(Luận án tiến sĩ) phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân

MINISTRY OF EDUCATION AND

VIETNAM ACADEMY

TRAINING

OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCES AND TECHNOLOGY

Hoàng Mạnh Tuấn

DEVELOPMENT OF NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE METHODS
FOR SOME CLASSES OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS

HANOI - 2021


MINISTRY OF EDUCATION AND

VIETNAM ACADEMY

TRAINING

OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

GRADUATE UNIVERSITY OF SCIENCES AND TECHNOLOGY

Hoàng Mạnh Tuấn

DEVELOPMENT OF NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE METHODS
FOR SOME CLASSES OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

Speciality: Applied Mathematics
Speciality Code: 9 46 01 12

DOCTOR OF PHILOSOPHY IN MATHEMATICS

SUPERVISORS:
1. Prof. Dr. Đặng Quang Á
2. Assoc. Prof. Dr. Habil. Vũ Hoàng Linh

HANOI - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ

Hồng Mạnh Tuấn

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG
GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

HÀ NỘI - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ

Hồng Mạnh Tuấn

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG
GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 9 46 01 12

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. Đặng Quang Á
2. PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

HÀ NỘI - 2021


Lời cam đoan
Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn
lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TS. Đặng

Quang Á và PGS. TSKH. Vũ Hồng Linh. Những kết quả nghiên cứu được trình bày
trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn cho phép sử
dụng trong luận án.
Hà Nội, tháng 01 năm 2021
Nghiên cứu sinh

Hoàng Mạnh Tuấn

i


Declaration
This thesis has been completed at Graduate University of Science and Technology
(GUST), Vietnam Academy of Science and Technology (VAST) under the supervision
of Prof. Dr. Đặng Quang Á and Assoc. Prof. Dr. Habil. Vũ Hoàng Linh. I hereby
declare that all the results presented in this thesis are new, original and have never been
published fully or partially in any other work.
The author

Hoàng Mạnh Tuấn

ii


Lời cảm ơn
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các cán bộ hướng
dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và GS. TSKH. Vũ Hồng Linh. Luận án này sẽ khơng thể
được hồn thành nếu khơng có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các Thầy. Tơi vơ
cùng biết ơn những giúp đỡ mà các Thầy đã dành cho tôi không chỉ trong thời gian

thực hiện luận án mà còn cả trong suốt thời gian học Đại học và Cao học. Sự quan tâm
và giúp đỡ của các Thầy trong cả công việc lẫn cuộc sống đã giúp tôi vượt qua được
những những khó khăn và thất vọng để hồn thiện các cơng trình nghiên cứu và hồn
thành luận án.
Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam, nơi tơi học tập, nghiên cứu và hồn thành luận
án. Luận án này đã được hoàn thành một cách thuận lợi và đúng thời hạn là nhờ vào
công tác quản lý đào tạo chuyên nghiệp, môi trường học tập và nghiên cứu khoa học lý
tưởng cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của các cán bộ Học viện.
Tơi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo cùng các đồng nghiệp ở Viện Công nghệ
Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam, nơi tơi đang cơng tác, vì
đã dàng mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt nhiều năm qua nói chung và
thời gian thực hiện luận án nói riêng.
Tơi cũng xin được gửi cảm ơn tới các Thầy Cô, các anh chị và bạn bè đồng
nghiệp trong Seminar "Toán ứng dụng" do GS. Đặng Quang Á chủ trì, đặc biệt là cá
nhân TS. Nguyễn Cơng Điều, vì những ý kiến sâu sắc, có chất lượng cao về mặt học
thuật trong các buổi trao đổi chuyên mơn. Những điều đó đã giúp tơi hồn thiện tốt
hơn các cơng trình nghiên cứu của mình.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn các các anh, chị và đồng nghiệp ở Bộ mơn
Tốn học, trường ĐH FPT, vì những giúp đỡ và động viên trong suốt quá trình thực
hiện luận án. Điều đó đã tạo cho tơi nhiều cảm hứng trong nghiên cứu khoa học và
thực hiện luận án.
Đặc biệt, Tôi cũng xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh,
người Thầy đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình tơi trong suốt thời gian học Đại học
và Cao học. Những bài giảng của thầy về mơn học Giải tích số và Tốn ứng dụng từ
thời Đại học đã có ảnh hưởng to lớn tới những lựa chọn sau này của tôi trên con đường
iii


nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, Thầy cũng có rất nhiều góp ý sâu sắc và quan trọng

giúp cho luận án này được hồn thiện tốt hơn.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các GS. R. E. Mickens (Clark Atlanta
University), GS. M. Ehrhardt (Bergische Universitat Wuppertal), GS. A. J. Arenas
(Universidad de Córdoba), GS. J. Cresson (Université de Pau et des Pays de l’Adour)
cùng nhiều đồng nghiệp nước ngồi khác vì đã dành nhiều thời gian đọc và cho tôi
nhiều ý kiến giá trị về cả nội dung lẫn hình thức trình bày của luận án.
Tơi xin chân thành cảm nhiều Giáo sư, Thầy Cô cùng nhiều bạn bè đồng nghiệp
khác vì đã dành nhiều thời gian đọc và cho tơi nhiều ý kiến giá trị về hình thức trình
bày của luận án.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ths. Đặng Quang Long (Viện CNTT) vì
những góp ý giá trị và quan trọng cho nội dung và hình thức trình bày của luận án.
Tơi xin gửi lời cảm ơn tới tất cả bạn bè và đồng nghiệp, những người đã dành
cho tôi nhiều sự quan tâm và động viên trong cuộc sống lẫn trong nghiên cứu khoa
học.
Cuối cùng, luận án này sẽ khơng thể được hồn thành nếu như khơng có sự
giúp đỡ, động viên và khích lệ về mọi mặt của gia đình. Tơi khơng thể diễn đạt được
hết bằng lời sự biết ơn của mình đối với gia đình. Với tất cả lịng biết ơn sâu sắc,
luận án này nói riêng cùng tất cả những điều tốt đẹp mà tôi đã và đang cố gắng thực
hiện là để gửi tới Bố Mẹ, vợ con, các anh, chị, em và những người thân trong gia
đình, những người với sự yêu thương, đức kiên nhẫn và lịng vị tha đã khích lệ và
động viên tơi theo đuổi con đường nghiên cứu khoa học trong suốt những năm qua.
Hà Nội, tháng 01 năm 2021
Nghiên cứu sinh

Hoàng Mạnh Tuấn

iv


Acknowledgments

Firstly, I would like to thank my two supervisors Prof. Dr. Habil. Vũ Hoàng Linh
and especially Prof. Dr. Đặng Quang Á for the continuous support of my PhD study
and related research; for their patience, motivation and immense knowledge. Without
their help I could not have overcome the difficulties in research and study.
The wonderful research environment of the Graduate University of Sciences
and Technology, Vietnam Academy of Science and Technology, and the excellence
of its staff have helped me to complete this Real World Applications, 2013, 14, 414 -422.
162


13. L-X. Yang, X. Yang, A new epidemic model of computer viruses, Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19, 1935-1944.
14. X. Yang, B. K. Mishra, Y. Liu, Computer virus: theory, model, and methods,
Discrete Dynamics in Nature and Society, 2012, Article ID 473508.
15. L. X. Yang, X. Yang, L. Wen, J. Liu, A novel computer virus propagation model
and its dynamics, International Journal of Computer Mathematics, 2012, 89,
2307-2314.
16. Q. Zhu, X. Yang, L. Yang, X. Zhang, A mixing propagation model of computer
viruses and countermeasures, Nonlinear Dynamics, 2013, 73, 1433-1441.
17. A. M. Stuart, A. R. Humphries, Dynamical Systems and Numerical Analysis,
Cambridge monographs on applied and computational mathematics 2, Cambridge
University Pres, 1998, New York.
18. R. L. Burden, J. D. Faires, Numerical analysis, Brooks/Cole, Cengage Learning,
2011.
19. E. Hairer, P. S. Norsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I:
Nonstiff Problems, Springer Series in Computational Mathematics 8, SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 1993.
20. E. Hairer, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and
Differential-Algebraic Problems, Springer Series in Computational Mathematics
14, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1996.
21. R. E. Mickens, Nonstandard Finite Difference Models of Differential Equations,

World Scientific, 1994.
22. R. E. Mickens, Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes, World
Scientific, 2000.
23. R. E. Mickens, Advances in the Applications of Nonstandard Finite Difference
Schemes, World Scientific, 2005.

