Skkn kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Trong đề thi mơn toán vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội nhiều năm gần
đây. Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình”
thường xun có mặt chiếm khoảng 20% tổng số điểm của đề thi.
Trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9. Việc giải bài tốn bằng cách lập
phương trình hoặc hệ phương trình là mảng kiến thức lớn có nội dung phong
phú đa dạng, học sinh thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10
THPT, kiểm tra hết học kì 2, ...
Để giúp học sinh nắm được các bước giải cơ bản, cách chọn ẩn phù hợp,
xác định rõ các đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt trong từng bài tốn,
hạn chế bớt khó khăn và mất điểm khi làm dạng bài tập này tôi suy nghĩ và thực
hiện xây dựng chuyên đề cấp cụm với nội dung “Giải bài tập bằng cách lập hệ
phương trình - phương trình ", đồng thời qua kinh nghiệm nhiều năm ơn thi học
sinh lớp 9 thi vào lớp 10 THPT. Qua q trình thực hiện chun đề và ơn thi học
sinh lớp 9 tơi nhận thấy khó khăn nhất đối với học sinh khi thực hiện dạng toán
này là ở bước 1 – Lập phương trình hoặc hệ phương trình, từ đó tơi đã đi vào
nghiên cứu và rút ra cho các em những kinh nghiệm khi giải dạng toán này.
Trong khuôn khổ SKKN này tôi đưa ra một số dạng bài tập cơ bản thường
gặp. Trong mỗi dạng tôi cố gắng cho các em xác định rõ các đối tượng tham gia;
các đại lượng có mặt và mối quan hệ giữa các đại lượng, đại lượng nào đã biết,
nên chọn đại lượng nào làm ẩn, từ đó nhằm giúp các em dễ dàng biểu thị các đại
lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết. Trong mỗi dạng tôi đưa
ra một số bài tập đặc trưng giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này có kĩ
năng giải bài tập dễ dàng hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh có kỹ năng phân loại các dạng toán trong dạng toán chung
“Giải bài toán bằng các lập phương trình hoặc hệ phương trình”; kỹ năng phân
tích đầu bài để xác định đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt và mối quan

hệ giữa chúng để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị các đại lượng
chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết từ đó hồn thành bước 1 lập
phương trình hoặc giải phương trình.
Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán giải bài toán bằng
cách lập phương trình, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình tốn
THCS đều phải nắm chắc loại tốn này và biết cách giải chúng.
1/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài tốn dưới dạng
đặc thù riêng lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học
sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài tốn,
tạo được lịng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, khơng cịn tâm lý ngại ngùng
đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Học sinh thấy được mơn tốn rất gần gũi với các môn học khác và thực
tiễn cuộc sống.
Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học
sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú khi học mơn tốn
3. Nội dung nghiên cứu
- Các bước chính để giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ
phương trình.
- Phân tích đầu bài, phân tích bài tốn đó thuộc dạng tốn nào từ đó xác
định các đối tượng tham gia, các đại lượng có mặt, mối quan mối quan hệ giữa
chúng để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp, biểu thị các đại lượng chưa biết
thông qua ẩn và các đại lượng đã biết từ đó hồn thành bước 1 lập phương trình
hoặc giải phương trình.
- Đưa ra một số bài tốn cụ thể minh họa cho từng dạng toán.
4. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu.

- ĐTNC: Một số kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng
cách lập phương trình - hệ phương trình.
- KTNC: Học sinh lớp 9 trường THCS.
5. Thành phần tham gia nghiên cứu.
- Phạm vi nghiên cứu: Phân môn đại số 9 và tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
toán về dạng toán “Giải bài tốn bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương
trình”.
- Đối tượng điều tra khảo sát thực nghiệm: Học sinh khối lớp 9 ở trường
THCS.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Qua thực tế giảng dạy thơng qua chương trình sách giáo khoa sách tham
khảo, thông qua các chuyên đề bồi dưỡng giáo viên qua dự giờ trao đổi kinh
nghiệm với đồng nghiệp, thông qua các chuyên đề ôn thi học sinh vào lớp 10
THPT. Bản thân tôi đã lựa chọn những phương pháp chính sau:
- PP Phỏng vấn
- PP Phân tích, tổng hợp
- PP so sánh; PP thực hành
- PP Điều tra; Khảo sát

