Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học

..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
KHÓA V : 2004 – 2008
Chuyên ngành : PPDH Toán học

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI
TẬP HÌNH HỌC

SVTH : HUỲNH CHÍ THIỆN
GVHD : NGUYỄN THỌ SÂM
Long Xuyên, tháng 05 năm 2008


LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn gửi đến BGH, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm ĐHAG đã tạo điều
kiện cho em được nghiên cứu khoá luận Tốt Nghiệp này.
Để thực hiện khoá luận với đề tài “Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thơng qua dạy giải bài tập hình học” tơi đã được sự hướng dẫn tận tình, tận tâm giúp
đỡ của thầy Nguyễn Thọ Sâm. Em xin chân thành cảm ơn thầy đã hướng dẫn em
thực hiện tốt đề tài này.
Em xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại Học An Giang đã trang bị cho em những
kiến thức trong các năm học đại học, từ đó giúp em có đủ điều kiện để thực hiện và
hồn thành khố luận Tốt Nghiệp. Những kiến thức ấy sẽ cịn giúp ích cho em rất
nhiều trong cơng tác giảng dạy cũng như việc học tập và nghiên cứu sau này.
Nhân đây em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ở Trường THCS Mạc Đỉnh
Chi và Trường THPT Bình Khánh đã nhiệt tình giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho em

dạy thực nghiệm cũng như sẵn lòng trao đổi giúp cho em có thêm những thơng tin
cần thiết về công tác giảng dạy theo phương pháp mới của trường hiện nay. Cảm ơn
các em học sinh ở các lớp dạy thực nghiệm đã tích cực học tập, hợp tác vui vẻ để có
những tiết học thú vị và thành công !
Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, những người thân trong gia đình đã
ủng hộ, động viện con không ngừng. Và tôi chân thành cảm ơn những người bạn đã
giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua để tơi có thể hồn thành tốt khóa luân.
Long xuyên,…tháng 05 năm 2008
SVTH


MỤC LỤC
Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................2
2. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................3
3. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................3
5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................3

Phần II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH ...............................6
THƠNG QUA DẠY HỌC MƠN TỐN
1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ ............................................6
năng thực hành toán học
1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học .............................................6
1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học............................................................7
1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng.........................................................................7
1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.......................................................8
1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy ...............................................................8

1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác...................................16
2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH ...............................................17
TRONG HỌC HÌNH HỌC
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH .........................................................19
3.1 Lược đồ chứng minh..................................................................................19
3.2 Các phương pháp chứng minh ...................................................................20
3.2.1 Chứng minh trực tiếp ...........................................................................20
3.2.2 Chứng minh gián tiếp...........................................................................23


3.2.3 Chứng minh quy nạp............................................................................23
4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC .........................................25
4.1 Tìm hiểu đề tốn ........................................................................................25
4.2 Tìm tịi lời giải của bài tốn........................................................................26
4.2.1 Hãy nghĩ đến những bài tốn liên quan ...............................................26
4.2.2 Tìm cách vẽ thêm phần tử phụ.............................................................28
4.2.3 Tìm tịi lời giải bằng cách xét một số ..................................................30
trường hợp đặc biệt hay tương tự
4.2.4 Tìm tịi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ.................................31
hoặc “phân tích đi xuống”
4.3 Trình bày lời giải của bài tốn ....................................................................35
4.4 Nhìn lại bài tốn và lời giải.........................................................................35

Chương 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH
THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC
1. Thực trạng của việc dạy và học hình học hiện nay..........................................36
2. Các phương pháp suy luận trong giải tốn chứng minh hình học ...................36
2.1 Phương pháp suy luận diễn dịch ................................................................36
2.2 Những suy luận có lí thường gặp trong giải tốn chứng minh hình học . 41
2. 2.1 Dự đốn nhờ phép suy luận khơng hồn tồn......................................41

2.2.2 Dự đốn nhờ tương tự ..........................................................................43
3. Khai thác bài tốn chứng minh hình học phù hợp với trình độ học sinh ........46

Chương 3 THỰC NGHIỆM
Mục đích thực nghiệm ......................................................................................54
Giả thuyết thực nghiệm.....................................................................................54
Hình thức thực nghiệm .....................................................................................54
A – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO GIÁO VIÊN ..................................................54
1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................54
2. Hình thức tổ chức thực nghiệm......................................................................55
3. Phân tích hệ thống câu hỏi .............................................................................55
3.1 Nội dung câu hỏi......................................................................................55
3.2 Phân tích hệ thống câu hỏi .......................................................................57


B – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH ...................................................57
1. Mục đích của việc thực nghiệm .....................................................................57
2. Biện pháp thực nghiệm ..................................................................................58
3. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................58
4. Kết quả thực nghiệm......................................................................................63
4.1 Phần giảng dạy........................................................................................63
4.2 Kết quả bài kiểm tra................................................................................63

PHẦN III KẾT LUẬN
III.1 Kết quả nghiên cứu .....................................................................................67
III.2 Những hạn chế của đề tài............................................................................67
III.3 Hướng nghiên cứu tiếp tục..........................................................................67
PHỤ LỤC..................................................................................................................68
MỘT SỐ GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM.....................................................................71

GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Phần I

PHẦN MỞ ĐẦU

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 1


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hình học là một ngành của tốn học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị
trí của các hình trong khơng gian.
Bộ mơn hình học ở trường phổ thơng có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có
tính lơgíc chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ
giữa hình học thuần túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình
học thực tế làm điểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng
đắn của nó. Đó là con đường lơgíc đến thực tiễn.
Việc dạy học hình học ở trường phổ thông phải thể hiện được hai đặc trưng trên.
Muốn vậy phải làm cho học sinh nắm được hệ thống kiến thức cơ bản vững chắc,
đồng thời có kĩ năng vận dụng vào thực hành toán học và thực tiễn. Các bài tập hình
học ở trường phổ thơng là một phương tiện có hiệu quả và khơng thể thay thế được

trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ
năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn. Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt
để thực hiện các mục đích của dạy học tốn ở trường phổ thơng, được thể hiện thông
qua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức năng giáo dục,
chức năng phát triển và chức năng kiểm tra. Các chức năng trên được thể hiện tiềm
ẩn trong hệ thống các bài tập thể hiện ở sách giáo khoa. Có ba loại bài tập là:
•

Loại tốn chứng minh với hai phần chính là giả thiết và kết luận. Giải tốn thuộc
loại này là tìm ra bằng suy diễn, con đường từ giả thiết đến kết luận. Với loại
toán chứng minh thì nổi hơn cả là tính lơgíc.

