vận dụng vào thực tế giải bài tập.
- Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh một cách có hệ
thống, chính xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh.
- Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tƣ tƣởng cho học sinh thấy rõ
vai trò của toán học với thực tiễn, làm cho học sinh u thích mơn tốn có hứng
thú học tập đối với mơn tốn.
2.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo u cầu vừa sức, phù hợp với đối tƣợng học
sinh. Phải làm cho học sinh thấy cần và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra
bài tập quá khó sẽ gây tâm lí lo ngại cho học sinh. Vì vậy khi bài tập thích hợp
chúng ta có thể chia ra thành các loại bài tập:
Loại 1: bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này địi hỏi tƣ duy ít phức
tạp, nên ra với học sinh trung bình, yếu.
Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bƣớc đầu các hình thức tƣ duy nhƣ áp dụng lí
thuyết có tính chất khơng đơn giản. Loại này thƣờng ra với học sinh trung bình,
Khá.
Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, địi hỏi các thao tác tƣ duy khéo léo,
mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thƣờng là kông trực diện. Loại bài này
thƣờng ra đối với đối tƣợng học sinh khá, giỏi, học sinh lớp chọn, lớp chuyên.
2.4 Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với
hồn cảnh , quy định của chƣơng trình , nhƣng sao cho học sinh phải nỗ lực mới
hoàn thành đƣợc. Đồng thời nên giao cho học sinh những bài tập có gắn với thực
tiễn ( Ví dụ nhƣ bài tốn về dân số…).

Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

7

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

2.5 Phải phát huy đƣợc năng lực tƣ duy của học sinh. Đƣa ra tÊt cả những loại bài
tập mà học sinh phải tìm tịi mới ra hƣớng giải.
3. Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập:
3.1 Căn cứ vào mục đích dạy học:
Dạy cái gì? Với bài tập về phƣơng trình bậc hai giúp học sinh giải tốt
phƣơng trình bậc hai, biết cách đƣa các phƣơng trình bậc cao hoặc các dạng khác
về phƣơng trình bậc hai trung gian.
Bồi dƣỡng cho học sinh những kỹ năng và thói quen giải bài toán trong
thực tế.
Giúp cho học sinh phát huy, phát triển tƣ duy ở khía cạnh tính tốn biến
đổi, có những thao tác tƣ duy mềm dẻo, linh hoạt.
3.2 Dựa vào tình hình dạy và học ở trƣờng THCS:
- Dựa vào tình hình dạy và học ở trƣờng THCS về năng lực nổi lên rất rõ:
Số học sinh học chuyên, chăm chỉ chiếm tỉ lệ không lớn, đặc biệt hơn số học sinh
khá giỏi không nhiều. Hơn nữa ở những nơi có điều kiện tự học và học thêm có
chất lƣợng học tập cao hơn.
- Căn cứ vào thực tế dạy học phần này ở phổ thông cơ sở chƣa nhiều đội ngũ
giáo viên chƣa đƣợc chuẩn bị chu đáo vì đây vì đây là kiến thức mới đƣa từ THPT
xuống THCS trong mấy năm gần đây.
- Về hệ thống bài tập của SGK, SBT chƣa đáp ứng đƣợc nhu cầu học tập,
giảng dạy của giáo viên và học sinh. Khi soạn giảng phần này đòi hỏi giáo viên
phải tự tìm tịi tài liệu, biên soạn lấy bài tập vì thế nội dung giảng dạy chƣa thống
nhất chung đƣợc.
- Sách giáo khoa và chƣơng trình hiện hành đã đƣa ra cho học sinh một số loại
phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai, song mới chỉ dừng lại ở việc nhận

dạng, biết giải các phƣơng trình đó ở diện học sinh đại trà.

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

8


SKKN:

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

- Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù
hợp với đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học xong lí thuyết ta có thể đƣa
ra cho học sinh những bài tập áp dụng đơn, giản trực tiếp về những phƣơng trình
có thể quy về phƣơng trình bậc hai, phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu, phƣơng trình
trùng phƣơng, phƣơng trình vơ tỷ...
- Ngồi hệ thống bài tập ở nhà, bài tập ôn tập... yêu cầu kiến thức phải nhiều
hơn về khối lƣợng cũng nhƣ yêu cầu cao hơn về tƣ duy.
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI
HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH.
- Các quy tắc tính toán về biểu thức đại số.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Phép phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số.
- Điều kiện để biểu thức có nghĩa.
- Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) trong phép biến đổi đại số trong giải
phƣơng trình .

Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

9


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

CHƢƠNG II
PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ MỘT ẨN SỐ.
1.1 Định nghĩa:
- Phƣơng trình bậc hai một ẩn số là phƣơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0,
trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hằng số, a 0.
- Nghiệm của phƣơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi thay
vào vế trái của phƣơng trình ta đƣợc giá trị của vế trái bằng khơng.
1.2 Giải và biện luận phƣơng trình bậc hai:
a. Khi nghiên cứu về nghiệm của một Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx +
c=0 (với a 0). Ta cần quan tâm đến biệt số = b2 – 4ac của phƣơng trình.
Vì giá trị của quyết định đến số nghiệm của phƣơng trình bậc hai. Ta thấy
có các kả năng xẩy ra.
> 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =
= 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 =

b
2a

b
2a

< 0: phƣơng trình bậc hai vơ nghiệm:
*) Đặc biệt khi b chẵn (b= 2b’, b Z) ta có thể nghiên cứu về nghiệm số của
phƣơng trình bậc hai qua biệt số thu gọn ’.
Do b= 2b’ nên = 4 ’ vì vậy và ’ cùng dấu suy ra số nghiệm của
phƣơng trình bậc hai xét theo ’ cũng giống nhƣ xét theo tức là:
’ > 0: phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =
’= 0: phƣơng trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 =

b'
a

b '
a

’ < 0: phƣơng trình bậc hai vơ nghiệm:

Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

10


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

1.3 Chú ý:
a) Nếu a và c trái dấu (a.c < 0) thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm phân
biệt và trái dấu ( vì > 0 )

b) Đối với một số phƣơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số ngun) trong
trƣờng hợp phƣơng trình có nghiệm (
0) ta có thể dùng định lí viet để
tính nhẩm nghiệm của phƣơng trình.
ĐỊNH LÍ VIET:
Nếu phƣơng trình ax2 + bx + c = 0 (với a 0) có nghiệm số x1,x2 (
x1

0) thì

b

x2

a
c

x1 x 2

a

Trƣờng hợp đặc biệt :
* Nếu a + b + c = 0 thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm là x1= 1, x2 =
* Nếu a - b + c = 0 thì phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm là x1= -1, x2 =

c
a
c
a

Nhờ định lí viet ta có thể tìm đƣợc nghiệm của một số phƣơng trình có dạng đặc
biệt. Ngồi ra chúng ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phƣơng trình

bậc hai .
Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu khi:
b

0
x1 x 2

0

hay

2

4ac

0

c
0
a

Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng dƣơng khi:

x1 x 2
x1

2

b

0
0

hay

c

4ac

0

0

a
x2

0

b

0

a

Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm khi:
0
x1 x 2

x1

2

b
0

hay

c

4ac

0

0

a
x2

0

b

0

a

Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:
Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

11


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:
c

0

hay ac< 0

a

Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm đối nhau khi:
x1 x 2
x1

c

0
hay
x2

0

a

0

b

0

Phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu , trong đó nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn khi:
c
x1 x 2
x1

0
hay
x2

0

a

0

b

0

a

Nhờ định lí Viet, ta có thể tính tổng hoặc hiệu các luỹ thừa cùng bậc n của
hai nghiệm phƣơng trình x x (với n Z)

Ví dụ: phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c=0 (với a 0) có hai nghiệm x1,x2
thì

2

x1

2

x2

( x1

x2 )

2

2

2

1

2

2 x1 x 2

(

b

)

