Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi P đối với biên phân chia có độ nhám cao

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
—————————

Bùi Duy Vương

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P
ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————————–

Bùi Duy Vương

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P
ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. PHẠM CHÍ VĨNH

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy GS.TS. Phạm
Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em từng bước để em có thể
hồn thành luận văn.
Em xin cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn-Cơ-Tin học Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy dỗ em trong suốt những
năm học vừa qua, cảm ơn các anh chị em trong nhóm xemina đã chia sẻ kinh
nghiệm, kiến thức và giúp đỡ em rất nhiều.
Qua đây em cũng cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên
và tạo mọi điều kiện tốt cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Bùi Duy Vương


Mục lục

Lời mở đầu

3

1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ
nhám cao. Phương pháp truyền thống

6

1.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Thuần nhất hóa biên phân chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hệ số phản xạ, khúc xạ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ
nhám cao. Phát biểu Stroh

15

2.1

Phát biểu Stroh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Nghiệm của (2.6) đối với các bán khơng gian. Sóng phản xạ và
sóng khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Hệ số phản xạ, khúc xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Một số ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

30

2


Lời mở đầu
Các bài tốn biên phân chia có độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực
tế như: sự tán xạ của sóng trên các biên nhám cao [15], sự phản xạ, khúc xạ

của sóng trên các biên phân chia có độ nhám cao [10], các dịng chảy trên tường
nhám [2],. . . Khi biên phân chia có độ nhám thấp (biên độ rất nhỏ so với chu
kỳ của nó), để giải các bài toán này, các tác giả thường sử dụng phương pháp
nhiễu. Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ rất lớn so với chu kỳ của
nó), các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa [3] để giải.
Q trình lan truyền các sóng mặt và sóng khối trong các mơi trường dị
hướng là một q trình phức tạp, nó khác với q trình truyền sóng trong mơi
trường đẳng hướng. Crampin [6] chỉ ra rằng trong mơi trường dị hướng, tồn tại
cả ba sóng khối lan truyền với các vận tốc khác nhau, theo các hướng khác nhau.
Trong những môi trường dị hướng bậc cao thì 3 sóng P, SV, SH khơng thể phân
tách. Theo đó, trong mơi trường dị hướng, véc tơ dịch chuyển sóng và véc tơ
lan truyền sóng khơng phải ln ln trùng nhau (đối với sóng dọc-quasi P) và
vng góc với nhau (đối với sóng ngang-quasi SV, SH). Trong số các bài tốn
liên quan đến q trình truyền sóng thì bài tốn phản xạ, khúc xạ của các sóng
đàn hồi được nhiều tác giả quan tâm như trong các công trình của Achenbach
[1], Chattopadhyay and Rogerson [4], Chattopadhyay [5],... Tuy nhiên, trong các
cơng trình này, các tác giả mới chỉ xét sự phản xạ, khúc xạ của các sóng đối với
biên phân chia là phẳng. Khi biên phân chia có độ nhám cao thì các nghiên cứu
cịn rất hạn chế. Cơng thức tính các hệ số phản xạ, khúc xạ của các sóng đối
với biên phân chia này vẫn chưa được tìm ra. Nguyên nhân là do các phương
trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với lý thuyết đàn hồi trong các miền chứa
biên phân chia có độ nhám cao chưa được tìm ra.
Năm 1997, các tác giả Nevard và Keller [7] đã nghiên cứu thuần nhất hóa


MỤC LỤC

biên phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết đàn
hồi tuyến tính dị hướng. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả đã
rút ra phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi dị hướng. Tuy nhiên,

hệ các phương trình này cịn ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng được xác
định qua các hàm mà chúng là nghiệm của bài tốn biên trên nhân tuần hồn,
gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng. Bài tốn biên trên nhân tuần hồn
này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số. Vì hệ phương trình thuần nhất hóa thu
được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng.
Gần đây (2010, 2011), các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung
[11, 12] đã tìm ra được phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết
đàn hồi trong miền hai chiều, tức là các hệ số của chúng là các hàm của các
tham số vật liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia. Ngồi kết quả nêu
trên, các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung cịn tìm ra các phương trình
thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên
phân chia dao động nhanh giữa hai đường trịn đồng tâm [13], phương trình
thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn điện [14]. Sử dụng các phương trình
thuần nhất hóa dạng hiện này, các bài tốn thực tế khác nhau, trong đó có bài
tốn phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao, được
nghiên cứu một cách thuận tiện.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP
đối với biên phân chia độ nhám cao của hai bán không gian đàn hồi thuần nhất
trực hướng. Để nghiên cứu bài tốn này, các phương trình thuần nhất hóa dạng
hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao,
dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song được sử dụng. Cho đến nay,
bài tốn này chưa có tác giả nào nghiên cứu vì trước năm 2010 các phương trình
thuần nhất hóa dạng hiện chưa được tìm ra. Trước hết, miền chứa biên phân
chia độ nhám cao được thay thế bằng một lớp vật liệu không thuần nhất theo
chiều dầy với hai biên phẳng. Chuyển động của lớp được mô tả bằng các phương
trình thuần nhất hóa (dạng hiện). Sau đó, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối
với biên phân chia độ nhám cao được đưa về bài tốn phản xạ, khúc xạ của sóng
qP đối với lớp vật liệu không thuần nhất.
Kết quả đạt được của luận văn là:
(i) Tìm ra các cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng qP. Chú ý

