LUYÊN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 - ĐỀ SỐ 1

LUN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 - ĐỀ SỐ 1
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm)
Câu I: (2đ) Cho hàm số:
4 2 2
( 10) 9y x m x= − + +
. 1.Khảo sát sự bthiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0
2)Tìm m để đồ thị của hsố cắt trục hồnh tại 4 điểm pbiệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
thỏa :
1 2 3 4
8x x x x+ + + =

Câu II (3đ):
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
2 2
tan 3 (tan cot ) cot 0x m x x x+ + + + =
2) Giải hpt :
2 2
2
3
4 4( ) 7
( )
1
2 3
xy x y
x y
x
x y

+ + + =


+



+ =

+

.3) Tính tích phân :
/2
2
/6
sin
sin 3
x
B dx
x
π
π
=
∫
Câu Va. 1)Giải bất phương trình :
3 2
2log( 8) 2log( 58) log( 4 4)x x x x+ ≤ + + + +
.
2) Tìm số thực x > 0 trong khai triển :
10
3
5

1
x
x
 
+
 ÷
 
, biết số hạng đứng giữa của khai triển bằng 16128
Câu Vb:1) Giải pt :
3 5 10 3 15.3 50 9 1
x x x x
− + − − − − =
2) Cho 2 số thực x và y > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biể thức :
2
9
(1 )(1 )(1 )
y
P x
x
y
= + + +
--- -----------------------------------Hết --------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
Câu Đáp án Điểm
I 1) Khảo sát hàm số với m = 0 : Bạn đọc tự làm 1.00
Cho: y = x
4
– (m
2
+ 10)x

2
+ 9 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m= 0. y = x
4
– 10x
2
+ 9
.Đồ thị :.....Cho
2
1 1
0
2 3
9
x x
y
x
x

= = ±


= ⇔ ⇔

= ±


=


2) Phương trình hồnh độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0x m x− + + =
(1) Đặt
2
( 0)t x t= ≥
Ptrình trở thành:
2 2
( 10) 9 0t m t− + + =
(2)Ta có
đk:
2 2
2
2
( 10) 36 0,
9 0 20 64 0 16 ; 4
10 0,
m m
P m m m m
S m m

∆ = + − > ∀

= > ⇔ + + > ⇔ − < > −


= + > ∀


=> 0 < t
1
< t
2
, với
2
t x x t= ⇔ =
Vì hs đã cho là hs chẵn và theo đề bài ta có :
1 2 1 2 1 2
4 2 . 16t t t t t t+ = ⇔ + + =
(3)
Áp dụng Viet :
2
1 2 1 2
10 , 9
b c
t t m t t
a a
−
+ = = + = =
. Ta có pt: m
2
+ 10 = 10  m = 0.
( Kiểm tra lại qua việc vẽ đồ thị ở câu 1 )
1.00
II 1)Giải bất phương trình :
3 2
2log( 8) 2log( 58) log( 4 4)x x x x+ ≤ + + + +
. 1.00 Đ

Đk :
3 2
2 2
8 ( 2)( 2 4) 0
58 0 2
4 4 ( 2) 0
x x x x
x x
x x x

+ = + − + >

+ > ⇔ > −


+ + = + >

0.25
Bpt đã cho 
3 2
log( 8) log(( 58)( 2)) ( 2) 3 54 0x x x x x x
 
+ ≤ + + ⇔ + − − ≤
 
0.25
6 ; 2 9 (0.25) . , : 2 9 (0.25)x x So dk ta co x⇔ ≤ − − ≤ ≤ − < ≤
0.5
2) Tìm m để pt sau có nghiệm :
2 2
tan tan 3 cot cot 0x m x m x x+ + + + =

1.00 Đ
Pt:
2 2 2 2
tan tan 3 cot cot 0 tan cot (tan cot ) 3 0x m x m x x x x m x x+ + + + = ⇔ + + + + =
Điều kiện :
sin & cos 0
2
k
x x x
π
≠ ⇔ ≠
. Đặt :
tan cot , : 2t x x dk t= + ≥
Khi đó ta có :
2 2 2
2 tan cott x x− = +
Pt đã cho trở thành :
2
1 0t mt+ + =
(1) , với điều kiện :
2t ≥
Pt đã cho có nghiệm  pt ( 1) có nghiệm t thỏa điều kiện :
2t ≥
0.25
Ta thấy t = 0 không phải là nghiệm của pt ( 1) nên pt (1) tđương với pt :
2
1t
m
t
+

= −
Xét hàm số :
2 2
2
1 1
( ) , 2. : '( ) ; '( ) 0 1( ) ; 1( ).
t t
f t t Ta co f t f t t loai t loai
t t
+ − +
= − ≥ = = ⇔ = − =

0.25
Lập bảng biến thiên của hàm số f( t) ( 0.25 ) ,
ta thấy pt đã cho có nghiệm
5 5
;
2 2
m m⇔ ≤ − ≥
(0.25 )
0.5
3 3) Giải pt :
3 5 10 3 15.3 50 9 1
x x x x
− + − − − − =
1.00
Đặt :
2
3 5 10 3 ( 0) 5 2 15.3 50 9
x x x x

t t t= − + − ≥ ⇒ = + − −
Ta có pt :
2
3( )
2 3 0 (0.25) (0.25)
1( )
t nhan
t t
t loai
=