•

Loại tốn tìm tịi, chẳng hạn tìm tập hợp điểm (quỹ tích), dựng hình, tính tốn,...
với ba phần chính là : ẩn, dữ kiện, điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện. Giải tốn
thuộc loại này là tìm ra ẩn thỏa mãn điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ kiện. Loại
toán này vừa thể hiện tính lơgíc, vừa thể hiện tính trừu tượng.

•

Loại tốn có nội dung thực tiễn. Với loại tốn này, khi qua giai đoạn tốn học
hóa sẽ trở về một trong hai loại nêu trên. Loại này nổi bật bởi tính thực tiễn.

Bài tập tổng hợp bao gồm ba loại nêu trên. Việc giải bài tâp hình học sẽ thể hiện
rõ tính lơgíc, tính trừu tượng và tính thực tiễn; muốn chú trọng khâu nào ta lựa chọn
bài tập theo mục đích đó; muốn rèn luyện chung thì ta lựa chọn bài tập tổng hợp là
thích hợp nhất.
Các bài tốn chứng minh trong hình học có một tác dụng rất lớn trong việc rèn
luyện tư duy logic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp

học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh…
Bằng kinh nghiệm của bản thân, trải qua quá trình học tập ở trường phổ thông,
nhất là khi được đào tạo ở khoa sư phạm Trường Đại học An Giang để trở thành một
giáo viên dạy Tốn ở trường Trung học phổ thơng tơi lại nhận thức rõ hơn tầm quan
trọng trong việc phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh thơng qua
việc giải các bài tập về chứng minh…..
Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH
THƠNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẨP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH” như một lời
hứa của bản thân tôi rằng phải chú trọng đến việc hình thành và rèn luyện cho học

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 2


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

sinh năng lực chứng minh toán học trong việc dạy học toán sau này ở trường phổ
thơng.
Năng lực chứng minh tốn học như đã nói ở trên có một phạm vi rất rộng. Do
hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực cá nhân nên trong đề tài này tôi chỉ
nghiên cứu việc rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh ở trường phổ thông
thông qua giải lớp bài tập về chứng minh trong hình học. Phạm vi nghiên cứu ở đây
bao gồm học sinh bậc Trung học Cơ sở và lớp 10 , lớp 11 bậc Trung học Phổ thơng.

2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
•

Nghiên cứu nội dung hình học Sách giáo khoa mơn Tốn bậc Trung học và
lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung của đề tài.

•

Tình hình học tập của học sinh về chủ đề trên ở trung học cơ sở và phổ thơng
trung học.

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu để đề ra được các biện pháp chủ yếu và có tính khả thi trong việc
phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua giải bài tập hình học.

4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
•

Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa, sách bài tập từ lớp 6 đến lớp 11,
phân mơn hình học (vì lớp 12 chưa thay đổi sách và chương trình tốn) để tìm
hiểu nội dung và hệ thống bài tập

•

Tìm hiểu q trình học tập mơn hình học của học sinh hiện nay từ lớp 6 đến
lớp 11 và khả năng giải các bài tập liên quan đến chứng minh. Trao đổi với
giáo viên dạy tốn ở trường phổ thơng về vấn đề này.

•

Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết hình học có nội dung liên quan đến chủ
đề đã lựa chọn.

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
•

Nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy mơn Tốn, liên quan đến dạy
học chứng minh và chứng minh định lí.
+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến
vấn đề này.

•

Phương pháp điều tra phỏng vấn
+ Phát phiếu điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh một
định lí hay chứng minh một bài tốn Hình học ở học sinh.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 3


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm
•

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Phương pháp quan sát
+ Dự giờ giáo viên dạy Tốn nhằm tìm hiểu việc tổ chức dạy học phương pháp
chứng minh cho học sinh như thế nào.

•

Phương pháp thực nghiệm
+ Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ
thông.
+ Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh sau mỗi tiết dạy thực
nghiệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầu đánh giá hiệu quả
của phương pháp dạy học phát triển năng lực chứng minh cho học sinh.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 4


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Phần II

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 5


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

Chương 1

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC MƠN TỐN
Một trong những nhiệm vụ của dạy học tốn ở trường phổ thơng là làm cho học
sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành toán học, đồng thời phát triển năng
lực trí tuệ cho học sinh thơng qua học tập mơn toán.

