Đề thi Học kì 1 Toán 12 - Đề số 4

Đề số 4
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I. (3 điểm) Cho hàm số
y x x x
3 2
6 9 4= + + +
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị (C) tại điểm M(–2; 2).
c) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình
x x x m
3 2
2
6 9 4 log+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt
Câu II. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y x x2 cos2 4sin= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Câu III. (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

x x2 1
5 5 6
+
+ =
b)
x x x
2 1 2
2
log ( 1) log ( 3) log ( 7)+ − + = +
Câu IV. (1 điểm) Biết
2
10
π
<
. Chứng minh:
2 5
1 1
2
log log
π π
+ >
.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va. (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB =
a 3
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu VIa. (1 điểm) Giải bất phương trình:
x x
2
2 3
5 6
6 5
−
 
≥
 ÷
 
.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb (2 điểm) Trên mặt phẳng (P) có góc vuông
xOy
, đoạn SO = a vuông góc với (P). Các điểm
M, N chuyển động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có
OM ON a+ =
.
a) Xác định vị trí của M, N để thể tích của tứ diện SOMN đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi tứ diện SOMN có thể tích lớn nhất, hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cẩu ngoại tiếp
tứ diện SOMN.
Câu VIb. (1 điểm) Giải hệ phương trình:
x y
xy
2 2 2
5
log log log 2
2

2


− =


=

--------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1

Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2009 – 2010
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Nội dung Điểm
I.a
Khảo sát hàm số
y x x
4 2
5 4= − +
2,00
1) Tập xác định : R
2) Sự biến thiên:
a) Giới hạn :
x x
y ylim , lim
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

0,50
b) Bảng biến thiên:
y x x
2
3 12 9
′
= + +
;
x
y
x
1
0
3

= −
′
= ⇔

= −

x
−∞
–3 –1
+∞
y
′
+ 0 – 0 +
y
4

+∞
−∞
0
0,50
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ) ( )
; 3 , 1;−∞ − − +∞

Hàm số nghịch biến trên khoảng
( 3; 1)− −
Hàm số đạt cực đại tại x = –3, y
CĐ
= y(–3) = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại
x 1= −
, y
CT
=
y( 1) 0− =
0,50
3) Đồ thị: Đồ thị đi qua các điểm (–2; 2), (0; 4), (–1; 0), (–3; 4), (–4; 0)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3

4
5
6
x
y
0,50
I.b Phwong trình tiếp tuyến 0,50
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(–2; 2):
y f x f( 2)( 2) (2)
′
= − + +
0,25
⇒
y x3 4= − −
0,25
I.c
Tìm m để PT
x x x m
3 2
2
6 9 4 log+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt
0,50
Số nghiệm của PT là số giao điểm của (C) và d:
y m
2
log=
0,25
Dựa vào đồ thị ⇒ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔
m m

2
0 log 4 1 16< < ⇔ < <
0,25
II
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y x x2 cos2 4sin= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
1,00
( )
y x x x x2 2 sin 2 4 cos 4 cos 1 2 sin
′
= − + = −
0,25
Trên
0;
2
π
 
 
 
, ta có:
y x x0
2 4

π π
′
= ⇔ = ∨ =
0,25
2