− − = ⇔

= −

0.5
2 2
2
3
3 3 5 10 3 3. : 3 ( 0).
:9 5 2 15. 50 15. 50 2
2
9 3 9
15 54 0
log 6
6
3 6
x x x
x
x

t Dat y y
Ta co pt y y y y
x
y
y y
x
y
= ⇔ − + − = = >
= + − − ⇔ − − =

=
= =


⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔



=
=
=



0.5
3 1)Giải hpt : 1.00
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2

3 3
4 4(( ) 2 )) 7 4( ) 4 7
( ) ( )
1 1
( ) 3 ( ) 3
3 3
3( ) (( ) 4 ) 7 3( ) ( 2 ) 7
( ) ( )
1 1
( ) 3 ( ) 3
xy x y xy x y xy
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
x y x y xy x y x y xy
x y x y
x y x y x y x y
x y x y
 
+ + − + = + − + =
 
+ +
 
⇔
 
 
+ + + − = + + + − =
 
+ +
 

 
+ + + − + = + + + − + =
 
+ +
 
⇔ ⇔
 

+ + + − = + + + − =

+ +

2 2
2 2
2
2
3
1
3( ) ( ) 7
3 ( ) ( ) 7
( )
( )
1
1
( ) 3
( ) 3
x y x y
x y x y
x y
x y

x y x y
x y x y
x y
x y




 

+ + + − =
+ + + − =

 

+
+
 
 
⇔ ⇔
 
 
+ + + − =
+ + + − =
 
+
+


0.5

2 2
1
( 2)
2 1
3 13
: ....
1 0
3
u x y u
u x
u v
x y
Ta co
v y
u v
v x y

= + + ≥
= =

+ =
 

+
⇔ ⇔ ⇔
   
= =
+ =
 



= −

0.5
2) Tính tích phân 1.00
/2 /2 /2 /2 /2
2 2 2
3 2 2 2
/6 /6 /6 /6 /6
sin sin sin sin sin
sin 3 3sin 4sin sin (3 4sin ) 3 4sin 4cos 1
x x x x x
dx dx dx dx dx
x x x x x x x
π π π π π
π π π π π
= = = =
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0.25
Đặt t = cosx => - dt = sinxdx . Ta có :
0 3/2 3/2
2 2
0 0
3/2
1 1 1
... ln(2 3)
4 1 4 1/ 4 4 ( 1/ 2)( 1/ 2) 4
dt dt dt
B

t t t t
= − = = = = −
− − − +
∫ ∫ ∫
0.75
IV
a)Tính khoảng cách từ điểm B đến mp ( OMN )
1.00
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0),
(0;0; 3); ( ;0;0), (0; 3;0),A a B a C a
3
; ; 0
2 2
a a
M
 
 ÷
 ÷
 
⇒
3 3
0; ;
2 2
a a
N
 
 ÷
 ÷
 
.

3 3 3
; ; 0 , 0; ;
2 2 2 2
a a a a
OM ON
   
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
uuuur uuur
2 2 2
3 3 3
[ ; ] ; ;
4 4 4
a a a
OM ON
 
=
 ÷
 ÷
 
uuuur uuur
,

( 3; 1; 1)n
=
r
là VTPT của mp ( OMN )
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến

: 3 0n x y z+ + =
r
Ta có:
3. 0 0
3 15
( ; ( ))
5
3 1 1 5
a
a a
d B OMN
+ +
= = =
+ +
. Vậy:
15
( ; ( )) .
5
a
d B NOM =
0.5
b) MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN
⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
15
( ; ( )) .
5
a
d B NOM =

0.5

1.00
2) Viết ptts của đt d :
0.25
.
A
d
∆
P
n
uur
P
z
A
3a
3a
y
C
N
O
M
a
x
B
Cách 1 :
Gọi
, ,
d P
u u n
∆
uur uur uur

lần lươt là các vtcp của đt d , đt
∆
và vtpt của mp ( P).
Đặt
2 2 2
( ; ; ), ( 0)
d
u a b c a b c= + + ≠
uur
. Vì d nằm trong ( P) nên ta có :
P d
n u⊥
uur uur
=> a – b + c = 0 
b = a + c ( 1 ).
Theo gt : góc giữa 2 đt bằng 45
0
 Góc giữa 2 vtcp bằng 45
0
.

2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2( 2 ) 9( ) (2)
2
.3
a b c
a b c a b c

a b c
+ +
= ⇔ + + = + +
+ +

Thay (1) v o ( 2) ta có : à
2
0
14 30 0
15
7
c
c ac
a
c
=


+ = ⇔

= −

* Với c = 0 : chọn a = b = 1 . Ta có ptts của d l : x = 3 + t ; y = - 1 – t ; z = 1à
* Với c = - 15a / 7 . chọn a = 7 , c = - 15 , b = -8 . ta có ptts của d l : x = 3 + 7 t ; y = - 1 – 8 à
t ; z = 1 – 15t.
1.00
Cmr với mọi x , y > 0 , ta có :
2
9
(1 )(1 )(1 )

y
P x
x
y
= + + +
Biến đổi vế trái , ad Bđt Cosi cho 4 số dương , ta có :
2
3 3
4 4
4
3
3 3 3 27
1 1 1 4. .4. . 4. 256
3 3 3 3 3 3 27 27
x x x y y y x y
x x x x
y y y y y
 
 
  
+ + + + + + + + + ≥ =
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
 ÷
  
 
 
Vây P

min
= 256 khi x = 3 và y = 9