slide bài giảng đại số giải tích 11 tiết 38 phương pháp quy nạp toán học tiếp theo

Chào mừng

quý thầy cô đến
thăm

lớp 11A

5


Ch¬ng: III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG
VÀ CẤP SỐ NHÂN
Trong chương này chúng ta sẽ
Bài 1: cứu
PHƯƠNG
QUY
NẠP
nghiên
về mộtPHÁP
phương
pháp
HỌC định trong
chứng minh TỐN
nhiều khẳng
tốn học liên quan tập hợp số tự
nhiên đó là “ Phép quy nạp tốn học.”
Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về
“dãy số” và cuối cùng các em sẽ
được tìm hiểu một số vấn đề xung
quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số

cộng” và “cấp số nhân.”

11A


Hoạt động 1:
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3 > 3n + 1" & Q(n) :"2 > n ", n ∈ ¥ *
n

n

a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Nhận xét tính đúng sai của P(n), Q(n) với mọi n∈ ¥ *
Trả lời:
Cho thêm
n
a)
P
(
n
)
:"3
> 3n + 1"
mđ R(n)
mà khi
thử các
n 3n
? 3n+1
gtrị dầu
3

4
<
1
đúng, gtrị
>
9
7
2
sau sai

3

27

4

81

5

243

>
>
>

Q (n) :"2n > n "
n

2n

S

1

2

2

4

10

Đ
Đ

3

8

13

Đ

4

16

16

Đ

5

32

?

n

>
>
>
>
>

1

Đ

2

Đ

3

Đ

4

Đ

5

Đ

b. Với mọi n ∈¥ * P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định
chắc chắn là đúng hay sai.


Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) có liên quan đến số
tự nhiên n∈¥ *là đúng với mọi n mà không thể thử trưc tiếp
được thì ta có thực hiện hai bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 (Bước cơ sở)
B2: Giả sử mệnh đề đúng với

n = k ≥ (Giả
1 thiết qui nạp)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

n(n + 1)

1 + 2 + 3 + ... + n =
2

(1)


Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
Lời giải:

n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
2

(1)

1(1 + 1)
= VP(1)
2

+) Với n = 1, ta có VT(1) = 1 =  

,m ệnh đề (1) đúng.
k (k + 1)
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 2 + 3 + ... + k =
(GTQN)
2
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
(k + 1)[(k + 1) + 1]
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) =
(2)

2

Thật vậy: VT (2) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1)

k (k + 1)
2
k (k + 1)
 k B1: Kiểm tra
k +mệnh
2  đề
⇒ VT (2) =
+ (k + 1) = ( k + 1)  + 1÷ = (đúng
k + 1) với n=1
÷
2
2 
 2 B2:
 Giả sử mệnh
đề
(k + 1) [ ( k + 1) + 1]
đúng với n = k ≥ 1
=
= VP(2)
Ta chứng minh mệnh
2
n(n +đúng
1)
đề cũng
với n=k+1
(1)

Vậy với mọi n ∈N*, ta có:1 + 2 + 3 + ... + n =
2

Theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + 2 + 3 + ... + k =


Hoạt động 2:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng
n
3n +n=1
1", n(Bước
∈ ¥ * cơ sở)
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :"3 > với
B2: Giả sử mệnh đề đúng
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n) đúng
vớihay
n =sai?
k ≥1
Ta chứng minh mệnh đề
cũng đúng với n=k+1
n
? 3n+1
3n
1

3

2

9

3

27

4

81

5

243

<
>
>
>
>

4

S

7
10

Đ
Đ

13

Đ

16

Đ

b. Với mọi n∈ ¥ * thì P(n) sai

Để chứng minh mệnh
đề chứa biến P(n)
n≥ p
đúng khi
ta cần thực hiện
các bước nào ?

c. Dự đoán xem mệnh đề P(n) khi nào?

Trả lời: n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : "3n > 3n + 1"


Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp tốn học
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý:
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi
nhiên ta thực hiện theo các bước sau:

n ≥ p, p là một số tự

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề đúng với

n = k ≥ p(Giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1


Bài : PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

HOẠT ĐỘNG NHĨM

CMR :∀n ∈ N * cã un = (13 − 1)M6
n

CMR : n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : 3 > 3n + 1
n

B1: Kiểm tra mệnh đề
đúng với n=p
B2: Giả sử mệnh đề
đúng với n = k ≥ 2
Ta chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n=k+1


CMR : ∀n ∈ N * cã un = 13n − 1M6 (2)
Với n = 1 ta có:u1 = 131 − 1 = 12M
6(Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
uk = (13k − 1)M6
(Giả thiết quy nạp)
k +1
6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là : uk +1 = (13 − 1)M

Thật vậy:

uk +1 = 13k +1 − 1 = 13.13k − 1
= 12.13k + 13k − 1

= 12.13k + uk
6 và 12M6 nên suy ra được
Theo giả thiết quy nạp uk M
(13uk + 12) M6
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:un = (13n − 1) M
6


CMR : n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : 3n > 3n + 1

( 3)

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3)
k
đúng
Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 2, nghĩa 3 > 3k + 1
là:
( Giả thiết quy nạp )

k +1
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là: 3 > 3( k + 1) + 1
Thật vậy: theo giả thiết quy nạp có:
k +1

3 > 3k + 1 ⇔ 3 .3 > 3(3k + 1) ⇔ 3 > 3(3k + 1)
k +1
⇔ 3 > 9k + 3
⇔ 3k +1 > 3k + 4 + 6k − 1
k

k

Vì k ≥ 2 ⇒ 6k − 1 > 0 ⇔ (3k+4)+(6k- 1)>3k+4
⇒ 3k +1 > 3k + 4 ⇔ 3k +1 > 3( k + 1) + 1
Vậy:

n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : 3n > 3n + 1


Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng
minh bài tốn bằng phương pháp quy
nạp theo hai bước.
• Các bài tập 1,2,3,4 trang 100 SGK
• Đọc bài: Bạn có biết “Suy luận quy nạp”


QUÝ THẦY CÔ CÙNG

CÁC EM SỨC KHỎE
THÀNH ĐẠT