2/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
7. Kế hoạch nghiên cứu
TT
THỜI GIAN
1 Tháng 8; 9; 10; 11

2

Cuối học kỳ 1

3

Cuối năm học

NỘI DUNG
BIỆN PHÁP
- Xác định nội dung nghiên
cứu; xây dựng đề cương tóm Thu thập tài liệu;
tắt của đề tài nghiên cứu.
thông tin; trao đổi
- Điều tra, khảo sát, phỏng với học sinh và
vấn học sinh về những thuận giáo viên; thực
lợi và khó khăn khi giải dạng hiện chuyên đề
toán “Giải bài toán bằng cách cấp trường rút
lập phương trình hoặc hệ kinh nghiệm.
phương trình”
- Trao đổi với giáo viên những
kinh nghiệm khi giảng dạy
dạng toán “Giải bài tốn
bằng cách lập phương trình
hoặc hệ phương trình”.
- Tiếp tục thực hiện điều tra,
khảo sát, giảng dạy để so sánh, Tự nghiên cứu
rút kinh nghiệm.
Thực hiện hoàn thành báo cáo
Tự viết SKKN

3/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
PHẦN II. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN
1. Cơ sở lý luận
Trong chương trình Giáo dục phổ thơng của nước ta hiện nay nhìn chung tất
cả các mơn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa học ứng
dụng. Đặc biệt bộ mơn tốn, các em được tiếp thu kiến thức xây dựng trên tinh
thần toán học hiện đại. Trong đó có nội dung xuyên suốt q trình học tập của
các em đó là phương trình. Ngay từ khi cắp sách đến trường các em đã được làm
quen với phương trình dưới dạng đơn giản đó là điền số thích hợp vào ơ trống
và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và cao hơn nữa ở
lớp 8, lớp 9 các em phải làm một số bài toán phức tạp. Các dạng tốn đó tạo ra
mối quan hệ giữa các đại lượng là mối quan hệ toán học, các đại lượng ở đây là
những con số bất kỳ trong tập hợp các em đã được học. Hàm ý phương trình ở
đây được viết sẵn, học sinh chỉ cần giải tìm được ẩn số là hồn thành nhiệm vụ.
Các bài tốn trong chương trình đại số về giải bài tốn bằng cách lập
phương trình – hệ phương trình khơng đơn giản như vậy nữa, mà có hẳn một
loại bài tốn có lời văn. Các em căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình
thành lập lấy phương trình và giải phương trình. Kết quả tìm được khơng chỉ
phụ thuộc vào kỹ năng giải phương trình mà cịn phụ thuộc rất nhiều vào việc
thành lập phương trình – hệ phương trình và trả lời.
2. Cơ sở thực tiễn
Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình ở bậc THCS là một việc
làm mới mẻ, đề bài toán là một đoạn văn trong đó mơ tả mối quan hệ giữa các
đại lượng mà có một đại lượng chưa biết, cần tìm, u cầu học sinh phải có kiến
thức phân tích, khái qt, tổng hợp, liên kết các đại lượng với nhau, chuyển đổi
các mối quan hệ toán học. Từ đề bài toán cho học sinh phải tự mình thành lập

lấy phương trình để giải. Những bài toán dạng này nội dung của nó hầu hết gắn
liền với các hoạt động thực tiễn của con người, của tự nhiên, xã hội. Nên trong
quá trình giải học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa thực tế của nó.
Khó khăn của học sinh khi giải bài tốn này là kỹ năng của các em cịn
hạn chế, khả năng phân tích khái qt hố, tổng hợp của các em rất chậm, các
em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài tốn.
Trong q trình giảng dạy tốn tại trường THCS tơi thấy dạng tốn giải
bài tốn bằng cách lập phương trình ln ln là một trong những dạng tốn cơ
bản. Dạng tốn này thường có trong các bài kiểm tra học kỳ mơn tốn lớp 8, lớp
9, cũng như trong các bài thi mơn tốn vào lớp 10 THPT những năm gần đây, nó
4/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
thường chiếm 2 điểm trong tổng 10 điểm của bài thi. Đa số học sinh bị mất điểm
ở bài này do không nắm chắc cách giải chúng, cũng có những học sinh biết cách
làm nhưng không đạt điểm tối đa.
Qua khảo sát 60 học sinh khối 9 năm học này trước khi thực hiện đề tài tôi thấy:
Các lỗi HS
mắc phải
Số học sinh
mắc lỗi
Tỉ lệ (%)