2

2

a

a
c

b

2

2ac
a

2

Sau khi dạy định lí viét tơi cho học sinh cách giải phƣơng trình bậc hai theo
lƣợc đồ
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
a

xác định

b
c

Phƣơng trình có 2 nghiệm

=0

Tính a + b + c

x1 = 1; x2 =
0

Tính a - b + c
0

phƣơng trình bậc
hai vơ nghiệm:

a

Phƣơng trình có 2 nghiệm

=0

x1 = -1; x2 =

Tính

c

c
a

= b2 – 4ac
phƣơng trình bậc hai có
b
nghiệm kép x1 = x2 =
2a

phƣơng trình bậc hai có
hai nghiệm phân biệt:
x1,2 =

b
2a

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

12


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Ví dụ: giải các phƣơng trình bậc hai sau:
a) -2x2 +5x + 3 = 0
b) x2 - 3x + 3 = 0
c) 4x2 – 12x + 9 = 0
Giải
a) -2x2 +5x + 3 = 0

2x2 - 5x - 3 = 0
Tính = 25 + 24 = 49 =>
=7
Vậy

x1

5

7

2 .2

4

;

x2

5

7

2 .2

1
2

2

b) x - 3x + 3 = 0
Tính = 9 -12 = - 3 < 0 => phƣơng trình vơ nghiệm
c) 4x2 – 12x + 9 = 0
Tính ’= 36 - 36 = 0 => phƣơng trình có nghiệm kép

x1

x2

6

3

4

2

1.4 Kết luận
a. Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a 0) có nghiệm khi
ngƣợc lại, khi đó cơng thức nghiệm là: x

0 và

b
1,2

2a

b. Về số nghiệm của phƣơng trình bậc hai:
- Phƣơng trình vơ nghiệm (khơng có nghiệm thực) khi <0

- Phƣơng trình có nghiệm khi
0 khi đó phƣơng trình có hai nghiệm phân
biệt hoặc có hai nghiệm trùng nhau ( nghiệm kép), tránh nhận thức sai lầm
khi = 0 phƣơng trình bậc hai chỉ có một nghiệm.
II. PHƢƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI :
Ta thƣờng gặp một số dạng phƣơng trình quy về phƣơng trình bậc hai trong
trƣờng phổ thơng sau đây:
1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu:
a. Khái niệm:
Phƣơng trình chứa ẩn số ở mẫu là những phƣơng trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của phƣơng trình nhờ các phép biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣa đƣợc
phƣơng trình về dạng trung gian: phƣơng trình bậc hai .
b. Cách giải:
Thực hiện các bƣớc giải nhƣ trong quy tắc chung giải một phƣơng trình: chú
ý biến đổi phƣơng trình là tƣơng đƣơng ta làm nhƣ sau:
- Tìm điều kiện xác định của phƣơng trình chính là đặt điều kiện để
phƣơng trình có nghĩa (giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu (nhân cả hai vế của phƣơng trình với mẫu thức chung của 2
vế)
Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

13


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phƣơng trình chuyển vế: chuyển những

hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)
- Thu gọn phƣơng trình về dạng tổng quát đã học.
- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm
đƣợc khơng thuộc vào tập xác định của phƣơng trình)
c.Ví dụ:
* Ví dụ 1: giải phƣơng trình:
3x
2x

1
2

x

x

1

2

x

2

2

(a)

1

Phân tích mẫu thức thành nhân tử:
3x

(a)

1

2(x

1)

Điều kiện

x

x
1

x

1

0

x

1

0

(x

2

1) ( x

x

Mẫu thức chung :
Khử mẫu ta có:
Mở dấu ngoặc:

2

x

2

1)

3x

Chuyển vế đổi dấu :
Thu gọn: x

1) ( x

3x(x

2

1)

1

2(x

3x

2

2(x

2x

3x

1)

2

1)

2

3x

2(x

2x

2x

2

2

2

2)

4

2x

2

4

0

(b)

0

Giải phƣơng trình (b) ta đƣợc hai nghiệm:

x1

1; x 2

Nhận định kết quả: đối chiếu với điều kiện ban đầu

2

x

1

Vậy phƣơng trình (a) có nghiệm là: x = -2
Ví dụ 2: giải phƣơng trình:
4
2x

Vì

3

3x

2x

3

2

1
8x

3x

2

12

8x

x

12

2

4
4

(2 x

2x
3

2 x(x
(2 x

2

2

1

7x

8 x)

(3 x

4)

(3 x

3)( x

6
2

2

2 )( x

2x

0

(a)

3

12)

4)

2)