4


MỤC LỤC

rằng khi sóng tới là qSV, các cơng thức thu được vẫn cịn hiệu lực.
(ii) Sử dụng các cơng thức này khảo sát bằng số sự phụ thuộc của hệ số
phản xạ, khúc xạ vào góc tới, số sóng tới (khơng thứ ngun), tham số hình học
của biên phân chia trong trường hợp nó có dạng hình lược.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ
nhám cao. Phương pháp truyền thống.
Trong chương này, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân
chia có độ nhám cao được nghiên cứu bằng phương pháp truyền thống. Phương
pháp này mang đậm tính quang học và hình học, cho cái nhìn rõ ràng về sự
phản xạ, khúc xạ. Tuy nhiên, phương pháp này mang tính trực giác, khơng đưa
đến một mơ hình tốn học chặt chẽ cho bài tốn phản xạ, khúc xạ của sóng
truyền trong các mơi trường đàn hồi di hướng. Kết quả chính là là tìm ra các
cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng qP.
Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ
nhám cao. Phương pháp phát biểu Stroh.
Trong chương này, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân
chia độ nhám cao được nghiên cứu bằng một phương pháp mang tính toán học,
dựa trên phát biểu Stroh [9] của các bán khơng gian và lớp vật liệu thuần nhất
hóa. Phương pháp này trước hết cho ta cái nhìn tốn học chính xác của sự phản
xạ và khúc xạ của sóng qP. Hình ảnh hình học sau đó được nhìn thấy rõ ràng
và tổng thể như là hệ quả của các biểu thức toán học.

5

Chương 1
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP
đối với biên phân chia độ nhám cao.
Phương pháp truyền thống
1.1

Phát biểu bài tốn
Xét 2 bán khơng gian đàn hồi thuần nhất Ω(+) , Ω(−) , trực hướng với các

hằng số vật liệu cij và mật độ khối lượng ρ được xác định như sau:


 c(+) , ρ(+) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(+)
cij , ρ =

ij

(1.1)


 c(−) , ρ(−) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(−)
ij

(−) (+) (−)
trong đó c(+)
,ρ
là các hằng số. Giả thiết ba trục vật liệu của hai bán
ij , cij , ρ

không gian là trùng nhau và chúng được chọn làm ba trục tọa độ (Hình 1.1).
Giả sử biên phân chia L của hai bán không gian có độ nhám cao, dao
động giữa hai đường thẳng x2 = 0 và x2 = h có phương trình x2 = h(x1 /ε), trong
đó h(y) (y = x1 /ε) là hàm tuần hồn chu kỳ là 1 (xem Hình 1.1), ε được giả thiết
là nhỏ hơn nhiều so với h (tức là biên phân chia L có độ nhám cao). Giả thiết
thêm rằng, mọi đường thẳng x2 = x02 = const với 0 < x02 < h cắt đường cong
L tại đúng hai điểm có hồnh độ là y1 và y2 . Điều này có nghĩa: trong khoảng
0 < y < 1 phương trình h(y) = x02 có đúng hai nghiệm được ký hiệu là y1 (x2 ),
y2 (x2 ).
6


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao L

Trong bán khơng gian Ω(+) , xét một sóng qP, có biên độ đơn vị, vận tốc c0 ,
số sóng k0 , truyền tới biên phân chia độ nhám cao L với góc tới θ0 (0 < θ0 < π/2)
(Hình 1.1). Khi đó chuyển dịch của nó là:


 sinφ 

 ik (x sinθ +x cosθ −c t)
0
2
0
0
 0 1

u0 = 
cosφ e



(1.2)

0

trong đó c0 được tính bởi cơng thức [5]:
2ρ(+) c20 = (U (0) + Z (0) ) + [(U (0) − Z (0) )2 + 4(V (0) )2 ]1/2

(1.3)

với:
(+)

(+)

U (0) = c11 sin2 θ0 + c66 cos2 θ0 ,
(+)

(+)

V (0) = (c66 + c12 )sinθ0 cosθ0 ,
(+)

(1.4)

(+)

Z (0) = c66 sin2 θ0 + c22 cos2 θ0
φ là góc tạo bởi hướng của véctơ u0 và trục 0x2 , được xác định bởi [5]:
φ = atan{

V (0)
}
ρ(+) c20 − U (0)
7

(1.5)


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Chú ý rằng k0 = ω/c0 trong đó ω là tần số của sóng tới và được cho trước.
Bài tốn đặt ra là: Xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng tới qP đối biên phân
chia độ nhám cao L.

1.2

Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục
Vì sóng tới có dạng (1.2) và mơi trường là trực hướng nên sóng tới gây

ra trạng thái biến dạng phẳng:
ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0

(1.6)

ui là các thành phần của vecto chuyển dịch.

