Cac bai toan luong giac LTDH

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề LƯỢNG GIÁC (LTĐH)</b>

<b>A) Các công thức lượng giác :</b>

<b>1) Hệ thức cơ bản :</b>

2 2

2 2

2 2

sin x cosx

(1) sin x cos x 1 (2) tan x (3) cot x

cosx sin x

1 1

(4) tan x.cot x 1 (5) 1 tan x (6) 1 cot x

cos x sin x

   

    

<b>2) Cung liên kết :</b>

 <b>Cung đối :</b> sin x







 sin x cos x







cosx









tan x  tan x cot x  cot x

 <b>Cung buø : </b> sin



  x



sin x cos



  x



 cosx









tan   x  tan x cot   x  cot x

 <b>Cung phuï : </b>

sin x cosx cos x sin x

2 2

 

   

   

   

   

tan x cotx cot x tan x

2 2

 

   

   

   

   

 <b>Cung hơn kém </b><b> :</b> sin



 x



 sin x cos



 x



 cosx









tan  x tan x cot  x cot x

 <b>Cung hơn kém </b>



 <b>_:</b> sin 2 x cosx cos 2 x sin x

 

   

   

   

   

tan x cotx cot x tan x

2 2

 

   

   

   

   

<b>3) Công thức cộng :</b>













sin a b sin acos b cosasin b
cos a b cosacos b sin asin b

tan a tan b
tan a b

1 tan atan b

  

 



 





<b>4) Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc :</b>

 <b>Công thức nhân đôi : </b> sin 2a 2sin acosa

2 2 2 2

2

cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2sin a
2 tan a

tan2a

1 tan a

     




 <b>Công thức nhân ba :</b> sin3a 3sina 4sin a  3

3

cos3a 4cos a 3cosa 

 <b>Công thức hạ bậc : </b>

2 1 cos2a 2 1 cos2a

sin a cos a

2 2

 

 

<b>5) Cơng thức tính sinx, cosx, tanx theo </b>
<b>x</b>
<b>tan</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đặt

x

t tan ,x k2
2

   

, ta coù :

2

2 2 2

2t 1 t 2t

sin x cosx tan x

1 t 1 t 1 t



  

  

<b>6) Cơng thức biến đổi tích thành tổng :</b>

























1

cosacosb cos a b cos a b
2

1

sin asin b cos a b cos a b
2

1

sin acos b sin a b sin a b
2

 

 _    _

 

 _    _

 

 _    _

<b>7) Công thức biến đổi tổng thành tích :</b>









a b a b a b a b

sin a sin b 2sin cos sin a sin b 2 cos sin

2 2 2 2

a b a b a b a b

cosa cosb 2 cos cos cosa cosb 2sin sin

2 2 2 2

sin a b sin a b

tana tan b tana tan b

cosacos b cosacos b

sin a cosa 2 sin a sin a cosa 2 sin a

4 4

   

   

   

   

 

   

 

   

  _  _   _  _

   

<b>B) Phương trình lượng giác :</b>

<b>1) Phương trình lượng giác cơ bản :</b>

















x k2 x k2

sin x sin k cosx cos k

x k2 x k2

tan x tan x k k cot x cot x k k

     

 

   _     _ 

        

 

             

 

 

<b>Đặc biệt : </b>

sin x 0 x k sin x 1 x k2 sin x 1 x k2

2 2

cosx 0 x k cosx 1 x k2 cosx 1 x k2

2

tan x 0 x k tan x 1 x k tan x 1 x k

4 4

cotx 0 x k cotx 1 x k cotx 1 x k

2 4 4

 

             



             

 

             

  

              

<b>2) Phương trình lượng giác cổ điển (bậc nhất đối với sinx và cosx) :</b>

Daïng : asin x b cosx c (a,b 0)  

Cách giải : Chia cả 2 vế pt cho a2b2 _{khi đó} 2 2 2 2 2 2

a b c

pt sin x cosx

a b a b a b

  

  

Ta coù :





2 2 2 2 2 2 2 2

a _{cos ,} b _{sin ,pt} _{sin x cos} _cosxsin c _{sin x} c

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vế cho a, 1 cách là đặt

x
t tan

2


<b>Quan trọng</b> : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có nghiệm là : a2b2 c2

<b>3) Phương trình lượng giác đẳng cấp : </b>là phương trình lượng giác có bậc các số hạng bằng nhau hoặc
bậc cách nhau 2 đơn vị.