1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ năng thực hành
tốn học
1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học
Tri thức sự vật trong môn toán là tri thức về một khái niệm (khái niệm về một đối
tượng hoặc về một quan hệ toán học) hoặc về một sự kiện tốn học, được trình bày
trực diện trong nội dung mỗi định nghĩa, định lí.
Tri thức phương pháp luôn gắn liền với tri thức sự vật, bám vào tri thức sự vật,
nói lên những phương pháp nhằm đạt được những tri thức sự vật hoặc những phương
pháp do tri thức sự vật mang lại. Có hai loại tri thức phương pháp: Tri thức phương
pháp thuộc loại tìm đốn và tri thức phương pháp thuộc loại thuật tốn.
Ví dụ: Khi dạy định lí “Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 180 0 ” ta đã dạy cho
học sinh một tri thức sự vật, đó chính là nội dung của định lí này. Có một tri thức
·
·
phương pháp thuộc loại tìm đốn, đó là việc vẽ tia Ax sao cho xAB
, CBA
so le trong
·
·
và do đó bằng nhau, vẽ tia Ay sao cho yAC , BCA cũng ở vị trí so le trong và do đó

chúng bằng nhau. Việc vẽ thêm hai tia phụ nói trên đã gợi ý cho việc chứng minh
định lí. Đưa thêm yếu tố phụ (vẽ thêm đường phụ) là một tri thức phương pháp trong
giải tốn chứng minh hình học. Học sinh học được phương pháp này khi học định lí
tương ứng .
Tri thức giá trị liên quan đến những mệnh đề đánh giá, bình luận nhân học một tri
thức sự vật.
Chẳng hạn lời đánh giá sau đây về định lí ba đường vng góc có thể xem là một
tri thức giá trị : “Trước đây (khi chưa biết định lí này), mỗi khi phải chứng minh hai
đường thẳng vng góc với nhau trong không gian ta phải chứng minh đường thẳng
này vng góc với mặt phẳng chứa đường kia. Bây giờ nhờ định lí ba đường vng
góc, trong nhiều trường hợp ta có một phương pháp mới chứng minh hai đường
thẳng vng góc với nhau trong khơng gian ngắn gọn, thuận tiện hơn”.
Tri thức chuẩn liên quan đến những qui định, giúp cho việc học tập và giao lưu tri
thức. Ví dụ, chuẩn mực về trình bày giả thiết, kết luận, chứng minh cho một bài tốn,
các cách nói khác nhau để diễn tả mệnh đề “ “nếu A thì B” là mệnh đề đúng”, bảng

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 6


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

chỉ dẫn các kí hiệu dùng cho một cuốn sách…. là những điều cần phải biết trong học
tập mơn tốn, những tri thức này thuộc dạng tri thức chuẩn.
1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học
Tri thức giáo khoa là kết quả của phép biến đổi sư phạm từ tri thức khoa học,
phép biến đổi này được hội đồng bộ môn, các nhà nghiên cứu lí luận dạy học, các tác

giả sách giáo khoa thực hiện. Phép biến đổi này đảm bảo tính cơ bản, hiện đại, sát
với thực tiễn Việt Nam của tri thức giáo khoa. Khi dạy học trên lớp để biến tri thức
giáo khoa thành tri thức dạy học người giáo viên cần phải khai thác sách giáo khoa
và các sách tham khảo để bảo đảm các tính chất nói trên của tri thức dạy học. Ngồi
ra, người giáo viên cịn phải bảo đảm tính hệ thống, tính vững chắc của tri thức dạy
học.
Tính hệ thống của tri thức dạy học:
Nhận thức của con người luôn vận động và phát triển vì vậy một tri thức khoa học
bao giờ cũng là kết quả của những tri thức nào đó đã có trước và đồng thời cũng là
nguyên nhân ra đời của những tri thức khác tiếp sau. Khi dạy học một hệ thống các
tri thức nào đó, cần thiết lập được vị trí của từng tri thức cụ thể trong tồn bộ hệ
thống của nó. Để làm việc này, tùy theo nội dung cần hệ thống hóa, ta sử dụng hợp lí
những sơ đồ hệ thống hóa tri thức bằng bảng, bằng sơ đồ mạng, bằng biểu đồ
Ven…Một tri thức, đứng trong một hệ thống tri thức liên quan với nó sẽ dễ dàng
được huy động khi cần thiết.
Tính vững chắc của tri thức dạy học:
Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm việc hiểu nội dung tri thức thơng qua
hình thức biểu đạt của nó.
AB
AC
AB
AC
, cosα =
, tan α =
, cot α =
là
BC
BC
AC
AB

hình thức biểu đạt các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Cần thơng qua các đẳng thức
này làm cho học sinh thấy sự tương ứng giữa các góc nhọn với các tỉ số độ dài của
hai đoạn thẳng. Nhờ những hàm này người ta có thể chuyển việc so sánh các góc
nhọn về việc so sánh các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng. Những hàm này
thiết lập quan hệ về lượng giữa các yếu tố về cạnh và về góc trong tam giác.

Ví dụ : Các đẳng thức sin α =

Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm cả việc ghi nhớ tri thức. Trong mỗi
giai đoạn học tập của mình, học sinh phải nắm được những tri thức xác định để sẵn
sàng huy động chúng vào việc xây dựng tri thức mới. Vấn đề là phải biết ghi nhớ
những gì ? (cái cơ bản, cái phục vụ cho từng giai đoạn nhất định) và biết ghi nhớ như
thế nào ? (phối hợp ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa).
Nắm vững tri thức một cách vững chắc cịn bao gồm cả việc khơng ngừng tự sắp
xếp lại, tự bổ sung các tri thức mới, tri thức cũ góp phần xây dựng tri thức mới, song
tri thức cũ so với tri thức mới bao giờ cũng mang tính địa phương, bộ phận. Những
tri thức cũ nếu không được sắp xếp lại sẽ gây ra những sai lầm trong những tình
huống nhất định.
1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng
Theo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri thức và

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 7


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì : Tri thức thuộc phạm vi nhận thức thuộc về
khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Tri thức và kĩ năng thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành
các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kĩ năng, các thao tác này được thực
hiện dưới sự kiểm tra của tri thức.
Con đường đi từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có tri thức tương ứng “biết làm” là
con đường luyện tập, nội dung của sự luyện tập này rất phong phú, song một nội
dung có tính cốt yếu, đó là việc luyện tập các thao tác nhận dạng và thể hiện sau khi
học một định nghĩa khái niệm, một định lí hay một phương pháp. Nhận dạng một
khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của khái niệm
đó không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng có các đặc trưng của khái
niệm đó. Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn
khớp với định lí đó khơng. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp
với định lí đó. Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có
phù hợp với phương pháp đó khơng. Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình
huống phù hợp với các bước của phương pháp đó.
Kĩ năng vận dụng tri thức tốn học được thể hiện trên những bình diện khác nhau
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, giải các bài tập toán học.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các bộ mơn khác.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức tốn học vào đời sống.