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

14


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:
2x

2

7x

6

(2 x

2

x(2 x
(x

3x)

(4 x

6)

3)

2(2 x

3)

2 )( 2 x

3)

4

(a)
(2 x

1

3)( x

Điều kiện:

2 )( x

x

2

0

x

2

0

2)

(x

2 )( x

x

2

3

0

Mẫu thức chung:
4

(a)

4

(2 x
2x

Thu gọn: x

3)
3

2

6x

(x

2 )( x

2)

8

5

(x

2 )( 2 x

3)

2x

3

2

4(x
4x

2)

1

3

x
2x

4

x

0

(x
2

2 )( 2 x

3)

2 )( x

2)

4

(b)

Phƣơng trình (b) có hai nghiệm:
x1

1; x 2

5

Nhận định kết quả x =1 và x =5 đều thuộc miền xác định của phƣơng trình
(a) nên nó là nghiệm của phƣơng trình (a)
1

2

Ví dụ 3. Giải phƣơng trình
(4)
Giải. Điều kiện của phƣơng trình (4) là

và

Nhân hai vế của phƣơng trình (4) với

ta đƣợc phƣơng trình hệ quả

(4)

.

.
.
.

Phƣơng trình cuối có hai nghiệm là
và
.Ta thấy
khơng thỏa mãn
điều kiện của phƣơng trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn
thỏa
mãn điều kiện và là một nghiệm của phƣơng trình (4).
Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

15


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Vậy phƣơng trình (4) có nghiệm duy nhất là

.

d. Nhận xét:
- Loại phƣơng trình ở 2 ví dụ trên là dạng có nhiều ở trƣờng trung học cơ sở.
- Khi giải cần lƣu ý: Tìm miền xác định của phƣơng trình, cuối cùng phải

nhận định kết quả và trả lời.
2. Phương trình đưa về dạng tích:
a. Dạng tổng qt: A.B = 0

A

0

B

0

b. Cách giải:
Để giải một phƣơng trình bậc lớn hơn 2 ( đối với học sinh cấp 2) thƣờng
dùng phƣơng pháp biến đổi về phƣơng trình tích ở đó vế trái là tích của nhân
tử cịn về phải bằng 0. Muốn vậy học sinh phải có kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử.
c. Ví dụ:
*Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Tốn 9):Giải các phƣơng trình
a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0
b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0
Giải
2

2

a) (3x - 5x + 1)(x - 4) = 0

x

x

2

3x

2

- 4 = 0
2

- 5x + 1

0

x

5

13
6

Vậy S =

2; 2;

5

13
6

;

5

13
6

b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = 0
(2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0
(2x2 +3x -5)(2x2 - x -3)= 0
Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

16


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:
2x
2x

2

+ 3 x - 5 = 0 (1 )

2

- x - 3 = 0

(2 )

giải (1)và (2) ta đƣợc x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5
Vậy S =

x 1 = 1 ; x 2 = -2 .5 ; x 3 = -1 ; x 4 = 1 .5

*Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
2x

3

7x

2

7x

2

(a)

0

Chú ý hệ số ở vế trái, phân tích thành nhân tử:
2x

3

7x

2x

2(x

2(x

x

(a)

3

3

7x

2

1)

1) ( x

1 2x

(x

2x

7x

2
2

7 x(x

2

x

2

1
2

(* )

7x

1)

1)

5x

1) ( 2 x

x

(b)

2

7 x(x

1)

2

2

5x

2)

0

0 (* )
5x
x

(* * )

2

0

(* * )

1
x

2; x

1
2

Vậy phƣơng trình (a) có 3 nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3=

1
2

d. Nhận xét:
-Giải phƣơng trình đƣa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức
thành nhân tử để đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình tích ta sẽ đƣợc một
phƣơng trình mà vế trái gồm các phƣơng trình bậc nhất, phƣơng trình bậc
hai đã biết cách giải.
- Chú ý tới hai tính chất của phƣơng trình bậc 3: ax + bx + cx+ d= 0
3

2

Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phƣơng trình có một nghiệm x =1
1

Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

17

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Nếu a – b + c – d = 0 thì phƣơng trình có một nghiệm x = -1.
1

