Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

NGŨN ĐÌNH THINH
̣

PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN
CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT
TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

NGŨN ĐÌNH THINH
̣

PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN
CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT
TRƯỜNG LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số:

60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2011


MỤC LỤC
Mở đầu .................................................................................................................. 01
Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Schrodinger trong
cơ ho ̣c lươ ̣ng tử................................................................................ 03
1.1. Phương pháp khai triể n theo só ng riêng phầ n ............................................ 03
1.2. Phương pháp hàm Green... .......................................................................... 11
1.3. Phương pháp chuẩ n cổ điể n………..………………………………………18
1.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và
biên độ tán xạ eikonal…...…………………………………………………20
1.4.1. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang
biên độ sóng eikonal …………………………………………....……….20
1.4.2. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang
biên độ sóng riêng phần……………...…………………………...…..…21
1.5. Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ…………...…23
Chương 2: Các hiệu ứng hấp dẫn và điện từ trong bài toán tán xa ̣
ở năng lượng Plangck……………………………….………….….24
2.1. Tán xạ toàn phần toàn phần hấp dẫn……………..……………….………..24
2.2. Cực điể m của tán xa ̣……..……………………………………….………...31
2.3. Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ…………… ..……….………33
Kết luận:..…………………………………………………………………………36
Phụ lục A: Các định lý dụng cho biên độ tán tán xạ…………..…………...…….37
Phụ lục B: Phương triǹ h Lippman- Schwingger……………..…………..……....40

Phụ lục C: Các phương pháp Hamilton Jacobi…………..…………..……….….45
Phụ lục D: Trường nề n Schwarzschild……..…………………………….….…..50
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………….....53


MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây đã có những tiến bộ quan trọng trong hiểu biết của
chúng ta về tán xạ ở thang năng lượng Planck trong lý thuyết trường lượng tử /110/. Nghiên cứu những quá trình này trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử sẽ cung cấp
cơ sở khoa học để nhận thức rõ các hiện tượng vật lý như sự sinh các kỳ dị và sự
tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cũng như sự cải biến sợi dây của lý thuyết hấp
dẫn. Các kết quả thu được đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck của hạt ở vùng
năng lượng cao cỡ

s » M Pl (trong đó s là năng lượng của hat, M Pl = G - 1/ 2 là

khối lượng Planck, G - là hằng số hấp dẫn) và t- bình phương xung lng truyn l
nh, trong gii hn

(t / s ) đ

Ơ có dạng biểu diễn eikonal – biểu diễn Glauber

(leading term ) với pha phụ thuộc vào năng lượng. Số hạng bổ chính (non-leading
terms ) trong bài tốn tán xạ này đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu hơn 20 năm nay, trong đó có Bộ môn Vật lý lý thuyết ĐHQG
Hà Nội. Kết quả bước đầu của Bộ mơn Vật lý thuyết là tìm được số hạng bổ chính
bậc nhất cho số hạng chính của biên độ biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp
dẫn lượng tử, bằng cả hai phương pháp khác nhau là phương pháp tích phân phiếm
hàm và phương trình chuẩn thế. /8-9/. Việc tìm các phương pháp khác cho bài toán
này vẫn là vấn đề thời sự.

Mục tiêu của Bản Luận văn này là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao
của hạt qua việc giải phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử với ba
phương pháp khác nhau -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green,
phương pháp chuẩn cổ điển, và việc giải phương trình Klein – Gordon trong lý
thuyết hấp dẫn lượng tử. Nghiên cứu một số hiệu ứng lượng tử cũng được thảo luận
ở đây. Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục và tài
liệu tham khảo.

-1-


Chƣơng 1 : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger. Trong mục 1.1,
xuất phát từ phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử, biên độ tán xạ được
biểu diễn qua các sóng riêng phần. Mục 1.2 Đưa ra cách giải thứ hai phương trình
Schrodinger thơng qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ. Trong mục 1.3, ta quay về
sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ đó thu
được biên độ tán xạ econal. Việc so sánh ba phương pháp trên giúp ta có những
cách nhìn khác nhau về bài tốn tán xạ trong cơ học lượng tử trong phầ n 1.4.
Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trong trường hấp dẫn
tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự như đã dược sử dụng
trong cơ học lượng tử ở mục 2.1. Trong mục 2.2 số hạng chính và số hạng bổ
chính bậc nhất của biên độ tán xạ của hạt vô hướng trong trường hấp dẫn được xác
định, từ đó suy ra được các kì dị cực điểm của biên độ tán xạ eikonal xuất hiện ở
trục ảo của s-mặt phẳng phức. Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời cả hai loại
tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ cho bài toán tán xạ này. Ở vùng xung lượng
truyền lớn, các kết quả thu được có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú.
Cuối cùng là kết luận chung, các phụ lục, và các tài liệu tham khảo liên
quan tới luận văn và các Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C và Phụ lục D
Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 .

-2-


Chƣơng 1.

CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
r
r
Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ U (r ) . Giả thiết U (r )
là trường đối xứng khơng phụ thuộc vào góc j . Khi đó trong cơ học lượng tử, q
trình tán xạ của hạt có thể được mơ tả bởi nghiệm của phương trình Schrodinger:

r ù r
r
é h2 2
êúy (r ) = E y (r ) .
Ñ
+
U
(
r
)
ê 2m
ú
ë
û

(1.1)

1.1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần.
Phương trình Schrodinger:

r ù r
r
é h2 2
êúy (r ) = E y (r ) .
Ñ
+
U
(
r
)
ê 2m
ú
ë
û

(1.1.1)

Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng
của các dòng hạt tới dọc theo trục 0Z. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt khơng khơng
chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của nó được mơ tả bởi
sóng phẳng như sau :

r
Yin (r ) = e ikz

(1.1.2)

Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với
tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian
hữu hạn r < a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi
và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm cầu phân kỳ:

r
e ikr
Yout (r ) = f ( q, j )
r

(1.1.3)

Biên độ sóng phân kì f(,) trong công thức (1.1.3) được gọi là biên độ tán xạ.
Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng
cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới Yin và sóng tán xạ Yout :

-3-


r
e ikr
ikz
Y(r ) = e + f ( q, j )
r

(1.1.4)

r
Với Y(r ) là nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) ở trên.
Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong to ̣a độ Đề các, mô

tả chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả chuyển động
của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ sau:

Các sóng cầu tán xạ

Các sóng phẳng tới

Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (1.1.1) trong trường hợp

r
U (r ) đối xứng trục(đối với z) khơng phụ thuộc góc j có thể viết dưới dạng:
¥

Y(r , q) =

å

bR
(r )P (cos q) ,
l l

(1.1.5)

l= 0

ở đây, bl là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện
chuẩn hoá. Pl (cos q) là đa thức Legendre được xác định bởi công thức:

1 dl
Pl (x ) = l

2 l ! dx l

lù
é 2
ê x - 1 ú.
êë
ú
û

(

)

(1.1.6)

Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của

R l (r ) như sau :
Từ phương trình (1.1.1) ta có :

r ù r
r
é h2 2
êú
ê 2m Ñ + U (r )úy (r ) = E y (r )
ë
û

-4-

h2 2 r
Ñ y (r ) +
2m
r
2m
Ñ 2 y (r ) + 2
h

r
r
é
ù
êU (r ) - E úy (r ) = 0
ë
û
r
r
é
ù
E
U
(
r
)
y
(
r
ê
ú )= 0

ë
û

Thay biểu thức (1.1.5) vào phương trình (1.1.7), ta cú:
r
ổ
ử
r
r
1 d ỗỗ 2 d y (r ) ÷
1
÷
+
D y (r ) + l y (r ) = 0
ữ
ỗr
ữ
dr ứ
ữ r 2 q,j
r 2 dr ỗỗố
Trong ú

D q,j

V

(1.1.7)

(1.1.8)

ử
1 d ổ
dy ữ
1 d2
ỗ
=
+
ỗsin q ữ
ữ
sin q d q ỗố
dq ÷
ø sin 2 q d q2

l =

2m é
ù
êE - U (r )û
ú
2 ë
h

Giải phương trình dưới dạng tách biến :

y (r , q, j ) = R (r )Y (q, j )

(1.1.9)

Thay (1.1.9) vào (1.1.8), ta được hệ phương trình sau :

ử
ùớù d ổ
2 dR ữ
ữ
ùù
ỗỗỗr
ữ
D q,j Y
ứ
ùù dx ố dx ÷
2
+
l
r
+
= 0
ïï
R
Y
ï
ì D q,j Y + mY = 0
ïï
ư ổ
ử
ùù 1 d ổ
ỗỗr 2 dR ữ
ỗỗl - mữ
ữ
ữR = 0
+

ùù 2
2ữ
ỗố dx ứữ
ỗ
ữ
ữ
dx
r
r
ố
ứ
ùù
ùùợ
Vi iu kin

Y

f = 0,p

< Ơ ;Y (q, j + 2p ) = Y (q, j ) Þ m= l(l + 1)

(1.1.20)

Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của R l (r )
dng:

ử m
1 d ổ
ỗỗr 2 dR ữ
ữữ 2R+ lR = 0

r 2 dr ỗố dr ữ
ứ r

-5-


ử l(l + 1)
1 d ổ
2m
ỗỗr 2 dR ữ
ữR + 2 ộởờE - U (r )ự
ỳR = 0 .
ữ
2
2
ỷ
ỗ
r dr è dr ÷
r
h
ø

(1.1.21)

Trong tốn học ta biết rằng 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
trên là những hàm cầu Bessel jl (k , r ) và yl (k , r ) , cú dng:
l
ớù
ổ
ửổ

ử
ùù
l ỗ 1 d ữ ç sin z ÷
÷
÷
j
(
z
)
=
z
ç
ç
ïï l
÷
÷
çè z dz ø
÷ èç z ứ
ữ
ùỡ
l
ùù
ổ
ử ổcos z ử
ữ
ỗỗ
ùù y (z ) = - z l ỗỗ- 1 d ữ
ữ
ữ
ữ

ữ
ữ ốỗ z ứ
ữ
ỗố z dz ø
ïïỵ l

ở đây ta đặt z =kr. Nếu xét trong tim cn gn ỳng khi z đ Ơ

(1.1.22)

tng ng vi

r ® ¥ nghĩa là ta chỉ xét các chuyển động vơ hạn, ta có:

íï
sin(z - l p )
ïï
2
ïï jl (z ) ®
ïì
z
ïï
cos(z - l p )
ïï y (z ) ® 2
ïïỵ l
z

(1.1.23)

Khi đó nghiệm của phương trình (1.1.21) được viết bằng tổng 2 nghiệm

riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.1.23).

