Một số PT quy về PT bậc hai

trờng đại học s phạm hà nội
Khoa toán
-----------***----------
Đề tài
Một số phơng trình quy về
phơng trình bậc hai
Giáo viên hớng dẫn:
Ngời thực hiện:
hảii dơng, năm 2006
Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học
sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên
ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp cho học
sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói
quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc
lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú
trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai, phơng trình quy
về phơng trình bậc hai là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng
xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trung
học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức
này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình
quy về phơng trình bậc hai. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo
viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng và
phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác
nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh.
Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa ra
một hệ thống kiến thức nói về phơng trình quy về phơng trình bậc hai với
một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời
dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi.

Một số phơng trình đa về phơng trình bậc hai là một hệ thống kiến
thức có đặc thù riêng, đợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về cách giải
của một số loại phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai.nh: Phơng trình chứa
ẩn ở mẫu; phơng trình bậc ba; phơng trình bậc bốn; phơng trình vô tỷ Với
mỗi loại phơng trình sau khi trình bày cách giải đều có kèm theo các ví dụ
minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và những lu ý nhằm giúp ngời
đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Do thời gian hạn hẹp cũng nh kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, trong
quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân thành cảm ơn!
Phần I: Những vấn đề chung
A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài
Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ bản
nhất, chung nhất về các dạng phơng trình đa về phơng trình bậc hai nhằm:
+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dỡng học sinh giỏi
+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình đa đợc
về phơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t duy nhanh nhạy, sáng tạo, có
kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phơng trình này.
+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.
B. Đối t ợng nghiên cứu
Nghiên cứu về các dạng phơng trình, các cách giải phơng trình nói chung
và phơng trình bậc hai nói riêng.
Nghiên cứu các phơng pháp dạy học toán ở trờng THCS.
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
Phần 2: Nội dung
A cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Toán học là một môn khoa học trìu tợng, đóng vai trò quan trọng trong

đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ
năm sbắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán,
phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống.
Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà
trờng THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duy
sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ.
số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu
đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình và ph-
ơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến
nhiều. Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡng
cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm,
lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiến thức
này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngời dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại số
9 đã đa ra cho học sinh một số laọi phơng trình quy về phơng trình bậc hai nh:
phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa vào
ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ
nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp
chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần hệ
thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức phơng trình quy
về phơng trình bậc hai.
B. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph ơng trình:
Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và kỹ
năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của ph-
ơng trình, tập xác định của một biểu thứcc
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận phơng trình bậc hai nmột ẩn, phơng trình
chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
C Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai
I. Nhắc lại về phơng trình bậc hai một ẩn số
1. Định nghĩa:
+ Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng tổng quát:
ax
2
+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a

0)
+ Nghiệm của một phơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khi
thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận hệ ph ơng trình bậc hai
*) Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0

(a

0) ta cần quan tâm tới biệt số của phơng trình:

=b
2
- 4ac
+ Nếu

<0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu

=0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép:
x
1
=x
2
=
a
b
2

+ Nếu

>0: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

Khi b chẵn, hay b=2b

(b

) khi đó ta có:


=b
2
- ac
+ Nếu


<0: phơng trình vô nghiệm
+ Nếu


=0: phơng trình có nghiệm kép
+ Nếu


>0: phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Chú ý : Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì phơng trình bậc hai có dạng phân biệt
và trái dấu nhau (vì

>0).
*) Đối với một số phơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong
trờng hợp phơng trình có nghiệm (

>=0) ta có thể dùng định lý Viet để nhẩm
nghiệm của phơng trình.
Định lý Vi-et
Nếu phơng trình ax
2

+bx+c=0 (a

0) có nghiệm số x
1
;x
2
(


0)
thì:
x
1
+x
2
=
a
b

x
1
.x
2
=
a
c
Tr ờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x
2
=

a
c
+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=-1; x
2
=-
a
c
*)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phơng trình
bậc hai
+ Phơng trình bậc hai có cùng dấu khi:


0 hay b
2
-4ac

0
x
1
.x
2
>0
0
>
a
c
+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm dơng khi


0 hay b

2
- 4ac

0
x
1
.x
2
>0
0
>
a
c
x
1
+x
2
>0
0
>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:


0 hay b
2
- 4ac

0
x
1
.x
2
>0
0
>
a
c
x
1
+x
2
<0
0
<

a
b
+ Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:
0
<
a
c
+ Phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi:
x
1
.x
2

<0
0
<
a
c
x
1
+x
2
=0 hay
0
=

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0
<
a
c
0
>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt đối
lớn hơn khi:
0
<

a
c
0
<

a
b
*) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa bậc
n hai nghiệm của phơng trình: x
nn
x
21

(Với n
)Z

Ví dụ:
Phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm x
1
;x
2
thì:
x
2
2
2
21
2

21
2
2
2
1
2
.2)(2)(
a
acb
a
c
a
b
xxxxx

=

=+=+
x
22
2
21
22
2
2
1
4
2
4
1

)(2)
2
()(2)(
a
c
a
acb
xxxxx


=+=+
II. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai:
Trong trờng phổ thông ta thờng gặp một số dạng phơng trình quy về ph-
ơng trình bậc hai sau:
1. Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu
Phơng trình chứa ẩn ở mẫu là những phơng trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của phơng trình.
a) Cách giải:
+ Tìm tập xác định của phơng trình
+ Quy đồng, khử mẫu
+ Biến đổi phơng trình, đa phơng trình về dạng ax
2
+bx+c=0
+ Giải phơng trình dạng ax
2
+bx+c=0
+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm đợc
không thuộc tập xác định của phơng trình).
b ) ví dụ :
Ví dụ 1:

Giải và biện luận theo a và b phơng trình:
2
=

+

ax
b
bx
a
(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải Điều kiện: x
:, bxa

Ta có: (1)
)()())((2 bxbaxabxax
+=
02)(32
222
=++++
abbaxbax
0)()(32
22
=+++
baxbax
2
)( ba
+=
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là

bax
+=
1
2
2
ba
x
+
=
*
0
1

bax
0
1

abx
*

ax
2
babx

2
Vậy với a
0,0;

bab
thì (1) có hai nghiệm phân biệt

0
32
1
672
4
4
1
12832
4
2223
=
+
+
++



+
x
xxxxxx
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(**)
0
32
1
)32)(2(
4
)2)(2(
1
)32)(2)(2(

4
=
+
+
++

+

++

xxxxxxxx
TXĐ: x-2
0

2

x
x+2
0


2
3


x
2x+3
0

Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3)

Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2)
0484324
2
=++
xxx
056
2
=+
xx
Giải phơng trình : x
2
-6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x
1
=1, x
2
=5
Đối chiếu với TXĐ ta thấy x
1
= 1 và x
2
= 5 là 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
+ Loại phơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại thờng gặp ở trờng phổ thông.
+ Khi giải loại này cần lu ý: Cần so sánh các giá trị tìm đợc của ẩn với
TXĐ trớc khi kết luận về nghiệm của phơng trình.
2. Ph ơng trình bậc ba
Phơng trình bậc ba (một ẩn số) là phơng trình có dạng tổng quát:
ax
3
+bx

2
+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a
0

a) Cách giải
Để giải một phơng trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta thờng phải
biến đổi đa về phơng trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất với
một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
2x
3
+7x
2
+7x+2=0 (*)
Giải
(*)

(2x
3
+2)+(7x
2
+7x)=0

2(x
3
+1)+7x(x+1)=0

2(x+1)(x

2
-x+1)+7x(x+1)=0

(x+1)(2x
2
+5x+2=0

x+1=0 (1)
2x
2
+5x+2=0 (2)
Phơng trình (1) cho nghiệm x=-1
Phơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
2
1
Vậy phơng trình (8) có nghiệm S= -
2
1
;2;1

Ví dụ 2:
Cho phơng trình x
3
-(2a+1)x
2
+(a
2
+2a-b)x-(a
2
-b)=0 (1)

Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phơng trình đã cho.
Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x
1
=1. Do đó (1) có thể viết:
(x-1)(x
2
-2ax+a
2
-b)=0.
Xét phơng trình bậc hai:
x
2
-2ax+a
2
-b=0 (2)


=b
* Nếu b<0

(2) vô nghiệm
(1) có nghiệm duy nhất x=1
* Nếu b=0

(2) có nghiệm kép: x=a
(1) có hai nghiệm: x=1;x=a
* Nếu b>0

(2) có hai nghiệm phân biệt:

(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+

; x=a-

;
c. Nhận xét:
Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức
thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Khi đó, ta có một hệ
thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình
bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phơng trình bậc ba:
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có nghiệm là x=1.
Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có một nghiệm là:x=-1.
Khi biết trớc một nghiệm, ta chia vế trái của phơng trình cho đa thức x-1
hoặc x+1 để phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử.
+ Với phơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì
nghiệm nguyên đó phải là ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại
nghiệm nguyên của phơng trình với hệ số nguyên).
3. Những ph ơng trình bậc cao quy đ ợc về ph ơng trình bậc hai
3-1 Ph ơng trình trùng ph ơng
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax
4
+bx

2
+c=0. Trong đó:
x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a
0

Cách giải
Với loại phơng trình này khi giải ta thờng dùng phép đặt ẩn phụ x
2
=t

0.
Từ đó ta có một phơng trình bậc hai trung gian: at
2
+bt+c=0, giải phơng trình
bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x
2
=t (Nếu những giá trị của t tìm đợc
thoả mãn t

0), ta sẽ tìm đợc nghiệm số của phơng trình ban đầu.
Ví dụ 1:
Giải phơng trình: x
4
x
2
6 = 0 (**)
Giải:
Đặt x
2
=t

0 phơng trình (**) trở thành:
t
2
t 6 = 0
Giải phơng trình t
2
-t-6=0 ta đợc t
1
=-2;t
2
=3
+ Với t=-2(loại vì t<0)
+ Với t=3
3
=
x
Vậy phơng trình (**) có hai nghiệm: S = -
3;3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
x
4
-2(m-1)x
2
-(m-3)=0 (***)
Với giá trị nào của tham biến m thì phơng trình trên
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm

d) vô nghiệm.
Giải:
Đặt x
2
=t

0 khi đó phơng trình (***) đợc quy về một phơng trình bậc hai:
t
2
-2(m-1)t-(m-3)=0 (****)


=(m-1)
2
+(m-3)=m
2
-m-2
a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (***) phải có 2 nghiêm dơng
phân biệt tơng đơng với:


>0 m
2
-m-2>0
x
1
+x
2
>0 hay m-1>0
x

1
x
2
>0 m-3<0