Đối với vật liệu trực hướng, định luật Hooke có dạng:
σ11 = c11 u1,1 + c12 u2,2
σ12 = c66 (u1,2 + u2,1 )

(1.7)

σ22 = c12 u1,1 + c22 u2,2

Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng:
σ11,1 + σ12,2 = ă
u1

(1.8)

12,1 + 22,2 = ă
u2

Gi s hai bỏn khụng gian gắn chặt với nhau, khi đó ứng suất và chuyển
dịch phải liên tục trên biên phân chia L, tức là:
[uk ]L = 0, [σ1k n1 + σ2k n2 ]L = 0, k = 1, 2

(1.9)

trong đó n1 , n2 (n3 = 0) là các thành phần của véctơ pháp tuyến đơn vị đối với
dường cong L (đường cong hai chiều thuộc mặt phẳng 0x1 x2 ) (xem Hình 1.1).
Trong công thức trên ta sử dụng ký hiệu sau:
[f ]L = f (+) − f (−)

8

(1.10)


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.2: Thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao bằng lớp vật liệu khơng thuần
nhất

1.3

Thuần nhất hóa biên phân chia
Do biên phân chia L có độ nhám cao, nên theo Vinh và cộng sự [11], miền

0 < x2 < h chứa biên phân chia được thay thế bởi một lớp vật liệu trực hướng,

không thuần nhất theo chiều dầy, có hai biên phẳng x2 = 0 và x2 = h (xem Hình
1.2), đặc trưng bởi các hằng số vật liệu và mật độ khối lượng xác định như sau:
−1
cL
11 = c11

−1 ,

−1
cL
12 = c11

−1
cL
22 = c22 + c11

−1

−1 ,

− c212 c−1
11 , ρL = ρ

(1.11)

f dy = (y2 − y1 )f (−) + (1 − y2 + y1 )f (+)

(1.12)

−1

c12 c−1
11

−1
L
c12 c−1
11 , c66 = c66
2

trong đó:
1

f =
0

Chú ý rằng, vì y1 và y2 phụ thuộc vào x2 nên các hằng số cLij và ρL là các hàm
số của x2 .
Đối với lớp vật liệu 0 < x2 < h, định luật Hooke và phương trình chuyển
động cũng có dạng (1.7) và (1.8) trong đó cij và ρ được thay thế tương ứng bởi
cL
ij và ρL .

Như vậy, bài tốn phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia
9


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

độ nhám cao được đưa về bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với lớp vật
liệu (khơng thuần nhất) chiếm miền 0 < x2 < h bị kẹp giữa hai bán không gian.
Sử dụng định luật Hooke vào các phương trình chuyển động dẫn đến hai
phương trình sau đối với chuyển dịch:
L
cL
11 u1,11 + c66 u1,2

cL
66 u1,12

+

,2

+ cL
66 u2,1

cL
12 u1,1 ,2

+ cL
66 u2,11

,2

+

+ cL
ă1
12 u2,12 = L u
cL
22 u2,2 ,2

(1.13)

= L uă2

Trờn cỏc biờn phõn chia ca lớp và hai bán không gian x2 = 0 và x2 = h, chuyển
dịch và ứng suất phải liên tục.
Vậy, ta cần giải bài tốn gồm hệ phương trình (1.13) và các điều kiện liên
tục của chuyển dịch và ứng suất trên các biên x2 = 0 và x2 = h.

1.4

Hệ số phản xạ, khúc xạ
Sóng tới đến biên x2 = 0 sinh ra các sóng phản xạ qP, qSV, truyền trong

bán khơng gian Ω(+) và các sóng khúc xạ qP, qSV, truyền trong bán khơng gian
Ω(−) (xem Hình 1.3). Chúng (qP, qSV phản xạ, qP, qSV khúc xạ) tạo với trục
0x2 các góc tương ứng θ1 , θ2 , θ3 , θ4 (góc hình học) (xem Hình 1.3). Chuyển dịch

của sóng phản xạ qP với biên độ R1 = [R11 R12 ]T có dạng [5, 8]:

 

(1)
 u1   R11 
=
 exp[ik1 (x1 p11 + x2 p12 − c1 t)]

(1)
u2

(1.14)

R12

Chuyển dịch của sóng phản xạ qSV với biên độ R2 = [R21 R22 ]T xác định
bởi:






(2)
u1
(2)
u2







  R21 
 exp[ik2 (x1 p21 + x2 p22 − c2 t)]
=

(1.15)

R22

Tương tự, chuyển dịch của sóng khúc xạ qP, qSV là:

 


(3)
 u1   R31 


=
 exp[ik3 (x1 p31 + x2 p32 − c3 t)]
(3)
u2

R32

10

(1.16)


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.3: Sóng qP truyền tới biên phân chia độ nhám cao L, sinh ra hai sóng phản xạ
P, SV và hai sóng khúc xạ P, SV





(4)
u1
(4)
u3







  R41 
=
 exp[ik4 (x1 p41 + x2 p42 − c4 t)]

(1.17)