é sin(kr - l p )
cos(kr - l p ) ù
ê
2 - B
2 ú
ú
R l (r ) = Al jl (kr ) + B lyl (kr ) = êAl
l
ê
ú
kr
kr
êë
ú
û

(1.1.24)

Ở đây Al và B l là các hằng số thỏa mãn :

Al = C l cos dl ; B l = - C l sin dl

(1.1.25)

và dl là độ dịch chuyển pha.
Thay (1.1.25) vào (1.1.24) ta có:

f (s, t ) =

i s
2p

ị

¥

0

d 2be ikb éêe
ë

sin(kr - l p
Hay

Rl (r ) = C l

2

2i dl

+ dl )

kr

-6-

- 1ù
ú

û
(1.1.26)


Thay (1.1.10) vào (1.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger (1.1.1) được
viết lại:

sin(kr + dl - l p )
2 . (1.1.27)
y (r đ Ơ ) = ồ C l Pl (cos q)R l (r ) = å C l Pl (cos q)
kr
l= 0
l= 0
¥

¥

Các hệ số C l phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng:

y = e ikz +

f ( q) ikzr r
e
r

(1.1.28)

Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (1.1.27) và (1.1.28) thì hàm sóng của
phương trình (1.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng e ikz và

f ( q) ikzr r
e
r

Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng e ikz theo các sóng cầu

f ( q) ikzr r
e ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre:
r
¥

e

ikz

=e

ikr cos q

=

å

fl (r )Pl (cos q) ,

(1.1.29)

l= 0

Trong đó fl (r ) các hệ số khai triển,đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó. Để

đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (1.1.29) ta có:
¥

e ikrx =

å

fl (r )Pl (x ) .

(1.1.30)

l= 0

Nhân cả 2 phương trình trên với Pl ' (x ) và lấy tích phân theo x trong khoảng
từ -1 đến (n +1) (tương ứng với  biến thiên từ  đến 0)
+1

ịe

¥

ikrx

Pl ' (x )dx =

- 1

å
l= 0

+1

fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx .

(1.1.31)

- 1

+1

Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre:

ò Pl (x )Pl '(x )dx =
- 1

Vế trái (1.1.14) được viết:

-7-

dl ,l '
l+ 1

.

2


¥

å

l= 0

+1

fl (r ) ò Pl (x )Pl ' (x )dx =

+1

¥

å
l= 0

- 1

dl ,l '

fl (r ) ị

l+ 1

- 1

2

Lấy tổng theo l ,khi l = l ' ta được:
¥

å
l= 0

+1

fl (r ) ị Pl (x )Pl ' (x )dx = fl ' (r )
- 1

dl ,l '
l '+ 1

= fl ' (r )

2
2l '+ 1

2

Thay vào (1.1.30), đổi l = l ' ta thu được công thức sau:
+1

2l + 1
fl (r ) =
e ikrx Pl (x )dx .
ò
2 -1

(1.1.32)

Lấy tích phân từng phần biểu thức trên, áp dụng các tính chất của hàm
Legendre Pl (1) = 1 và Pl (- 1) = (- 1)l , ta được:

2l +
fl (r ) =
2
=

2l +
2

2l +
=
2
=

2l +
2

+ 1 ikrx
ü
ï
1 íïï e ikrx
e
x= + 1
Pl (x ) x = - 1 - ũ
P 'l (x )dx ùý
ỡ
ùù ikr
ùù
ikr
- 1
ù

ợù
ỵ
ớ e ikr ộP (1) - P (- 1)ù + 1 ikrx
ï
ïü
1ï
e
êl
ú
l
ë
û
- ò
P 'l (x )dx ùý
ỡ
ùù
ùù
ikr
ikr
- 1
ù
ợù
ỵ
ớ e ikr 1 - (- 1)l
ỹ
+ 1 ikrx
ù
ù
ù
1 ùù

e
- ũ
P 'l (x )dx ùý
ỡ
ùù
ùù
ikr
ikr
- 1
ùợ
ù
ỵ
+1
ớ
ikr
l - ikr
ù
ùỹ
1 ù e - (- 1) e
1
ikrx
ùý
e
P
'
(
x
)
dx
ỡ

ũ
l
ùù
ùù
ikr
ikr - 1
ù
ợù
ỵ

(

)

(1.1.33)

Ta nhn thấy, nếu tiếp tục tiến hành tính giá trị biểu thức (1.1.33) bằng cách
tích phân từng phần số hạng thứ 2, thứ 3, thứ 4,…,thứ l, ta sẽ thu được số hạng
tương tự với số hạng thứ nhất trong (1.1.33), còn dưới mẫu sẽ là

(ikr)2 , (ikr)3 , (ikr)4 ,..., (ikr)l+ 1 . Do đó nếu xét r lớn, ta có thể giới hạn biểu thức của
fl (r ) ở số hạng bậc 1:
fl (r ) =
l

2l +
2

ikr
l - ikr ử

1ổ
ỗỗe - (- 1) e ữ
ữ
.
ữ
ỗỗố
ữ
ikr
ứ

l

l

( )=e

Thay (- 1) = (cosp + i sin p ) = e

ip

-8-

il p
2

.e

(1.1.34)
il p
2

,


Thay vào biểu thức (1.1.33) ta thu được kết quả như sau:

2l + 1 æ
e ikr - (- 1)l e - ikr ử
2l +
ữ
ỗ
ữ
fl (r ) =
=
ỗỗ
ữ
ữ
2 ỗố
ikr
2
ứ

2l +
=
2

il p il p
ổ
ử
ikr

- ikr ữ
ỗ
2
2
ữ
1 ỗỗe - e .e .e ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ikr
ỗỗ
ữ
ữ
ố
ứ

il p
il p il p
ổ ilp
ử
ữ
1 ỗỗỗe 2 e ikre 2 - e 2 .e 2 .e - ikr ữ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ikr
ỗỗ