163


24. R. E. Mickens, Nonstandard Finite Difference Schemes for Differential Equations,
Journal of Difference Equations and Applications, 2012, 8, 823-847.
25. R. Anguelov, J. M. S. Lubuma, Nonstandard finite difference method by nonlocal
approximations, Mathematics and Computers in Simulation, 2003, 61, 465-475.
26. J. Cresson, F. Pierret, Non standard finite difference scheme preserving dynamical
properties, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2016, 303, 15-30.
27. D. T. Wood, H. V. Kojouharov, A class of nonstandard numerical methods for
autonomous dynamical systems, Applied Mathematics Letters, 2015, 50, 78-82.
28. D. T. Dimitrov, H. V. Kojouharov, Nonstandard finite-difference schemes for
general two-dimensional autonomous dynamical systems, Applied Mathematics
Letters, 2005, 18, 769-774.
29. D. T. Dimitrov, H. V. Kojouharov, Stability-preserving finite-difference methods for
general multi-dimensional autonomous dynamical systems, International journal
of numerical analysis and modeling, 2007, 4, 280-290.
30. P. Liu and S. N. Elaydi, Discrete competitive and cooperative models of LotkaVolterra type, Journal of Computational Analysis and Applications, 2001, 3, 53-73.
31. R. E. Mickens, K. Oyedeji, S. Rucker, Exact finite difference scheme for secondorder, linear ODEs having constant coefficients, Journal of Sound and Vibration,
2005, 287, 1052-1056.
32. R. E. Mickens, Exact finite difference schemes for two-dimensional advection
equations, Journal of Sound and Vibration, 1997, 207, 426-428.
33. L.-I. W. Roeger, R. E. Mickens, Exact finite-difference schemes for first order
differential equations having three distinct fixed-points, Journal of Difference

Equations and Applications, 2007, 13, 1179-1185.
34. L. -I. W. Roeger, R. E. Mickens, Exact finite difference and non-standard finite
difference schemes for dx/dt = −λy α , Journal of Difference Equations and
Applications, 2012, 18, 1511-1517.
164


35. L. -I. W. Roeger, Exact nonstandard finite-difference methods for a linear systemthe case of centers, Journal of Difference Equations and Applications, 2008, 14,
381-389.
36. L. -I. W. Roeger, R. E. Mickens, Exact finite difference scheme for linear differential equation with constant coefficients, Journal of Difference Equations and
Applications, 2013, 19, 1663-1670.
37. L. -I. W. Roeger, Exact finite-difference schemes for two-dimensional linear systems with constant coefficients, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 219, 102-109.
38. K. C. Patidar, On the use of nonstandard finite difference methods, Journal of
Difference Equations and Applications, 2005, 11,11 735-758.
39. K. C. Patidar, Nonstandard finite difference methods: recent trends and further
developments, Journal of Difference Equations and Applications, 2016, 22, 817849.
40. L.-I. W. Roeger, General nonstandard finite-difference schemes for differential
equations with three fixed-points, Computers and Mathematics with Applications,
2009, 57, 379-383.
41. L. -I. W. Roeger, Nonstandard finite difference schemes for differential equations
with n + 1 distinct fixed-points, Journal of Difference Equations and Applications,
2009, 15, 133-151.
42. L. -I. W. Roeger, R. E. Mickens, Non-standard finite difference schemes for the
differential equation y (t) = bn y n +bn−1 y n−1 +. . .+b1 y+b0 , Journal of Difference
Equations and Applications, 2002, 18, 305-312.
43. B. M. Chen-Charpentier, D. T. Dimitrov, H. V. Kojouharov, Combined nonstandard
numerical methods for ODEs with polynomial right-hand sides, Mathematics and
Computers in Simulation, 2006, 73, 105-113.