R42

trong đó R3 = [R31 R32 ]T , R4 = [R41 R42 ]T là biên độ của sóng khúc xạ qP, qSV;
véctơ đơn vị pn =[pn1 pn2 ]T (n = 1, 2, 3, 4) là véctơ chỉ hướng truyền của các sóng
(chú ý: p12 < 0, p22 < 0, p32 > 0, p42 > 0); c1 , c2 , c3 , c4 tương ứng là các vận tốc
của sóng phản xạ qP, qSV, sóng khúc xạ qP, qSV. Chúng được xác định trong
bằng các cơng thức sau [4, 5]:
a) Đối với sóng qP:
2ρc2n = (U (n) + Z (n) ) + [(U (n) − Z (n) )2 + 4(V (n) )2 ]1/2 , n = 1, 3

(1.18)

b) Đối với sóng qSV:
2ρc2n = (U (n) + Z (n) ) − [(U (n) − Z (n) )2 + 4(V (n) )2 ]1/2 , n = 2, 4

(1.19)

trong đó:
(+)

(+)

U (n) = c11 p2n1 + c66 p2n2 ,
(+)

(+)

V (n) = (c66 + c12 )pn1 pn2 ,
(+)

(+)

Z (n) = c66 p2n1 + c22 p2n2
11

(1.20)


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

đối với n = 1, 2
(−)

(−)

U (n) = c11 p2n1 + c66 p2n2 ,
(−)

(−)

V (n) = (c66 + c12 )pn1 pn2 ,
(−)

(1.21)

(−)

Z (n) = c66 p2n1 + c22 p2n2

đối với n = 3, 4, kn (n = 1, 2, 3, 4) là số sóng của các sóng tương ứng, và chúng
liên hệ với nhau bởi đẳng thức:
k1 .c1 = k2 .c2 = k3 .c3 = k4 .c4 = k0 .c0 = ω

(1.22)

Chú ý rằng:
pn1 = sinθn (n = 1, 2, 3, 4), pn2 = −cosθn (n = 1, 2), pn2 = cosθn (n = 3, 4) (1.23)

ii) p12 /p11 , p22 /p21 là hai nghiệm thực âm của phương trình đặc trưng của bán
khơng gian Ω(+) , trong khi đó p32 /p31 , p42 /p41 là hai nghiệm thực dương của của
phương trình đặc trưng của bán khơng gian Ω(−) (xem mục 2.2). Hai đại lượng
Rn1 và Rn2 (n = 1, 2, 3, 4) liên hệ với nhau bằng đẳng thức sau:
Rn1
V (n)
ρc2n − Z (n)
Fn :=
= 2
=
Rn2
ρcn − U (n)

V (n)

(1.24)

Trong công thức trên, ρ lấy giá trị ρ(+) khi n = 1, 2 và lấy giá trị ρ(−) khi n = 3, 4.
Qui luật Snell có dạng:
k0 sinθ0 = k1 sinθ1 = k2 sinθ2 = k3 sinθ3 = k4 sinθ4 = k

(1.25)

(n)
−1 (n)
−1 (n) T
Ký hiệu η (n) = [u(n)
1 u2 (ik) σ12 (ik) σ22 ] (n=0, 1, 2, 3, 4). Từ (1.14)-(1.17),

định luật Hooke (1.7), (1.24) và (1.25) ta có:
η n = Rn2 ηˆn exp[ikn (pn1 x1 + pn2 x2 − cn t)], n = 1, 2, 3, 4

(1.26)

trong đó:




Fn







1


 , n = 1, 2, 3, 4
ηˆn = 


 c66 Fn pn2 + pn1 /sinθn 




c12 Fn pn1 + c22 pn2 /sinθn
12

(1.27)


CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG
(−)
Trong công thức trên, cij lấy giá trị c(+)
ij đối với n = 1, 2, lấy giá trị cij đối với

n = 3, 4. Từ (1.2) và (1.7) ta có:
η 0 = ηˆ0 exp[ik0 (x1 sinθ0 + x2 cosθ0 − c0 t)]

(1.28)

trong đó:




sinφ






cosφ



ηˆ0 = 

 (+)

c
cos
φ
+
sin
φ
cotg
θ

0

 66


(+)
(+)
c12 sinφ + c22 cosφcotgθ0

(1.29)

Mục đích chính của nghiên cứu là đi tìm các hệ số phản xạ, hệ số khúc
xạ, chúng được định nghĩa bởi công thức sau:
Rn :=

|Rn1 |2 + |Rn2 |2 = |Rn2 |

1 + |Fn2 |, n = 1, 2, 3, 4

(1.30)

Vì Fn được xác định bởi (1.24) nên để tìm Rn ta cần tìm bốn hằng số Rn2 (n =
1, 2, 3, 4). Chúng được tìm từ điều kiện liên tục tại các biên phân chia x2 = 0 và
x2 = h, cụ thể:
[η]∗L = 0, L∗ : x2 = 0, x2 = h

(1.31)

Các phương trình (1.31) được viết chi tiết như sau:
ηˆ0 + R12 ηˆ1 + R22 ηˆ2 = T∗ R32 η˜3 + R42 η˜4

(1.32)

η˜n = ηˆn eik0 hsinθ0 cotgθn , n = 3, 4

(1.33)

trong đó:

T∗ là ma trận chuyển của lớp được xác định ở chương 2 bởi (2.29). Gọi R và P

là các ma trận được định nghĩa như sau:
 
R12 
 
 
R22 
∗

R=
  , P = ηˆ1 ηˆ2 0 0 − T 0 0 η˜3 η˜4
R32 
 
 
R42

13

(1.34)

CHƯƠNG 1. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Ma trận P được xác định bởi (1.27) và (1.33), véctơ R là véctơ cần tìm. Từ
phương trình (1.27) suy ra:
R = P−1 ηˆ0

(1.35)

Đó chính là cơng thức tính các hệ số Rn2 (n = 1, 2, 3, 4). Các hệ số phản xạ và
khúc xạ được tính bởi cơng thức (2.31).
Các công thức (2.31) và (1.35) là các công thức cần tìm để tính các hệ số
phản xạ và khúc xạ.

14


Chương 2
Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP
đối với biên phân chia độ nhám cao.
Phát biểu Stroh
2.1

Phát biểu Stroh
Gọi u01 , u02 là các thành phần của véctơ chuyển dịch của sóng tới u0 . Từ

(1.2) ta có:
0
u0m = Um

(y)eik(x1 −ct) , m = 1, 2, y = kx2

(2.1)

trong đó k = k0 sinθ0 , c = c0 /sinθ0 và:
U10 (y) = sinφeiy cotgθ0 , U20 (y) = cosφeiy cotgθ0

(2.2)

Từ (2.1), (2.2) và (1.7) đối với bán không gian Ω(+) ta có:
0
0
σ12
= ikΣ01 (y)eik(x1 −ct) , σ22
= ikΣ2 (y)eik(x1 −ct)

(2.3)

trong đó:
(+)

(+)

Σ01 (y) = c66 sinφ cotgθ0 + c66 cosφ eiy cotgθ0 ,
(+)

(+)

Σ2 (y) = c12 sinφ + c22 cosφ cotgθ0 ei ycotgθ0

(2.4)

Vì sóng phản xạ, sóng khúc xạ trong hai bán khơng gian và sóng phản-khúc xạ
trong lớp sinh ra từ sóng tới, do vậy trường chuyển dịch, trường ứng suất của
15


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

các trường sóng này phải có dạng của trường sóng tới (2.1)-(2.4), tức là chúng
được tìm dưới dạng sau:
uj = Uj (y)eik(x1 −ct) , σ1j = ikΣj (y)eik(x1 −ct) , j = 1, 2

(2.5)

trong đó các hàm Uj (y) và Σj (y) là các hàm cần tìm. Thay (2.5) vào các phương
trình chuyển động (1.8) và liên hệ ứng suất biến dạng (1.7) ta thu được phương
trình sau đối với bốn hàm cần tìm nói trên:
ξ (y) = iNξ(y)

(2.6)

trong đó ξ = [U Σ]T , U = [U1 U2 ]T , Σ = [Σ1 Σ2 ]T , dấu phẩy chỉ đạo hàm theo
biến y và:




N1 N2 

N=

N3

các ma trận Nk được xác định bởi:



−1 

0
N1 = 


12
− cc22


 , N2 = 

0



1
c66

0

(2.7)

NT1





 X −∆ 0 
 , N3 = 


0 
1
c22

0

(2.8)

X

2

12
với X = ρc2 , ∆ = c11 − cc22
.

Phương trình (2.6), với các ma trận Nk xác định bởi (2.7), (2.8), được gọi
là phát biểu Stroh [9] của hai bán khơng gian: các hằng số cij và ρ sẽ có thêm
dấu ’+ ’ (dấu "− ") tương ứng với bán không gian x2 < 0 (x2 > h). Đối với lớp vật

liệu thuần nhất hóa 0 < x2 < h, phát biểu Stroh cũng có dạng (2.6), (2.7), (2.8)
trong đó các hằng số cij và ρ được thay thế tương ứng bởi cLij và ρL .
Chú ý rằng, đối với hai bán không gian, ma trận Stroh N là ma trận hằng
số, trong khi đó đối với lớp, các phần tử của ma trận Stroh là các hàm của biến
y.

Để giải phương trình vi phân (2.6) trên miền (−∞, 0) ∪ (0, h) ∪ (h, +∞) ta
cần điều kiện liên tục tại các biên phân chia x2 = 0 và x2 = h:
ξ 0 + ξ(0−) = ξ(0+), ξ(e − 0) = ξ(e + 0), e = kh

(2.9)

trong đó:








0
U1 (0)





0
Σ1 (0)

 U0 
ξ 0 =   , U0 = 
 , Σ0 = 

0
Σ0
U2 (0)
Σ02 (0)
16

(2.10)


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

Như vậy, bài tốn đưa về việc giải phương trình (2.6) với điều kiện biên (2.9).