ữ
ữ
ố
ứ

il p
il p
ổ
ử
ữ
2l + 1 il2p ỗỗỗe ikr .e 2 - e 2 .e - ikr ữ
ữ
ữ
=
e ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ikr
ỗỗ
ữ
ữ
ố
ứ

=

S hng e

il p
2

2l + 1
e
2

il p
2

ổ
il p ử
ữ
ổ ổỗỗỗikr - ilp ửữữữ
ữử
- ỗỗỗikr ữ
ỗỗ ốỗ 2 ứữ
ữữ
2 ứ
ốỗ
ữ
ữ
- e
ỗỗe
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ikr
ữ

ỗỗ
ữ
ữ
ố
ứ

(1.1.35)

cú th c biu din di nh sau:
l

l
ổ ilp ử
ổ lp
ử
l
p
ỗỗe 2 ữ
ữ
ỗ
ữ = ỗcos + i sin ữ
= il
ữ
ỗỗ ữ
ỗ
ữ
ữ
2
2ứ
ố ứ ố

v

e

ổ
ữ
ỗỗikr - il p ử
ữ
ữ
ữ
2 ứ
ốỗỗ

- e
ikr

ổ
il p ử
ữ
ữ
- ỗỗỗikr ữ
ữ
2 ứ
ốỗ

cos(ikr =

=

=

il p
il p
il p
il p
) + sin(ikr ) - cos(- ikr +
) - sin(- ikr +
)
2
2
2
2
ikr

sin(kr - l p / 2)
kr

Thay vào (1.1.35), ta được:

-9-


fl (r ) = i l (2l + 1)

fl (r ) = i l (2l + 1)

hay

sin(kr - l p / 2) 2l + 1

=
e
kr
2

il p
2

il p
il p
ổ
ử
ỗỗe ikr .e - 2 - e 2 .e - ikr ữ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ikr
ữ
ữ
ỗố
ứ

sin(kr - l p / 2)
.
kr

(1.1.36)

Thay biểu thức (1.1.36) vào biểu thức (1.1.29) ta có:
¥

e

ikz

=

å

i l (2l + 1)Pl (cos q)

l= 0

sin(kr - l p / 2)
.
kr

(1.1.37)

Tiếp theo, đối với số hạng thứ 2 trong biểu thức (1.1.28), ta khai triển hệ số f ( q)
theo các đa thức Legendre dạng:
¥

f ( q) =

å

gl Pl (cos q) .

(1.1.38)

l= 0

Thay các biểu thức (1.1.37) và (1.1.38) vào biểu thức (1.1.28) ta được:

y = e ikz +

f ( q) ikzr r
e .
r

¥

=

å

i l (2l + 1)Pl (cos q)

l= 0

sin(kr - l p / 2)
+
kr

¥

å

gl Pl (cos q)

l= 0

e ikr
r

(1.1.39)

Mặt khác, như đã phân tích ở trên, hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng
(1.1.11). Do đó ta cần cân bằng hai biểu thức (1.1.27) và (1.1.39) với nhau, cần chú
ý rằng ta có th biu din

sin(kr - l p / 2) e
=
kr

ổ
ữ
ỗỗikr - il p ử
ữ
ữ
ỗốỗ
ữ
2 ứ

- e

ikr

ổ
ử
il p ữ
ữ
- ỗỗỗikr ữ
ỗố
2 ữ
ứ

v thay i l bằng

e ip l / 2 . Kết quả ta được:
¥

1
i ( kr + dl - l p / 2)
- i ( kr + dl - lp / 2) ù
C l éêe
- e
P (cos q)
ú
ë
ûl
l = 0 2ikr
.
¥
ü
1 ïíï ilp / 2

1 é i ( kr - lp / 2)
- i ( kr - lp / 2) ù
ikr ïï
= å ì e (2l + 1)
e
- e
Pl (cos q)
ú+ gle ý
ỷ
ù
ùỵ
2ik ởờ
l = 0 r ợù
ù

ồ

(1.1.40)

Gin c, cõn bng các hệ số của e ikr và e - ikr , ta có:

1
2l + 1
i ( d - lp / 2)
C le l
=
+ gl ,
2ikr
2ki

- 10 -

(1.1.41)


-

1
2l + 1 ilp
- i ( d - lp / 2)
C le l
= e .
2ikr
2ki

(1.1.42)

Từ hệ thức (1.1.42) dễ dàng tìm được:

C l = (2l + 1)e

i ( dl + lp / 2)

.r

(1.1.43)

Thay (1.1.43) vào biểu thức (1.1.41) ta tìm được gl như sau:

gl =

2l + 1
1
i ( d - l p / 2)
C le l
2ki
2ikr

=

2l + 1
1
i ( d + lp / 2)
i ( d - lp / 2)
(2l + 1)e l
.re l
2ki
2ikr

=

2l + 1 2idl
(e - 1)
2ik

(1.1.44)

Cuối cùng, thay (1.1.44) vào biểu thức (1.1.39) ta nhận được biên độ tán xạ
theo sóng riêng phần
¥

f ( q) =

å
l= 0

1
gl Pl (cos q) =
2ik

¥

å

(2l + 1)(e

2i dl

- 1)Pl (cos q) .