Thiếu
điều
kiện
15

Điều kiện
khơng
chính xác
10

Thiếu
đơn vị
đo
7

Khơng biểu diễn
đúng mqh giữa
các đại lượng
26

Giải Pt,
Hpt sai
13

Khơng đối
chiếu với
đk đã KL
6

25%

16,7%

11,7%

43,3%

21,7%

10%

Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải
các loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải. Do đó, khi
hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu
về giải bài toán, quy tắc giải bài tốn bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình, phân loại các bài tốn dựa vào q trình tham gia của các đại lượng làm
sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó học sinh tìm ra lời giải cho bài
tốn đó.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường THCS ;
sau khi thực hiện chuyên đề cấp cụm trong năm học 2019 – 2020; qua q trình
ơn tập cho học sinh thi vào lớp 10 THPT tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Một số
kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải bài tốn bằng cách cách lập phương
trình hoặc hệ phương trình'' cho học sinh lớp 9 trường THCS .
3. Mơ tả phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới
Giải bài tốn bằng cách lập phương trình - hệ phương trình là dạng tốn
tương đối khó với học sinh . Địi hỏi học sinh phải có sự phân tích suy luận để
tìm mối quan hệ giữa các đại lượng biết chuyển từ ngơn ngữ mẹ đẻ sang ngơn
ngữ tốn học, chuyển từ hành văn sang phép toán. Nhiều học sinh ngại làm dạng
bài tập này hoặc trình bày khơng rõ ràng vì kĩ năng phân tích tổng hợp của học
sinh cịn yếu, khơng tìm được mối quan hệ giữa các dữ liệu nên khơng lập được
phương trình hoặc lập sai . Do đó trong q trình giảng dạy giáo viên phải tuân
theo các yêu cầu sau :
Có kĩ năng giải phương trình - hệ phương trình
- Hiểu đề bài phân tích kĩ tránh sai sót
- Có lập luận chặt chẽ , tồn diện

- Trình bày khoa học rõ ràng , phù hợp với thực tế
Để đạt được yêu cầu sau học sinh tuân theo các bước cơ bản sau :
5/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
 Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình
- Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn ( nếu lập phương trình một ẩn )
- Chọn 2 đại lượng chưa biết làm 2 ẩn ( nếu lập hệ phương trình )
- Dùng ẩn số và các đại lượng đã cho, các công thức liên quan để biểu diễn
các đại lượng khác
- Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình - hệ phương
trình
 Bước 2 : Giải phương trình hoặc hệ phương trình
 Bước 3 : Nhận định kết quả - trả lời
So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp khơng ?
Trả lời .
Trong 3 bước trên bước một là then chốt . Để làm tốt bước một đòi hỏi
học sinh phải đọc kĩ đề xác định dạng bài, các đại lượng tham gia, tóm tắt bằng
kí hiệu đại lượng đã biết đại lượng phải tìm .
Khi tiến hành giải loại toán này cần phân loại dạng toán giải bài toán bằng
cách lập phương trình và các giai đoạn giải một bài toán:
* Phân loại bài toán giải bằng cách lập phương trình:
Trong số các bài tập về giải bài tốn bằng cách lập phương trình ta có thể
phân loại thành các dạng như sau:
1/ Dạng bài toán về chuyển động.
2/ Dạng toán liên quan đến số học.
3/ Dạng toán về năng suất lao động.
4/ Dạng tốn về cơng việc làm chung, làm riêng.

5/ Dạng toán về tỉ lệ chia phần.
6/ Dạng tốn có liên quan đến hình học.
7/ Dạng tốn có liên quan đến vật lí, hố học.
* Các giai đoạn giải một bài toán
 Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài rồi ghi giả thiết, kết luận của bài toán
 Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phương trình. Tức là
chọn ẩn như thế nào cho phù hợp, điều kiện của ẩn thế nào cho thoả
mãn.
 Giai đoạn 3: Lập phương trình.
Dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các đại lượng đã biết, dựa vào các
cơng thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa
phương trình đã xây dựng về phương trình ở dạng đã biết, đã giải được.