Khi đã nhận biết đƣợc nghiệm, ta phân tích đƣợc vế trái của phƣơng trình
thành nhân tử.
- Phƣơng trình bậc 3 có các hệ số ngun. Nếu có nghiệm ngun thì
nghiệm ngun đó phải là bội số của hạng tử tự do ( Định lí về sự tồn
tại của nghiệm nguyên của phƣơng trình với hệ số nguyên)

3. Phương trình bậc bốn:
Phƣơng trình bậc bốn là phƣơng trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = 0
trong đó a, b, c, d ,e là các hằng số cho trƣớc, a 0
Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về dạng phƣơng
trình bậc hai
3.1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
a) Dạng tổng qt:
Phƣơng trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a,b,c là các hệ số,
a

0

b) Cách giải:
Loại phƣơng trình này khi giải ta thƣờng dùng phép đổi biến x2 = t từ
đó ta đƣa đến một phƣơng trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0

Giải phƣơng trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t
( Nếu những giá trị tìm đƣợc của t thoả mãn t ta sẽ tìm đƣợc nghiệm số
của phƣơng trình ban đầu).
*Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:
đặt x2 = t

0

3x

4

2x

2

1

0

(a )

(a) <=> 3t2-2t -1 = 0

Nghiệm của phƣơng trình (b) : t1= 1; t2 =

1

thoả mãn t

0

3

Với t1= 1 =>x2 = 1=> x = 1

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

18


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Với t2 = => x2 = => x=
1

1

1

3

3

3

Vậy phƣơng trình có 4 nghiệm

x1

1; x 2

*Ví dụ 2: Giải phƣơng trình: 2 x
đặt
2t

x

2

2

3t
t1

t

(t

2

0

0)

4

3x

1

1; x 3

2

2

3

1

; x4

3

0

ta có phƣơng trình

2
1

t2

2
1

t2

(lo¹i)

2

x2 = 2

Với t1 = 2
Vậy S =

2;

x=

2

2

*Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:
đặt

x

2

t

(t

0)

3x

4

ta có phƣơng trình 3 t

10 x

2

2

10t

3

0

3

0

1
t

( loại)

3

Vậy phƣơng trình vơ nghim

t

3

( loi)

* Ví dụ 4 : Giải ph-ơng trình
2x

2

7

1

x

2x

4

x

2

7

4

2

4x

2

2x4 + 5x2 -7=0

đặt x2=t với t > 0 ta đ-ợc
2t2 +5t -7 =0
Có :2+5-7=0 nên
t1=1(thoả mÃn) ; t2=

7

(loại)

2

với t1=1 suy ra x2=1 suy ra x1=1 ; x2=-1.
Vậy ph-ơng trình có hai nghiÖm x1=1 ; x2=- 1

d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm của phƣơng trình trùng phƣơng ta
thấy
Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

19

DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

+ Phƣơng trình vơ nghiệm khi:
- Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian vơ nghiệm.
- Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm cùng âm.
+ Phƣơng trình có nghiệm khi:
- Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, nghiệm kép dƣơng
- Hoặc phƣơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm trong đó có một
nghiệm dƣơng và một nghiệm âm.
3.2 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:
a.Cách giải:
* Đặt điều kiện để phƣơng trình xác định nếu có
* Đặt ẩn phụ và giải phƣơng trình theo ẩn mới
* Trở về ẩn ban đầu và xác định tập nghiệm
b. Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9
Giải phƣơng trình bằng cách đặt ẩn phụ
a.

2

2

2

3( x + x ) - 2 ( x + x ) - 1 = 0

b. ( x

2

2

2

- 4 x + 2) + x - 4 x - 4 = 0

Giải
a.

2

2

2

3( x + x ) - 2 ( x + x ) - 1 = 0

Đặt

t1
2

(x + x) = t

ta có

1

2

3t - 2 t - 1 = 0

1
t2

(x

Với t1=1, ta có

2

+ x) = 1

hay
x1 =

1

Với t2= ta có
3

x

2

+ x = -

1
3

hay

x

2

3

x

2

+ x- 1= 0

- 1+

+ x +

5

2
1

; x2 =

= 0

- 1-

5

2

. Phƣơng trình này vơ nghiệm.