1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
Điều quan trọng nhất đối với người học là phải biết xây dựng tri thức mới xuất
phát từ những tri thức ban đầu. Cần các thao tác tư duy, đó là khả năng suy đốn và
tưởng tượng, là tư duy logic và ngơn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực
trí tuệ, những yếu tố cần phải có để học tập mơn tốn và cũng là những yếu tố mà
việc học tập mơn tốn có thể mang đến cho người học.
1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy
1. Phân tích và tổng hợp

a. Khái niệm
Phân tích là sự suy nghĩ tạm thời tách một hệ thống những đối tượng (hoặc những
tính chất, quan hệ) thành những bộ phận để việc xem xét những bộ phận này được
đơn giản hơn.
Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết những kết quả đã xem xét được ở từng bộ
phận của một hệ thống để việc xem xét cả hệ thống được tồn diện hơn. Việc học
tốn, làm tốn ln gắn liền với thao tác tư duy phân tích và tổng hợp.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh
bên vng góc với đáy.
Ta có thể thực hiện cả phân tích và tổng hợp, q trình này được mơ tả như sau:
•

Phân tích

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 8


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

+ Tách mặt bên A’D’DA của hình lăng trụ ra khỏi các

B '

mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có:
AA’ ⊥ AD

(1)

C '
A '

+ Tách mặt bên A’B’BA của hình lăng trụ ra khỏi các

D '

mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có:
AA’ ⊥ AB

•

(2)

B

Tổng hợp

C

+ Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’ ⊥ (ABCD).A
Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên

D

của hình lăng trụ, khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình
chữ nhật ta có điều phải chứng minh .

b. Tác dụng trong dạy học tốn
Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy
trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó là
q trình nhận thức. Do đó trong dạy học tốn, phân tích và tổng hợp có tác dụng to
lớn như sau.
+ Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường
hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí…
+ Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổng hợp
lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí... hay một vấn đề có
tính chất tốn học nào đó.
Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành những thao tác
khác.

•

Khi dạy khái niệm:

Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ đó
tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biết phân biệt
khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm
gần gũi nhau.
Ví dụ 2:
– Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “ Tia phân giác của góc” để
hiểu sâu sắc hơn khái niệm này ( Toán 6) như sau:

•

Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu):
+ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy
+ xOz = zOy

•

⎧⎪xOz = zOy
Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu) ⎨
⎪⎩xOz + zOy = xOy

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 9


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu) xOz = zOy =

•

xOy
2

– Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai khái niệm “chóp đều và
chóp có đáy là đa giác đều”
Chóp có đáy là đa giác đều

Chóp đều

+ Hình chóp

+ Hình chóp

+ Đáy là một đa giác đều

+ Các cạnh bên bằng nhau

– Phân tích để phân biệt (do đó hiểu sâu sắc hơn) hai khái niệm “ Hình vng” và
“Hình chữ nhật”

•

Hình vng

Hình chữ nhật

+ Tứ giác

+ Tứ giác

+ Hai cạnh liên tiếp bằng nhau

+ Hai cặp cạnh đối bằng nhau

+ Có một góc vng

+ Có một góc vng

Khi dạy học định lí

Khi dạy định lí phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích
để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự giống nhau và
khác nhau giữa các định lí gần gũi nhau.
Ví dụ 3:
Phân tích để thấy sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí nhận biết một hình
bình hành: có hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đơi một,có hai đường chéo cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường…..
Ví dụ 4:
Định lí “ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với một mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng đó”.
- Phân tích giả thiết và kết luận:
+ Định lí cho biết điều gì ? Ta phải
chứng minh cái gì ? Hãy vẽ hình và ghi giả
thiết, kết luận của định lí?
Giả thiết

Kết luận

d
a

b

α ⊥γ
β ⊥γ

d ⊥γ

α ∩β =d
- Phân tích các bước nhỏ của q trình chứng minh

+ Hiểu rõ giả thiết:

α ⊥ γ ⇒ ∃ a ⊂ α vaø a ⊥ γ
β ⊥ γ ⇒ ∃ b ⊂ β và b ⊥ γ

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 10


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

+ Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau :
o a ≡ d hay b ≡ d ⇒ chứng minh xong
⎫
o a ≠ d; b ≠ d ⎫
⎬ ⇒ a / / b⎪
a ⊥ γ; b ⊥ γ ⎭
⎬⇒ d ⊥γ
⎪
a ⊂ α ⇒ a / /d
⎭

- Phân tích, tổng hợp cịn có thể được hiểu theo nghĩa sau:
•

Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết (giả thiết) với cái cần

tìm, cần chứng minh (kết luận) theo chiều đi từ cái cần tìm, cần chứng minh
đến cái đã biết (đi từ KẾT LUẬN đến GIẢ THIẾT)

Sơ đồ của phép phân tích là:
Y ⇐ X n ⇐ X n −1 ⇐ ... ⇐ X 2 ⇐ X 1 ⇐ X .

Nghĩa là: Muốn chứng minh Y, ta phải chứng minh Xn
Muốn chứng minh Xn, ta phải chứng minh Xn-1
..........................................................................
Muốn chứng minh X1, ta phải chứng minh X
•

Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc
điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm ( đi từ GIẢ
THIẾT đến KẾT LUẬN)

Sơ đồ của phép tổng hợp là:
X ⇒ X 1 ⇒ X 2 ⇒ ... ⇒ X n ⇒ Y .