2.2

Nghiệm của (2.6) đối với các bán khơng gian.
Sóng phản xạ và sóng khúc xạ
1. Nghiệm của (2.6) đối với các bán không gian −∞ < y < 0. Sóng

phản xạ.
Vì ma trận N của phương trình (2.6) là ma trận hằng số đối với bán
khơng gian −∞ < y < 0, nên để tìm nghiện của (2.6) ta phải tìm các giá trị đặc
trưng p của ma trận N. Chúng là nghiệm của phương trình (đặc trưng) sau:
|N − Ip| = 0

(2.11)

Sau khi khai triển định thức, phương trình (2.11) trở thành:
ω4 p4 + ω4 p2 + ω0 = 0

(2.12)

trong đó các hệ số ωk được xác đinh bởi (xem [.]):
ω4 = c22 c66
ω2 = c11 c22 − c212 − 2c12 c66 − (c22 + c66 )X,

(2.13)

ω0 = c11 c66 − (c11 + c66 )X + X 2
(+) , X = ρ(+) c2 .
trong cij và ρ tương ứng là c(+)
ij và ρ

Chú ý 1: Từ (2.13), nghiệm của phương trình đặc trưng (2.12) phụ
thuộc vào tham số c. Theo lý thuyết sóng Rayleigh, tồn tại các hằng số dương
(+)

vk

(k = 1, 2, 3) sao cho:

(i) Với v2(+) ≤ c < +∞ phương trình (2.12) có 4 nghiệm thực: p1 < 0,
p2 < 0, p3 = −p1 , p4 = −p2 . Chọn p1 , p2 sao cho: |p1 | < |p2 |.

(ii) Với v1(+) ≤ c < v2(+) phương trình (2.12) có 2 nghiệm thực: p1 (< 0),
p3 = −p1 , và hai nghiệm phức liên hợp: p2 , p4 = p¯2 , trong đó phần ảo của p2 là

một số âm.
(iii) Với 0 < c < v1(+) phương trình (2.12) có 2 cặp nghiệm phức liên hợp:
p1 , p2 , p3 = p¯1 , p4 = p¯2 , trong đó phần ảo của p1 và p2 là các số âm.
17


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

Dễ dàng chứng minh mệnh đề sau.
Mệnh đề 1: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.6) trong miền
−∞ < y < 0 là:
(2)

(1)

ξ r (y) = Ar1 ξ r eip1 y + Ar2 ξ r eip2 y

(2.14)

trong đó Ar1 , Ar2 là các hằng số cần xác định, ξ(k)
r là véc tơ riêng của ma trận
N tương ứng với giá trị riêng pk (k = 1, 2). Để xác định, bốn thành phần của
(k)

ξr

được chọn là phần phụ đại số của hàng thứ nhất của ma trận N − Ipk , tức

là: thành phần thứ m của véctơ ξ(k)
r là phần phụ đại số của phần tử thứ m của
hàng một của ma trận N − Ipk . Chú ý rằng, biểu diễn nghiệm (2.14) đúng cho
cả ba khả năng (i)-(iii) trong Chú ý 1.
Chú ý 2: Vì c = c0 /sinθ0 nên từ Chú ý 1 ta có, tồn tại các góc θk(+) =
arsin(c0 /vk(+) ) sao cho:
(i) Với 0 < θ0 ≤ θ2(+) có hai sóng phản xạ, ký hiệu là RW1 và RW2 . Chúng
được xác định bởi:
(2)

(1)

RW1 = Ar1 ξ r eip1 y eik(x1 −ct) , RW2 = Ar2 ξ r eip2 y eik(x1 −ct)

(2.15)

Do |p1 | < |p2 | nên RW1 là sóng qP, RW2 là sóng qSV.
(ii) Với θ2(+) < θ0 ≤ θ1(+) có một sóng phản xạ RW2 . Đó là sóng qSV. Sóng
RW1 biến thành sóng mặt.

(iii) Với 0 < θ1(+) < θ0 < π/2: khơng tồn tại sóng phản xạ (khúc xạ hồn
tồn), RW1 và RW2 đều trở thành sóng mặt.
2. Nghiệm của (2.6) đối với các bán không gian y > e. Sóng khúc
xạ.
Xét phương trình đặc trưng (2.12) tương ứng với bán không gian y > e
(−) ) . Tương tự như phần trên, tồn tại các
(khi đó cij và ρ được hiểu là c(−)
ij và ρ

hằng số dương vk(−) (k = 1, 2, 3) sao cho:
(i) Với v2(−) ≤ c < +∞ phương trình (2.12) có 4 nghiệm thực: q1 > 0,
q2 > 0, q3 = −q1 , q4 = −q2 , trong đó chọn 0 < q1 < q2 .

