Tự ôn luyện thi môn Toán

NGUYỄN ðỨC TUẤN






TỰ ÔN LUYỆN THI

MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN








Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
1
Chương 1: Phương trình và bất phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải
1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b
∈
IR.

• Nếu a
≠
0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -
a
b
.
• Nếu a = 0, b
≠
0 thì phương trình vô nghiệm.
•
Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x
∈
IR.
2) Phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0.
•
Nếu
∆
= b
2
– 4ac < 0 phương trình vô nghiệm.
•
Nếu
∆
= 0 phương trình có nghiệm kép
==
21

xx
-
a2
b
.
•

N
ế
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
=
2,1
x

a2
b ∆±−
.
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm
1) ðịnh lí Viét
: N
ế
u ph

ươ
ng trình ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
ệ
m
21
x,x
thì
S =
=+
21
xx
-
a
b
và P =
=
21
x.x

a
c
.

2) Hệ quả:
Ph
ươ

ng trình b
ậ
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi
ệ
m:
Trái d
ấ
u
⇔

0
a
c
< Cùng d
ấ
u
⇔






>
≥∆
0
a
c

0


Cùng d
ươ
ng









>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
Cùng âm










<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0


III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam th
ứ
c b
ậ
c hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có

1. ðịnh lí thuận:
•

N
ế
u
∆
= b
2
– 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x.
•

N
ế
u
∆
= 0 thì a.f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x
≠
-
a2
b

.
•

N
ế
u
∆
> 0 khi
ñ
ó f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t x
1
< x
2
và
a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài ]x;x[
21
.
a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<
.
2. ðịnh lí ñảo:

N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i s
ố

α
sao cho a.f(
α
) < 0 thì tam th
ứ
c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
và s
ố

α
n
ằ
m trong kho
ả
ng hai nghi
ệ
m

ñ
ó:
21
xx
<α<
.





Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
2
IV. Ứng dụng

1. ðiều kiện ñể f(x) = ax
2
+ bx + c không ñổi dấu với mọi x
f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x











<∆
>



>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) ≥ 0 v
ớ
i ∀ x










≤∆

>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba


f(x) < 0 v
ớ
i ∀ x










<∆
<




<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x) ≤ 0 v
ớ
i ∀ x










≤∆
<



≤
==
⇔
0

0a
0c
0ba

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α

•
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
21
xx <α<
là: a.f(
α
) < 0.
•
ð
i
ề
u ki

ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và α n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai
nghi
ệ
m:



>α
>∆
0)(f.a
0

- N
ế
u α n
ằ
m bên ph
ả
i hai nghi

ệ
m: α<<
21
xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

- N
ế
u α n
ằ
m bên trái hai nghi
ệ
m:
21

xx <<α








>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

•
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi

ệ
m phân bi
ệ
t và m
ộ
t nghi
ệ
m n
ằ
m trong, m
ộ
t nghi
ệ
m
n
ằ
m ngoài
ñ
o
ạ
n [
βα;
] là: f(
α
).f(
β
) < 0.

3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x >
α

:
•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 1: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx <α<
⇔
a.f(
α
) < 0.
•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 2: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx <<α ⇔








<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0

•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx <=α





<α
=α

⇔
2
S
0)(f

( Làm t
ươ
ng t
ự
v
ớ
i tr
ườ
ng h
ợ
p x <
α
và khi x
ả
y ra d
ấ
u b
ằ
ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm
ñị
nh lí sau: Gi
ả
s
ử

hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
ệ
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
3
Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

N
ế
u
0<∆

N
ế
u 0=∆

N
ế
u 0>∆



a.f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x


a.f(x) > 0 v
ớ
i ∀ x ≠ -
a2
b

a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài
]x;x[
21

a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx <<



Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α


ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể

f
(x) = ax
2

+ bx + c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và


α
n
ằ
m gi
ữ
a kho
ả
ng hai nghi
ệ
m
21
xx <α<

α
n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai nghi
ệ
m





>α
>∆
0)(f.a
0

α<<
21
xx

α<<
21
xx

a.f(
α
) < 0













<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0








>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

Ví dụ 1
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng.
Ví dụ 2
. Xác
ñị
nh a
ñể
bi
ể
u th
ứ
c 3a3x)1a(2x)1a(
2
−+−−+ luôn d
ươ
ng
Ví dụ 3
. Tìm m
ñể
b

ấ
t ph
ươ
ng trình
m2xx
2
≥−+
nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
m2mxx
2
++
= 0 có hai nghi
ệ
m
21
x,x th

ỏ
a mãn
-1<
21
xx <

Ví dụ 5
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
01m2mx2x
22
=−+−
có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
4xx2
21
≤≤≤−
Ví dụ 6
. Cho ph
ươ
ng trình 2m3x)2m(x
2
−+++ =0
Tìm m

ñể
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t nh
ỏ
h
ơ
n 2
Ví dụ 7
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 02mmx2x
2
=++− có nghi
ệ
m l
ớ
n h
ơ
n 1
Ví dụ 8.
Tìm m
ñể
ph

ươ
ng trình 02m2m9mx6x
22
=+−+− có nghi
ệ
m 3xx
21
≤≤



Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
4
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++
(1)
ðặ
t t =
2
x
≥ 0 ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at

2
+ bt + c = 0 (2)
•

PT (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi (2) có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m không âm.

•

PT (1) có
ñ
úng hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có
ñ
úng m
ộ

t nghi
ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 0 và m
ộ
t
nghi
ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân
bi
ệ
t.