6/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
 Giai đoạn 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình. Vận dụng các kỹ
năng giải phương trình hoặc hệ phương trình đã biết để tìm nghiệm.
 Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phương trình hoặc hệ phương
trình để xác định lời giải của bài toán. Tức là xét nghiệm của phương trình hoặc
hệ phương trình với điều kiện đặt ra của bài tốn, với thực tiễn xem có phù hợp
khơng? Sau đó trả lời bài tốn.
 Giai đoạn 6: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thường để mở
rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi sau khi đã giải xong có thể gợi ý học sinh
biến đổi bài tốn đã cho thành bài toán khác bằng cách:
- Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác.
- Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác.
- Giải bài tốn bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất.

 Các dạng toán minh họa
 Dạng toán chuyển động: (cùng chiều, ngược chiều, đến sớm muộn,
trước sau, chuyển động dưới nước)
Bài tốn 1: Chuyển động trên cạn (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành
phố Hà Nội năm học 2017 – 2018)
Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc
của mỗi xe khơng đổi trên tồn bộ qng đường AB dài 120 km. Do vận tốc xe
ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36
phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn tìm lời giải: giáo viên cần lưu ý để học sinh tìm hiểu các vấn đề
sau:
- Đối tượng tham gia: Ơ tơ và xe máy (Chuyển động cùng chiều)
- Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t)
- Mối quan hệ giữa các đại lượng: s = v.t
GV có thể yêu cầu học sinh lập bảng để nhìn rõ hơn mối quan hệ các đại
lượng trong bài.
+ Nếu lập phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút =

3

h

5

Đối tượng
Ơ tơ

Qng đường (km)
120

Vận tốc (km/h)
x+10

Thời gian (h)
120
x  10

Xe máy

120

x

120
x

Phương trình:

120
x

-

120
x  10

=

3
5

7/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
+ Nếu lập hệ phương trình ta có bảng: Đổi 36 phút =

3

h

5

Đối tượng
Ơ tơ

Qng đường (km)
120

Vận tốc (km/h)
y

Thời gian (h)
120
y

Xe máy

120

x

120
x

Phương trình:

y – x = 10 (1)
120
x

-

120
y

=

3

(2)

5

Qua phân tích trên học sinh nhận xét thấy nếu giải bằng cách lập phương trình sẽ
đơn giản hơn.
Lời giải minh họa cách lập phương trình
3

Đổi 36 phút = h
5

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h); (x > 0)
Vận tốc của ô tô là: x + 10 (km/h)
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là:

120

(h)

x

Thời gian xe ô tô đi hết quãng đường AB là:

120
x  10

(h)

Vì ơ tơ đến B sớm hơn xe máy là 36 phút, nên có phương trình:
120
120
3
2
 


 ...  x  1 0 x  2 0 0  0
x

x  10
5

Giải phương trình được hai nghiệm: x1=-50; x2 = 40.
Với x = x1 = -50 (Không tmđk)
x = x2 = 40 (tmđk)
Vậy vận tốc của xe máy là 40km/h; vận tốc của ô tô là 50km/h
Chú ý: + Học sinh có thể chọn vận tốc của ô tô làm ẩn nhưng có nguy cơ đưa
điều kiện sai.
+ Cần hiểu: Ơ tơ đến B sớm hơn xe máy 36 phút nghĩa là xe máy đến B chậm
hơn 36 phút, nghĩa là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB nhiều hơn thời
gian ô tô đi hết quãng đường AB là 36 phút.
Bài toán 2: Chuyển động dưới nước (Trích đề thi vào lớp 10 THPT, thành
phố Hà Nội năm học 2015 - 2016)

8/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau đó chạy xi dịng 48km trên cùng
một dịng sơng có vận tốc dịng nước của dịng nước là 2km/h. Tính vận tốc của
tầu tuần tra khi nước n lặng, biết thời gian xi ít hơn thời gian ngược là 1
giờ.
Hướng dẫn tìm lời giải:
Giáo viên cần khắc sâu nhưng điểm sau:
- Vận tốc tàu lúc nước yên lặng  vận tốc thực của tàu
- Đây là tốn chuyển động dưới nước có vận tốc dịng nước nên phải biểu diễn:
vận tốc xi = vận tốc thực + vận tốc dòng nước nước
vận tốc ngược = vận tốc thực - vận tốc nước