Nghĩa là: Từ X, ta suy ra X1, từ X1 ta suy ra X2 ,..., từ Xn ta suy ra Y
Ví dụ 5: Định lí :
Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt
phẳng thì nó vng góc với mặt phẳng ấy .

d

GT :

a ⊂ (α ) , b ⊂ (α ) , a cắt b.
d ⊥ a , d ⊥ b.

b
c
a

KL :

d ⊥ (α )

Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp phân tích như sau:
+ Muốn chứng minh d vng góc với (α ) , ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời
mong muốn : ta chứng minh d vng góc với một đường thẳng c bất kì nằm trong
(α ) ).

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 11


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

+ Muốn chứng minh d vng góc với một đường thẳng c bất kì nằm trong (α ) , ta
r
chứng minh điều gì ? ( câu trả lời mong muốn : ta chứng minh véctơ chỉ phương u
ur
r ur
của d và véctơ chỉ phương p của c vng góc với nhau, hay là u . p = 0 ).
r ur

+ Muốn chứng minh u . p = 0, ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời mong muốn :
ur
uur r
véctơ p biểu thị tuyến tính được qua 2 véctơ chỉ phương m , n của hai đường thẳng
a và b ).
+ Bài tốn đã cho biết điều gì ? ( đã cho : a ⊂ (α ) , b ⊂ (α ) , a cắt b và d ⊥ a ,
r uur
r ur
d ⊥ b hay u . m = 0, u . n = 0 ).
+ Từ giả thiết ta có điều gì ?
uur r
-- a cắt b nên m , n không cùng phương, suy ra tồn tại cặp số x, y duy nhất mà :
ur
uur
ur
p = x. m + y. n .
ur r r
uur
ur
-- p . u = u .( x. m + y. n ) = 0
Dựa vào hệ thống câu hỏi nói trên học sinh có thể tự mình chứng minh được định
lí như SGK hình học 11.
•

Khi dạy học sinh giải bài tập tốn, cần phải

+ Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài tốn đã cho thuộc loại nào? Phân
tích cái đã cho và cái cần tìm…
+ Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được một số ý
thì tổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích khơng? Cịn thiếu yếu tố nào

nữa?
+ Tách bài toán đã cho ( thường là khó hơn ) thành nhiều bài tốn thành phần, bài
tốn đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả.
Ví dụ 6 : Cho hình vng ABCD, dựng các hình vng ABEF và ADGH nằm
phía ngồi hình vng ABCD. Chứng minh rằng AC = HF.
F

H

G

A

D

E

ìï ABCD là hình vuông
ïï
GT : ïí ABEF là hình vuông
ïï
ïïỵ ADGH la hình vuông

B

KL : AC = HF

C

1. Phân tích

•

Muốn chứng minh AC = HF ta chứng minh D ABC = D HAF ( Y ⇐ X1 )

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 12


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm
•

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Muốn chứng minh D ABC = D HAF ta chứng minh :
·
·
ABC
= HAF
, AF = AB , AH = BC

•

Bài tốn đã cho: ABCD, ABEF, ADGH là các hình vng.

( X1 ⇐ X )
( X là GT )

2. Lời giải bài toán
Xét D ABC và D HAF ta có :

·
·
ABC
= HAF
(gt)ïüï
ïï
AF = AB (gt)
ýị
ù
AH = BC (gt) ùùù
ùỵ

D ABC = D HAF Þ AC = HF

Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A (-3 ; 2), B ( -4 ; 5), C (-1 ; 3). Chứng minh
rằng các điểm A’ (2 ; 3), B’ (5 ; 4), C’ (3 ; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép
quay tâm O góc - 900 .
Hướng dẫn chứng minh

N

+ Nếu gọi M, N lần lượt là hình chiếu của
A trên Ox và Oy. Gọi M’ N’ lần lượt là hình
chiếu của A’ trên Oy và Ox.

O

+ Muốn chứng minh điểm A’ là ảnh của
điểm A qua phép quay tâm O góc quay - 900 ta

phải chứng minh điều gì ? Tại sao ?

M'
A

M

A'

N'

2. So sánh
a. So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng.
Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với
nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống nhau và khác nhau.
b. Tác dụng trong dạy học toán
+ Nhờ so sánh mà học sinh hiểu sâu, hiểu đúng và đầy đủ những thuộc tính của
các đối tượng được phản ánh trong một khái niệm, một định lí…
+ Nhờ so sánh mà học sinh thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng.
+ Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này.
Ví dụ 8: - So sánh ( định nghĩa) các khái niệm hình vng và hình chữ nhật.
- So sánh ( định nghĩa) khái niệm hai tam giác bằng nhau với khái niệm
hai tam giác đồng dạng. So sánh các trường hợp (định lí) bằng nhau của hai tam giác
với các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.
3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa
a. Khái qt hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, hiện tượng,
sự kiện. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng…với nhau để rút ra cái

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 13


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng…ta cũng có thể khái qt hóa để có
một tính chất hay một phương pháp.
Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung.
b. Trong việc dạy học môn tốn ở trường phổ thơng, giáo viên có nhiều cơ hội để
tổ chức cho học sinh tập khái quát hóa. Chẳng hạn, bước đầu giáo viên tập cho học
sinh khái qt hóa đối với sự kiện đơn giản nhất.
Ví dụ 9:
Để có định lí về tổng số đo các góc trong tam giác, ta có thể tiến hành như sau:
+ Đầu tiên hãy yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác vào giấy, dùng thước đo
góc đo các góc của tam giác đó và tính tổng của chúng.
+ Cho học sinh nêu kết quả, giáo viên thống kê các kết quả lên bảng.
Kết quả mong muốn thu được là tần suất tổng các góc của tam giác bằng 1800 là
phổ biến. Từ đó có thể nêu một giả thuyết tổng quát “ Trong một tam giác, tổng các
góc bằng 180o”
Cần lưu ý là khái quát hóa chỉ cho ta dự đốn, mệnh đề rút ra bằng khái qt hóa
có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ. Việc bác bỏ một dự
đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đốn khái qt đó có đúng khơng
trong các trường hợp riêng đơn giản. Việc làm này gọi là đặc biệt hóa.
c. Khái quát hóa và đặc biệt hóa có tác dụng to lớn trong dạy học tốn. Nó giúp
cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẻ,
rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn.
Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Lưu ý rằng:
các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa có thể đúng và có thể sai. Vì vậy phải