(ii) Với v1(−) ≤ c < v2(−) phương trình (2.12) có 2 nghiệm thực: q1 (> 0),
q3 = −q1 , và hai nghiệm phức liên hợp: q2 , q4 = q¯2 , trong đó phần ảo của q2 là

một số dương.
(iii) Với 0 < c < v1(−) phương trình (2.12) có 2 cặp nghiệm phức liên hợp:
q1 , q2 , q3 = q¯1 , q4 = q¯2 , trong đó phần ảo của q1 và q2 là các số dương.
18


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

Tương tự ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.6) trong miền y > e
là:
(2)

(1)

ξ t (y) = At1 ξ t eiq1 y + At2 ξ t eiq2 y

(2.16)

là véc tơ riêng của ma trận
trong đó At1 , At2 là các hằng số cần xác định, ξ(k)

t
N (của bán không gian y > e) tương ứng với giá trị riêng qk (k = 1, 2). Để xác

định, bốn thành phần của ξt(k) được chọn là phần phụ đại số của hàng thứ nhất
của ma trận N − Iqk . Chú ý rằng, biểu diễn nghiệm (2.15) đúng cho cả ba khả
năng (i)-(iii).
Do c = c0 /sinθ0 nên tồn tại các góc θk(−) = arsin(c0 /vk(−) ) sao cho:
(i) Với 0 < θ0 ≤ θ2(−) có hai sóng khúc xạ, ký hiệu là TW1 và TW2 . Chúng
được xác định bởi:
(1)

(2)

TW1 = At1 ξ t eiq1 y eik(x1 −ct) , TW2 = At2 ξ t eiq2 y eik(x1 −ct)

(2.17)

Do 0 < q1 < q2 nên TW1 là sóng qP, TW2 là sóng qSV.
(ii) Với θ2(−) < θ0 ≤ θ1(−) có một sóng khúc xạ RW2 . Đó là sóng qSV. Sóng
RW1 biến thành sóng mặt.

(iii) Với 0 < θ1(−) < θ0 < π/2 không tồn tại sóng khúc xạ (phản xạ hồn
tồn): RW1 và RW2 đều trở thành sóng mặt.
3. Nghiệm của (2.6) đối với lớp 0 < y < e. Ma trận chuyển
Đối với lớp 0 < y < e, như đã chú ý ở trên, ma trận N không phải là ma
trận hằng số (trừ khi biên phân chia có dạng hình răng lược), mà là một ma trận
hàm của y . Do vậy, khơng có khả năng tìm được nghiệm chính xác của phương
trình (2.6) trong trường hợp chung. Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ xủa nó bằng cách
chia đều lớp không thuần nhất 0 < y < e thành N lớp nhỏ thuần nhất có độ dầy
bằng nhau bởi các điểm chia ym = m.δ , δ = e/N , m = 0, 1, ..., N . Ma trận (hằng

số) Nm của lớp (thuần nhất) thứ m được chọn là giá trị của N tại ym , tức là:
(m)

Nm = N(ym ), m = 1, 2, ..., N . Một cách tương ứng, các hằng số đàn hồi cij

và

mật độ khối lượng ρm của lớp thứ m được xác định như sau:
(m)

cij

= cL
ij (ym ), ρm = ρL (ym )

(2.18)

Tại biên phân chia y = ym (m = 1, ..., N − 1) của các lớp, ứng suất và chuyển dịch
19


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

phải liên tục, tức là:
ξ(ym + 0) = ξ(ym − 0), m = 1, ..., N − 1, ξ 0 + ξ r (0−) = ξ(0+), ξ(e − 0) = ξ t (e + 0)

(2.19)
Nghiệm của lớp thuần nhất thứ m:
Gọi s(m)

k (k = 1, ..., 4) là bốn nghiệm của phương trình đặc trưng của lớp
thứ m:
|Nm − Is| = 0

(2.20)

Phương trình trên chính là phương trình trùng phương (2.12) (do vậy: s(m)
=
2
(m)

(m)

−s1 , s4

(m)

(m)

= −s3 ), trong đó cij được thay bởi cij , ρ được thay bởi ρm và p

được thay bởi s. Dễ dàng thấy rằng:
Mệnh đề 3: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.6) trong
miền ym−1 < y < ym (m = 1, ..., N ) là:
(1)

(m)

ξ m (y) = Am1 ξ m eis1

y

(2)

(m)

+ Am2 ξ m e−is1

y

(3)

(m)

+ Am3 ξ m eis3

y

(4)

(m)

+ Am4 ξ m e−is3

y

(2.21)
trong đó Am1 ,..., Am4 là bốn hằng số cần xác định, ξ(k)
m là véc tơ riêng của ma
trận Nm tương ứng với giá trị riêng s(m)

k (k = 1, 2, 3, 4). Để xác định, bốn thành
phần của ξ(k)
m được chọn là phần phụ đại số của hàng thứ nhất của ma trận
(m)

Nm − Isk .

Ma trận chuyển của lớp thứ m:
ˆ là các ma trận được xác định như sau:
Gọi T và T




ˆ
ˆ
 T1 T2  ˆ  T1 T2 
,
T
=




T=

T3

ˆ3
T

TT1

20

ˆT
T
1

(2.22)


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

trong đó (xem Vinh và các cơng sự [16]):





i [α; shε]
 [α; β]
ˆ2 = 
T
 [chε]
[γ]





[chε]

[γ]
,
−i [αshε] 
[γ]





[γ; chε]
−β1 β2 [chε]


[α; β]
[γ]
, T
ˆ1 = 
 i [β; αshε]
−i[β; γshε] 
[α; β]
[γ]

i [γ; βshε]

[γ]
T3 = 

 −β1 β2 [chε]
[α; β]





−i [α; shε]
−i [β; shε]