Ví dụ 1
. Cho ph
ươ
ng trình: x
4
+ (1-2m)x
2
+ m
2

– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th

ị
hàm s
ố
y = x
4
-2(m+4)x
2
+ m
2
+ 8
c
ắ
t tr
ụ
c hoành l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C, D v
ớ
i AB = BC = CD.
II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối

1) Các dạng cơ bản:
| a | = b



±=
≥
⇔
ba
0b

| a | = | b |
ba ±=⇔

| a | ≤ b



≤
≥
⇔
22
ba
0b

| a | ≥ b









≥
≥
<
⇔
22
ba
0b
0b

| a | ≥ | b |
22
ba ≥⇔


Ví dụ 1. Giải phương trình | x
2
– 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x
2
- | 4x – 5 | < 0.
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x.
Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x
2
-3x – m | ≤ | x
2

– 4x + m |.

2)Phương pháp ñồ thị:
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x).
- Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị
(3).
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa
vẽ.
b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận.

Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản

Dạng 1:
)x()x(f
1n2
ϕ=
+
, n ∈ N
*

⇔
f(x) = [
)x(ϕ
]
2n+1

Dạng 2:
)x()x(f
n2
ϕ=
, n ∈ N
*

⇔




ϕ=
≥ϕ
n2
)]x([)x(f

0)x(

D
ạ
ng 3:





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2

)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f

D
ạ
ng 4:










ϕ>
≥ϕ



<ϕ
≥
⇔ϕ>
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(

0)x(f
)x()x(f
,










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f

Ví dụ 1
. Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
1x23x2x
2
+=+−

Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x12xx
2
<−−

Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x26x5x2
2

−>−+

Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3mxx2mx
2
−+=−

II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ

i
- Ch
ỉ

ñượ
c bình ph
ươ
ng hai v
ế
c
ủ
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình
ñể

ñượ
c ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng
(hay bình ph
ươ
ng hai v
ế

c
ủ
a m
ộ
t b
ấ
t ph
ươ
ng trình và gi
ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA

2
= .
Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

4x31x +−=+

Ví dụ 6
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x78x23x −+−≥+

Ví dụ 7
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
15x5x3 >+−

Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x1x2x ≤+−+

Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++

Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x

22
−≥+−−+−

2)Phương pháp ñặt ẩn phụ:
- Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
khi
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.
- Chú ý các h
ằ
ng

ñẳ
ng th
ứ
c
222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba
22
−+=− , …
Ví dụ 11
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++

Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++

Ví dụ 13

.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4x415x42x2x
2
−+−=−++

Ví dụ 14
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2
−+
=+

Ví dụ 15
.Gi
ả
i b

ấ
t ph
ươ
ng trình
4
x2
1
x2
x2
5
x5
++<+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở

i y và thay y b
ở
i x.

2)Tính chất
: N
ế
u (x
o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h

ệ
.
3)Cách giải:
Bi
ế
n
ñổ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ

ñ
ã cho
⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi

ñ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
0PStt
2
=+−
(2)
N
ế
u
∆
= S
2
– 4P > 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m t
1

≠
t
2
nên h
ệ

ph
ươ
ng trình (1) có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (t
1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ

(1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (t
1,
t
2
).
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
h
ệ
(1) có ít nh
ấ
t m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m (x, y) th
ỏ
a mãn x
≥

0, y
≥
0





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2

Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=+
=+
26yx

2yx
33






=+
=+
35yyxx
30xyyx




=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22

Ví dụ 2.
Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m






+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2




=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22


II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph

ươ
ng trình ta
ñổ
i vai trò x, y cho nhau
thì ph
ươ
ng trình n
ọ
tr
ở
thành ph
ươ
ng trình kia.


2)Tính chất:
N
ế
u (x
o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ

thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.

3)Cách giải:

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ

ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(x – y).f(x,y) = 0
⇔
x – y = 0 ho
ặ
c f(x,y) = 0.
Ví dụ 3
.Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=+
x40yxy
y40xyx
23

23






=−
=−
22
22
x4xy
y4yx








+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2

2

Ví dụ 4
.Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m:





=−+
=−+
m1xy2
m1yx2






+−=
+−=
mxxy
myyx
2

2








Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7
Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+

=++
4yx
28xy2yx
22

Ví dụ 2.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n





=−
=++
ayx
axyyx

Ví dụ 3
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ

ng trình





=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx

Ví dụ 4.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+−
=−−
2yx2
2y2x

Ví dụ 5.

Tìm m
ñể
h
ệ
có nghi
ệ
m





=++
=++
1x1y
my1x

II. Hệ hữu tỷ
Ví dụ 6
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình








=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22

Ví dụ 7
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=−

=−
2)yx(xy
7yx
33

Ví dụ 8.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33

Ví dụ 9
. Tìm a
ñể
h
ệ

có nghi
ệ
m



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx

Ví dụ 10
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22

Ví dụ 11
.Tìm m
ñể
h
ệ
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:



=+−
=+
2x2yx
myx
22

Ví dụ 12.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình






=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22

Ví dụ 13
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33

==========================================================




Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
8
Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản

Khi gi
ả
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cu
ố
i cùng d
ẫ
n
ñế
n phép gi
ả
i các ph
ươ
ng trình

l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:

Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
ðư
a v
ề

d
ạ
ng Nghi
ệ
m
sinx = m
1m1
≤≤−
sinx = sin
α




π+α−π=
π+α=
2kx
2kx

cosx = m
1m1
≤≤−

cosx = cos
α

α±
+ k2
π

tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α

α
+ k
π

cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α

α
+ k
π


Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị

nguyên (
Zk
∈
) .
ðơ
n v
ị
góc th
ườ
ng dùng là radian.
ðể
thu
ậ
n l
ợ
i cho vi
ệ
c ch
ọ
n
α
ta c
ầ
n nh
ớ
giá tr
ị
c
ủ
a hàm l

ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ
m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.