(1.1.45)

l= 0

1.2. Phƣơng pháp hàm Green
Như đã đề cập ở mục 1.1, quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mơ tả
bởi phương trình Schrodinger:

r
r ur

éĐ 2 + k 2 ùy (r ) = U (r )y (r ) ,
ú
ëê
û

(1.2.1)

r
r
2mE
2
mU
(
r
)
U
(
r
)
=
ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k 2 =
và
.
h2
h2
Phương trình vi phân (1.2.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích
phân:

r
r

y (r ) = f (r ) +

r ur
r
r
3
d
r
'
G
(
r
,
r
')
U
(
r
')
y
(
r
') ,
ị
0

r
trong đó hàm f (r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:

- 11 -

(1.2.2)


r
éÑ 2 + k 2 ùf (r ) = 0 ,
(1.2.3)
ú
ëê
û
r ur
và hàm Green G 0 (r , r ') là nghiệm của phương trình:
r ur
r ur
éĐ 2 + k 2 ùG (r , r ') = d(3) (r - r ') .
(1.2.4)
ú 0
ëê
û
r ur
r
Các điều kiện biên của hàm f (r ) và G 0 (r , r ') được xác định từ điều kiện biên của
r
hàm y (r ) . Phương trình tích phân (1.2.2) được gọi là phương trình LippmanSchwinger. Các nghiệm của phương trình (1.2.3) và (1.2.4) là:
r
r r
r r
i k .r
- i k .r
,

f (r ) = A0e + B 0e
r r ù
é ik rr - rr '
- ik r - r '
r r
ê
ú
1 ê e
e
ú,
G 0 (r , r ') = A
+
B
r
r
r
r
ê
ú
4p ê r - r '
r- r'ú
êë
ú
û

(1.2.5)

(1.2.6)

trong (1.2.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.2.5) và (1.2.6), thì

nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (1.47) được viết lại dạng:
r r ù
é ik rr - rr '
- ik r - r '
ê e
ú r r
e
3
ê
ò d r ' êA r r + B r r úúU (r )y (r ') . (1.2.7)
ê r- r'
r- r'ú
ú
ëê
û
ur
Theo các điều kiện biên thì hàm sóng y (r ) phải bao gồm hai thành phần:

ur
r r
r r
1
i k .r
- i k .r
y (r ) = A0e + B 0e
4p

thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần
còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.2.7) viết lại dưới dạng:

ur
r r
1
y (r ) = A0e i k .r 4p

r r
ik r - r '

r r
e
3
d
r
'
U
(
r
)y (r ') .
r r
ò
r- r'

(1.2.8)

Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r)
được xác định trong một thể tích hữu hạn của khơng gian và các máy đo (detectors)
các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết
luận rằng r ' = r và do đó suy ra gần đúng sau:

- 12 -


r ur
éỉ ư2 ù
r .r '
ê r '÷ ú
r- r' = r+ O ờỗỗ ữ
ữ ỳ.
r
ứỳ
ờỗố r ữ
ở
ỷ

(1.2.9)

T (1.2.9), chỳng ta có thể viết lại biểu thức (1.2.8) dạng:

y r® ¥

r
r r
1
(r ) = A0e i k .r 4p

Đặt Ao = 1, suy ra:
với

f ( q, f ) = -

1
4p

r ur

r
1 ik (r - r .rr ' ) r
3
d
r
'
e
U
(
r
')
y
(
r
') .
ò r

rr
e ikr
r
,
y r đ Ơ (r ) = e i k r + f ( q, f )
r

r
r
rr
3
- ikr
d
r
'
e
U
(
r
')
y
(
r
') ,
ò

(1.2.10)
(1.2.11)
(1.2.12)

r
r
r
được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây k = k . Bức
r
tranh minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1:
y


b'

x



r
k'k
r

'




k, z

r
r = (r sin q cos f , r sin q sin f , r cos q)
ur
k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q)
r
k = (0, 0, k )
ur
r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ')

Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính tốn trên. Chú

r ur

r

ur

ý rằng r , k ' và k là các cực toạ độ cầu và r ' là cực toạ độ trụ.

r ur
Thông thường, trong thực tế có thể coi f ( q, f ) như là một hàm của k , k ' và
r ur
do đó có thể viết f ( q, f ) = f (k, k ') . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới
r
f ( q, f ) được chứa đựng trong miền tiệm cận của Y(r ) nhưng các đóng góp tới
f ( q, f ) trong phương trình (1.2.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác khơng.

- 13 -


Với các điều kiện cần thiết là

U
1
1
. Trong
= 1 và
= ka =
E
U/E
(U / E )2

miền giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng :

f ( q, f ) =

k
2p

uur ur

ur

ù
2
- i k '.b ' é i c (b ')
ò d b ' e êëe - 1úû

(1.2.13)

Ở đây:

ur
1 2m
c (b ') = 2k h 2

ur
ò dz 'U (b ', z ')

+¥

(1.2.14)

- ¥

Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán
xạ:

f ( q, f ) = -

1
4p

r
r
rr
3
- ikr
d
r
'
e
V
(
r
')
y
(
r
')
ò

Và từ phương trình Schrodinger (1.1.3):
r
r ur
éĐ 2 + k 2 ùy (r ) = U (r )y (r )
ú
ëê
û
r
r
r
r r
Ta đặt: y (r ) = e i k .r f (r ) và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó phương trình trên viết
lại dạng:

r ù r
r
é
ê2ik ¶ - U (b, z )úf (b, z ) = - Ñ 2f (b, z ) .
(1.2.15)
ê ¶z
ú
ë
û
r
r
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu r º (b, z ) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương
trình (1.2.15) dạng:

r
r

f (b, z ) = h(b, z ) -

r ur
ur
'2
d
b
'
dz
'
G
(
b
,
z
,
b
',
z
')
Đ
f
(
b
', z ').
ị ị
e
+¥

2

(1.2.16)

- ¥

r
h(b, z ) thoả mãn phương trình:
r ù r
é
ê2ik ¶ - U (b, z )úh(b, z ) = 0 .
ê ¶z
ú
ë
û
r ur
Và hàm Ge (b, z , b ', z ') thoả mãn:

- 14 -

(1.2.17)


r ù r ur
r ur r ur
é
ê2ik ¶ - U (b, z )úG (b, z , b ', z ') = d(2) (b - b ')d(z - z ').
ê ¶z
ú e
ë
û

(1.2.18)

Nghiệm của các phương trình (1.2.17) và (1.2.18) là:
z

r

1
duU (b,u )
r
2ik ị
- ¥
.
h(b, z ) = e
r
r
Với các điều kiện biờn l h(b) = h(b, z đ - Ơ ) = 1 . Và
z

r ur
1 (2) r
Ge (b, z , b ', z ') =
d (b 2ik
1 (2) r
=
d (b 2ik
1 (2) r
=
d (b 2ik

1 (2) r
=
d (b 2ik

(1.2.19)

r

ur r ur 21ik ò du .U (b,u )
b ')d(z - z ')e z '
- ¥

r

z

r

ur r ur 21ik ị du .U (b,u )+ ị du .U (b,u )
- ¥
b ')d(z - z ')e z '
ur r
b ')d(z ur r
b ')d(z -

1
2ik

- ¥

r
du .U (b,u )

1
2ik

z

ur
ò
ò
z ')e z '
.e - ¥
ur r
r
- 1
z ')h(b, z )h (b, z ).

(1.2.20)

r
du .U (b,u )

Thay (1.2.19) và (1.2.20) vào (1.2.16), ta thu được:

r
r é
1
f (b, z ) = h(b, z ) êê1 êë 2ik

ù
r ỉ
ư r
ả2 ữ
2
ỗ
ũ dz ' h (b, z ) ỗỗỗốẹ b + ả z '2 ữữữứf (b, z ')ỳỳỳ.
- Ơ
ỷ
z

- 1

(1.2.21)

Phng trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:

r
r é
f (b, z ) = h(b, z ) êê1 +
êë

ur ¶ ử
ổr
ỗ
ũ dz ' K ỗỗốb, z ', ẹ b, ả z ' ữữữữứ+
z

- Ơ

uur ả ử z '
ổr
ữ
ỗ
ữ
+ ũ dz ' K ỗb, z ', ẹ b,
dz '' K
ữ
ữũ
ỗố
ả z 'ứ
z

- Ơ

- Ơ

ự
ur
ổr
ử
ỳ
ỗỗb, z '', ẹ b, ả ữ
ữ
+
...
ữ
ỳ
ữ
ỗố

ả z '' ứ
ỳ
ỷ

(1.2.22)

ổr ur ả ử
ữ tỏc ng lờn mt hm g(z) bất kỳ cho bởi:
ở đây biểu thức của K ỗỗb, z , ẹ b , ữ
ữ
ỗố
ảz ữ
ứ
2 ử
r
ổr ur ả ử
1 -1 r ổ
ỗỗẹ 2 + ả ữ
ữ
ữ
K ỗỗb, z , ẹ b, ữ
g
(
z
)
=
h
(
b
,

z
)
f
(
b
, z )g(z ) .
ữ
ỗốỗ b ả z 2 ữ
ữ
ữ
ỗố
ảz ứ
2ik
ứ

- 15 -

(1.2.23)


r
r
r
r r
Thay chuỗi của f (b, z ) trong (1.2.23) vào dạng của hàm y (r ) = e i k .r f (r ) và cuối
cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:

f (q, f ) = f (0) (q, f ) + f (1) (q, f ) + f (2) ( q, f ) + ...

(1.2.24)

Ở đây:

1
f ( q, f ) = 4p

ur
ur
r uur ur
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
)
h
(
b
', z ')
ò ò

1
f ( q, f ) = 4p

ò d b ' ò dz ' e

1
f ( q, f ) = 4p

ur
ur
r uur ur
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')
h
(
b
', z ')
ị ị

(0)

(1)

(2)

+¥

2

(1.2.25)

- ¥

+¥
2

z'
ur
ur
ur
U (b ', z ')h(b ', z ') ò dz '' K (b ', z ")

r uur ur
i ( k - k ').r '

- ¥

(1.2.26)

- ¥

+¥

2

- ¥

z"
ur
ur
´ ò dz '' K (b ', z ") ò dz ''' K (b ', z ''')
z'

- Ơ

(1.2.27)

- Ơ

r
ổr ur ả ử
ữ
Chỳng ta ó thay K ỗỗb, z , ẹ b, ÷
º
K
(
b
, z ) cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức m
ữ
ỗố
ữ

ảz ứ
ca cỏc hm e cú th c tớnh nh sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ
trong hình 1 ở trên.
ur
k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q)
r
k = (0, 0, k )
ur
r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ')

rr
k .r ' = kz '
r r
k '.r ' = kb ' sin( q) cos( f ) cos( f ') + kb ' sin( q) sin( f ) sin( f ')kz ' co s( q)
r ur r
i (k - k ').r ' = ikz '- ikb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') - kb ' sin( q) sin( f ) sin( f ') - kz ' co s(q)
r ur r
i (k - k ').r ' = ikz '[1 - co s( q)] - ikb ' sin( q)[cos(f ) cos(f ') + sin(f ) sin(f ')]
r ur r
q
i(k - k ').r ' = ikz '.2 sin 2 - ikb ' sin( q) cos(f - f ')
(1.2.28)
2

- 16 -


Ta quan tâm tới hàm f (0) ( q, f ) trong khai triển trên. Từ (1.2.19), (1.2.25) và
(1.2.26) ta có thể viết:

1
f ( q, f ) = 4p
(0)