chứng minh.
Ví dụ 10:
Bài toán “Đếm số mặt m, số đỉnh đ và số cạnh c của một hình chóp, hình lăng
trụ. Sau mỗi lần đếm trên một hình lại tính số trị của biểu thức m + đ - c. Có nhận xét
gì về số trị của biểu thức ấy? ”
Đây là một dạng bài tốn mang tính chất khái qt hóa để đi đến cơng thức về
đặc số Euler của hình đa diện: m + đ = c + 2
Ví dụ 11:
Từ bài toán “ Tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB 2 = k 2 là một đường
tròn” ta có hai bài tốn khái qt như sau:

m .MA 2 + n .MB 2 = k 2 , m 2 + n 2 ≠ 0
MA12 + MA22 + ..... + MAn2 = k 2

4. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa:
a. Khi khái quát hóa ta đã tách cái chung trong các đối tượng, sự kiện, hiện tượng
đồng thời ta đã gạt bỏ những thuộc tính riêng của chúng, mà chính những thuộc tính
này làm cho chúng phân biệt với nhau. Đây là q trình trừu tượng hóa tức là nói đến
cái chung nhất mà khơng gán cho một đối tượng cụ thể nào.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 14


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Nói cách khác: Trừu tượng hóa là q trình gạt bỏ những thuộc tính riêng của các

đối tượng, chỉ giữ lại những thuộc tính chung nhất của các đối tượng đang được
nghiên cứu. Kết quả của quá trình này là ta nhận được khái niệm về các đối tượng đó
Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó. Tức là ta tìm một cái
riêng mà cái riêng này thỏa mãn các tính chất (điều kiện) của cái chung đã xác định.
b. Trong q trình dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng, chúng ta có những cơ
hội để cho học sinh tập trừu tượng hóa.
Ví dụ 12: Hình thành khái niệm hình vng

•

Hình thành biểu tượng hình vuông

+ Cho học sinh ( lớp 1) quan sát một tấm bìa có hình dạng “hình vng”, sau khi
giới thiệu “tấm bìa này có hình dạng hình vng, gọi tắt là hình vng” rồi cất đi khi
đó trong trí nhớ của các em sẽ lưu lại hình ảnh một “hình vuông” cụ thể với đầy đủ
các yếu tố về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt “hình vuông”.
+ Bây giờ lại cho học sinh quan sát cùng một lúc nhiều “hình vng” khác nhau
về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt. Khi cất đi, trong trí óc các em đã có
biểu tượng về “hình vng”, khơng phụ thuộc vào chất liệu, màu sắc, kích thước và
vị trí đặt. Lúc này nếu ta cho học sinh lựa chọn “hình vng” trong các đồ chơi gồm
nhiều loại “tứ giác”, làm bằng các chất liệu khác nhau, màu sắc, kích thước khác
nhau thì các em sẽ nhặt ra được đúng “hình vng” như mong muốn.

•

Mơ tả trực quan khái niệm hình vng

+ Sau khi học sinh đã được học thêm các khái niệm về hai đường thẳng song
song, hai đường thẳng vng góc (lớp 3), giáo viên vẽ hình vng trên bảng, học
sinh vẽ trên giấy. Sau đó bằng thực nghiệm học sinh mơ tả được bằng lời : “hình

vng là hình có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vng”.
Đây là một q trình trừu tượng hóa : từ các mơ hình bằng bìa, bằng gỗ với các
màu sắc, kích thước khác nhau ta đã thay bởi hình vẽ tượng trưng hình vng với các
thuộc tính cơ bản là : tứ giác có các cạnh bằng nhau, các góc vng.

•

Định nghĩa khái niệm bằng lơgíc chặt chẽ.

+ Lên THCS, khái niệm hình vng được định nghĩa một cách chặt chẽ về mặt
lơgíc : “Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và có bốn cạnh bằng nhau”.
Đây lại là bước trừu tượng hóa cao hơn, từ sự trừu tượng hóa ở bước trên.
c. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa có tác dụng to lớn trong dạy học tốn. Nhờ trừu
tượng hóa mà ta có được các khái niệm tốn học và các tính chất của chúng. Trừu
tượng hóa giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong
nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn.
5. Tương tự hóa, cụ thể hóa:
Tương tự hóa là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng
để từ những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự kiện tương ứng
đối với đối tượng kia.
Để tiến hành tương tự hóa bao giờ người ta cũng bắt đầu từ sự so sánh, tức là tìm
ra chỗ giống nhau, khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh, song sự so sánh
khơng bao giờ dừng ở đó, sự so sánh phải dẫn đến dự đốn những sự kiện mới. Ở

