Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học pptx

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương pháp quy nạp tóan học
Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng
n N*∀ ∈
. Ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1: Chứng minh P(1) đúng
- Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng
Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng
n N*∀ ∈
.
2. Dãy số
a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N*
- Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau:
+ Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
, , u
n
,
với u
1
= u(1), u
2
= u(2), u
n

= u(n),
+ Dạng vắn tắt: (u
n
). Trong đó: u
1
là số hạng đầu, u
n
là số hạng tổng quát
+ Dãy số hữu hạn: u
1
, u
2
, , u
m
b) Dãy số tăng – Dãy số giảm
- Dãy số (u
n
) tăng nếu
n 1 n
u u , n N*
+
> ∀ ∈
- Dãy số (u
n
) giảm nếu
n 1 n
u u , n N*
+
< ∀ ∈
Dãy số tăng hạy giảm gọi chung là đơn điệu.

c) Dãy số bị chặn
Dãy số (u
n
) bị chặn
n
m,M R : n N*,m u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤
- Nếu
n
u M≤
thì (u
n
) bị chặn trên - Nếu
n
u m≥
thì (u
n
) bị chặn dưới.
B. Ví dụ và bài tập
Dạng 1. Chứng minh bằng quy nạp
1. Chứng minh:
a)
2 2 2 2
n(n 1)(2n 1)
1 2 3 n , n N*
6
+ +
+ + + + = ∀ ∈
b)
n(n 1)(n 2)
1.2 2.3 3.4 n(n 1)

3
+ +
+ + + + + =
,
n N*∀ ∈
2. Chứng minh:
n N*∀ ∈
a)
3 2
n 3n 5n 3+ + M
b)
n
4 15n 1 9+ − M
c)
2n n 2 n
6 3 3 11
+
+ + M
3. Chứng minh:
n N*∀ ∈
a)
( )
n 1 x
nx
sin .sin
2 2
sin x sin 2x sin(nx)
x
sin
2

+
+ + + =
b)
1.3.5 (2n 1) 1
2.4.6 (2n)
3n 1
−
≤
+
4. Tính tổng:
n
1 1 1
S
1.2 2.3 n(n 1)
= + + +
+
,
n N*∀ ∈
Dạng 2. Xác định một dãy số
- Xác định nhờ khai triển các số hạng
- Nhờ công thức của số hạng tổng quát
- Nhờ công thức truy hồi
5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số:
3 4 5 6 7
1, , , , ,
6
2 2 3 3 5 5 6 6+ + + +
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
6. Cho dãy số có số hạng tổng quát là:

n
n
1 n
u tan
2 3
π
 
=
 ÷
 
,
n N*∀ ∈
7. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức truy hồi sau:
1
n 1 n
u 11
u 10u 9n 1
+
=


= − +

,
n N*∀ ∈
Tính u
n
theo n.

Dạng 3. Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số
- Xét hiệu số: u
n+1
– u
n
- Hoặc xét tỉ số:
n 1
n
u
u
+
(nếu các số hạng đều dương)
8. Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a)
n
2n 1
u
n 1
+
=
+
b)
n
2n
u
2n 1
=
−
c)
n

n
n 1
u
2
+
=
d)
n
n
u
n 1
=
+
e)
n
n
n
2 4
u
4
+
=
f)
n
1 n
u cos
2 2
π
 
=

 ÷
 
Dạng 4. Khảo sát tính bị chặn của dãy số
9. Xét tính bị chặn của dãy số:
a)
n
2n 1
u
n 1
+
=
+
b)
n
2n
u
2n 1
=
−
c)
n
1 n
u cos
2 2
π
 
=
 ÷
 
10. Cho dãy số (u

n
) xác định bởi:
3 4 5
2, , , ,
2 3 4
a) Xác định (u
n
) b) Chứng minh dãy số (u
n
) giảm và bị chặn.
11. Cho dãy số
1
n
n 1
u 3
u 1
u
2
+
=