+¥

ị d b ' ò dz ' e
2

r
ur
U (b ', z ')h(b ', z ')

r uur ur
i ( k - k ').r '

- ¥

z'

= -

1
4p

+¥

ị d b ' ị dz 'e
2

ur

1
du .U (b ',u )
r
2ik ị
U (b ', z ')e - ¥

(1.2.29)

q
- ikb ' sin( q) cos( f - f ')+ ikz ' .2 sin
2
2

- ¥

Ở đây ta đang xét trường hợp khi mơmen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ.
Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:

- ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin 2

ỉqư
q
÷
.
» - ikb ' q cos(f - f ') + ikz '.2 ỗỗ ữ
ữ
ỗố2 ứ
ữ

2

Xột gn đúng bậc nhất theo q ta nhận được biểu thức:

- ikb ' sin( q) cos(f - f ') + ikz '.2 sin 2

q
» - ikb ' q cos(f - f ')
2

(1.2.30)

Bây giờ ta viết lại (1.2.29) như sau:
z'

ur

1
du .U (b ',u )
r
2
ik ò
1
2
- ikb ' q cos( f - f ')
- ¥
f (0) ( q, f ) = d
b
'
d

f
'
e
dz
'.
U
(
b
',
z
')
e
.
ị
ị
4p ị
0
- ¥
2p

+¥

(1.2.31)

Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.30) cho phép chúng ta đưa ra ngồi tích

r
phân theo z trong (1.2.31) bằng cách thay thế bởi tích phân mới ị duU
. (b ', u ) . Sau
+¥

- ¥

khi tính các tích phân, ta được:

f (0) ( q, f ) =
ở đây

k
2p i

ur
k 1
c (b ') = 2E

ị

¥

0

ị

¥

ur

2p
b ' db ' ò d f '.e - ikb ' q cos( f - f ') éêe i c (b ') - 1ù
.

ú
0
ë
û

ur
dz 'U (b ', z ') .

(1.2.32)
(1.2.33)

0

Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, khơng phụ thuộc vào góc f
và hơn nữa ta có thể bỏ f ' trong tích phân trên.

- 17 -


Do vậy, biên độ tán xạ bậc không sử dụng phương pháp hàm Green được viết lại
dạng:

f (0) ( q) =

k
i

ị

¥

.
b ' db ' J 0 (kb ' q) éêe i c (b ') - 1ù
ú
ë
û

0

(1.2.34)

Ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:

J 0 (t ) =

1
2p

ò

2p

d f e - it cos f .

(1.2.35)

0

1.3 Phƣơng pháp chuẩn cổ điển
Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (1.1), nghiệm của phương trình có

dạng :

y = e iS(x)/ h

(1.3.1)

Thế vào phương trình Schrodinger ta được :

é h2 ¶ 2
ù iS/ h
êúe
+
U
(
x
)
= Ee iS/ h
ê 2m ¶ x 2
ú
ë
û
1 h
1
S ''+
S '2 = E - U
2m i
2m
h 2k 2
Trong giới hạn cổ điển thì h ® 0 và thay E =
ta có:

2m
S '(x )2
h 2k 2
=
- U (x )
2m
2m

(1.3.2)

Tích phân biểu thức

S
=
h

z
2
ịU k - L

2m
U ( b2 + z '2 )dz '+ const
2
h

(1.3.3)

Từ đó suy ra hàm sóng có dạng:

1

y =
e ikze
3/ 2
(2p )

-

im

z

òU(

h 2k -

b2 + z '2 )dz '

(1.3.4)

L

Và biên độ tán xạ được viết:

- 18 -


f (k ', k ) = é im
´ exp êê- 2
êë h k

1 2m
4p h 2

r r

rr

3
- ik ' x '
2
2 ikx '
ò d x ' e v( b + z )e

ù
ú
U
(
b
+
z
'
)
dz
'
ú
ị
ú
- L
û

(1.3.5)

z'

2

2

Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: d 3x ' = bdbd f bdz ' . Hơn nữa
r r
r r r
(k - k ')x ' = (k - k ')(b + z ' zˆ )
r r
rr r r
r r
= (k - k ')z ' zˆ + kb - k ' b ; - k ' b
r r
r
r
Khi k ^ b và (k - k ').zˆ : O ( q2 ) có thể được bỏ qua khi góc lệch q nhỏ.

(1.3.6)

Xét sự tán xạ trong mặt phẳng xz, ta có:
r r
k '.b = (k sin qxˆ + kcosqzˆ ).(b cos f bxˆ + b sin f byˆ )

= k sin qxˆ .b cos f bxˆ + k sin qxˆ .b sin f byˆ
+ kcosqzˆ .b cos f bxˆ + kcosqzˆ .b sin f byˆ

(1.3.7)

= k sin qxˆ .b cos f bxˆ ; kbq cos f b
(vì xˆ .xˆ = 1; xˆ .yˆ = 0; zˆ .xˆ = 0; zˆ .yˆ = 0 và do q nhỏ nên sin q » q )
Vậy biểu thức f(k’.k) sau khi được đơn giản hóa là:

1 2m
f (k ', k ) = 4p h 2
+¥
é im
´ ị dzV exp êê- 2
- ¥
ëê h k

¥

2p

ị bdb ị d f e

- ikbqcosf b

b

0
z

0

(1.3.8)

ù
2
2
ú
U
(
b
+
z
'
)
dz
'
ú
ị
ú
- L
û

Sử dụng tính chất của hàm Bessel ta có:
2p

ị df e

- ikbqcosf b

b

= 2p J 0 (kbq)

(1.3.9)