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 15


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

đây trong hai đối tượng mang ra so sánh, có một đối tượng mà ta đã biết tường tận,
còn đối tượng kia thì ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó. Vì vậy mục đích so sánh là dẫn
đến những dự đốn về những sự kiện sẽ xảy ra, đối với đối tượng mà ta đang nghiên
cứu. Như vậy so sánh là điểm bắt đầu của tương tự hóa và tương tự hóa là mục đích
của sự so sánh.
Tương tự hóa giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết để từ những sự kiện đã biết
tương ứng với nó trong phép tương tự này. Trong quá trình dạy học các nội dung
tốn học, có thể vận dụng các cơ hội thích hợp để cho học sinh dự đoán bằng tương
tự.
Chẳng hạn các trường hợp đồng dạng của tam giác tương tự như các trường hợp
bằng nhau của tam giác vậy.
Cũng như khái quát hóa, tương tự hóa chỉ cho những dự đoán, dự đoán này sẽ
được chứng minh hoặc bị bác bỏ.
Tương tự cịn có tác dụng tập cho học sinh nhìn các đối tượng, hiện tượng dưới
nhiều góc độ khác nhau, phát hiện chúng có những bộ phận, tính chất giống nhau, từ
đó suy ra những sự giống nhau khác có thể có.
Ví dụ 13:
Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chỗ chúng
được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường thẳng trong mặt phẳng và
mặt phẳng trong không gian). Từ đó, tam giác vng tương tự với tứ diện vng (tứ
diện có một góc tam diện là vng). Trong tam giác vng có định lí Pitago: “Bình
phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vng”.
Trong tứ diện vng cũng có một định lí tương tự: “Bình phương diện tích “mặt
huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vng”.
1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngơn ngữ chính xác
1. Nội dung:
Tư duy và ngôn ngữ gắn chặt với nhau. Tư duy phải được thể hiện qua ngơn ngữ

đối với tốn là các thuật ngữ, ký hiệu….toán học.
Chẳng hạn các thuật ngữ: đạo hàm, hàm số, hình vng…, các kí hiệu tốn
học: //, ⊥, ∩ , các kí hiệu lơgíc ∀, ⇔, ∃ . Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu đều chứa đựng
một nội dung xác định, do vậy viết đúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu
quan trọng trong dạy học toán. Nội dung của vấn đề này bao gồm:
+ Nắm vững các thuật ngữ toán học, các kí hiệu tốn học, kí hiệu lơgíc và sử dụng
đúng mà khơng được nhầm lẫn, ví dụ “giá trị cực đại” và “giá trị lớn nhất” của hàm
số trong một đoạn nào đó.
+ Phát triển khả năng định nghĩa các khái niệm: các cách định nghĩa, cấu trúc của
định nghĩa.
+ Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, có đầy đủ căn cứ…
2. Biện pháp:
a. Khơng chỉ học thuộc lòng các câu chữ mà phải hiểu rõ và đúng nội dung, phát
biểu chính xác bằng lời và bằng các kí hiệu thích hợp.
Ví dụ 14:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 16


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

+ Có ít nhất một, kí hiệu: ∃ ; Với mọi, kí hiệu ∀
+ a dương, kí hiệu a>0; a khơng âm, kí hiệu a ≥ 0
+ a ⊥ b : đường thẳng a vng góc với đường thẳng b
uuur
+ A B , ∆ABC , ABC ... là các kí hiệu quen thuộc trong hình học

b. Tập cho học sinh sử dụng đúng đắn các phép nối lơgíc cùng với các kí hiệu
và ngơn ngữ tương ứng.
Ví dụ 15:
Kí hiệu A ⇒ B, diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường là:
+ Nếu A thì B; Có A thì Có B
+ Điều kiện cần để có A là có B; B là điều kiện cần để có A
+ A là điều kiện đủ để có B
c. Nắm vững các cấu trúc của định nghĩa, định lí. Biết phát biểu dưới nhiều dạng
khác nhau (nếu được) nhưng phải gọn và đúng. Biết “phiên dịch” từ dạng ngơn ngữ
thơng thường các mệnh đề tốn học sang kí hiệu, thuật ngữ tốn học.
Ví dụ 16:
– Biết phát biểu định nghĩa hình bình hành dưới nhiều cách khác nhau.
– Định lí : “ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Cho học sinh vẽ hình rồi dựa vào đó chuyển từ ngơn ngữ thơng thường sang ngơn
ngữ tốn học như sau :
b

M
P

b'

GT :

a và b chéo nhau.

KL :

∃ ! (P) ⊃ a và b // (P)

a

d. Tập cho học sinh biết và sử dụng đúng các quy tắc chứng minh (tổng hợp, phản
chứng, quy nạp), các mệnh đề thuận, đảo.
e. Uốn nắn kịp thời các sai lầm, tùy tiện của học sinh khi phát biểu hay trình bày
lời giải.

2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG
HỌC HÌNH HỌC
Trong việc dạy hình học, theo Van Hiele việc tiếp thu của học sinh phải trải qua
năm cấp độ.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 17


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

Tư duy về mặt hình dạng khơng gian của học sinh trải qua năm trình độ và sự
chuyển biến từ trình độ này qua các trình độ khác xảy ra dưới ảnh hưởng của việc
dạy học chứ không phải tự phát theo sự phát triển sinh lí của trẻ em.
2.1 Cấp độ 1: Hình dung
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh tri giác các hình như là một “tổng thể” và
sự phân biệt hình này với hình kia bằng dạng của chúng.
Ở trình độ này, nếu ta cho học sinh tiếp xúc với một số hình như hình vng, hình
chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình trịn,... và nói rõ tên gọi