3

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

20


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Vậy phƣơng trình đã cho có hai nghiệm
b. ( x

2

2

2

- 4 x + 2) + x - 4 x - 4 = 0

Đặt x

2

- 4x + 2 = t

ta có phƣơng trình

Với t1 = 2 ta có

x - 4x + 2 = 2

Với t2= -3 ta có

x - 4x + 2 = - 3

2

2

giải ra ta đƣợc t1 = 2; t2 = -3.

2

t + t- 6 = 0

2

x

0

x

4

x - 4x = 0

hay x

2

phƣơng trình này vơ nghiệm

- 4x + 5 = 0

Vậy phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0; x2 =4
3.3.Phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Để giải phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị
tuyệt đối hoặc bình phƣơng hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ . Giải phƣơng trình

(3)

Giải
Cách 1
a) Nếu

thì phƣơng trình (3) trở thành

Giá trị
b) Nếu

. Từ đó

khơng thỏa mãn điều kiện

nên bị loại .

thì phƣơng trình (3) trở thành

Giá trị này thỏa mãn điều kiện

.

. Từ đó

.

nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phƣơng trình là

x

2
3

.
Cách 2.
Bình phƣơng hai vế của phƣơng trình (3) ta đƣa tới phƣơng trình hệ quả:
(3)

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

21


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Phƣơng trình cuối có hai nghiệm là

và

.

Thử lại ta thấy phƣơng trình (3) chỉ có nghiệm là
Kết luận. Vậy nghiệm của phƣơng trình là

.

.

3.4. Phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu căn:

Áp dụng một trong các phƣơng pháp:
- Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ
- Đặt điều kiện rồi bình phƣơng hai vế đều dƣơng để đƣa về phƣơng trình
hệ quả không chứa ẩn dƣới dấu căn.
Chú ý: Sau khi tìm đƣợc nghiệm cần đối chiếu , kiểm tra lại điều kiện để
chọn nghiệm thích hợp.
Ví dụ . Giải phƣơng trình

. (1)

Giải: Điều kiện của phƣơng trình (1) là .
Bình phƣơng hai vế của phƣơng trình (1) ta đƣa tới phƣơng trình hệ quả
(1)

Phƣơng trình cuối cùng có hai nghiệm là
và
. Cả hai giá
trị này đều thỏa mãn điều kiện của phƣơng trình (4) , nhƣng khi thay vào
phƣơng trình (4) thì giá trị
bị loại (vế trái dƣơng cịn vế phải âm),
còn giá trị
là nghiệm (hai vế cùng bằng
).
Kết luận Vậy nghiệm của phƣơng trình (4) là
3.5 Phƣơng trình dạng ax4+bx3 +cx2
quy)

±

.

kbx +k2a = 0.(Phƣơng trình hồi

Chóng ta hay gỈp dạng ph-ơng trình này ở tr-ờng THCS đó là ph-ơng trình
đối xứng.
a) Phng phỏp gii:
Ng-ời thực hiện: Mc Tun Tỳ

22


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

x = 0 khơng phải là nghiệm của phƣơng trình. Chia hai vế của phƣơng trình
2

cho x ta đƣợc :
đặt

t

a(x

2

k

+

2

t

x

k

) + b(x ±

2

x
k

x

2

)+ c = 0

x
2

k

2

x

2k

2

x

Ta có phƣơng trình bậc hai:

x

2

k
x

2
2

t

2

 2k

2

a (t + 2 k ) + b t + c = 0

b) Ví dụ:1) Giải phƣơng trình x4 + 4 = 5x( x2 -2)

(1)

Giải
x4 – 5x3 +10x +4 = 0 .