- Điều kiện của ẩn: vận tốc thực > vận tốc nước ( điều này h/s rất hay quên)
 Phân tích đề bài:
- Đối tượng tham gia: tàu xi dịng; tàu ngược dịng
- Các đại lượng: quãng đường (s), Vận tốc (v), thời gian (t)
- Mối quan hệ giữa các đại lượng: sx = vx.tx; sn = vn.tn.
Lời giải:
Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x (km/h), x > 2
Suy ra: Vận tốc tàu tuần tra khi xuôi dòng là: x + 2 (km/h); vận tốc tàu tuần tra
khi ngược là x- 2 (km/h)
Thời gian tàu tuần tra khi xi dịng 48km là:

48
x  2

Thời gian tàu tuần tra khi ngược dịng 60km là:

(h)

60
x 2

(h)

Vì thời gian xi dịng ít hơn thời gian ngược dịng là 1 giờ, nên có PT:
60
x 2



48

x 2

1

+ Giải PT: ta được x1 = 22 (tmđk) ; x2 = - 10 ( loại)
+ Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22km/h
 Dạng tốn tìm số: (Biết tổng, hiệu,tỉ số, phân số…)
Bài toán 3: hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lơn cho 5 số nhỏ cho
7 thì thương thư nhất lớn hơn thương thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm hai số đó .
Hướng dẫn học sinh tìm lơì giải:
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị thì suy ra biết hiệu hai số là 12 vậy hai số phải
tìm là số lớn và số bé.
9/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
Phân biệt thương thứ nhất: Số lớn : 5
Thương thứ hai: Số bé : 7
Trong bài này học sinh lúng túng nhầm lẫn không phân biệt thương nhất
thương thương thứ thương thứ hai  lập phương trình sai
Bài giải
Hướng dẫn giải bài tốn trên giải bằng cách lập hệ phương trình như sau:
Gọi số lớn là x (x >12)
và số bé là y (y < x) ta có phương trình x - y=12 (1)
Chia số lớn cho 5 ta được:

x
5

chia số nhỏ cho 7 ta được:

y
7

thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị nên có phương trình:
x
5



y

 4

(2)

7

từ (1) và (2) ta có hệ phương

 x  y  12
trình:  x y
 4
 
7
5

giải hệ phương trình ta được

 x  40

 y  28

Bài tốn 4: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8. Nếu đổi vị
trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 16 đơn vị.
Hướng dẫn học sinh giải:
- Xác đinh dạng toán và kiến thức liên quan:
+) gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (a,b  N, 0 < a  9 ; 0  b  9 )
+) ab = 10a + b.
Bước 1: chọn ẩn ( như trên )
Bước 2: lập hệ phương trình:
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị Tổng
Số cũ
a
b
a+b=8
Số mới
b
a
Quan hệ
ab  ba  36
Nhìn vào bảng ta dễ dàng có được hệ PT là:
a  b  8

 ab  ba  36

a  b  8
 

10 a  b  10 b  a  36

10/15

a  b  8
 
a  b  4


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
Lời giải:
- Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là ab ( a,b  N, 0 < a  9 ; 0  b  9 ). Vì tổng 2 chữ
số là 8. Ta có PT: a + b = 8
(1)
- Đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta có số mới là: ba
- Theo bài gia ta có phương trình: ab  ba  36  a  b  4 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

a  b  8

a  b  4

+ Giải hệ phương trinh ta được a = 6 ; b = 2 thoả mãn với điều kiện của ẩn.
Vậy số phải tìm là 62

Bài tốn có nội dung hình học:
Bài tốn 5: (trích đề thi vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội năm học 2018 –
2019)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 28m và độ dài đường chéo bằng