165

44. F. J. Solis, B. Chen-Charpentier, Nonstandard discrete approximations preserving stability properties of continuous mathematical models, Mathematical and
Computer Modelling, 2004, 40, 481-490.
45. R. E. Mickens, Discretizations of nonlinear differential equations using explicit
nonstandard methods, Journal of Computational and Applied Mathematics, 1999,
110, 1810-185.
46. R. E. Mickens, I. Ramadhani, Finite-difference schemes having the correct linear
stability properties for all finite step-sizes III, Computers & Mathematics with
Applications, 1994, 27, 77-84.
47. U. Erdogan, T. Ozis, A smart nonstandard finite difference scheme for second
order nonlinear boundary value problems, Journal of Computational Physics,
2011, 230, 6464-6474.
48. H. Kojouharov, B. Welfert, A nonstandard Euler scheme for y +g(y)y +f (y) = 0,
Journal of Computational and Applied Mathematics, 2003, 151, 335-353.
49. P. A. Zegeling, S. Iqbal, Nonstandard finite differences for a truncated BratuPicard model, Applied Mathematics and Computation, 2018, 324, 266-284.
50. R. E. Mickens, A nonstandard finite-difference scheme for the Lotka-Volterra
system, Applied Numerical Mathematics, 2003, 45, 309-314.
51. L. -I. W. Roeger, A nonstandard discretization method for Lotka-Volterra models
that preserves periodic solutions, Journal of Difference Equations and Applications, 2005, 11, 721-733.
52. L. -I. W. Roeger, Periodic solutions preserved by nonstandard finite-difference
schemes for the Lotka–Volterra system: a different approach, Journal of Difference
Equations and Applications, 2008, 14, 481-493.
53. L. -I. W. Roeger, Nonstandard finite-difference schemes for the Lotka-Volterra
systems: generalization of Mickens’s method, Journal of Difference Equations and
Applications, 2006, 12, 937-948.

166

54. L. -I. W. Roeger, Dynamically consistent discrete Lotka-Volterra competition
models derived from nonstandard finite-difference schemes, Discrete & Continuous
Dynamical Systems B, 2008, 9, 415-429
55. L. -I. W. Roeger, G. L. Jr, Dynamically consistent discrete Lotka-Volterra competition systems, Journal of Difference Equations and Applications, 2003, 19,
191-200.
56. D. T. Dimitrov, H. V. Kojouharov, Positive and elementary stable nonstandard
numerical methods with applications to predator-prey models, Journal of Computational and Applied Mathematics, 2006, 189, 98-108.
57. D. T. Dimitrov, H. V. Kojouharov, Nonstandard finite-difference methods for
predator-prey models with general functional response, Mathematics and Computers in Simulation, 2008, 78, 1-11.
58. R. Anguelov, Y. Dumont, J. M. S. Lubuma, M. Shillor, Dynamically consistent
nonstandard finite difference schemes for epidemiological models, Journal of
Computational and Applied Mathematics, 2014, 255, 161-182.
59. A. J. Arenas, G. González-Parra, B. M. Chen-Charpentier, A nonstandard numerical scheme of predictor-corrector type for epidemic models, Computers and
Mathematics with Applications, 2010, 59, 3740-3749.
60. O. F. Egbelowo, Nonstandard finite difference approach for solving 3-compartment
pharmacokinetic models, International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2018, />61. S.M.Garba, A.B.Gumel, J. M. S. Lubuma, Dynamically-consistent non-standard
finite difference method for an epidemic model, Mathematical and Computer
Modelling, 2011, 53, 131-150.
62. K. F. Gurski, A simple construction of nonstandard finite-difference schemes for
small nonlinear systems applied to SIR models, Computers and Mathematics with
Applications, 2013, 66, 2165-2177.

167


63. L. Jodar, R. J.Villanueva, A. J. Arenas, G. C.González, Nonstandard numerical methods for a mathematical model for influenza disease, Mathematics and
Computers in Simulation, 2008, 79, 622-633.
64. A. Korpusik, A nonstandard finite difference scheme for a basic model of cellular
immune response to viral infection, Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation, 2017, 43, 369-384.