Ví dụ : PT có dạng : asin x bsin x cosx ccos x d2   2  là pt lượng giác đẳng cấp

Cách giải : Chia 2 TH

 TH1 :

cosx 0 x k (k )
2



      

. Thay vào pt nếu :

2

2

sin x 1: Nhận nghiệm x k
2
sin x 1: Loại nghiệm x k

2


   



   

 TH2 : cosx  0. Chia cả 2 vế pt cho cos2x, ta được 1 pt bậc 2 theo tanx.

Cịn 1 cách khác : Nếu pt có dạng asin x bsin x cosx ccos x d2   2  , ta cịn có thể dùng cơng thức hạ

bậc và công thức nhân đôi để đưa pt về dạng cổ điển

<b>4) Phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx :</b> là phương trình có chứa sinx  cosx và

sinxcosx :

 Cách giaûi pt a sin x cosx







bsin x cosx c : Đặt

t sin x cosx 2 sin x thì t 2
4



 

   _  _ 

 

Khi đó :

2

2 t 1

t 1 2sin x cosx sin x cosx
2



   

. Thế vào được 1 pt bậc 2 theo t, giải pt bậc 2 theo
t, (chỉ nhận nghiệm thỏa đk), rồi giải tiếp pt cơ bản

 Cách giải pt a sin x cosx







bsin x cosx c : Đặt

t sin x cosx 2 sin x thì t 2
4



 

   _  _ 

 

Khi đó :

2

2 1 t

t 1 2sin x cosx sin x cosx
2


   

.

<b>Các chú ý khác : </b>

 Khi phương trình đề bài có tanx + cotx và tan2x + cot2x, ta giải bằng cách đặt t tan x cot x  với điều

kiện t 2

 Khi phương trình có

2

2

1 1

sin x và sin x

sin x sin x

 

, ta giải bằng cách đặt

1
t sin x

sin x

 

với đk t 2

 Khi phương trình có

2

2

1 1

cosx và cos x

cosx cos x

 

, ta giải bằng cách đặt

1
t cosx

cosx

 

với đk t 2

<b>Bài tập giải phương trình lượng giác</b>

<b>1)</b>

x x

3 sin cos 2
2 2 

<b>2)</b> 2sin x2  3 sin 2x 3

<b>3)</b> sin8x cos6x  3 sin6x cos8x







<b>4)</b>

3 _{3 cos2x cosx}
2sin x



</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>5)</b>









2 2

2sin x 3  3 sin x cosx 3 1 cos x 1

<b>6)</b>

2 x 2 x

4sin 3 3 sin x 2 cos 4

2  2 

<b>7)</b> 3sin x 5cos x 2cos2x 4sin 2x 02  2   
<b>8)</b> 4 sin x cos x



3  3



cosx 3sin x

<b>9)</b> sin 2x 12 sin x cosx 12 0







 

<b>10)</b>sin x cos x 13  3 

<b>11)</b> tan x cot x  2 sin x cosx







<b>12)</b> 2 cos x cos2x sin x 03   

<b>13)</b>



2 cosx 1 2sin x cosx

 





sin 2x sin x

<b>14)</b>

2

cos2x 1

cot x 1 sin x sin 2x

1 tan x 2

   



<b>15)</b>



1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin2x 2







 2



 
<b>16)</b> 2sin 2x sin 7x 1 sin x2   

<b>17)</b>

2

x x

sin cos 3 cosx 2

2 2

 

  

 

 

<b>18)</b>



6 6



2 cos x sin x sin x cosx
0
2 2sin x

 




<b>19)</b>

x
cot x sin x 1 tan x tan 4

2

 

 _  _

 

<b>20)</b> cos 3x cos2x cos x 02  2 
<b>21)</b>

1 1 _{2 2 cos x}

cosx sin x 4



 

  _  _

 

<b>22)</b>



₂ _{3 cosx 2sin}



2 x

2 4 ₁
2 cosx 1



 

  _  _

 _{ }



<b>23)</b>3cos4x 8cos x 2 cos x 3 0 6  2  
<b>24)</b> tan x cot x 2 tan x cot x2  2 







6
<b>25)</b>

2

2

1 1

4 sin x 4 sin x 7 0

sin x sin x

   

    

   

   

<b>26)</b>Xác định m để phương trình : 2 sin x cos x cos4x 2sin2x m 0



4  4



    có ít nhất một nghiệm thuộc

đoạn 0,2


 
 
 

<b>27)</b>Tìm a để phương trình sau có nghiệm : sin x 2 cosx 32sin x cosx 1 a

 



</div>

<!--links-->