10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.
Hướng dẫn học sinh giải:
- Phân tích bài tốn thấy: có hình chữ nhật, có chiều dài, chiều rộng và đường
chéo nên lập thành một tam giác vng.
- Kiếm thức hình học liên quan: chu vi = ( D + R )  2.
D2 +R2 = C2 (D: là chiều dài; R: là chiều rộng;
C: là đường chéo của hình chữ nhật).
Lời giải:
Hướng dẫn giải bằng cách Lập PT :
- Gọi chiều dài của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là x (m), 0Vì nửa chu vi là 14 (m) nên chiều rộng khu vườn là: 14 - x (m).
Vì chiều dài, chiều rộng và đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật tạo thành
tam giác vng, nên theo định lý pytago ta có phương trình:
x2 + (14 – x)2 = 102.
Giải phương trinh trên ta được: x1 = 8 ; x2 = 6.
Vậy chiều dài của khu vườn là 8m, và chiều rộng của khu vườn là:
14 - 8 = 6 (m).

Toán làm chung, làm riêng cơng việc:
Bài tốn 6: (Trích đề thi vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội, năm học 2019
– 2020)
Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong.
Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp

11/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
cơng việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hồn thành được 25% cơng việc. Hỏi

nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên.
Hướng dẫn học sinh giải:
- Đọc đề, xác định yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm, dạng tốn đề ra hướng giải:
+ Tồn bộ khối lượng cơng việc là 100% = 1.
+ Khối lượng công việc của mỗi đội làm trong một ngày chính là năng
suất của mỗi đội.
+ Để biểu diễn KLCV của mỗi đội làm trong a ngày = (Năng suất) x (a)
Lời giải:
Lập hệ phương trình:
Gọi thời đội thứ nhất làm riêng để xong công việc là x (ngày),
Thời gian đội thứ hai làm riêng để xong công việc là y (ngày), (x , y > 15).
Mỗi ngày:

+ Đội công nhân thứ nhất làm được:

1

(công việc)

x

+ Đội công nhân thứ nhất làm được:

1

(công việc)

y

+ Cả hai đội công nhân là được:

1

(cơng việc)

15

Vì hai đội cùng làm thì sau 15 ngày xong cơng việc, ta có PT:
1

1



x

1



y

(1)

15

Trong 3 ngày, đội công nhân thứ nhất làm được:

3

(công việc); Trong 5 ngày,

x
5

đội cơng nhân thứ nhất làm được:

(cơng việc)

y

Khi đó cả hai đội mới hồn thành được 25% cơng việc, ta có phương trình:
3



x

- Từ (1) và (2) ta có hệ



PT: 



1



x
3
x

5
y

1



y


1



5
y

(2)

4

1
15



1
4

Giải hệ PT ta được: x = 24 ; y = 40.
Nhận đinh kết quả và trả lời:
Vì x = 24; y = 40 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy thời đội thứ nhất làm riêng để xong công việc là 24 ngày; Thời gian đội thứ
hai làm riêng để xong công việc là 40 ngày.

12/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
 Kết quả thực hiện
Kết quả khảo sát 60 học sinh khối 9 năm học này trước khi thực hiện đề tài.
Các lỗi HS
mắc phải
Số học sinh
mắc lỗi
Tỉ lệ (%)

Thiếu
điều
kiện
15

Điều kiện
khơng
chính xác

10

Thiếu
đơn vị
đo
7

Khơng biểu diễn
đúng mqh giữa
các đại lượng
26

Giải Pt,
Hpt sai
13

Không đối
chiếu với
đk đã KL
6

25%

16,7%

11,7%

43,3%

21,7%

10%

Kết quả khảo sát 60 học sinh khối 9 năm học này sau khi thực hiện đề tài.
Các lỗi HS
mắc phải
Số học sinh
mắc lỗi
Tỉ lệ (%)

Thiếu
điều
kiện
5

Điều kiện
khơng
chính xác
3

Thiếu
đơn vị
đo
0

Khơng biểu diễn
đúng mqh giữa
các đại lượng
8

Giải Pt,
Hpt sai
4

Không đối
chiếu với
đk đã KL
0

8,3%

5,0%

0,0%

13,3%

6,7%

0,0%

- So sánh kết quả trước khi thực hiện đề tài này với khi đã đi sâu nghiên
cứu chuyên đề này. Tơi thấy kết quả làm tốn của học sinh khá hơn rõ rệt:
+ Trước khi thực hiện đề tài:
- Học sinh chưa xác định rõ được các dạng tốn nên khơng nêu lên được
mối liên hệ giữa các đại lượng dẫn tới việc biểu thị mối quan hệ giữa
các đại lượng không chặt chẽ, dẫn tới bị mất điểm nhiều khi thực hiện
bước 1.
- Việc chọn ẩn lúng túng, đơi lúc khơng hợp lý dẫn tới phương trình phức
tạp, làm khó khăn cho bước 2 – giải phương trình hoặc hệ phương