65. D. T. Wood, H. V. Kojouharov, D. T. Dimitrov, Universal approaches to approximate biological systems with nonstandard finite difference methods, Mathematics
and Computers in Simulation, 2017, 133, 337-350.
66. R. E. Mickens, A. B. Gumel, Numerical study of a non-standard finite-difference
scheme for the Van der Pol equation, Journal of Sound and Vabration, 2000, 250,
955-963.
67. R. E. Mickens, Step-Size Dependence Of The Period For A Forward-Euler Scheme
Of The Van Der Pol Equation, Journal of Sound and Vabration, 2002, 258, 199202.
68. R. E. Mickens, A numerical integration technique for conservative oscillators
combining nonstandard finite-difference methods with a Hamilton’ s principle,
Journal of Sound and Vabration, 2005, 285, 477-482.
69. D. T. Wood, Advancements and applications of nonstandard finite difference
methods, The University of Texas at Arlington, />70. O. F. Egbelowo, The Nonstandard Finite Difference Method Applied to Pharmacokinetic Models, University of the Witwatersrand, Johannesburg, 2018,
/>71. G. Gonzalez-Parra, A. J. Arenas, B. M. Chen-Charpentier, Combination of nonstandard schemes and Richardson’s extrapolation to improve the numerical solution of population models, Mathematical and Computer Modelling, 2010, 52,
1030-1036.
168


72. J. Martin-Vaquero, A. Martin del Rey, A. H. Encinas, J. D. Hernandez Guillen, A.
Queiruga-Dios, G. Rodriguez Sanchez, Higher-order nonstandard finite difference
schemes for a MSEIR model for a malware propagation, Journal of Computational
and Applied Mathematics, 2017, 317, 146-156.
73. J. Martin-Vaquero, A. Queiruga-Dios, A. Martin del Rey, A. H. Encinas, J. D.
Hernandez Guillen, G. Rodriguez Sanchez, Variable step length algorithms with
high-order extrapolated non-standard finite difference schemes for a SEIR model,
Journal of Computational and Applied Mathematics, 2018, 330, 848-854.
74. R. E. Mickens, A nonstandard finite difference scheme for the diffusionless Burgers
equation with logistic reaction, Mathematics and Computers in Simulation, 2003,
62, 117-124.
75. R. E. Mickens, A nonstandard finite difference scheme for a Fisher PDE having
nonlinear diffusion, Computers and Mathematics with Applications, 2003, 45,

429-436.
76. R. E. Mickens, A nonstandard finite difference scheme for a PDE modeling
combustion with nonlinear advection and diffusion, Mathematics and Computers
in Simulation, 2005, 69, 439-446.
77. R. E. Mickens, A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear PDE having
diffusive shock wave solutions, Mathematics and Computers in Simulation, 2001,
55, 549-555.
78. M. Chapwanya, J. M.-S. Lubuma, R. E. Mickens, Positivity-preserving nonstandard finite difference schemes for cross-diffusion equations in biosciences,
Computers and Mathematics with Applications, 2014, 68, 1071-1082.
79. A. J. Arenas, G. González-Parra, B. Melendez Caraballo, A nonstandard finite
difference scheme for a nonlinear Black-Scholes equation, Mathematical and
Computer Modeling, 2013, 57, 1663-1670.
80. M. Ehrhardt, R. E.Mickens, A nonstandard finite difference scheme for convectiondiffusion equations having constant coefficients, Applied Mathematics and Computation, 2013, 219, 6591-6604.
169


81. Y. Yang, J. Zhou, X. Ma, T. Zhang, Nonstandard finite difference scheme for a
diffusive within-host virus dynamics model with both virus-to-cell and cell-tocell transmissions, Computers and Mathematics with Applications, 2016, 72,
1013-1020.
82. A.J. Arenas, G. Gonzalez-Parra, B. M. Chen-Charpentier, Construction of nonstandard finite difference schemes for the SI and SIR epidemic models of fractional
order, Mathematics and Computers in Simulation, 2016, 121, 48-63.
83. J. Cresson, A. Szafra´nska, Discrete and continuous fractional persistence
problems-the positivity property and applications, Communications in Nonlinear
Science and Numerical Simulation, 2017, 44, 424-448.
84. K. Moaddy, I. Hashim, S. Momani, Non-standard finite difference schemes for
solving fractional order Rossler chaotic and hyperchaotic systems, Computers and
Mathematics with Applications, 2011, 62, 1068-1074.
85. A. M. Nagy, N. H. Sweilam, An efficient method for solving fractional HodgkinHuxley model, Physics Letters A, 2014, 378, 1980-1984.
86. H. Su, X. Ding, Dynamics of a nonstandard finite-difference scheme for MackeyGlass system, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 344,
932-941.