[α; β]
 , T2 =  [α; β]

[αchε; β] 
[chε]
[α; β]
[γ]

[γ; chε]

[γ]
T1 = 
 −i [β; αshε]
[γ]





i [β; shε]
[α; β] 
 (2.23)
[αchε; β] 
[α; β]



−i [γ; βshε]
[chε]


[γ]
[γ]
, T
ˆ3 = 


i [αshε]
−β1 β2 [chε]
[γ]
[α; β]

−β1 β2 [chε]

[α; β]

i[β; γshε] 
[α; β]

Trong các công thức trên ta sử dụng ký hiệu:
[f ; g] = f2 g1 − f1 g2 , [f ] = f2 − f1

(2.24)

Các đại lượng α, β và γ được xác định như sau:
L
L
βk = cL
66 (bk − αk ), γk = c12 + c22 bk αk ,
L
(cL
12 + c66 )bk
, k = 1, 2, X = ρL c2
2 − cL + X
cL
b
22 k
66
√
√
S + S 2 − 4P
S − S 2 − 4P
, b2 =
2
2

αk = −
b1 =

L
L
L
cL (cL − X) + cL
66 (c66 − X) − (c12 + c66 )
S = 22 11
L
cL
22 c66

(2.25)

2

L
(cL
11 − X)(c66 − X)
, εk = εbk sinθ0 , k = 1, 2, ε = k0 h
L
cL
c
22 66
ˆ k , T, T
ˆ phụ thuộc vào biến y : Tk = Tk (y),
Chú ý rằng, các ma trận Tk , T
ˆk = T
ˆ k (y), T = T(y), T
ˆ = T(y)
ˆ .
T

P =

Sử dụng biểu diễn nghiệm (2.21) Vinh và các cộng sự [16] đã chứng minh
được:
ˆ m ξ m (ym−1 )
ξ m (ym−1 ) = Tm ξ m (ym ), ξ m (ym ) = T

(2.26)

ˆ m = T−1
trong đó các ma trận (hằng số) Tm và T
m được xác định bởi:




(m)
 T1
Tm = 
(m)
T3

(m)

T2

(m) T
T1

ˆ (m)
 ˆ
 T1
 , Tm = 
ˆ (m)
T
3

21

ˆ (m)
T
2

ˆ (m) T
T
1




(2.27)


CHƯƠNG 2. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN
CHIA ĐỘ NHÁM CAO. PHÁT BIỂU STROH

với:
ˆ m = T(y
ˆ m ), T(k)

ˆ (k) ˆ
Tm = T(ym ), T
m = Tk (ym ), Tm = Tk (ym )

(2.28)

ˆ m được gọi là các ma trận chuyển của lớp thứ m.
Các ma trân Tm và T

Ma trận chuyển của lớp vật liêu 0 < y < e:
ˆ ∗ được định nghĩa như sau:
Các ma trận T∗ , T
ˆ∗ = T
ˆ N ...T
ˆ1
T∗ = T1 ...TN , T

(2.29)

được gọi là các ma trận chuyển của lớp vật liệu. Các ma trận này được biểu diễn
thành dạng khối như sau:








∗

∗
ˆ∗ ˆ∗
 T1 T2  ˆ ∗  T1 T2 
T =
,T = 

∗

T∗3

(2.30)

ˆ∗ T
ˆ∗
T
3
4

T∗4

Từ các điều kiện liên tục (2.19) và các đẳng thức (2.26) suy ra:
ˆ ∗ ξ(0)
ξ(0) = T∗ ξ(e), ξ(e) = T

2.3

(2.31)

Hệ số phản xạ, khúc xạ
(k)

ˆn , (k = 1, 2; n =
là a(k)
Gọi các thành phần của véctơ ξ(k)
n , của ξ t là a
r
(k)

1, 2, 3, 4), tức là: ξ r

(k)

= [a1

(k)

a2

(k)

a3

(k)

(k)

a4 ] T , ξ t

(k)

= [ˆ

a1

(k)

a
ˆ2

(k)

a
ˆ3

(k)

a
ˆ4 ]T . Nhắc lại

(k)
rằng a(k)
ˆn tương ứng là phần phụ đại số của phần tử thứ n của hàng một
n và a

ˆ k là các ma trận được định
của ma trận N − Ipk và ma trận N − Iqk . Gọi Qk , Q

nghĩa như sau:

(1)
a1





(2)
a1 

(1)
a3



(2)
a3 



(1)
aˆ1



(2)
a
ˆ1 



(1)
aˆ3



(2)
a
ˆ3 

ˆ1 = 
ˆ2 = 
Q1 = 
 , Q2 = 
, Q
, Q

(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
a2 a2
a4 a4
a
ˆ2 a
ˆ2
a
ˆ4 a
ˆ4

(2.32)
Công thức hệ số phản xạ:
Từ (2.14) và (2.32) suy ra:
Ur (0) = Q1 Ar , Σr (0) = Q2 Ar

(2.33)

trong đó Ar = [Ar1 Ar2 ]T . Khử Ar từ hệ trên cho ta:
Σr (0) = Q2 Q−1
1 Ur (0)
22

(2.34)