tương ứng của các hình đó, thì sau một số lần lặp đi lặp lại, học sinh có thể nhận biết
hình bằng “trực giác”, phân biệt được hình này với hình kia cũng nhờ vào “trực
giác”, nhưng chưa có thể thấy được mối liên hệ giữa các hình đó.
Bằng quan sát, đo đạc, gấp, cắt giấy,... học sinh có thể nhận biết một số tính chất
đơn giản của các hình.
Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh tiểu học.
2.2 Cấp độ 2: Phân tích
Học sinh đã biết phân tích những mối quan hệ giữa hình dạng các hình hoặc giữa
các yếu tố của từng hình, qua đó có thể nhận biết tính chất của các hình bằng quan
sát, đo đạc, gấp, cắt giấy,... bằng con đường quy nạp, nhờ thực nghiệm.
Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh lớp đầu cấp THCS
( lớp 6, lớp 7).
2.3 Cấp độ 3: Suy diễn khơng hình thức
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh biết thiết lập các quan hệ giữa các yếu tố của
các hình hoặc từng hình, rút ra các tính chất của hình bằng con đường lơgíc. Các em
đã có thể hiểu sự phân loại, sắp xếp các hình theo một dấu hiệu nhất định, có thể từ
tính chất này tìm ra tính chất khác của hình bằng con đường suy diễn lơgíc.
Việc dạy học ở trình độ này bắt đầu từ lớp 7 đến lớp 9 THCS.
2.4 Cấp độ 4: Suy diễn
Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận biết được cấu tạo lơgíc của hình học theo
phương pháp tiên đề, bằng trừu tượng hóa các hình ảnh của một loại thực tế khách
quan nhất định. Học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm cơ bản, tiên đề, định lí,
các quy tắc và các phương pháp suy luận để xây dựng hình học.
Trình độ này ứng với học sinh THPT.
2.5 Cấp độ 5: Chặt chẽ
Đặc trưng của cấp độ này là học sinh có thể so sánh các hệ hình học khác nhau, có
thể làm việc trong một hệ hình học mà khơng cần các mơ hình cụ thể. Việc xây dựng

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 18


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

hình học, với các đối tượng và tương quan cơ bản hoàn tồn trừu tượng, kết quả của
sự khái qt hóa nhiều loại thực tiễn khác nhau: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng bây
giờ tuy vẫn mang tên gọi như trước, nhưng mang nhiều nội dung thực tế khác nhau.
Chẳng hạn: Điểm có thể là điểm như ta hiểu ở trình độ thứ tư, nhưng cũng có thể là
số, là màu sắc, là âm thanh, là một trạng thái nào đấy,... Chỉ ở những năm cuối của
chương trình đại học mới có thể thực hiện được trình độ tư duy hịan tồn trừu tượng
này về hình dạng khơng gian.
Tóm lại, mức độ tư duy về hình dạng khơng gian của học sinh THCS tương
đương trình độ thứ ba, cho nên một trong những yêu cầu quan trọng của việc dạy
hình học là rèn luyện tư duy lơgíc cho học sinh.
Những điều kiện tiên quyết để có tư duy lơgíc về hình học là học sinh phải nắm
vững hệ thống các kiến thức cơ bản về hình học (khái niệm cơ bản, đối tượng, tương
quan cơ bản, khái niệm dẫn xuất thể hiện qua các định nghĩa, các tiên đề và các định
lí, cơng thức quan trọng). Do vậy, trước khi đề cập đến vấn đề rèn luyện tư duy lơgíc
và năng lực chứng minh cho học sinh thì cơng việc đầu tiên rất quan trọng là phải
bàn đến tư duy lĩnh hội, ghi nhớ hệ thống kiến thức cơ bản của chương trình, SGK.
Biết vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, vào các bài tập, vì rằng khơng nắm
được kiến thức, khơng vận dụng được kiến thức thì khơng thể suy luận diễn dịch từ
những điều đã biết đến những điều mới chưa biết.

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
3.1 Lược đồ chứng minh
3.1.1 Nếu từ các tiền đề A1 , A 2 ,..., A n . Ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụng

các quy tắc suy luận lùi thì ta bảo B là kết luận lơgíc của các tiên đề A1 , A 2 ,..., A n và
suy luận đó là suy luận hợp lơgíc.
Nếu các tiên đề A1 , A 2 ,..., A n đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kết luận
chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh.
3.1.2 Mọi phép chứng minh lơgíc đều gồm có 3 bộ phận
a) Luận đề : là mệnh đề cần phải chứng minh
Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì ?”
Ta cịn gọi luận đề là kết luận
b) Luận cứ : là những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lí)
được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận.
Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”. Trong mỗi bài tốn
chứng minh, luận cứ cịn là các dữ kiện, các quan hệ đã cho trong bài toán.
c) Luận chứng : là những quy tắc suy luận lơgíc.
Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh như thế nào ?”, “theo những qui tắc suy
luận nào ?”.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 19


GVHD : Nguyễn Thọ Sâm

SVTH : Huỳnh Chí Thiện

3.2 Các phương pháp chứng minh
3.2.1. Chứng minh trực tiếp:
Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ, dùng qui tắc suy luận để rút ra luận đề.
Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các qui tắc suy luận kết luận (Modus ponens) và
suy luận bắc cầu.

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A ⇒ B là đúng ( A là giả thiết, B là kết
luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2 ,..., An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng
minh các mệnh đề sau đây đúng: A ⇒ A1, A1 ⇒ A2,..., An ⇒ B. Tức là ta đã vận
dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:

A , A ⇒ A1 A1 , A1 ⇒ A 2
A ,A ⇒ B
,..., n n
,
.
A1
A2
B
Theo qui tắc bắc cầu, ta có:

( A ⇒ A1 ) , ( A1 ⇒ A 2 ) ,..., ( A n ⇒ B ) .
B

Ví dụ 17: Chứng minh định lí:
Với mọi tam giác ABC ta có:

A

a
b
c
=
=
sin A sin B sin C

GT: ∆ ABC có
BC = a, AC = b, AB = c

A

KL:

B

H

C

H

a
b
c
=
=
sin A sin B sin C

C

B

Sau khi cho học sinh vẽ hình, ghi GT, KL như trên, định lí được chứng minh như
sau:
Chứng minh:
Kẻ đường cao AH.Ta có

uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AH ⊥ BC suy ra AH .BC = AH ( AC − AB) = 0 hay AH . AC = AH . AB.
Tức là: AH . AC.cosHAC = AH . AB.cosHAB

vì cosHAC = sin C và cos HAB = sin B nên AC.sinC=AB.sinB
Vậy bsinC=csinB
Vì sinB và sinC đều khác 0 nên

Khóa luận tốt nghiệp

b
c
=
sin B sin C

Trang 20