87. Y. Wang, Dynamics of a nonstandard finite-difference scheme for delay differential
equations with unimodal feedback, Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation, 2012, 17, 3967-3978.
88. S. M. Garba, A. B. Gumel, A. S. Hassan, J .M. S. Lubuma, Switching from
exact scheme to nonstandard finite difference scheme for linear delay differential
equation, Applied Mathematics and Computation, 2015, 258, 388-403.
89. S. Elaydi, An introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, 2005, New
York.
90. V. Sundarapandian, Global asymptotic stability of nonlinear cascade systems,
Applied Mathematics Letters, 2002, 15, 275-277.
170


91. A. Iggidr, M. Bensoubaya, New Results on the Stability of Discrete-Time Systems
and Applications to Control Problems, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 1998, 219, 392-414.
92. A. Gerisch and R. Weiner, The Positivity of Low-Order Explicit Runge-Kutta
Schemes Applied in Splitting Methods, Computers and Mathematics with Applications, 2003, 45, 53-67.
93. Z. Horváth, Positivity of Runge-Kutta methods and diagonally split Runge-Kutta
methods, Applied Numerical Mathematics, 1998, 28, 306-326.
94. Z. Horváth, On the positivity step size threshold of Runge-Kutta methods, Applied
Numerical Mathematics, 2005, 53, 341-356.
95. J. F. B. M. Kraaijevanger, Contractivity of Runge-Kutta methods, BIT, 1991, 31,
482-528.
96. P. M. Manning, G. F. Margrave, Introduction to non-standard finite-difference
modelling, CREWES Research Report, 2006, 16.
97. J.E. Keymer, P.A. Marquet, J.X. Velasco-Hernandez, S.A. Levin, Extinction thresholds and metapopulation persistence in dynamic landscapes, The American Naturalist, 2000, 156, 478-494.
98. P. Amarasekare, H. Possingham, Patch Dynamics and Metapopulation Theory: the
Case of Successional Species, Journal of Theoretical Biology 2001, 209, 333-344.
99. H.R. Thieme, Convergence results and a Poincar Bendixson trichotomy for asymptotically autonomous differential equations, Journal of Mathematical Biology,

1992, 30, 755-763.
100. J. La Salle, S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method, Academic Press,
1961, New York.
101. J. C. Piqueira, V. O. Araujo, A modified epidemiological model for computer
viruses, Applied Mathematics and Computation, 2009, 213, 355-360.

171


102. P. Szor, The art of computer virus research and defense, Addison-Wesley Education Publishers Inc, 2005.
103. A. A. Berryman, The origins and evolution of predator-prey theory, Ecology,
1992, 73, 1530-1535.
104. L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, Society for Industrial and
Applied Mathematics, 1998, Philadelphia.
105. L. M. Ladino, E. I. Sabogal, J. C. Valverde, General functional response and
recruitment in a predator-prey system with capture on both species, Mathematical
Methods in the Applied Sciences, 2015, 38, 2876-2887.
106. X. Y. Meng, H. F. Hou, H. Xiang, Q. Y. Yin, Stability in a predator-prey model
with Crowley-Martin function and stage structure for prey, Applied Mathematics
and Computation, 2014, 232, 810-819.
107. D. T. Dimitrov and H. V. Kojouharov, Complete mathematical analysis of
predator-prey models with linear prey growth and Beddington-DeAngelis functional response, Applied Mathematics and Computation, 2005, 162, 523-538.
108. G. J. Cooper, J. H. Verner, Some Explicit Runge-Kutta Methods of High Order,
SIAM Journal on Numerical Analysis, 1972, 9, 389-405.
109. C. M. Kribs-Zaleta and J. X. Velasco-Hernández, A simple vaccination model
with multiple endemic states, Mathematical Biosciences, 2000, 164, 183-201.
110. R. E. Mickens, Exact solutions to a finite-difference model of a nonlinear
reaction-advection equation: Implications for numerical analysis, Numerical
Methods for Partial Differential Equations, 1989, 5, 313-325.
111. R. E. Mickens, Dynamic consistency: a fundamental principle for constructing nonstandard finite difference schemes for differential equations, Journal of

Difference Equations and Applications, 2005, 11, 645-653.
112. P. Seibert, R. Suarez, Global stabilization of nonlinear cascade systems, Systems
and Control Letters, 1990, 14, 347-352.
172