trình; điều kiện khơng phù hợp dẫn đến trả lời bị sai.
- Học sinh ngại làm toán khi gặp bài toán về giải bài toán bằng cách lập
phương trình hoặc hệ phương trình.
+ Sau khi thực hiện đề tài:
- Cơ bản đã khắc phục được những tồn tại nêu trên. Học sinh đã biết
phân biệt được rõ các dạng tốn và phương pháp giải cho từng dạng,
khơng lúng túng khi chọn ẩn, biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua
ẩn và những đại lượng đã biết từ đó lập ra phương trình hặc hệ phương
trình hợp lý để giải dẫn đến không ngại khi giải dạng toán này.

13/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Sau khi triển khai nghiên cứu đề tài này tôi nhận thấy đa số các em đã
quen với loại toán "Giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương
trình", đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết
trình bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em bình tĩnh, tự tin và
cảm thấy thích thú khi giải loại tốn này.
2. Khuyến nghị:
Để việc dạy và học tơt mơn tốn nói chung. Giải bài tốn bằng cách lập
phương trình - hệ phương trinh nói riêng việc truyền đạt kiến thức và đúc rút
kinh nghiệm của người thầy đối với trò là rất cần thiết. Theo tôi cần phải chuẩn
bị tốt các nội dung sau:
- Đối với thầy cần phân loại các bài rõ rệt, chọn bài tiêu biểu cho từng
dạng, cung cấp kiến thức cho học sinh từ dễ đến khó, từ cụ thể đến tổng quát
giúp học sinh làm quen dần không sợ, không chán nản nắm được đặc trưng của

từng dạng. Sử dụng tốt phương pháp phát huy tính tích cực sáng tạo tác động cả
ba đối tượng học sinh để tránh nhàm chán.
- Đối với học sinh cần nhận dạng được bài tập, hình thành cách giải. Phải
thực hiện đúng theo ba bước:
+) Lập phương trình - hệ phương trình
+) Giải PT - Hệ PT
+) Nhận định kết quả - Trả lời
Trong đó bước 1 là khâu quan trọng nhất. Biết liên hệ thực tế tìm điều kiện của
ẩn và phân tích tìm mối quan hệ giữa các số liệu.
- Đây là dạng tốn khó và thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏi
mơn tốn, đề thi vào lớp 10 THPT nên các thầy cơ giáo dạy dạng tốn này cần
dạy kỹ, cẩn thận, phân loại rõ ràng và cách giải mỗi dạng để cho học sinh không
lúng túng, sợ làm tốn và mất điểm.
- Trong q trình ơn thi và lớp 10 THPT mỗi bài toán, mỗi dạng tốn loại
này thầy cơ nên cho các em giải bằng những cách khác nhau, cách chọn ẩn khác
nhau từ đó đưa ra lời giải hay và tối ưu nhất cho mỗi dạng để các em có lời giải
hay và chiếm điểm tối đa khi làm bài thi dạng này trong đề thi mơn tốn vào lớp
10 THPT.

14/15


''Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình hoặc hệ phương trình''
- Trong năm học tiếp theo tôi tiếp tục nghiên cứu đề tài “Một số kinh
nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải bài tốn bằng cách cách lập phương trình
hoặc hệ phương trình” để cho đề tài SKKN được hoàn thiện hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm là bản thân tơi tích luỹ được trong quá
trinh giảng dạy và thực hiện dạy chun đề" Giải bài tốn băng cách lập phương
trình - hệ phương trình". Tuy nhiên cịn nhiều hạn chế về nội dung và phương

pháp. Rất mong được sự góp ý của hội đồng khoa học nhà trường, chun mơn
phịng giáo dục - đào tạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm của tơi được hồn
thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, ngày 09 tháng 05 năm 2020.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT

15/15