chương iii - bài 1 phương pháp quy nạp toán học

TRƯỜNG THPT

TỔ TOÁN – THAO GiẢNG
GV : thầy. PHẠM ANH QUANG


BÀI TOÁN THỨ NHẤT
1

1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 2
2
9 = 3
2
16 = 4
2
25 = 5
2
= 1
2
+ 3
+ 5 + 7 + 9
n
+ +
(2n – 1) = n

2
2.2
1.1
3.3
4.4
5.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ
thuộc vào số tự nhiên n∈N
Bước 1 :
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng
với n = 0
Giả thuyết mệnh đề đúng với một
số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 0 (hay n = k ≥ p).
Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp quy nạp :
(hay n = p)
(hay n ≥ p, p∈N*)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Ta có đẳng thức :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n
2

(*)
Giải :
1) Khi : 1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) =
2
2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ

1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) =
2
n n
n n
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :

1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
khi n = k + 1
+ [2(k + 1) – 1] k
2
+ 2k + 2 – 1
= (k + 1)
2
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
.1 1
hay 1 = 1. (*) đúng
k k
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
=
n = k
≥ 1 :
n = 1
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n
2

1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n
2
Ví dụ 1.
1
k k
2

BÀI TOÁN THỨ HAI
1

1 + 2 =
1 + 2 + 3 =
1 + 2 + 3 + 4 =
1
3
6
10
+ 2 + 3 + 4
n
+ + n
n
( )
=
+n. n 1
2
4.5
2
=
2.3
2

=
3.4
2
=
1.2
2
=
.(n + 1)
2
.3
1.2
3
.4
4.5
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Ta có đẳng thức :
Giải :
1) Khi : 1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ

1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
khi n = k + 1
+ (k + 1)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1

hay 1 = 1. (*) đúng
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
=
n = k ≥ 1:
n = 1
n(n 1)
(*)
2
+
=
( 1)
2
+
=
( 1)
2
+
=
(k 1)[(k 1) 1]
2
+ + +
=
k(k 1)
2
+
+ (k + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n
Ví dụ 2.
n n
n

1 1
1
n
n nk k
k
1
k
k(k 1)
2
+

2
+ 4
+ 6 + 8 + +
2n
= n(n + 1)
(n + 1)n
BÀI TOÁN THỨ BA
Bài tập về nhà :
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
Ta có đẳng thức :