Ta có (1)

x = 0 khơng phải là nghiệm của phƣơng trình. Chia hai vế của phƣơng trình
cho x2 ta đƣợc

x

2

4

+

x

Đặt t =

2

x-

ta có

t

2

- 5(x -

2

2

x

4

2

x

x

Ta có phƣơng trình
Với t = 4 ta có :

4

2

t

2

4

x

4

2

x

2

t

1

t

4

2

0

2

t - 5t + 4 = 0

2

x

) = 0

x

4

x

2

4x

x

2

6

x

2

Với t = 1 ta có : x

1

x

2

x
x

2

x

x

Vy S = {-

1; 2 ; 2

6

1

0
2

}

2)giải ph-ơng trình (PT đối xứng)
x

4

3x

(x

2

3

4x

2

3x

1
x

2

1

0

Vì : x=0 không là nghiệm nên ta chia hai vÕ cho x2

1
)

3 x

4
x

0

(a)

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

23


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:
1

x

Đặt

t

x
a

t

2

3t

t1

1

t2

2

t

2

2

2

3t

4

0

0
x

1

1

x

Ph-ơng trình này vô nghiệm

2

x

1

0

x

x

1

2

x

2

2x

1

0

ph-ơng trình này có nghiệm kép x=-1

x

Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiệm kép x=-1
Nhn xột: Giải phƣơng trình “hồi quy” bằng những phép biến đổi tƣơng
đƣơng và “đổi biến” ta đƣa về phƣơng trình bậc hai trung gian rồi trả biến
sẽ tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình “hồi quy” ban đầu .
* Số nghiệm của phƣơng trình “hồi quy” phụ thuộc vào số nghiệm của
phƣơng trình bậc hai.
- Nếu phƣơng trình bậc hai trung gian vơ nghiệm thì phƣơng trình ban đầu
vơ nghiệm.
- Nếu phƣơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nhƣng các phƣơng
trình

x +

d
bx

= t1 ; x +

d
bx

= t2

+ Vơ nghiệm thì phƣơng trình đầu vơ nghiệm.

+ Cịn lại phƣơng trình đó có nghiệm nào thì phƣơng trình đầu có
nghiệm đó.
3.6 Phƣơng trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = 0 (1)
Trong đó a

0

; (fx) là một đa thức biến x; x là ẩn số của phƣơng trình.

a) Cách giải:
- Sau khi tìm TXĐ của phƣơng trình đổi biến bằng cách đặt (fx) = t. Ta đƣa
phƣơng trình về dạng : at2 + bt +c =0
(2)
Đây là phƣơng trình bậc hai ta đẫ biết cách giải.
- Nếu phƣơng trình bậc hai trung gian (2) có nghiệm t = t0 . Ta sẽ tiến hành
giải tiếp phƣơng trình (fx) = t0
Ng-êi thùc hiƯn: Mạc Tuấn Tú

24


DẠY GIẢI BÀI TẬP
“PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI

SKKN:

Nghiệm của phƣơng trình (fx) = t0 (Nếu thoả mãn TXĐ của phƣơng
trình đã cho) sẽ là nghiệm của phƣơng trình (1)
b) Ví dụ: Giải phƣơng trình

4

3

2

x + 6 x + 5 x - 12 x + 3 = 0

(1 )

Giải
Biến đổi vế trái của phƣơng trình ta có:
VT =
=
=

4

3

2

x + 6 x + 5 x - 12 x + 3
4

3

2

2

x + 6 x + 9 x - 4 x - 12 x + 3
2

2

2

(x + 3x) - 4(x + 3x) + 3

Vậy phƣơng trình (1) Tƣơng đƣơng với
Đặt

2

2

2

(x + 3x) - 4(x + 3x) + 3 = 0

(2)

2

x + 3x = t

Ta đƣợc phƣơng trình bậc hai sau

2

t - 4t + 3 = 0

(3)

Giải phƣơng trình (3) ta đƣợc hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = 3
Với t1 = 1 từ (2) ta có
biệt là

3

x1

13

2

x + 3x = 1

3

và

x2

2

phƣơng trình này có hai nghiệm phân

13

2

Với t2 = 3 từ (2) ta có phƣơng trình này có hai nghiệm phân biệt là
x1

3

21

và

2

3
x2

21
2

. Vậy phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
3
x2

13

;x

2

3

3

21
2

và

3
x4

x1

3

13

;

2

21
2

c) Nhận xét:
Nhờ phép biến đổi f(x) = t ta đƣa đƣợc phƣơng trình
a[f(x)]2+bf(x) +c = 0
về dạng phƣơng trình bậc hai mà ta đã biết cách giải:at2 +bt +c = 0

Ng-êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú

25