0

Đối với thành phần sau của f(k’,k) ta có thể đặt - L = - ¥ khi V(x) được định xứ
nên khơng có đóng góp bên ngồi –L

é im
ị dzU exp êêê- h 2k
- ¥
ë
+¥

ù i h 2k
é im
ú
ò Udz 'úú= m exp êêê- h 2k
- L
û
ë
z

Thay (1.2.31) và (1.2.32) vào (1.2.30) ta được:

- 19 -

z= ¥

ù

ị Udz 'úúú
- L
ûz = - ¥
z

(1.3.10)


é im
1 2m
ih k
f (k ', k ) = bdb.2p J 0 (kbq).
exp êê- 2
2 ị
4p h 0
m
êë h k
¥

2

é im
= - ik ò bdb.J 0 (kbq) exp êê- 2
êë h k
0
¥

z= ¥

ù

ị Udz 'úúú
- L
ûz = - ¥
z

ù
Udz
ị úúú
- ¥
û
¥

¥

= - ik ò bdb.J 0 (kbq) éêexp 2iD (b) - 1ù
ú
ë
û

(1.3.11)

0

m
Với D(b) º 2k h 2

¥

ị U(

b2 + z 2 )dz

- ¥

Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là:

f (0) ( q) =

k
i

ị

¥

0

bdbJ 0 (kbq) éêe i c (b) - 1ù
ú
ë
û

1.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán
xạ eikonal.
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng biểu thức tán xạ trong phép gần đúng
eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần trong giới hạn của tán xạ
năng lượng cao và ngược lại.
1.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal.
Như đã tính tốn ở trên, biên độ tán xạ thu được bằng phương pháp sóng
riêng phần có dạng:

f(q) =

1 ¥
(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl - 1ùû
å
2ik l= 0

(1.4.1)

Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi (ka ) : lmax là lớn thì chúng ta có thể
thay cho việc lấy tổng theo l bằng tích phân theo l.

f(k, q) =

¥
1
dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù
ò
û
2ik 0

- 20 -

(1.4.2)


Tiếp theo, đặt b =

(2l + 1)

suy ra dl = kdb , ở đây b gọi là thông số va
2k

chạm. Với k – lớn, q - nhỏ và kbq có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở thành
hàm Bessel bc khụng:

ổ
qử
k- high
Pl (cos q) ắ ắ
ắ ắđ J 0 çç(2l + 1) sin ÷
÷
q- small
è
ø
2÷
Hơn nữa chúng ta có thể viết: 2dl (k) = 2dkb (k) = c (k, b) ,

(1.4.3)
(1.4.4)

như là hàm eikonal trong miền giới hạn tương tác. Và do đó, biểu thức của biên độ
tán xạ thu được dưới dạng:
¥
ỉ
q ưé ic (k,b)
f(k, q) = - ik ũ bdb.J 0 ỗỗ(2l + 1) sin ữ
- 1ự
ữ
ữởe

ỷ
0
ố
2ứ

(1.4.5)

ổq ử q
Khi gúc q nh thỡ sin ỗỗ ữ
,ta cú:
ằ
ữ
ố2 ÷
ø 2

ỉq ư 2k
ỉq ư 2l + 1
ỉq ư
(2l + 1) sin ỗỗ ữ
=
(2l + 1) sin ỗỗ ữ
=
.2k sin çç ÷
÷
÷
÷
÷
÷
è2 ø 2k
è2 ø

è2 ÷
ø
2k
Thay biểu thức trên vào công thức (1.4.5), một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc
khơng lại thu được:

f(s, t) =

k ¥
bdbJ 0 (kb q) éëeic (b) - 1ù
ò
û
0
i

(1.4.6)

1.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần
Biên độ sóng eikonal được viết như sau:

f(q) =
Đặt

Ta có

b=

k ¥
bdbJ 0 (kb q) éëeic (b) - 1ù
ò

û
0
i

(2l + 1)
1
suy ra db = dl và
2k
k
kb q =

Khi góc q nhỏ thì

(2l + 1)
(2l + 1)
bq =
q.
2b
2

ỉq ư
q
, lúc này ta có:
» sin çç ÷
÷
è2 ÷
ø
2

- 21 -

k=

(1.4.7)

(2l + 1)
2b

(1.4.8)


kb q =

(2l + 1)
q
q
q = (2l + 1) » (2l + 1)sin
2
2
2

(1.4.9)

Với k – lớn, q - nhỏ và kbq có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở thnh hm
Bessel bc khụng:

ổ
q ử k- high
J 0 ỗỗ(2l + 1) sin ữ
ắ ắ ắ ắđ Pl (cos q)

ữ
ố
ứ q- small
2÷

(1.4.10)

Hơn nữa chúng ta có thể viết:

c (k, b) = 2dkb (k) = 2dl (k)

(1.4.11)

Thay (1.4.8), (1.4.10). (1.4.11) vào (1.4.7) ta được:

f(q) =

k ¥
bdbJ 0 (kb q) éëeic (b) - 1ù
ị
û
0
i

=

k ¥ (2l + 1) 1
dlPl (cos q) éëe2dl (k) - 1ù
ị
û

0
i
2k k

=

¥
1
dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù
ị
û
0
2ik

(1.4.12)

Với bài tốn tán xạ năng lượng cao, coi (ka ) : lmax là lớn thì chúng ta có thể thay
cho việc lấy tích phân theo bằng l tổng theo l khi đó (1.4.12) trở thành:

f(q) =

¥
1
dl(2l + 1)Pl (cos q) éëe2idl (k) - 1ù
ò
û
2ik 0

Ta lại thu được biên độ của sóng riêng phần.

- 22 -

(1.4.13)