slide bài giảng hình học 11 tiết 31 hai đường thẳng vuông góc tiếp theo

2. Hai đường thẳng vng góc:
Định nghĩa 2:
Hai đường thẳng được gọi là vng góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o .
Nhận xét:

rr
1) a ⊥ b ⇔ u.v = 0

r r
Với u , v lần lượt là vecto chỉ phương của a, b

2) a / / b 
⇒c ⊥b
c ⊥ a


Ví dụ 1:
Cho hình hộp thoi ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả
0
·
·
·
các cạnh bằng a và ABC = B ' BA = B ' BC = 60
Chứng minh A ' B ' CD là hình vng.
Chứng minh
Ta có: CD / / = A ' B '

Vậy A ' B ' CD là hình bình hành.

Mặt khác ta có:

B ' C 2 = a 2 + a 2 − 2a.a.cos 600

= 2a 2 − a 2 = a 2
⇒ B 'C = a

Do đó A ' B ' CD là hình thoi.
Ta lại có:

uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuu
r a2 a2
CB '.CD = CB + BB ' .CD = CB.BA + BB '.BA = +
=0
2 2

(

)

Suy ra CB ' ⊥ CD
Vậy A ' B ' CD là hình vng (đpcm).


.

Ví dụ 2:

4
Cho tứ diện ABCD có CD = AB .
3

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD.
5
Cho biết JK = AB . Tính ( CD, IJ ) .
6

Ta có:

Giải:

1
1
2
.
IJ = AB; IK = CD = AB
2
2
3
1
4
25
2
2
2
2

IJ + IK = AB + AB =
AB 2 (1)
4
9
36


25
Mà JK =
AB 2 (2)
36
Từ (1) và (2) ta được:
2

IJ + IK = JK
2

2

Vậy IJ ⊥ IK

2

(*)

Vì IK là đường trung bình của tam giác
BCD nên: IK / / CD ( **)
Từ (*) và (**) ta suy ra CD ⊥ IJ
Do đó: ( CD, IJ ) = 900

Ví dụ 3: SGK trang 94
Cho hình tứ diện ABCD,
trong đó AB ⊥ AC , AB ⊥ BD .
Gọi P và Q lần lượt là các
GT điểm thuộc các đường
thẳng AB và CD sao cho
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
PA = k PB, QC = kQD
uuur uuu
r
PQ
⊥
AB
KL
Ta có:

Chứng minh

uuur uuu
r uuur uuur
+) PQ = PA + AC + CQ ( 1) ;
uuur uuu
r uuur uuur
uuur
uuu

r uuur uuur
+) PQ = PB + BD + DQ ⇒ k PQ = k PB + BD + DQ ( 2 )

(

)


Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được:
uuur uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
( 1 − k ) PQ = PA + AC + CQ − k PB + BD + DQ
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
⇔ ( 1 − k ) PQ = PA − k PB + AC − k BD + CQ − k DQ
uuur uuur uuur
⇔ ( 1 − k ) PQ = AC − k BD
uuur
Lấy
uuu
rtích vơ hướng của 2 vectơ ( 1 − k ) PQ và
AB , ta được:
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( 1 − k ) PQ. AB = AC − k BD AB = AC. AB − k BD.AB = 0

(

(

uuur uuu
r
Vậy PQ ⊥ AB (đpcm)

)

)