+
=


,
n N*∀ ∈
a) Chứng minh:

n
n 2
1
u 1
2
−
= +
b) Chứng minh dãy số (u
n
) giảm và bị chặn.
12. Chứng minh dãy số:
n
1 1 1
u
1.2 2.3 n(n 1)
= + + +
+
tăng và bị chặn trên
13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số:
n
2 2 2
1 1 1
u 1
2 3 n
= + + + +
14. Chứng minh dãy số sau bị chặn:
n
n dau can
u 2 2 2= + + +
1 4 44 2 4 4 43

bị chặn trên
15. Cho dãy số
4 3 8 5
1, , , , ,
5 5 17 13
a) Xác định (u
n
) b) Chứng minh dãy số (u
n
) giảm và bị chặn.
16. Cho dãy số:
n
1 1 1
u
1.3 2.4 n(n 2)
= + + +
+
a) Tính
un
b) Chứng minh dãy (u
n
) tăng và bị chặn
17. Khảo sát tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số:
n
2 2
1 1 1
u 1 1 1
2 2 n
    
= − − −

 ÷ ÷  ÷
    
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
Bài 2. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
a) Cấp số cộng: (u
n
) là cấp số cộng với công sai d
n 1 n
u u d, n N*
+
⇔ = + ∀ ∈
b) Cấp số nhân: (u
n
) là cấp số nhân với công bội q
n 1 n
u u .q, n N*
+
⇔ = ∀ ∈
2. Số hạng tổng quát:
a) Cấp số cộng:
n 1
u u (n 1)d, n 2= + − ∀ ≥
b) Cấp số nhân:
n 1
n 1
u u .q , n 2
−

= ∀ ≥
3. Tính chất của 3 số hạng liên tiếp
a) Cấp số cộng:
n n 1 n 1
2u u u , n 2
− +
= + ∀ ≥
b) Cấp số nhân:
2
n n 1 n 1
u u .u , n 2
− +
= ∀ ≥
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số
a) Cấp số cộng:
( )
n 1 n
n
S u u
2
= +
b) Cấp số nhân:
( )
n
n 1
1 q
S u , q 1
1 q
 
−

= ≠
 ÷
−
 
B. Ví dụ và bài tập
1. Cho 3 số theo thứ tự:
4
2, 6, 3
.
a) Chứng minh 3 số trên tạo thành cấp số nhân mà không tạo thành cấp số cộng
b) Phải thêm vào số hạng thứ hai một số x bằng bao nhiêu để được cấp số cộng?
2. Cho dãy số xác định như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4
u 1 2 ;u 2 3 ;u 3 4 ;u 4 5= − + = − + = − + = − +
. Tính u
n
.
3. Tìm 3 số hạng tạo thành cấp số cộng biết tổng 3 số đó bằng -3 và tổng bình phương của chúng bằng
35
4. Tìm 3 số tạo thành cấp số nhân biết tích và tổng của chúng lần lượt bằng
1
64
và
7
8
5. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng 1 và số hạng 2
thì ta được cấp số nhân.
6. Tính tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2

S 1 2 3 4 5 6 99 100= − + − + − + + −
7. Tính tổng
{
50so9
S 9 99 999 99 9= + + + +
8. a) Xác định cấp số cộng (u
n
) biết:
1 3 5 7
2 4 6 8
u u u u 0
u u u u 20
+ + + =


+ + + =

b) Xác định cấp số nhân (v
n
) biết:
1 3 5
1 7
v v v 65
v v 325
− + = −


+ = −

9. a) Xác định cấp số cộng (u

n
) biết: S
10
= 170 và S
12
= 252
b) Xác định cấp số nhân (v
n
) biết: S
4
= 40 và S
8
= 680
10. a) Xác định cấp số cộng (u
n
) biết: u
20
=
1
2
và S
20
= 105
b) Tính tổng S
8
của cấp số nhân (v
n
) biết: v
8
= 128 và công bội q = - 2

11. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng biết rằng khi cộng thêm -2 vào số hạng thứ hai ta được cấp số nhân.
Sau đó, khi cộng thêm 1 vào số hạng thứ ba ta được cấp số nhân.
12. Cho 3 số
2 1 2
, ,
b a b b c− −
tạo thành cấp số cộng. Chứng minh a, b, c tạo thành cấp số nhân
13. Tính
2 2 n n
n
2 2 n n
a b a b a b
S ,(a 0,b 0,a 1,b 1)
ab a b a b
+ + +
= + + + ≠ ≠ ≠ ≠
14. Cho
a 0,a 1≠ ≠ −
. Tính tổng:
n
2 n
1 1 1
S 1
a 1 (a 1) (a 1)
= + + + +
+ + +